【拔高题】高考数学《常用逻辑用语》解答题专题训练 (24)(含答案解析)

高考数学《常用逻辑用语》解答题专题训练 (24)

1.命题P：方程x2

2+y2

=1是焦点在x轴上的椭圆；命题q：函数f(x)=1

x3?mx2+(4m?3)x?2

在(?∞,+∞)上单调递增．

(I)判断命题P是命题q的什么条件?并且说明理由；(II)若?p和q都是假命题，求实数m的取值范围．

2.已知命题p：函数y=mx2?x+1在(2,+∞)上单调递增；命题q：椭圆x2

3m+2?y2

2m?3

=1的焦点

在x轴上。

(I)若q为真命题，求实数m的取值范围；

(Ⅱ)若“p∧q”为假，且“p∨q”为真，求实数m的取值范围。

3.已知p:?x∈R,cos2x?sinx+2≤m;q:函数y=(1

)2x2?mx+2在[2,+∞)上单调递减，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

4.设命题p:实数x满足x2?3mx+2m2<0命题q:实数x满足(x+2)2<1．

(1)若m=?2且pΛq为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若m<0，并且p是非q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

5.设命题p:关于a的不等式?x∈R，x2?4x+a2>0；命题q:关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+

a?1=0的一根大于零，另一根小于零；命题r:a2?2a+1?m2≥0(m>0)的解集．

(1)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围；

(2)若是?p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

6.已知集合A={x∈R|0

(1)A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由？

(2)若命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

7.设命题p：x2?5x+6≤0；命题q：(x?m)(x?m?2)≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，

求实数m的取值范围．

8.设命题p：“对任意的x∈R，x2?2x>a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2?a=0”.

若p真q假，求实数a的取值范围．

9.已知命题p：1og2(?x2+3x)>1．

(Ⅰ)若p为真命题，求实数x的取值范围；

(Ⅱ)设命题q：|x|<2；若“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．

10.分别写出下列命题的逆命题，否命题与逆否命题，并判断其真假：

原命题：已知x,y∈Z?，若y=x+1，则x=2且y=3．

11.π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p:若aπ+b=cπ+d，则a=c且b=d．(1)写出?p并

判断真假;

(2)写出p的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假．

12.判断下列命题的真假．

(1)命题“在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；

(2)命题“若ab≠0，则a≠0且b≠0”的否命题；

(3)命题“若a≠0，且b≠0，则ab≠0”的逆否命题．

13.已知：p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根；q：方程4x2+4(m?2)x+1=0无实根．若

p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

14.函数f(x)=lnx?a(1?1

)，(a∈R)．

(1)试求f(x)的单调区间；

(2)若a>0，求证：函数f(x)存在唯一零点的充要条件是a=1．

15.设命题p：“若函数f(x)=mx?lnx在区间(1

,1)存在极值”；命题q：“设F1，F2分别为双曲

线x2

m ?y2

=1的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF2|?|PF1|)2>|F1F2|”，若“p且q”

为假，“非q”为假，求实数m的取值范围．

16.已知命题p：k2?8k?20≤0，命题q：方程x2

4?k +y2

k?1

=1表示焦点在x轴上的椭圆．

(1)若命题q为真命题，求实数k的取值范围；

(2)若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．

17.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，AC与BD相交于点O，AB=√2，

AF=1，点M在线段EF上．

(1)若M是线段EF的中点，证明：平面AMD⊥平面BDF；

(2)命题“若M为线段EF的中点，则平面ADM⊥平面BDF”的逆命题是否成立？若成立，给出

证明，否则请举出反例．

18.设命题p：实数x满足x2?4ax+3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足x2?5x+6≤0，

若?p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

19.已知p：x2?x?2≤0，q：x2?mx?6m2≤0(m>0)．

(1)若q是p成立的必要不充分条件，求m的取值范围；

(2)若?p是?q成立的充分不必要条件，求m的取值范围．

20.已知命题p：?x∈[1,2]，x2?a≥0.命题q：?x0∈R，使得x?02+(a?1)x0+1<0.若p或q为

真，p且q为假，求实数a的取值范围．

<0，命题q：实数x满足x2?4ax+3a2<0(a>0)；p是q的充分21.命题p：实数x满足2x?3

x?1

不必要条件，求实数a的取值范围．

22.数列{a n}的前n项和S n，证明S n=n(a1+a n)

