外接球体积,表面积
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案：8.3 第2课时 球的体积和表面积 Word版含答案
第2课时 球的体积和表面积问题导学预习教材 P117－P119 的内容，思考以下问题： 1．球的表面积公式是什么？ 2．球的体积公式什么？1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R3S .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√半径为 3 的球的体积是( ) A ．9π B ．81π C ．27πD ．36π解析：选 D. V ＝43π×33＝36π.若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8πD ．4π解析：选 D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π.把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2 倍 B ．22倍 C.2倍D.32倍解析：选 B ．设原球的半径为 R ，表面积扩大 2 倍，则半径扩大2倍，体积扩大 22倍．如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．解析：设小球半径为 1，则大球的表面积 S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.答案：95球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【解析】 (1)设球的半径为R ，则由已知得V ＝43πR 3＝32π3，解得R ＝2.所以球的表面积S ＝4πR 2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ， 故78×43πr 3＝283π， 所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A.【答案】 (1)B (2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 解析：设此球的半径为 R ，则 4πR 2＝43πR 3，R ＝3.答案：32．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积和为 43πR 3＋43πr 3＝364π3.答案：364π3球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)．【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π解析：选B.如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. 所以OM ＝（2）2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. 所以V ＝43π(3)3＝43π.与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3B.2π3C.3π2 D.π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二 球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14， 所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】 14π角度三 球的内接正四面体问题若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积． 【解】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意 2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， 所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四 球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】 ①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r ，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r 2－⎝⎛⎭⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为 13×π×⎝⎛⎭⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332. 【答案】932或332角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R ＝62a .一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内接于⊙O ，而⊙O 1内切于△SAB .设⊙O 的半径为R ， 则有43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9. 所以SE ＝2R ＝18.因为SD ＝16，所以ED ＝2. 连接AE ，又因为SE 是直径，所以SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288， 所以SA ＝12 2. 因为AB ⊥SD ，所以AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝4 2.所以S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，因为△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322， 所以12r ×322＝12×82×16.所以r ＝4.所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36πD ．144π，144π解析：选 B ．球的半径为 3，表面积 S ＝4π·32＝36π，体积 V ＝43π·33＝36π.2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.6π6 B.π2C.2π2D.3π2π解析：选 A ．设正方体棱长为 a ，球半径为 R ，由 6a 2＝4πR 2 得aR ＝2π3，所以V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝ ⎛⎭⎪⎫2π33＝6π6. 3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________． 解析：设球 O 的半径为 r ，则43πr 3＝23，解得 r ＝36π.答案：36π5．已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为 O ，连接 O ′A ，OA ，OO ′， 设球的半径为 R .因为O ′A ＝23×32×2＝233.在 Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2， 所以 R 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋14R 2，所以 R ＝43，所以 S 球＝4πR 2＝649π.[A 基础达标]1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ， 则⎝⎛⎭⎫43πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S 的值是( ) A ．