图形的变换⑵平移、旋转、翻折(含答案)
第25课时 图形的变换⑵平移、旋转、翻折
【基础知识梳理】
1．平移 在平面内，将一个图形沿着某个 移动一定的 ，这样的图形运动称作平移；平移不改变图形的 和 .
2.平移的特征
平移前后的两个图形对应点连线 且 ,对应线段 且 ，对应角 .
3.旋转
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向 一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转．这个定点称为 ,转动的角称为 .
４．旋转的基本性质
⑴旋转不改变图形的 和 .
⑵图形上的每一点都绕 沿 转动了相同的角度.
(3）任意一对对应点与 的连线所成的角度都是旋转角．
(4）对应点到旋转中心的距离 .
【基础诊断】
1、如图，△DEＦ经过怎样的平移得到△AＢC （ ）
A.把△DEF 向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B ．把△DEF 向右平移4个单位,再向下平移2个单位
C ．把△DEF 向右平移４个单位,再向上平移2个单位
Ｄ.把△DEF 向左平移4个单位,再向上平移2个单位
2、如图,△AOB 是正三角形，O Ｃ⊥OB，O Ｃ＝OB ，将△AOＢ绕点O 按逆时针方向
旋转,使得ＯA 与ＯC 重合,得到△OＣD,则旋转角度是( ）
A ．150o B.120o C.90o D.6０o
３、如图：△AＢC 的周长为3０ｃm ，把△ABC 的边AC 对折,使顶点C 和点A 重合,折痕交BC 边于点Ｄ，交AC 边与点E,连接A Ｄ，若AE=４cm ，则△ABＤ的周长是（ ）
A. 2２cm
B.2０cm
C. 18ｃm
D.１5ｃm
【精典例题】
例1、如图,将等腰直角△AＢC 沿BC 方向平移得到△Ａ1Ｂ1C 1.若ＢC ＝３错误!,△ABＣ与△A 1B 1C 1重叠部分
面积为
2，则ＢB 1= ． 【点拨】∵△ＡBC 与△A １B 1C 1重叠部分面积为2，则由三角形面积公式可知，重叠部分小三角形的直角边长为2,从而由勾股定理得B １C=２2，则BB 1=ＢC －Ｂ1Ｃ＝2。
例２、如图，点O 是矩形ＡB ＣD 的中心，E 是AB 上的点,沿CE 折叠后,点B 恰好与点O 重合,若BC ＝3，则
第1题图 第2题图 第3题图 例1图
第1题图 折痕CE 的长为( ） A 、23 ?B 、332
C 、3?
D 、6 例3、已知正方形ABCD 中,
E 为对角线ＢＤ上一点,过E 点作E Ｆ⊥ＢD 交ＢC 于
F ，连接DF ，Ｇ为D Ｆ中点，连接ＥＧ，C Ｇ.
（1)求证：EG =ＣG ;
（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转4５o,如图②所示，取ＤF 中点G ,连接EG ，ＣG .
问(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立，请说明理由。
（3)将图①中△B ＥF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)。
点拨：在平面几何证明题.计算题中，多出现旋转地条件,让图形动起来。 【自测训练】A —基础训练 １、如图,将△A Ｂ
C 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′Ｃ′．若∠A=４0°.∠B ′=1１0°，则∠B ＣA ′的度数是（ ) A. 110° Ｂ．
80° C. 40° D. ３0°
2、如图:矩形ABCD 的对角线AC=10,ＢＣ=８,则图中五个小矩形的周长之和为( )
Ａ、14 B 、16 C 、20 Ｄ、２８
3、如图，在矩形ABCD 中,点E 在ＡＢ边上,沿CE 折叠矩形AB ＣD,使点B 落在AD 边上的点Ｆ处,若AB=4,BC=5,则tan∠AＦE 的值为( )
A.
43 Ｂ.35 C ．34? D.45
4、如图所示，已知在三角形纸片ＡBC 中,BC ＝3,AB=6，∠BＣＡ＝90°．在AC 上取一点E,以BE 为折痕,使AB 的一部分与ＢC 重合，Ａ与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为（ ）
A 、６??
