一般中立型Lurie控制系统的绝对稳定性
中立型Lurie系统的绝对稳定性准则
统， 许多实际系统都可 以转化为 Ｌ ｒ 型控制系统． ｕｅ ｉ
近年 来 ， 此类控 制 系 统 的鲁 棒 稳 定 性研 究 也 得 到 了 国内外 学 者 的重视 ， 获得 了许 多有 价值 的研 究成果 ．
地推广 了文 ［ ］ ３ 中示例 的结论． 文献 ［ ８ 只讨论 ５— ］ 了一般时滞 Ｌ ｉ 系统 的决对稳定性问题 ， ｕｅ ｓ 中立延 迟 时滞 Ｌ ｒｅ系统 没有 滞及 ． ｕｉ ｓ
收 稿 日期 ： ０ ０—０ ２ ２１ ８— ９
ｐ ｒｉ ｅ ｓｃ ｎ ｅ ｖ ｔｖ ｈ ｎ ｓ ｍｅ ｅ ｉｔｎ ｒｔ ｒａ ｅ ｓｌ ｓ ｏ ｓ ｒ ａｉ ｅ ｔ ａ ｏ ｘ ｓｉ ｇ ｃ ｅ ． ｉ ｉ
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｕｉ ｃｎｒｌ ｙｔ ；ｎｕｒｌ ｅ ｙ ｂｏ ｔ ｔ ｉｔ ； ｉ ａ ｔｘＩｅ ｕ ｉ （ ＭＩ ｙ ｗ ｒ ｓ Ｌ ｒ ｏ ｔ ｓ ｍｓ ｅｔ ｌ ；ａｓｌ ｅｓ ｂｌｙ Ｌｎ ｒ Ｍａ ｑ ａ ｔ Ｌ ） ｅ ｏｓ ｅ ａｄ ａ ｕ ａ ｉ ｅ ｉ ｒ ｎ ｌｙ
中立 型 Ｌ ｒ ｕｉ ｅ系统 的绝 对 稳 定 性 准则
王岩青 ， 王在华
（ 解放军理工大学 理学 院 ， 江苏 南京 ２ １０ ） ２ １ １
摘
要： 研究 了具有时滞的中立型 Ｌｒ ｕ ｅ系统的鲁棒绝对稳定性问题． ｉ 利用 Ｌａｕ ｏ．ｒ ｏｓｉ ｙｐ ｎｖＫａ ｖ ｉ ｓ ｋ
泛函方法分别给 出了系统在无限扇形及有 限扇形角 内绝对稳定的时滞相关充分条件， 所给的判定
第ｌ ６卷
第 ２期
哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢ Ｎ Ｉ ＵＮＩ ＲＳＴ ＣＩ ＶＥ Ｉ Ｙ ＯＦ Ｓ ＥＮＣ Ｅ ＡＮＤ Ｅ Ｔ ＣＨＮＯＬ
区间中立型Lurie控制系统的绝对稳定性
为 正 定 阵 ， 满 足 式 且
（ ） ， 存 在 矩 阵 ＝ ３式 若 ｄ
件
…， ＞ ， ＝ ｉ （ ， Ｘ Ｉ ０ ｃ ｄａ ｃ … ｔ ｇｔ
：
／
引 理 ２ （ 阵 Ｓｈ ｒ 性 质 ） 对 给 定 对 称 阵 ． ［ 矩 ｃｕ 补 ： ｓ ＝
１ ０ ， Ｉ ： ０ ０ ０ ， １ ０ 台 Ｉ ， ｌ －＇ Ⅳ ｌ ０ ｊ ＭＲ Ｊ ０ － ０ ｏ
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＋ 推广 文 献 于正定 矩 阵 Ｐ确 定 的方 法 ， ） 关 使
Ｆ ｂ２ ０ ｅ ．０ ８
文章 编 号 ： ６ ３ ５ ９ ２ ０ ） １ ０ ７ － ３ １ ７ —１ ４ （ ０ ８ ０ — ０ ８ ０
区间中立型 Ｌ ｕｉ ｒ ｅ控制 系统的绝对稳定性
欧 光 明 ， 陈 松 林
（ 安徽 工业 大 学 电气 信息 学 院 ，安徽 马鞍 山 ２ ３ ０ ） ４ ０２
收 稿 日期 ：２ ０ — ５２ ０ ７０—２
基 金 项 目 ：安 徽 省 教 育厅 自然 科 学 基金 资助 项 目 （０ ３ｊ５ ） ２ ０ ｋ０ ３
作 者 简 介 ：欧 光 明 （９ ５） １７ 一 ，男 ， 四川 资 阳人 ，硕 士 生 ，主 要 从 事 非 线性 控 制 系统稳 定性 方 面 的研 究 。
一类含控制时滞的Lurie间接控制系统的绝对稳定性
第 ４期
高正晖 ： 一类含控制时滞 的 Ｌ ｆ ｕ ｅ间接控制 系统的绝对稳定性 ｉ
３ ５
通过 构造合 适 的 Ｌａｕ ｏ ｙｐ ｎｖ函数 并结 合 线性 矩阵 不等 式 的方 法 ， 出该 间 接 控制 系统 （ ） 对 稳定 给 １绝
间接 控制 系统 ：
ｘ ｔ ＝Ａｘ ｔ （） （）＋Ｂ （ ｘ ｔ—ｒ ）＋
｛ （） ：Ｃ （）＋Ｄ （） ｔ ，
（） ｔ ）＋Ｆ （ ｔ—ｒ ） ｆ （ ），
（） １
ｔ（）： ∈ ［ － １ ｘ （） 一７ｏ ． ，
，
收 稿 日期 ：０ ０— １— ９ ２ １ ０ ０