4π B ．32 C ．24D ．12π解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a ，由题意知球的半径为2，则3a 2＝16，所以a 2＝163，正方体的表面积S ＝6a 2＝6×163＝32. 3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3B.8π3 C ．82πD.82π3解析：选D.设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1， 由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2， 所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D.4．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A.r h2B.r 2h 4C. 3r 2h 4D.r 2h 2解析：选C.设铁球的半径为 R ，因为13πr 2h ＝43πR 3，所以R ＝ 3r 2h4.5．已知A ，B 是球O 的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．当三棱锥O -ABC 的体积取得最大值时，则过A ，B ，C 三点的截面的面积为 ( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．36π解析：选A.因为O 为球心，∠AOB ＝90°，所以截面AOB 为球大圆，所以当动点C 满足OC ⊥平面OAB 时， 三棱锥O -ABC 的体积最大， 此时，OA ＝OB ＝OC ＝R ＝3， 则AB ＝AC ＝BC ＝32，所以截面ABC 的圆心O ′为△ABC 的中心，所以圆O ′的半径r ＝O ′C ＝32×33＝6， 所以截面ABC 的面积为π×(6)2＝6π，故选A.6．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．解析：球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为32＋42＋52＝52，外接球的半径为522.外接球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫5222＝50π.答案：50π7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1S 2＝________．解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S 1＝6π，S 2＝4π.所以S 1S 2＝6π4π＝32.答案：328.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．解：如图，在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE ，AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，所以BE ＝6，在Rt △BEE 1中，BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23，所以2R ＝23，则R ＝3，所以球的体积V 球＝43πR 3＝43π， 球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.[B 能力提升]11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球＜S 圆柱＜S 正方体B ．S 正方体＜S 球＜S 圆柱C ．S 圆柱＜S 球＜S 正方体D ．S 球＜S 正方体＜S 圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r ，球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝⎛⎭⎫R r 3＝32，⎝⎛⎭⎫a r 3＝2π， S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝⎛⎭⎫R r 2＝ 323＜1， S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝⎛⎭⎫a r 2＝ 34π＞1.故选A. 12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3 解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43πr 3＝323π，得r ＝2.由S 柱底＝12a ×r ×3＝34a 2，得a ＝23r ＝43，所以V 柱＝S 柱底·2r ＝48 3.13．如图，ABCD 是正方形，BD ︵是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB为轴旋转一周，则图中 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积之比为________．解析：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球．设正方形的边长为 a ，则Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积分别为 V Ⅰ、V Ⅱ、V Ⅲ，则 V Ⅰ＝13πa 3，V Ⅱ＝43πa 3÷2－13πa 3＝13πa 3，V Ⅲ＝πa 3－43πa 3÷2＝13πa 3. 所以三部分所得旋转体的体积之比为 1∶1∶1.答案： 1∶1∶114．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x ，对角线长为2，截面的面积为A .(1)求面积A 以x 为自变量的函数关系式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值．解：(1)横截面如图长方形所示，由题意得A ＝x ·4－x 2(0<x <2)．(2)V ＝1·x 4－x 2＝－（x 2－2）2＋4，由上述知0<x <2，所以当x ＝2时，V max ＝2.即截得棱柱的体积的最大值为2.[C 拓展探究] 15．如图是某几何体的三视图．(1)求该几何体外接球的体积；(2)求该几何体内切球的半径．解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，以DC ，DB ，DA 为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R ＝1222＋22＋12＝32， 所以该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝92π. (2)设内切球的球心为O ，半径为r ，则V A BCD ＝V O ADB ＋V O ADC ＋V O DCB ＋V O ABC .即13×12×2×2×1 ＝13×12×2×2r ＋13×12×2×r ＋13×12×2×r ＋13×12×22×3r ， 得r ＝24＋6＝4－65. 所以该几何体内切球的半径为4－65.。
内接球外接球计算公式
内接球外接球计算公式在几何学中，内接球和外接球是指一个球与一个多边形相切的情况。
内接球是指一个球与多边形的内部相切，而外接球是指一个球与多边形的外部相切。
在本文中，我们将讨论如何计算内接球和外接球的体积和表面积。
首先，让我们来看看如何计算内接球的体积和表面积。
假设我们有一个正多边形，其边长为a，我们希望找到一个内接球的体积和表面积。
内接球的半径可以通过多边形的边长来计算。
假设内接球的半径为r，则有r = a/2√(2-2cos(2π/n))，其中n为多边形的边数。
内接球的体积可以通过公式V = (4/3)πr^3来计算。
