数学的所有不等式放缩技巧及证明方法

高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法

一、裂项放缩

例1.(1)求

∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=n k k .

例2.(1)求证:)2()12(2167)

12(151311222≥-->-++++

n n n Λ

(2)求证:

n n 412141361161412-<++++Λ

(3)求证:

1122642)12(531642531423121-+

(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n Λ

例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ

例4.(2008年全国一卷) 设函数

()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b -≥.证明:1

k a b +>.

例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .

例6.已知n n n

a 24-=,n n n a a a T +++=Λ212,求证:23321<++++n T T T T Λ.

例7.已知11=x ,???∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++?+?+Λ

二、函数放缩 例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ. 例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n

n αααααααΛ

例10.求证:

n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ

例11.求证:e n <+??++

)!11()!311)(!211(Λ和e n <+??++)311()8111)(911(2Λ.

例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n Λ

例14. 已知112111,(1).2n n n a a a n n +==+

++证明2n a e <.

例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明

三、分式放缩

例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(31

1)(11(+>-++++n n Λ和1

21)211()611)(411)(211(+<+---n n Λ也可以表示成为12)

12(5312642+>-???????n n n ΛΛ和121

2642)12(531+

例20.证明:.13)2

311()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ

四、分类放缩 例21.求证:212131211n n >-++++

Λ

例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)()(*3N n n

n f b n ∈=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A T n <？并证明你的结论。

例24.(2008年中学教学参考)设不等式组?????+-≤>>n nx y y x 3,

0,

0表示的平面区域为n D ,设n

D 内整数坐标点的个数为n a .设n

n n n a a a S 221111+++=

++Λ,当2≥n 时,求证:3611711112321+≥++++n a a a a n Λ.

五、迭代放缩

例25. 已知1,1411

=++=+x x x x n n n ,求证:当2≥n 时,n n i i x -=-≤-∑11

22|2| 例26. 设n n n S 2

!sin 2!2sin 2!1sin

21+++=Λ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1n

六、借助数列递推关系

例27.求证:1222642)12(531642531423121-+

n n n ΛΛΛ