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ ｔｅ ａ ｃ ａ ｄ Ｃ ｍ ｕ ｔ ｎ ｌ ｃ ｎ ｅ Ｈ ｎ ｙ ｎ ｏｍａ Ｕ ｉ ｒｉ ， ｅ ｇａ ｇ ４ １ ０ ， ｈｎ ） Ｄ ｐｒ ｍｅ ｔ ｈ ｍ ｔ ｓ ｎ ｏ ｐ ｔ ｉ ａ Ｓ ｉ ｃ ， ｅ ｇａ ｇＮ ｒ ｌ ｎ ｅｓ ｙ Ｈ ｎ ｙ ｎ ２ ０ ８ Ｃ ｉ ｏ Ｍａ ｉ ａｏ ｅ ｖ ｔ ａ
并结合线性矩阵不等式 的方法 ， 对具有控制 时滞 的 Ｌ ｆ ｕ ｅ间接控制 系统 的绝对 稳定性 进行分 析 ， 到该 ｉ 得 系统 绝对稳定 性的若 干充分条件． 关键 词 ：ｕ ｅ间接控制系统 ；ｙｐ ｎｖ函数 ； Ｌｆ ｉ Ｌ ａｕ ｏ 线性 矩阵不等式 ； 绝对稳定性
中 图 分 类 号 ： ２ １２ ； １５ １ Ｏ ３ ．７ ０ ７ ．３ 文献标志码 ： Ａ 文章 编 号 ：００— １２ ２ １ ）４—０ ３ ０ １０ ２６ （００ ０ ０ ４— ５
基金项 目： 湖南省教育厅科研基金资 助项 目（９ １１ ０Ｃ ７ ）
一类含分布时滞的Lurie控制系统的绝对稳定性
Ｐ＋ Ｐ Ａ ＋ ＮＱ ｔ １ Ｐ Ｂ ｒ ２ ＰＢ … ｒ Ｎ ＰＢ
Ｐ Ｅ ＋ Ａ ｃ ｓ ＋ ÷ ｃ ｗ ｈ Ｐ Ｆ
１
Ｂ Ｃ Ｓ
０
２
Ｂ Ｃ Ｓ
０
ｉ
＊ ＊
；
０
＜ ０
ｒＮ Ｂ Ｃ Ｓ
＊
＊
ＳＣＥ ＋ Ｅ Ｃ Ｓ ＋ Ｒ — Ｗ Ｋ
性 矩阵不等式（ Ｌ ＭＩ ） 获得 了该 系统 绝 对 稳 定 性 的 时滞 相 关 性 充 分 条 件 ． 最后 ， 通 过 数 值 算 例 验 证 了结 论 的 可 行 性 ． 关键词 ： Ｌ ｕ ｒ ｉ ｅ 控 制 系统 ；分 布 时 滞 ； 绝 对 稳 定 性 ；Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函 数 ； 线 性 矩 阵 不 等 式
…
，
（ ｆ ） ） ， 厂 （ （ ￡ ） ）一 （ － 厂 １ （ １ （ ） ） ， ｆ ２ （ ２ （ ） ） ， …， 厂 （ （ ￡ ） ） ） ， 且有 ｆ （ ・ ）Ｅ Ｆ一 ｛ ｆ （ ・ ） １ ｆ （ ｏ ） 一０ ，
０＜ ， （ （ ） ）＜ ｋ ｉ ｄ ｝ ； Ｋ＝ｄ ｉ ａ ｇ｛ 志 ｌ ， 最 ２ ， …， ｋ ｝ ， 且是 ＞ ０（ ｉ 一１ ， ２ ， …， ） ；向量 （ ） ， （ ） Ｅ ， （ ￡ ） 为 连 续 向量初 始 函数 ； ｈ ｏ — ｍａ ｘ｛ ｒ １ ， ｒ ２ ， …， ｒ Ｎ ， ｈ ｝ ．
作 者 简 介 ：林 明 明 （ １ ９ ８ ７ 一） ， 女， 内蒙 古 赤 峰 市 人 ， 内 蒙 古 师 范 大 学硕 士研 究 生 ， Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｌ ｉ ｎ ｍｉ ｎ ｇ ｍｉ ｎ ｇ ｌ ８ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析简介控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时，能够保持从初始状态返回到稳定的平衡状态的能力。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，对于确保系统正常运行具有重要意义。
在本文档中，我们将探讨控制系统的稳定性分析方法。
稳定性概念在控制系统中，稳定性可以分为两种类型：绝对稳定和相对稳定。
1.绝对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到初始的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是绝对稳定的。
2.相对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到新的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是相对稳定的。
稳定性分析方法为了评估控制系统的稳定性，我们通常使用以下几种分析方法：1. 传递函数分析传递函数分析是一种常用的稳定性分析方法，它通过将控制系统转化为传递函数的形式，进行频域和时域的分析。