将r代入公式中，我们可以得到内接球的体积。
而内接球的表面积可以通过公式S = 4πr^2来计算。
同样将r代入公式中，我们可以得到内接球的表面积。
接下来，让我们来看看如何计算外接球的体积和表面积。
假设我们有一个正多边形，其边长为a，我们希望找到一个外接球的体积和表面积。
外接球的半径可以通过多边形的边长来计算。
假设外接球的半径为R，则有R = a/2/sin(π/n)，其中n为多边形的边数。
外接球的体积可以通过公式V = (4/3)πR^3来计算。
将R代入公式中，我们可以得到外接球的体积。
而外接球的表面积可以通过公式S = 4πR^2来计算。
同样将R代入公式中，我们可以得到外接球的表面积。
通过以上计算公式，我们可以很容易地计算出内接球和外接球的体积和表面积。
这些公式对于工程和科学领域都有着重要的应用，特别是在计算多边形的内接球和外接球的性质时。
通过这些公式，我们可以更好地理解多边形和球的关系，从而更好地应用它们在实际问题中。
在实际应用中，我们可以通过这些公式来计算建筑物或其他结构中的内接球和外接球的体积和表面积。
这些计算可以帮助我们更好地设计和规划建筑物，从而确保其结构的稳定性和安全性。
同时，这些公式也可以帮助我们在科学研究中更好地理解多边形和球的性质，从而推动科学的发展。
总之，内接球和外接球的计算公式在几何学中具有重要的意义。
几何体外接球表面积及体积的求法有答案
几何体外接球表面积及体积的求法答案1.D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论．【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3，高为4的圆柱体，所以该圆柱体的表面积为S1=2π×32+2π×3×8=66π；根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足（2R）2=62+82=100，所以外接球的表面积为S2=4πR2=100π；所以剩余几何体的表面积是S=S1+S2=66π+100π=166π．故选：D．【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切关系，球的表面积计算问题，是基础题目．2.D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．3.C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的半径即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E，过点A，B，C，D，S的球的球心为O，半径为R，则在直角三角形AEO中，AO=R，AE=BD=4，OE=SE﹣AO=8﹣R由AO2=AE2+OE2得R2=42+（8﹣R）2，解得R=5球半径R=5，故选C．【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．4.D考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．5.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．6.C【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．7.B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．8.B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．9.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．10.B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π故选：B．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．11.D12.考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12.A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．14.12π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为： =．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．15.【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比．【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键．16.16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．17.36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．18.；。
球的内切和外接
面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体 积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体 体对角线长为 14，故球的表面积为 14 . 变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
常见几何体的内切、外接球
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
图3 图4 图5
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 多面体的内切球 。 棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。
①若球为正方体 的外接球
2R 3a
若球为正方体的内切球， 2R=a 则
③若球与正方 则
体的各棱相切，
2R 2a
知识拓展 1.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球
2R 3a
2R 2a
②若球为正方体的内切球，则 2R=a ③若球与正方体的各棱相切，则
3
练习 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长 都为 2 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上， 则此球的体积为 .
D
S
C O1 B
立体几何中的球体
解析
解析
随堂练习
三棱锥P ABC的四个顶点均在同一球面上， 其中△ABC是正三角形，PA 平面ABC，
PA 2AB 6，则该球的表面积为
解析
随堂练习
在体积为4 的三棱锥S ABC中，AB BC 2, 3
ABC 90，SA SC，且平面SAC 平面ABC， 若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该
外接球的表面积与体积
“接”的处理：把一个多面体的定点放在球面上即球外接于该多 面体。解决这类问题的关键是抓住外接圆的特点，即球心到多 面体的顶点的距离等于球的半径，并且对已知空间体进行“补 形”处理后求解。
外接球的表面积与体积
(1)长方体的外接球：球心是对角线的交点；半径是r a2 b2 c2 (a，b，c为长方体的长宽高) 2
空间几何中的球体
球的体积与表面积
以半圆的直径所 在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周 形成的旋转体 球 空间中到定点的 距离等于定长的 点的集合（轨迹） 叫球面，简称球
表面积 S球面＝4πR2， R为球的半径
体积
V＝43πR3
常见题型
① 直接求解球的体积与表面积 ② 外接球的体积与表面积 ③ 内切球的表面积与体积 ④ 球的表面积与体积的最值
