3联合态密度和临界点

3.3 联合态密度和临界点 上面我们从微观跃迁过程出发给出了理想晶体由直接跃迁（或竖直跃迁）决定的吸收光谱的一般表达式。材料吸收光谱的具体形式显然依赖于材料具体的能带结构。但是，不同材料的光谱存在一个共有的特点：

实验发现晶体吸收光谱中常会出现一些明显的

结构，或拐点，（如图3.3-1给出的例子）

这些结构产生的物理原因和拐点附近吸收光谱的行为？

图3.3-1 带间直接跃迁决定的吸收光谱示意图 3.3.1 联合态密度和临界点 （joint or combined density of states and critical point） 考查计算或2的公式：

02

22

322

vv,022cvckk

ceBZ

ncedkpEkEkm









积分的被积函数中的矩阵元 2vckkp 除了在一些特殊的k值（由于对称性）变为零，一般来说是k的平滑函数。 即 或2中一些拐点，不会是由于矩阵元对k

的依赖关系。 在这些拐点附近（很小 ），这矩阵元可近似地看作常数，移出积分号。这一近似的含义是，在这小的能量范围里，满足能量守恒的每个跃迁元过程都有相同的几率，因而总的跃迁速率与可能的跃迁数目成比例。式中的积分变为：





3,22cvcvBZ

dkJEkEk



， （3.3-1）

---- 给定光场下，波矢和自旋相同，能量间隔为，分属两个带的状态对（在这里，一个在价带，一个在导带）的数密度，称之为 联合态密度。 下面的讨论将显示晶体吸收光谱中出现的拐点正是与这联合态密度相联系的。 为明显看出这一点，我们把k空间的积分cvJ作一改写。

k

空间的体积元可表示为

cvEEEdkdskdsk





， （3.3-2）

其中cvEEEds 为 曲面cvEkEkE上的面元矢量，ds为面元大小，k为波矢增量，它在面元法线方向的投影为k。

利用 dfkfkfk，也即 kdff。

cvJ就可表示成：



3.3.2222cvcvBZ

cvBZcv

JEdskEkEkEdfdsEkEkEEkEk











 （3.3-3）

上式中()cvfkEkEkE，对 df 积分后变为 3

.22cvcvEEEcvBZ

dsJEEkEk







（3.3-4）

(对比态密度NE：k空间中，等能面()EkE与EdE

之间的状态数/dE，它等于这两个k空间等能面所夹的壳层体积与()gk之积/dE：

3

()()22()()EkEEkEkkdsdsNEdEgkdEdEEkEk







) 由cvJE的这一表达式可见， 积分被积函数可能在某些特定的k值，0cvEkEk，被积函数发散，出现奇点。称之为 临界点（critical point）。该点对应的带间能量差 0cvEkEkE 称为 临界点能量。 在这一能量值，联合态密度cvJE呈现一个拐点。

由对称性 → 可能有多个同类临界点 下面限于讨论单个临界点的情形 由于临界能附近cvJE的异常变化是由k空间临界点附近的一个小范围内状态对数目随E的变化决定的，这范围以外的区域对cvJE积分的贡献是常数，我们可以限于讨论临界点附近区域的贡献。 将cvEkEk在临界点附近展开，取到二次项（由临界点条

件，一次项显然为零）： 2222

02yxzcvxyzxyz

kkk

EkEkEmmm







（3.3-5）

其中0E为临界点处的cvEkEk值（临界点能量），,,xyzkkk都是沿主轴相对临界点的值，展开式系数的大小由,,xyzmmm的倒数表示，系数的符号则由,,xyz

来表示，即它们可能的取值为1。

按,,xyz的正或负，临界点可分为四类： 极小值点0M：对于它，1xyz， cvEkEk



在此奇点取极小值；

鞍点（saddle point）1M：对于它，两个i取正，一个取负； 鞍点（saddle point）2M：对于它，一个i取正，两个取负； 极大值点3M：1xyz，cvEkEk在奇点取极大值。 联合态密度 在这几种 临界点相应的临界点能量附近的行为 ? 讨论中会利用函数的性质： 

i

bi

iax

gxgxfxdxdfxdx





， （3.3-6）

其中ix是方程0fx在区间,ab中的第i个根。

以下为方便起见，引进新坐标 122jjjqkm，其中,,jxyz。 于是： 2222

022202yxzcvxyzxyz

xxyyzz

kkk

EkEkEmmmEqqq









进而，（3.3-1）式 



3,22cvcvBZ

dkJEkEk



 改写为



12

32

222033222xyzcvxxyyzz

mmmJEdqEqqqE



（3.3-7）

先讨论0M点，对这一情形，采用球坐标较方便，这时：



12

32

22

0332242xyzcv

mmmJEqdqEqE （3.3-8）

上式中的积分可利用前面提到的函数的性质(3.3-6)来计算。 i

bi

iax

gxgxfxdxdfxdx





方程 20()0fxEqE 仅当0EE时，有一正实数根1200qEE，而且202dfdqdEqEdqq，

由此我们得到：







12322

033

0

1272

1212

003

224222xyzcvxyzmmmq

JEqmmmEEAEEh



（3.3-9）

而在0EE时，方程200EqE无根，这时0cvJE。 对鞍点1M，用柱坐标较方便。在,xyqq平面的极坐标为,q。







1232

2220331232220332222222xyzcvxyz

xyzzz

mmmJEdqEqqqEmmmqdqdqqqEE







 （3.3-10） 先对zq积分，得





01232330221222zxyzcvqz

mmmJEqdqq

 （3.3-11）

当200qEE时，方程2200zqqEE有两个根200zqqEE， 代入上式，得：