的充要条件是{a n}是等差数列

≤0

23.已知p:x2?4ax+3a2<0(a≠0)，q:x?3

x?2

(1)若a=1，“p且q”为假，“p或q”为真，求x的范围；

(2)若?p是的充分而不必要条件，求a的范围。

24.已知命题p:?x∈[1,2],x2?a≥0,命题q:直线l:x+y+a=0与圆C：x2+y2?2x+2y=0

没有公共点.若命题“p∧?q”是真命题，求a的取值范围．

25. 命题p ：函数f (x )=lg (ax 2?x +1

16a)的定义域为R ；命题q ：双曲线x 2

5?y 2

a =1的离心率e ∈(1,2).若“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，求实数a 的取值范围．

26. 已知m ∈R ，命题p ：存在x 0∈[?1,1],使得m ≤(12

)x 0

?1成立；命题q:′′方程x 2

m 2+y 2

2m =1表示焦点在y 轴上的椭圆。′′ (1)若p 为真命题，求m 的取值范围

(2)若p ∧q 为假,p ∨q 为真，求m 的取值范围。

27. 已知命题p ：方程x 2

2m +y 2

8?m 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：椭圆x 2

m 2+3+y

=1(m >0)的离心率e ∈(1

2,1)，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．

28.命题p:方程x2

3m?1+y2

m?3

=1表示焦点在x轴上的双曲线;命题q:若存在x0∈R，使得m?2sinx0=

0成立．

(1)如果命题p是真命题，求实数m的取值范围;

(2)如果“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

29.(1)已知命题p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0)，命题q:实数m满足方程x2

m?1+y2

2?m

=1表

示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(2)设命题p:关于x的不等式a x>1的解集是{x|x<0}；q:函数y=√ax2?x+a的定义域为若p与q一个是真命题，一个是假命题，求实数a的取值范围．

30.已知集合A={x|x2?6x+8<0}，B={x|(x?a)(x?3a)<0}．

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围;

(2)若A∩B=?，求a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)命题P：因为焦点在x轴上

所以0

命题q：因为f(x)在(?∞,+∞)上单调递增，

所以f′(x)=x2?2mx+(4m?3)≥0在(?∞,+∞)上恒成立

所以Δ=(?2m)2?4(4m?3)=4(m2?4m+3)≤0

即1≤m≤3

因为(0,2)?[1,3]

所以命题P是命题q的充分不必要条件．

(2)由题意知：命题P、?q皆为真命题

m<1或m>3

解得0

故实数m的取值范围是(0,1)．

解析：本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质、椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

(1)由题可知，命题P：焦点在x轴，可得0

(2)由题意知，命题P、?q皆为真命题，结合(1)中的m的取值范围，即可求解．

2.答案：解：(Ⅰ)若命题q为真，则{3m+2>0

3?2m>0

3m+2>3?2m

解得1

；

(Ⅱ)若命题p为真，若m=0，y=?x+1，则其在(2,+∞)上单调递减，不符合题意；

若m ≠0，则{

m >012m

≤2，解得m ≥14；若p 真q 假，则{

m ≥

m ≤15或m ≥32，解得m ≥3

2；

若p 假q 真，则{

m <

，解得1

4；

综上所述，实数m 的取值范围．

解析：本题考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，涉及二次函数的性质以及椭圆的概念，属于中档题． (Ⅰ)根据命题q 为真，利用椭圆定义可得到关于的三个不等式方程组，解出即可；