(2)正方体的外接球：球心是正方体的中心，半径r 3 a(a为正方体的棱长)； 2
(3)正四面体的外接球：球心是正正四面体的中心，半径r 6 a(a为正四面体的棱长)； 4
外接球的表面积与体积
例题
若等边三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使得点B与C间的距离 为 2，则此时四面体ABCD外接球的表面积为多少？
解析
例题
轴 截 面 为 正 方 形 的 圆 柱的 外 接 球 的 体 积 与 该 圆柱 的 体 积 的 比 值 是 A. 4
巧解外接球的体积与表面积
1.（2012•许昌三模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为
考点：由三视图求面积、体积．
专题：图表型．
分析：由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是2的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC，利用勾股定理做出球的直径，得到球的体积．
解答：
解：由主视图和左视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是2的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，
∴根据四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC
根据直角三角形的勾股定理知AC=2根号3
∴外接球的体积是4根号3
点评：本题考查由三视图求几何体的面积，考查球的体积．考查多面体的外接球的运算，这是一个综合题目，解题时注意几何体对称性的应用．。
外接球的表面积和体积高考试题精选(一) (1)
外接球的表面积和体积高考试题精选（一）一．选择题(共30小题）1．一几何体的三视图如图所示,三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形,该几何体的顶点都在球O上，球O的表面积为（)A．16πB．3πC．D．12π2．如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．3π3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π4．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(）A．B．C．D．5．已知三棱锥O﹣ABC,A,B，C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积是（）A．544πB．16πC．πD．64π6．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=,若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为(）A．B．8πC．D．7．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2,则球O的表面积为(）A．8πB．12πC．16πD．32π8．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A．πB．2πC．πD．3π9．已知在三棱锥P﹣ABC中,V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB ⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A． B．C．D．10．已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π11．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是()A．πB．3πC．4πD．6π12．已知在三棱锥P﹣ABC中,PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC,若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．D．2π13．球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB=18，BC=24，AC=30，球心到这个截面的距离为球半径的一半,则球的表面积为（）A．1200πB．1400πC．1600πD．1800π14．已知球O的半径为R，A,B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°,则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π15．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π16．已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上,则此球的表面积等于（）A．4πB．π C．12πD．20π17．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为（)A．8πB．C．D．18．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O上,底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为()A．B．C．32πD．64π19．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π20．已知正四面体的棱长,则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．πD．3π21．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（）A．B．C．D．322．已知SC是球O的直径,A，B是该球面上的两点，△ABC是边长为的正三角形，若三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．16πB．18πC．20πD．24π23．已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°,BC=，PA⊥面ABC,PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为(）A．πB．4πC．πD．16π24．已知A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π25．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．21πB．24πC．28πD．36π26．在三棱锥P﹣ABC中，PA=2，PC=2，AB=,BC=3，∠ABC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（)A．4πB．πC．πD．16π27．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π28．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上,AC⊥平面BCD,BC⊥CD，且AC=，BC=2，CD=，则球O的表面积为（）A．12πB．7πC．9πD．8π29．用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为π,则球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π30．在三棱锥A﹣BCD中，AB=，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（)A．