概率论与数理统计试卷4及答案
概率论与数理统计试
卷
一、是非题（共 分，每题 分）
．设A B C 为随机事件，则A 与C B A ??是互不相容的 （ ）
．
)
(x F 是正态随机变量的分布函数，则
)(1)(x F x F -≠- （ ）
．若随机变量X 与Y 独立，它们取 与1-的概率均为5.0，则
Y X = （ ）
?．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布 （ ）
?? 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2
μ的无偏估计
（ ）
?．在给定的置信度α-1下，被估参数的置信区间不一定惟一 （ ）
?．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的 （ ）
二、选择题（ ?分，每题 分）
（ ）设A B ?，则下面正确的等式是 。
（ａ）)(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()()(A P B P A B P -=-；
（ｃ）)()|(B P A B P =； （ｄ）)()|(A P B A P = （ ）离散型随机变量X 的概率分布为k
A k X P λ==)(? ,2,1=k ?的充要条件是 。
（ａ）1
)1(-+=A λ且0>A ； （ｂ）λ-=1A 且10<<λ； （ｃ）11
-=-λ
A 且1<λ； （ｄ）0>A 且10<<λ
（ ）设10个电子管的寿命i X ?10~1=i ?独立同分布，且A X D i =)(?10~1=i ?，
则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D
（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10
（ ）设),,,(21n X X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2
S 为样本方
差，则有 。
（ａ）)1,0(~N X ； （ｂ）)1,0(~N X n ； （
ｃ
）
)
1(~/-n t S X ； （ｄ）
)1,1(~/)1(2
22
1
--∑=n F X X n n
i i
（ ）设),,,(21n X X X 为总体),(2
σμN ?μ已知?的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2
σ的下列估计量中，为无偏估计量的是 。
（ａ）∑=-=n i i X X n 121
)(1σ； （ｂ）∑=--=n i i X X n 1
22
2)(11σ； （ｃ）∑=-=n i i X n 123
)(1μσ； （ｄ）∑=--=n i i
X n 1
2
24)(11μσ
三、填空题（ ?分，每题 分）
（ ）设随机事件A B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P
（ ）设随机变量X 服从（ ?，２）上的均匀分布，则随机变量2
X Y =的概率密度函数
为=)(y f Y
（ ）设随机变量)0;3,1;2,0(~),(2
2
N Y X ，则概率)12(≥-Y X P ＝ ?
（ ）设随机变量),(Y X 的联合分布律为
),(Y X )0,1( )1,1( )0,2( )1,2(
P 4.0 2.0 a b
若8.0)(=XY E ，则=),cov(Y X
（ ）设（621,,,X X X ）是来自正态分布)1,0(N 的样本，
26
4
2
31
)()(∑∑==+=i i i i X X Y
当c ＝ 时， cY 服从2χ分布，)(2
χE ＝
（ ）设某种清漆干燥时间),(~2
σμN X （单位：小时），取9=n 的样本，得样本均值和
方差分别为33.0,62
==S X ，则μ的置信度为 ??的单侧置信区间上限为：
四、计算与应用题（ ?分，每题 分）
? 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装 ?个纸箱，其中 箱民用口罩、
箱医用口罩、 箱消毒棉花 到目的地时发现丢失 箱，不知丢失哪一箱 现从剩下 箱中任意打开 箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率
? 设随机变量(,)X Y 的联合密度函数
??
?<<<=他
其
,20),(x
y x A
y x f
求 ??? 常数? ? ??? 条件密度函数)(x y f X
Y
???
讨论X 与Y 的相关性
．设随机变量)1,0(~U X ?均匀分布?，)1(~E Y ?指数分布?，且它
们相互独立，试求Y X Z -=2的密度函数)(z f Z
?某彩电公司每月生产 ?万台背投彩电，次品率为
?????? 检验时每台次品未被查出的概率为 ???? 试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过 台的概率
．设总体X 的概率分布列为：
X ? ? ? ? P ? ? ??? ?? ?
?
其中p ?2/10<
．某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为
???? ???? ???? ? ??
设数据服从正态分布),(2
σμN ，以5α= ? 的水平作如下检验：
??? 这些结果是否符合于公布的数字 ??? ？??? 测定值的标准差是否不超过 ？
须详细写出检验过程
五、证明题（ 分）
设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为 的泊松?????????分布，证明X Y +仍服从泊松分布，参数为 ? 附表：
标准正态分布数值表 2χ分布数值表 ?分布数值表
6554.0)4.0(=Φ 815.7)3(2
05.0=χ 1824.3)3(025.0=t 950.0)645.1(=Φ 348.9)3(2025.0=χ 3534.2)3(05.0=t 975.0)960.1(=Φ 448.9)4(205.0=χ 8595.1)8(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 143.11)4(2025.0=χ 306.2)8(025.0=t
概率统计试卷???