(Ⅱ)当P 为真命题时，m =0时不符合题意；m ≠0，求出范围，分p 真q 假和p 假q 真，分别得到不等式组，解出即可．

3.答案：解：由cos2x ?sinx +2

=?2(sinx +1

4)2+

258

，

当sinx =1时，cos2x ?sinx +2取最小值0，若p 为真命题，则m ≥0，若q 为真命题，则m

4≤2，m ≤8，由题意知，p ，q 中有且只有一个为真命题，若p 真q 假，则m >8；若 p 假q 真，则m <0

综上，实数m 的取值范围为(?∞,0)∪(8,+∞)．

解析：本题考查了复合命题的判断，考查三角函数以及指数函数的性质，是一道中档题．

分别求出p ，q 为真时的m 的范围，通过讨论可知p ，q 一真一假，进而确定m 的范围即可．

4.答案：解：(1)当m =?2时，p ：x 2+6x +8<0，即?4

由(x +2)2<1，得?3

则{x|?4

(2)若m <0，p ：x 2?3mx +2m 2<0，即2m

q ：?3

则{

m <0,

m ≤?3,或{

m <0,

2m ≥?1,

即m ≤?3，或?12≤m <0．

故实数m 的取值范围为．

解析：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，属于中档题．

(1)若m =?2，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)利用p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．

5.答案：解：对于命题p ：Δ=16?4a 2<0，解得

或；

对于命题q ：只需

，解得

；

对于命题r ：关于a 的不等式的解集为

．

(1)若p ∨p 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假，当p 真q 假时，，解得a >2；当p 假q 真时，

，解得?2?a <1，

综上可知，实数a 的取值范围是{a|?2≤a <1或a >2}； (2)若?r 是?p 的必要不充分条件，则?p ??r ，?r ??p ，所以r ?p,p ?r ，

所以{a|a ?1?m 或a ?1+m}是{a|a < ?2或a >2}的真子集，所以{1?m < ?21+m >2，解得m >3，

综上，实数m 的取值范围是(3,+∞)．

解析：本题考查了复合命题的真假判断，充分、必要、充要条件的判断，属于中档题．

(1)求出命题p ，q ，r 为真命题时实数a 的取值范围，若p ∨p 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假，所以分p 真q 假和p 假q 真这两种情况，列不等式组求实数a 的取值范围；

(2)若?r 是?p 的必要不充分条件，则{a|a ?1?m 或a ?1+m}是{a|a < ?2或a >2}的真子集，所以{1?m < ?21+m >2

，由此求出m 的取值范围即可．

6.答案：解：(1)若A =B 显然a =0时不满足题意

当a >0时A ={x|?1a

a }∴{?1

=?1

24a =2?a =2 当a <0时A ={x|4

a ≤x

a }显然A ≠B 故A =B 时，a =2 (2)p ?q 得A ?B 且A ≠B

当a =0时，A =R 不满足．

当a >0时，A ={x|?1

a }则{?1

a ≥?1

24a

<2或{?1

a >?1

≤2

解得a >2

当a <0时，A ={x|4

a ≤x

a }则{4

a >?

2?1a

≤2

?a 2，或a

解析：本题考查集合间的关系，一般化为元素间的关系求解，及命题的真假判断，考查学生计算推理能力，属于中档题

(1)集合相等，转化为元素间的相等关系求解 (2)p ?q 得A ?B 且A ≠B ，转化为集合的关系求解．

7.答案：解：命题p ：x 2?5x +6≤0，解得2≤x ≤3；

命题q ：(x ?m)(x ?m ?2)≤0，解得m ≤x ≤m +2． ∵￢p 是￢q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件． ∴{

m ≤2

m +2>3

，或{m <2m +2≥3，

解得1≤m ≤2．

∴实数m 的取值范围是[1,2]．

解析：本题考查一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

利用一元二次不等式的解法分别解出命题p 与命题q 的x 的取值范围．

由￢p 是￢q 的必要不充分条件，可得p 是q 的充分不必要条件，即可得出m 的取值范围．

8.答案：解：命题p ：对任意的x ∈R ，x 2?2x >a ，∴x 2?2x 的最小值大于a ；

x 2?2x 的最小值为：?1； ∴?1>a ，即a

命题q ：存在x ∈R ，使x 2+2ax +2?a =0；即方程x 2+2ax +2?a =0有实根；

∴△=4a 2?4(2?a)≥0，解得a ≤?2，或a ≥1；

∴若p 真q 假：{a

，解得?2