3πB．πC．6πD．π外接球的表面积和体积高考试题精选（一)参考答案与试题解析一．选择题(共30小题）1．（2017•达州模拟）一几何体的三视图如图所示，三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在球O上，球O的表面积为（)A．16πB．3πC．D．12π【解答】解:由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=2，且AB，AC，AD两两垂直．把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线2，因此这个空间几何体的外接球的表面积S=4π•3=12π．故选：D．2．(2017•达州模拟）如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．3π【解答】解：∵该几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形,∴该几何体为从底面直角顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，可将其补成一个边长为1的正方体，则该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球，∵补成的正方体的对角线长l==为其外接球的直径d，∴外接球的表面积S=πd2=3π，即该几何体的外接球的表面积为3π，故选：D．3．（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选:A．4．（2016•上饶三模)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2,∴R2=r2，∴S球=4πR2,截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．5．（2016•河南模拟）已知三棱锥O﹣ABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°,三棱锥O﹣ABC的体积为,则球O的表面积是(）A．544πB．16πC．πD．64π【解答】解：三棱锥O﹣ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上,且AB=BC=1，∠ABC=120°，AC=，=×1×1×sin120°=，∴S△ABC∵三棱锥O﹣ABC的体积为，△ABC的外接圆的圆心为G，∴OG⊥⊙G，外接圆的半径为:GA==1，•OG=，即×OG=，∴S△ABCOG=，球的半径为：=4．球的表面积：4π42=64π．故选：D6．（2016•安徽校级一模）点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为,外接圆的半径为1．不变,高最大小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC时体积最大，×DQ=，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC∴DQ=4，设球心为O，半径为R,则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+（4﹣R）2,∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=故选C．7．（2016•衡水模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．8．(2016•南昌三模）已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是（）A．πB．2πC．πD．3π【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC,∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1,得O1O=1，∴Rt△O1OA中,O1A=．又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°=．∵过E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的半径最小,∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=πr2=．故选C．9．(2016•河南模拟）已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC,PB⊥BC,且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A． B．C．D．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=,∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC,∴A到平面PBC的距离为x,∵∠BPC=,PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，==，∴S△PBC∴V P=V A﹣PBC==，﹣ABC∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC,∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故选:D．10．(2016•湖南二模）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【解答】解:由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形,由于底面斜边上的中线长为1,则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上,由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故选：A11．（2016•湖南校级模拟）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．12．(2016•大庆一模）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC,若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（) A．πB．3πC．D．2π【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1,AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=(）2+（﹣d)2,∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选:B．13．（2016•中山市校级模拟)球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB=18，BC=24，AC=30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（）A．1200πB．1400πC．1600πD．1800π【解答】解:∵AB2+BC2=182+242=302=AC2，∴△ABC为直角三角形,且其外接圆的半径为=15,即截面圆的半径r=15，又球心到截面的距离为d=R，∴R2﹣=152，∴R=10,∴球的表面积S=4πR2=4π×=1200π．故选：A．14．（2016•泉州校级模拟）已知球O的半径为R，A，B,C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2,∠BAC=120°,则球O的表面积为() A．πB．πC．