B 、3
C 、23
D 、3 5、如图,在方格纸中,△ＡB Ｃ经过变换得到△ＤEF,正确的变换是（ ）
A. 把△A ＢC 绕点C 逆时针方向旋转９0°,再向下平移２格
B. 把△A ＢC 绕点C 顺时针方向旋转９0°,再向下平移5格
Ｃ. 把△ABC 向下平移4格 ，再绕点Ｃ逆时针方向旋转180°
F B A D C E
G 例3图① D
F B A D C E
G 例3图② F B A C
E 例3图③ 第2题图 第4题图
第3题图
D. 把△ABC 向下平移５格 ，再绕点Ｃ顺时针方向旋转1８0°
二、填空题
6、如图，在平面直角坐标系中,将△AＢＣ绕A 点逆时针旋转9０°后，B
点对应点的坐标为 . 7、点D 、Ｅ分别在等边△ＡBC 的边ＡB 、BC 上,将△BＤE 沿直线DE 翻折,使点B 落在B 1处，DB 1、ＥＢ1分
别交
边AC 于点F 、G ．若∠AＤF=80o,则∠CGE＝ ．
８、如图,EF 是△AＢC 的中位线,将△AEＦ沿ＡB 方向平移到△ＥBD 的位置,点D 在BC 上,已知△ＡEF 的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ． ９、将点P(-2,1）先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P /,则点P ／的坐标为 ． 10、两块大小一样斜边为4且含有３0°角的三角板如图５水平放置.将△CDE 绕C 点按逆时针方向旋转, 当E 点恰好落在A Ｂ上时，△ＣDE 旋转了 度.
三、解答题
11、方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt △ＡBC 的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(－4,1），点B 的坐标为（－1,1).
(1)先将Rt △A ＢC 向右平移５个单位,再向下平移１个单位后得到Rt △A 1B 1C １.试在图中画出图形Ｒt △A １B １Ｃ1.,并写出A 1的坐标
(2）将Rt △A 1Ｂ1C １.,绕点A 1顺时针旋转90°后得到Rt △A 2B 2C 2，试在图中画出图形
Rt △A ２B 2C 2,并计算Rt △Ａ1B 1C 1在上述旋转过程中C 1．所经过的路程.
1２、如图,在直角三角形ＡBC 中，∠AＣB=90°，AC=BC=10,将△ABC
绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1ＢC 1．
（1)线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA １的度数是 ．
（２)连接C Ｃ1，求证：四边形C ＢA 1C 1是平行四边形.
1３、如图,P 是矩形ABCD 下方一点，将△PＣＤ绕Ｐ点顺时针
A O B
C y x 1 2 4 5
5 4 3 2 1 第6题图 第7题图 D F E A
B C
第8题图
旋转60°后恰好D 点与A 点重合，得到△ＰEA,连接EB,问△ＡBE 是什么特殊
三角形?请说明理由.
B 提升训练
一、选择题
1、如图,有一块矩形纸片ＡＢCD ，A Ｂ＝8，AD=6.将纸片折叠,使得ＡD 边落在AB 边上，折痕为ＡE,再将△AE Ｄ沿DE 向右翻折，AE 与B Ｃ的交点为F ，则CF 的长为（ ）
A 、6 ?
B 、４ ?
C 、2
D 、1
2、如图,若正方形EFGH 由正方形ABCD 绕某点旋转得到,则可以作为旋转中心的是( )
A. Ｍ或Ｏ或Ｎ?B ． E 或Ｏ或C Ｃ. E 或O 或Ｎ D. M 或O 或C
３、如图.在直角坐标系中,矩形ABC Ｏ的边ＯＡ在ｘ轴上，边ＯC 在y 轴上，点B 的坐标为（１，3），将矩形沿对角线AC 翻折,B 点落在Ｄ点的位置，且AD 交y 轴于点E.那么点Ｄ的坐标为
A 、412()55-，
B 、213()55-， Ｃ、113()25-， D 、312()55
-，?4、如图，在正方形纸片AB ＣD 中,E ，F 分别是AD,BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点Ｃ落在EF 上,落点为Ｎ，折痕交CD 边于点M,BM 与EF 交于点P ，再展开.则下列结论中：①CM=ＤＭ;②∠AＢN=30°;③ＡＢ2=3CM 2;④△PMＮ是等边三角形．正确的有（ )
Ａ、1个?? Ｂ、２个 ?C 、３个? Ｄ、4个
5、如图,将边长为2的正方形A ＢCD 沿对角线AC 平移,使点A 移至线段AC 的中点A′处,得新正方形A′
Ｂ′Ｃ′D′，新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是（ ） Ａ.2 B.12 C.1 Ｄ．14 ６、两个全等的梯形纸片如图(1）摆放，将梯形纸片ＡBCD 沿上底A Ｄ方向向右平移得到图(2).已知AD=4，BC ＝8,若阴影部分的面积是四边形A′B′CＤ的面积的错误!，则图（2)中平移距离A′Ａ= .
