必修二与必修五数学试题及答案解析

1.．若函数

()()0,1x f x a a a =>≠且是定义域为R 的减函数，则函数

()()log 1a f x x =-的图象大致是（）

2. 已知数列{a a }满足

a a +3a a +1+3

=12

，且a 1=1，则a 5=（）。

A.?5

2 D. ?23

3．如图所示，圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥上方嵌入一个半径为r 的球，使圆锥的母线与球面相切，切点为圆锥母线的端点，则该球的表面积为（） A ．

π B ．3π

C ．4π

D ．163

4．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余

弦值为（）

A ．

B ．

12 C ．1

D ．14

5．已知函数()1,0

2ln ,0x

x f x x x ???≤? ?=????>?

，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则实数k 的取

值范围为（） A ．

()0+∞，

B ．[)1+∞，

C ．()01，

D ．()1+∞， 6. 在等差数列{a n }中，a 5=33，公差d =3，则201是该数列的第（）项． A ．60 B ．61 C ．62 D ．63

7. 在△ABC 中，∠A =60°，AB =2，且△ABC 的面积为√3

2，则BC 的长为（） A ．√3 B ．3 C ．√7 D ．7

8. 已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．则△ABC 是（）

第3题图

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．锐角三角形

D ．钝角三角形

9.用篱笆围一个面积为100m 2

的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）

A ．30

B ．36

C ．40

D ．50 10. 已知圆()22:200M

x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是2

M 与圆的

()()2

:111N x y -+-=的位置关系是（）

A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离

11. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于 A 、B 两点， OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1

12. 点M 在()()22

539x y -+-=上，则点M 到直线3420x y +-=的最短距离为（）A ．9 B ．8 D ．2 二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若S n 等差数列{a n }的前n 项和，且a 3=2，a 8=10，则S 10= ．

14. 设a ＞0，b ＞0，若√3是3a

与3b

的等比中项，则1a +1

a 的最小值是．

15．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a =2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）=（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为．

16．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==， 1AD

=，点E ，F ，G 分别

是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是．

三、简答题：

17.已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；

（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．

18．（本小题满分12分）

已知单调递增等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2,a4的等差中项.（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）数列{a n}为等差数列，其前n项和a a=a2，求数列{a n+a n}的前n项和a a.

19．（12分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC的长；

（2）求sin2C的值．

20.（本小题满分12分）

在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，2

ABD π∠=

，

22AD =，

22AB DC ==，F 为PA 中点.

（1）在棱PB 上确定一点E ，使得CE ∥平面PAD ；（2）若6PA PB PD ===，求三棱锥P BDF -的体积.

21. （本小题满分12分）在数列{a n }中，a 1=1，a n ﹣1=2a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）若b n =（2n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．

22．（本题满分12分）

已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2=2，S 6=21 （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）令a a =1

(a +1)a a

，求数列{b n }的前n 项和T n ．

第20题图

C B

答案：；；；；；；；；；；；；；15.√3；°

3.解法一：在Rt △ABC 中，sin∠BAC =1

2，∴∠BAC=30°， ∴tan30°=

，解得OB =

2√3

3。解法二：由△OBC ∽△OAB 得aa aa =aa aa

，解得aa 2=43，所以表面积S =

a 。

4解：延长A ′B ′到D ，使B ′D=AB ，则四边形AB ′DB 是平行四边形 ∴AB ′∥BD

∴∠DBC ′就是异面直线AB ′与B ′所成的角由余弦定理得CD =2√3 由勾股定理得BD =BC’=2√2 ∴cos∠DBC‘=2√2)22√2)22√3)2

2×22×22

4。

8.解法一：由已知易求出∠B=60°， ∵a 、b 、c 成等比数列 ∴a 2=aa

由a 2=a 2+a 2?2aa ?aaaa 得ac =a 2+a 2?2aa ?1

2 ∴a =c。

解法二：由已知易求出∠B=60°，设公比为q ，则b =aq，c =a a 2，由余弦定理即可算出q=1，所以是等边三角形。

11.利用菱形的性质易求出圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离公式即可求出k=0。

15.解：由已知把角换成边得(2+b )(a ?b )=(c ?b )c，整理得a 2+a 2?4=aa ∴cosA =a 2+a 2?a 22aa =12，A =a

，

∵4=

a 2+a 2?aa ≥2aa ?aa ，∴bc

≤4

∴a ?aaa =12

aa ?aaaa ≤12

×4×√3

=√3。

16.解：连接a 1a 、a 1a ，分别计算a 1a =√2、a 1a =√5、FG=√3，满足勾股定理逆定

理。三．解答题

17.解：（1）由12l l ⊥知()3

20a a +-=，解得3

a =；（2）当12l l ∥时，有()()230

320

a a a a --=???--≠??解得3a =，

12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即3390x y ++=，

距离为d =

（18）(本小题满分12分)

解: （1）设等比数列

{}n a 的首项为1a ,公比为q .