πD．π【解答】解:在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π,故选:D．15．（2016•白银模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π【解答】解:取CD的中点E，连结AE,BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形,△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．16．（2016•广西二模）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直,PA=PD=AB=2,∠APD=90°,若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于(）A．4πB．π C．12πD．20π【解答】解：设球心为O，如图．由PA=PD=AB=2，∠APD=90°,可求得AD=2，在矩形ABCD中,可求得对角线BD==2，由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，∴球的半径R=BD=则此球的表面积等于=4πR2=12π．故选：C．17．（2016•宁城县一模）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为(）A．8πB．C．D．【解答】解：如图,∵BC=CD=1,∠BCD=60°∴底面△BCD为等边三角形取CD中点为E，连接BE,∴△BCD的外心G在BE上,设为G,取BC中点F，连接GF，在Rt△BCE中，由CE=，∠CBE=30°，得BF==，又在Rt△BFG中，得BG=，过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O，则O为四面体ABCD的外接球的球心，即R=OB，∵AB⊥平面BCD，∴OG⊥BG,在Rt△BGO中，求得OB=,∴球O的表面积为．故选：D．18．(2016•北海一模）已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形,AB=2AD=4，则球O的表面积为（）A．B．C．32πD．64π【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，△PAD为正三角形，AD=2,则圆O1的半径r=,因为平面PAD⊥底面ABCD，AB=4，所以OO1=AB=2,所以球O的半径R==，所以球O的表面积=4πR2=．故选：B．19．(2016•昆明三模）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1，∵OA=AB=1,OO1=AA′=1∴O1A=因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．20．(2016•陕西模拟）已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．πD．3π【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，正方体的对角线长为，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴正四面体的外接球的半径为∴外接球的表面积的值为4πr2=4=3π．故选：D．21．（2016•安康三模）一直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（）A．B．C．D．3【解答】解:正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，所以，r==．故选：A．22．(2016•抚顺一模)已知SC是球O的直径，A,B是该球面上的两点，△ABC是边长为的正三角形，若三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积为(）A．16πB．18πC．20πD．24π【解答】解：根据题意作出图形．设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D,则SD⊥平面ABC．∵CO1==1，∴OO1=,∴高SD=2OO1=2,∵△ABC是边长为的正三角形，=，∴S△ABC∴V=××2=，三棱锥S﹣ABC∴r=．则球O的表面积为20π故选：C．23．(2016•冀州市校级模拟)已知三棱锥P﹣ABC,在底面△ABC中，∠A=60°,BC=，PA⊥面ABC，PA=2,则此三棱锥的外接球的表面积为（)A．πB．4πC．πD．16π【解答】解：根据题意得出图形如下；O为球心，N为底面△ABC截面圆的圆心，ON⊥面ABC∵，在底面△ABC中,∠A=60°，BC=，∴根据正弦定理得出:=2r，即r=1,∵PA⊥面ABC,∴PA∥ON,∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根据等腰三角形得出：PAO中PA=2d=2，d=∵R2=12+()=4,∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π故选：D24．（2016•南昌校级二模）已知A，B，C在球O的球面上,AB=1，BC=2，∠ABC=60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π【解答】解：∵A，B,C在球O的球面上,AB=1，BC=2，∠ABC=60°，∴BC为△ABC外接圆的直径，又∵直线OA与平面ABC成30°角则球的半径R==故球的表面积S=4×π×（）2=π故选：D．25．（2016•白山四模）一直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（)A．21πB．24πC．28πD．36π【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径,所以，r==，球的表面积为：4πr2=4π（)2=21π故选：A．26．（2016•福建模拟）在三棱锥P﹣ABC中,PA=2，PC=2，AB=，BC=3，∠ABC=,则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为(）A．4πB．πC．πD．16π【解答】解：由题意，AC==4，∵PA=2,PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC．取AC的中点，则OA=OB=OC=OP，即O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心,半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2=16π．故选:D．27．（2016•南昌校级二模）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为(）A．36πB．64πC．144πD．256π【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB时,三棱锥O﹣ABC的体积最大，=V C﹣AOB==18，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π,故选：C．28．（2016•安徽三模）已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=，BC=2，CD=,则球O的表面积为(）A．12πB．7πC．9πD．8π【解答】解：由题意，AC⊥平面BCD,BC⊂平面BCD，∴AC⊥BC,∵BC⊥CD，AC∩CD=C，∴BC⊥平面ACD,∴三棱锥S﹣ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体,外接球的直径为体对角线，∴4R2=AC2+BC2+CD2=12,∴R=∴球O的表面积为4πR2=12π，故选：A．29．(2016•永州二模)用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为π，则球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【解答】解:由已知中与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，故该圆的半径为1,故球的半径为，故该球的表面积S=4πR2=8π故选：B．30．(2016•新乡模拟)在三棱锥A﹣BCD中,AB=，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．3πB．πC．6πD．π【解答】解：取 A B,CD的中点分别为E，O，连接EO,AO，BO,由题意知AO=BO=．又，所以AO⊥BO，EO=，易知三棱锥外接球的球心G在线段EO上，有R2=AE2+GE2，R2=CO2+GO2，∴R2=（）2+GE2，R2=12+（﹣GE)2，求得，所以其表面积为．故选:D．。