7、如图1,两个等边△ABD，△ＣＢD 的边长均为１，将△ＡＢＤ沿ＡC 方向向右平移到△A’B’D’的位置,得到图2,则阴影部分的周长为 .
8、如图,在△ABC 中,AB ＝BC,将△ABＣ绕点B 顺时针旋转α度，得到△Ａ１BC 1，Ａ１Ｂ 交A Ｃ于点E,A 1C 1 第2题图 （第10题）P N F E D C A B M
第4题图
图
第5题图 第6题图 第7题图 第3题图
分别交AＣ、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α,②Ａ１E＝CF，③DF=FC，④Ａ1D =CE,⑤Ａ1F=CE.
其中正确的是 (写出正确结论的序号).
9、图,△ABC中,∠ACB=９０°,∠A＝3０°,将△AＢC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜9０°）得到△DEC,设CD交ＡB于F，连接AD,当旋转角α度数为，△AＤＦ是等腰三角形。
10、如图，在Ｒt△AＢＣ中，∠ABＣ=９0°，∠ＡCB＝30°,将△ABＣ绕点A按逆时针方向旋转1５°后得到△AB1C1，Ｂ1C1交AＣ于点D,如果AＤ=22,则△ABC的周长等于 .
１１、如图1,O为正方形ABCＤ的中心，分别延长OA、OＤ到点Ｆ、Ｅ,使OF＝2ＯA,ＯE=２OD，连接EF．将△EOＦ绕点O逆时针旋转α角得到△E１OF1(如图2).
（1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
(2)当α＝30°时，求证:△AOE1为直角三角形．
12、如图,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A，B重合）,
连接PD并将线段PD绕点Ｐ顺时针方向旋转90°得到线段PＥ,PＥ交边BＣ于点Ｆ,连接BE，DF.
（1）求证:∠ADＰ＝∠EＰＢ;
（2)求∠ＣBE的度数;
（3）当
AP
AB
的值等于多少时,△ＰFＤ∽△ＢFＰ？并说明理由．
13、在Rt△ABC中,ＡB＝BＣ=５,∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点Ｏ处，将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图(1)与(2）是旋转三角板所得图形的两种情况.
(1)三角板绕点Ｏ旋转，△ＯFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况(即给出△OＦＣ是等腰直角三角形时ＢＦ的长)，若不能,请说明理由；
（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图（1)或(2)加以证明;
(3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图（3）)，当AＰ:AC=1:4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论.
第２５课时图形的变换⑵平移、旋转、翻折答案
【自测训练】A—基础训练
一、选择题
第8题图
B
A
C
D
E
F
）α30°（
第9题图第10题图
1、Ｂ
2、D ３、C 4、 Ｃ 5、B
二、填空题
６、(0,2) ７、80０
8、１０ 9、(-３,3) 10、３0
三、解答题
11、 解：（1）画出Rt △A 1Ｂ1C 1．的图形；A １的坐标为（1,0)
（2)画出Ｒt △A 2B 2C ２.的图形;
A 1C 1=222313=+=
