函数、极限和连续试题及答案
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极限和连续试题（A 卷）
1.选择题（正确答案可能不止一个）。
（1）下列数列收敛的是（ ）。
A . n n x n n 1
)1(--= B . n x n n 1
)1(-=
C . 2sin πn x n =
D . n
n x 2=
（2）下列极限存在的有（ ）。
A . x x sin lim ∞→
B . x x x sin 1
lim ∞→
C . 121lim 0-→x x
D . 121
lim 2+∞→n n
（3）下列极限不正确的是（ ）。
A . 2)1(lim 1=+-→x x
B . 111lim 0=+→x x
C . ∞=-→2124lim x x
D . +∞=+→x
x e 2
0lim
（4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（ ）。
A . )0(12→--x x
B . )0(sin →x x x
C . )(+∞→-x e x
D . )0()1
sin 2(12→-+x x x x
（5）如果函数.
0;0;
0,1sin ,,sin 1
)(>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x b x
x a x x x f 在0=x 处连续，则b a 、的值为（
）
。 A . 0,0==b a B . 1,1==b a
C . 0,1==b a
D . 1,0==b a
2.求下列极限：
（1）)13(lim 231+-→x x x ； （2）)523(lim 2
2-+-→x x x ；
（3）)31
1(lim 0-+→x x ； （4）x x x x +-→223lim ；
（5）38
lim 23--→x x x ； （6）416
lim 24--→x x x ；
（7）121
lim 221---→x x x x ； （8）22
lim 2--→x x x ；
（9）x x x 11lim 0-+→； （10）x
x x cos lim ∞→； （11）x x x x x --+∞→33313lim ； （12）x
x x x x --+∞→44513lim ； （13）x x x x x --+∞→43133lim ； （14）1
139lim 23--+∞→x x x x ； （15）x x
x 33sin
lim 0→. 3.设2320()21013(1)1x x f x x x x x -<⎧⎪=+≤<⎨⎪+-≥⎩
，，，，求)(lim 1x f x -→，)(lim 0x f x →，)(lim 21x f x →，)(lim 3x f x →。 4.证明：)0(~sin +→+x x x x 。
5.求下列函数的连续区间：
（1）2
9)3ln(x x y -+-=； （2）.1;1,1,122≥<⎩⎨⎧+-=x x x x y 6.证明2
2lim 2--→x x x 不存在. 7.设.0;0,1sin ,1sin )(+∞<<<<∞-⎪⎩
⎪⎨⎧=x x x x x x f 求)(x f 在0→x 时的左极限，并说明它在0→x 时右极限是否存在？
8.证明)12111(lim 222n n n n n ++++++∞→ 存在并求极限值。
9.若0)1
1(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求b a 、的值。 答案
1.（1）B ； （2）BD ； （3）C ； （4） ACD ； （5）B.
2.（1）-1； （2）3； （3）32； （4）6
1-； （5）∞； （6）8； （7）32； （8）2
21； （9）21； （10）0； （11）31； （12）51；
（13）0； （14）∞； （15）9
1. 3.3)(lim 1=-→x f x , )(lim 0x f x →不存在, 23)(lim 21
=→x f x , 11)(lim 3
=→x f x . 5.（1）)3,3[-； （2）),1()1,(+∞-∞ .
7.)(x f 在0→x 时的左极限为0，在0→x 时右极限不存在。
8.极限值为1.
9.11a b ==-,.