依题意,把23428a a a ++=代入()32422a a a +=+ 得()332228a a +=-,解得,38a =.

∴2420a a +=31121208

a q a q a q ?+=?∴?=?? ……………………2分解之得122q a =??=?或11232

q a ?

=???=? ……………………4分

又数列

{}n a 是递增数列,2q ∴=112n n n a a q -∴==. ……………………5分

（2）当1n =时,1

11b S ==, ……………………6分

当2n ≥时,()2

21121n n n b S S n n n -=-=--=-, ……………………7分

2111?-=,21n a n ∴=- ……………………8分

221n n n a b n ∴+=+- ()()()1122+n n n T a b a b a b ∴=++++

()()()1222112221221n n =+?-++?-+

++?-

()()12=2+2+

+2212n n n +?++

+- ……………………9分

()+1222

=2122

n n n n -?+?-- ……………………11分

12=22n n ++- ……………………12分

19．解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2

﹣2AB ?AC cos A =4+9﹣2×2×3×=7，所以BC =

．

（2）由正弦定理可得：，则sin C =

，

∵AB ＜BC ，∴C 为锐角，则cos C =

．

因此sin2C =2sin C cos C =2×=．

（20）(本小题满分12分)

解：（1）取PB 的中点E ,连,FE EC . ……………………1分

,F E 分别为,PA PB 中点

∴

EF //

2AB , 又

CD AB =

， ∴

EF //

=CD ,

∴所以四边形CDEF 是平行四边形,

∴//CE DE ……………………2分

,CE PAD DF PAD ??平面平面，……………………3分

∴CE ∥平面PAD . ……………………4分

（2）方法一）在Rt ABD ?

中,2AD AB ==,

∴2BD ==,

∴

AB BD =, ……………………5分又PA PD =,

∴取

AD 的中点H ,连,BH PH ,

AD PH ⊥,AD BH ⊥.

在Rt PHA ?

中,2PH

==,

在Rt ABD ?

中,1

BH AD =

= ∴222

PH HB PB +=，

PH HB ∴⊥, ……………………6分

又PH AD ⊥

,BH ??AD 平面ABCD 平面ABCD ，AD PH

H ?=,

PH ABCD ∴⊥平面. ……………………7分

过F 作//FM PH 交AD 于M ,

易知//1,12FM ABCD FM PH =⊥=平面且. ……………………8分三角形ABD 的面积11

22 2.22

ABD S AB BD ?=

??=??= ……………………9分 ∴三棱锥

P BDF -的体积P BDF P ABD F ABD V V V ---=- ……………………10分

ABD ABD S PH S FM ??=

?-? ……………………11分 ()()1

2213

ABD S PH FM ?=-=??-

……………………12分方法二）在Rt ABD ?中

,2AD AB ==,

∴2BD ==,

∴

AB BD =, ……………………5分又PA PD =,

∴取

AD 的中点H ,连,BH PH ,

AD PH ⊥,AD BH ⊥.

在Rt PHA ?中

,2PH

==,

在Rt ABD ?中

BH AD =

= ∴222

PH BH PB +=，

BH PH ∴⊥, ……………………6分又BH AD ⊥

,PH ??AD 平面PAD 平面PAD ，AD PH

H ?=

BH AD ∴⊥平面P ,

BH ∴即是点B 到平面PAD 的距离. ……………………7分

在PAD ?中，

PA PD =

由余弦定理得，2222cos AD PA PD PA PD APD =+-?∠，

即

(

=+2cos PAD -∠,

解得1

cos 3

PAD ∠=

, ……………………8分

sin 3PAD ∴∠==.

PFD ∴?的面积

sin 21

sin 212PFD S PF PD FPD

PF PD APD ?=???∠=???∠=

……………………9分

∴三棱锥

P BDF -的体积P BDF B PFD V V --= ……………………10分

PDF S BH ?=

?? ……………………11分

……………………12分 21．解：（1）a 1=1，a n ﹣1=2a n ， ∴

=，

∴数列{a n }是以1为首项，以为公比的等比数列， ∴a n =（）

n ﹣1

，

（2）b n =（2n +1）a n =（2n +1）（）

n ﹣1

，

∴T n =3×（）0

+5×（）1

+7×（）2

+…+（2n +1）（）

n ﹣1

，

∴T n =3×（）1

+5×（）2

+7×（）3

+…+（2n ﹣1）（）n ﹣1

+（2n +1）（）n

，

∴T n =3+2×（）1+2×（）2+2×（）3+…+2?（）n ﹣1﹣（2n +1）（）n

=3+2（

）

﹣（2n +1）（）n =5﹣（2n +5）（）n

，

∴T n=10﹣（2n+5）（）n﹣1．

（22）(本小题满分12分)

解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，

∵a2=2，S6=21，∴a1+d=2，6a1+d=21，

联立解得a1=d=1．

∴a n=1+（n﹣1）=n．

（2）==，

∴数列{b n}的前n项和T n=+…+ =1﹣．

！