C 1.所经过的路经为： 9013π?=13π. １2、 （1)10；135°。(2)证明：∵∠A １C 1B ＝∠C 1ＢＣ=９0°,∴A 1C 1∥BC．
又∵A 1C 1=AC=BC,∴四边形CBA 1Ｃ1是平行四边形。
13、△ABE 是等边三角形。理由如下：
∵△PCＤ绕点P 顺时针旋转60°得到△ＰＥA,P Ｄ的对应边是P Ａ,ＣＤ的对应边是E Ａ，线段ＰＤ旋转到ＰA ，旋转的角度是60°，
∴PＤ=PA ，C Ｄ=E Ａ，∠APD＝６0°。
∴△PAD 是等边三角形。∴∠DAP=∠PDA=６0°。∴∠PDC=∠PAE=３0°，∠DＡE=30°。 ∴∠PAB＝30°，即∠ＢＡE ＝６０°
又∵ＣＤ=A Ｂ=ＥA,∴△ABE 是等边三角形。
B 提升训练
一、选择题
1、Ｃ
2、A
3、A
4、Ｃ
5、B
二、填空题
6、3
7、２
8、①②⑤ ９、 40°或20° 10、623+
三、解答题
11、解:(1)AE 1=BF １,证明如下:
∵O 为正方形ＡBCD 的中心,∴OA＝OB ＝ＯＤ。∴OＥ=OF 。
∵△E 1ＯF 1是△EOF 绕点Ｏ逆时针旋转α角得到,∴OE 1=ＯF 1。
∵ ∠AOB＝∠EOF=900, ∴ ∠Ｅ1OA ＝９00
-∠Ｆ１O Ａ=∠Ｆ1ＯB 。
在△E 1OA 和△Ｆ1OB 中，1111OE OF E OA FOB O A OB
??∠∠???＝＝＝，∴△Ｅ1OA≌△Ｆ１O Ｂ（S ＡS ）。 ∴ AE １＝ＢF １。
(2)取OE 1中点Ｇ，连接ＡＧ。
∵∠AOD=9０0,α=30° , ∴ ∠E １ＯA=９0０－α=60°。
∵ＯE 1=2O Ａ,∴ＯA=OG ，∴ ∠Ｅ1OA=∠ＡGO ＝∠ＯAG ＝60°。
∴ AG=GE 1，∴∠GAE 1=∠GE 1A=30°。∴ ∠Ｅ1A Ｏ=９０°。
∴△ＡOE 1为直角三角形。
12、解:（1）证明:∵四边形ＡBCD 是正方形,∴∠Ａ=∠PＢＣ=90°,AB=AD，∴∠ADP+∠ＡPD=90°。
∵∠ＤPE ＝90°，∴∠ＡPD+∠EＰB=９0°。∴∠ＡＤP ＝∠EPB。
（2)过点E 作EG⊥AB 交AB 的延长线于点Ｇ,则∠EＧP ＝∠A=90°,
又∵∠ADＰ=∠EＰB ，ＰD=PE,∴△ＰＡD≌△EGＰ(AA Ｓ）。
∴EG=ＡP ，AD=AB=PG,∴ＡP ＝EG=BG 。∴∠CＢE=∠EBG=４5°。
(3)当AP 1AB 2=时,△PFD∽△BFP。理由如下： 设A Ｄ=AB=a ，则AP=PB ＝12a ,∴ＢF ＝BP?AP 1AB 4
a =。 ∴ＰD=225AD +AP 2a =,,PF=225PB +BF 4a =。 ∴PB 5PD PF BF ==。 又∠ＤPF=∠ＰＢF ＝90°,∴△PＦD∽△BＦP 。
13、解:(１）△OFC 能成为等腰直角三角形。
①当Ｆ为ＢＣ的中点时,∵O 点为AC 的中点，∴ＯＦ∥AB。∴CF=OF＝
52。 ∵AB＝BC=5,∴BＦ=52
。 ②当B 与F 重合时，∵OF=ＯC=52
，∴BF=0。 (２)ＯＥ=OF 。以图（1)证明如下:
如图,连接OB ，
∵由（1）的结论可知，BO ＝O Ｃ＝
52， ∵∠EOB=9０0-∠BOＦ ＝∠FOC,∠EＢＯ=450=∠C,
∴△ＯE Ｂ≌△OFＣ（AS Ａ)。∴OE=OF。
(3)P Ｅ：P Ｆ=1：4。证明如下:
如图,过点P作PM⊥AB,PＮ⊥BC，
∵∠ＥPM＋∠EＰN=∠EPN+∠FPN=9０°,
∴∠EPM＝∠ＦPN。
∵∠FＭP=∠ＦNP=90°,∴△ＰＮF∽△PME。
∴PM：PＮ=PE:ＰF。
∵△ＡPM和△PNC为等腰三角形，∴△ＡＰM∽△PNC，
∴PＭ：ＰＮ=AP：PC。
∵PA:AC=1:4，∴ＰE：ＰF=1：4。
--