在频域分析中，我们可以使用频率响应函数（Bode图）来评估系统的稳定性。
Bode图由幅度曲线和相位曲线组成，通过分析这两个曲线可以判断系统是否稳定。
在时域分析中，我们可以使用单位斯蒂文斯响应函数来评估系统的稳定性。
单位斯蒂文斯响应函数是指控制系统对于单位阶跃输入的响应。
2. 决策稳定性分析决策稳定性分析方法是一种直观的稳定性评估方法，它通过观察控制系统的反馈回路来判断系统的稳定性。
如果控制系统的反馈回路中存在零点或极点位于右半平面，则系统将是不稳定的。
另外，如果控制系统的相位裕度和增益裕度分别小于零和一，则系统也将是不稳定的。
3. 根轨迹分析根轨迹分析是一种图形化的稳定性分析方法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹来评估系统的稳定性。
根轨迹是表示系统极点随控制参数变化的轨迹图，它可以直观地显示系统的稳定性和响应特性。
如果根轨迹上的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。
4. Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判据，它利用开放式系统的频率响应来评估系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据通过绘制控制系统的开环频率响应曲线，并计算曲线绕原点的圈数来判断系统是否稳定。
具有区间时滞的中立型Luré系统的稳定性分析
第4"卷第1期2020年3月数学理论与应用MATHEMATICAL THEORY AND APPLICATIONSVol.40No.1Mar.2020具有区间时滞的中立型Lure系统的稳定性分析刘心歌徐巧玲唐美兰*(中南大学数学与统计学院，长沙,410083)摘要本文研究一类含有区间时变时滞的中立型Lure系统的稳定性问题,基于微分方程的稳定性理论，通过构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函，借助推广的积分不等式和分段分析方法与倒凸方法，获得保守性更小的稳定性判据•数值实验结果比较表明了本文稳定性定理的可行性与优越性4关键词中立型Lure系统线性矩阵不等式时滞Lyapunov-Krasovskii泛函Stability Analysis of Neutral Lurr Systemswith Time-varying DelaysLiu Xinge Xu Qiaoling Tang Meilan(School of MathemaOcs and Statistics,Central South University,Changsha410083,China)Abstract This papes investinates the stability problem of neutrai Lure systems with time-varying delays.Based on the stability theory in diVerential equations,a less conservative stability criterion is obtained by constructing an appropriate Lyapunov-Krasovskii functionai and using the generalized integrai inequalities,the segmentation method and the reciproccyy convex approach.The superiorita of our stabilita criterion is illustrated by numericai experiments and comparing with the existing results in literatures.Key words Neutrai Lui systems Linear matrix inequalita Time delay Lyapunov-Krasovskii functionai1引言Lure系统在液压控制、蔡氏电路、航空航天等相关的动力学系统领域中有着重要的应用,引起了国内外学者的广泛关注，同时对它们的研究也取得了丰富的成果•然而由于时滞的存在，导致Lui系统稳定性降低，进而引起相关性能下降.