空间几何体的表面积及体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全一、 全（表）面积（含侧面积） 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥：h c S ‘底棱锥侧21=② 圆锥：l c S 底圆锥侧21=3、 台体① 棱台：h c c S )(21‘下底上底棱台侧+=② 圆台：l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、 球体① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥 ② 圆锥3、① 棱台 ② 圆台 4、① 球：rV 334π=球②球冠：略 ③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。
三、 拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的32。
分析：圆柱体积：r r hSV r 3222)(ππ=⨯==圆柱圆柱侧面积：r hcS r r 242)2(ππ=⨯==圆柱侧因此：球体体积：r r V 3334232ππ=⨯=球球体表面积：r S 24π=球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式： )(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于一点P 。
设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。
易知：PDC ∆∽PAB ∆，设h PE 1=， 则h h PF +=1由相似三角形的性质得：PFPEAB CD =即：hh hSS +=11下上(相似比等于面积比的算术平方根)整理得：SS h S h 上下上-=1又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴hS S S h h S h h S V 下上下上下台）（31)(313131111+-=-+=代入：SS h S h 上下上-=1得：h S S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即：)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S SS S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（层n ），n 越大，每一层越近似于圆柱，+∞→n 时，每一层都可以看作是一个圆柱。
高中数学教师备课必备(空间几何体)：专题八 球的切接问题 含解析
例1。
若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，求该球的表面积和体积。
分析：①334R V π=球（R 为球半径） ②24R S π=球 （R 为球半径) 需要求出半径。
正方体的棱长为a ，则:正方体的内切球、棱切球、外接球半径分别为:a 21，a 22，a 23。
变式：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为。
【解析】关键是求出球的半径,因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为14,故球的表面积为14π。
变式：（已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为( ）.A 。
16π B 。
20π C 。
24π D 。
32π解题关键：通过多面体的一条侧棱和球心，或接点作出截面图。
棱锥与球例题：求棱长为1的正四面体ABCD 的外接球体积. 分析:作出合适的球的轴截面图，找准球心位置，构造三角形求解半径。
常用结论：正四面体外接球的球心在高线上，半径是正四面体高的43解法一、 解法二、如何求正四面体的外接球半径法1.补成正方体法2.勾股定理法例题：求棱长为a 的正四面体的内切球半径。
分析：并非所有多面体都有内切球，正多面体存在内切球，且正多面体的中心为内切球球心。
常用结论：正多面体内切球半径是高的41；31⋅⋅=内切表多R S V 1、正三棱锥的高为1，底面边长为62，内有一个球与它的四个面都相切．求：（1）外接球的表面积和体积;(2）内切球的表面积与体积．设正四面体的棱长为a ，则：正四面体的内切球、棱切球、外接球半径分别为: a 126、a 42、a 46. 构造长方体变式 P 、A 、B 、C 是球O 面上的四个点,PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=PB=PC=a,求这个球的体积。
例 已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上,B BCD A ⊥平面,BC DC ⊥,若6,AC=213,AD=8AB =，则B 、C 两点间的球面距离是____。
小题狂练系列---几何体的外接球体积表面积(构造法等)专题教师版
【解析】如图1所示，连接 ，则 ，解得
即 ，此圆锥外接球的球心为O，半径为2，表面积为
连接 ，则可得 ，则 过点 ∴
在平面图形中，以焦点在 轴正半轴为例，如图2，抛物线 过点 即 ，则 ，∴抛物线 的焦点 ，则
故答案为： ； ．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】： ， 为等腰直角三角形， ，
则 外接圆的半径为 ，又球的半径为1，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以 ．
7.已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
10.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为 ，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设球半径为 ，圆锥的底面半径为 ，若一个直角圆锥的侧面积为 ，
设母线为 ，则 ，
故选：C．
4.已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为2的正三角形， ， 分别是 ， 的中点， ，则球 的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：三棱锥 为正三棱锥，取 中点 ，连接 ，则 ，
，可得 平面 ，从而 ，又 ，可得 ，
又 ，所以 平面 ，从而 ，从而正三棱锥 的三条侧棱 两两垂直，且 ，可将该三棱锥还原成一个以 为棱的正方体，正方体的体对角线即为球 的直径，即 ，所以球 的体积为 ．
所以直角圆锥的侧面积为： ，