解析
?????????
一 是非题
是 是 非 非 是 是 是 ? ? 二 选择题
（ｂ）（ａ）（ｂ）（ｄ）（ｃ）
三 填空题（ ?分，每题 分）? 方括弧内为 卷答案 ?
? ?? ? ?? ??
?<<=他
其0
40)4/(1)(y y y f Y
? ?????? ? ?? ??? ? ?? ??? ? ? ? ?? 上限为 ????? ?
四 计算与应用题
? A 任取 箱都是民用口罩，
k B 丢失的一箱为 3,2,1=k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花
368
5110321)()()(29252925292
43
1
=
?+?+?==∑=C C C C C C B A P B P A P k k k
.8
3
368363)(/21)(/)()()(292
4111=÷=?==A P C C A P B A P B P A B P
? ???
.4/1=A
?２? ??
???<<===
??
-∞
∞
-他其02
02/)4/1(),()(x x dy dy y x f x f x x X
当20< ?<<-==他 其0 ) 2/(1)(),()(x y x x x f y x f x y f X X Y ?３? ? ==2 2,3/4)2/()(dx x X E ??==-2 ,0)4/()(x x dy y dx Y E ? ?== -2 ,0)4/()(x x dy y xdx XY E 0)()()(),cos(=-=Y E X E XY E Y X 所以X 与Y 不相关 ? ???<<=他其01 01)(x x f X ?? ?<≥=-0 )(y y e y f y Y ? ∞ ∞ --=dx z x f x f z f Y X Z )2()()( ?? ?>-<<0210z x x ???>< 0z x x ?得 轴上的分界点０与２ ??? ????≥<<-=≤-==??------2 0202 /)1(0 2 /)1()(12/2) 2(10 2)2(z z e dx e z e e dx e z f z z x z z x z Z ? 设 ?? ?=他 其出 台彩电为次品且未被查第0 1i X i 5102~1?=i 6105)(-?=i X E )1051(105)(66--?-?=i X D 经检验后的次品数 ∑?== 5 1021 i i X Y ，1)(=Y E ，6 1051)(-?-=Y D ， 由中心极限定理，近似地有 )1051,1(~6 -?-N Y .0228.0)2(110 511 31)3(1)3(6 =Φ-≈??? ? ???--Φ-≈≤-=>-Y P Y P ? ??? 28/168 1 ===∑=i i X X ， 令 X p X E =-=43)(， 得 p 的矩估计为 4/14/)3(?=-=X p ??? 似然函数为 428 1 )]3()[2()]1()[0()()(=======∏=X P X P X P X P x X P p L i i 42)21()1(4p p p --= )21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln p p p p L -+-++= 令 0218126])(ln [=----= 'p p p p L ， 0314122 =+-?p p 12/)137(±=?p 由 2/10< 所 以 p 的极大似然估计值为 .2828.012/)137(?=-=p ? 由 样 本 得 1267 =X ， 65.33/40)(3141 2==-=∑=i i X X S ??? 要 检 验 的 假 设 为 1260:,1260:10≠=μμH H ? 检 验 用 的 统 计 量 ) 1(~/0--= n t n S X T μ， 拒绝域为 1824.3)3()1(025.02 ==-≥t n t T α 1824.3836.34 /65.3126012670>=-= T ，落在拒绝域内， 故拒绝原假设0H ，即不能认为结果符合公布的数字 ??? ? ??? 要 检 验 的 假 设 为 2:,2:10>≤σσH H 检 验 用 的 统 计 量 ) 1(~)1(22 2 2 --= n S n χσ χ， 拒 绝 域 为 815.7)3()1(2 05.022==->χχχαn 815.7104/4020>==χ 落在拒绝域内， 故拒绝原假设0H ，即不能认为测定值的标准差不超过 ? 五、 证明题 ??分? 由题设 3!3)(-==e m m X P m ，3 ! 3)(-==e n n Y P n ， ,2,1,0,=m n ∑∑==-===-====+i k i k k i Y P k X P k i Y k X P i Y X P 0 )()(),()( ∑∑=--=---?-=-?=i k k i k i k k i k k i k i i e e k i e k 0603333!)(!!!1!)(3!3 66 ! 6)33(!1--=+=e i i e i i ， ,2,1,0=i 所 以 Y X +仍服从泊松分布，参数为 ?