本文将考虑下列一类具有区间时变时滞的中立型Lure控制系统：国家自然科学基金项目No.41773404与No.61271355资助收稿日期:2020年2月16日2数学理论与应用!("~Cx("一！(方))二&!("+&$!(方))+Bf("(方))，"("二H t x(",(1-1) !(S)%#(S),、！(s)%#(s),s"[-max((%,!),0],其中！(""R.,"(""R m分别表示系统的状态和输出向量，矩阵&,&,B,C和+是已知实矩阵，矩阵C的谱半径$(C)01,#(-"R.表示在:-max j(%，门,0]上的连续初始函数，连续可微的时滞函数((",!"满足以下条件：0#(1#(("#(2,(("#(,0#T("#!,&("#!,($-2)其中！>0,!01,(,%表示已知的常数，非线性函数/("(")% [/$("1("),/%("%("),+,/”("»(")]T表示反馈输出向量,*"(")满足有限的扇形约束条件(其中4为正数)：*("3")"50,4*：="3")_(0)=0,o<"("f*"3")#4"%(","("$0),(19)或者满足无限的开平面约束条件：*("3")"5'0,!*：=1*("3")丨/30)%0,"3"/3"3")>0，"3"$0)-(19)定义2.1(：1])如果非线性函数/满足条件(1.3)或条件(1.4)，且区间时变时滞中立型Lure系统在平衡点！"%0处渐近稳定，则称系统！1.1)是绝对稳定的-本文利用Lyapunov-Krasovski i泛函！LKF)方法,建立含有区间时滞的中立型Lure时滞系统(1-1)的完全稳定性定理-2几个引理引理2.1(：2])设旳,8%，…,89：R"%R•若在R"的开子集：上每个83">0,且满足min&-18("%&8("+m：&",&%3=1午%3i!("3%30,其中！3：r/%R,!("%!；"，则有(83"!$('0.、！("8,("丿引理2.2(：3])设矩阵<正定，对称矩阵<%diag(<,3<)(3%1,2),函数&：：','%]%R"连续可微，'0'("0'%,S,(i%1,2)为任意合适维矩阵,则下列不等式成立：具有区间时滞的中立型Lui 系统的稳定性分析3•'(") . T.r'2. T.1& ( s) < & ( s) ds +& ( s) < & ( s) ds '----'21其中T「（1（"］「（1（"］(2.1)L （2（"」L （2（"」&('(方))-&(')(1("2&('(" +&(')严:(")—&( s ) ds'1 J '1&( '2 ) 一 &('( “)(2("2 严& ( '2 ) +&('(方)-------—— &( s) ds'2 一 '(方)J'(")<1 + ( 1 -% ) "1 ( 1 -% ) >1 +%>2<2 + % "2'(方)一 '1 - ~1T = , ~ 1'21 % '2 -'1，% % -----------------------, "1 %<1 - >2 <-1 >T ，"2 % <2 ->T <-1 >1 -'21引理2.3（：4］）设函数！：［%@连续,则对于任意正定矩阵A " Rm ，有下列不等式成立:-(@一？)(% (s) t A%(s) ds # - !t A !o - 3!t A !1 - 5!；人！2,」a其中%% %(s)ds , !1% — % % %(s') dsd ' - % %(s) ds ,°2 二一1^—2 [ [ % % (s) dsdyd% -J a@ — a J a J a J a ( @ — a )」a J %)-------% % % ( s ) dsd % + ! ( s ) ds 4@- aJaJ % Ja引理2.4(： 4])设函数！ s)在区间：a ,@]上连续可微，则对于任意合适维数的正定矩阵A ,有下列不等式成立：-(@ - a )I % !(s) A%(s) ds # - : !(@)- !( a )] T A ： %( @) - %( a ) ] - 3!^1)3 - 5!^1)4 ,a其中。
中立型一般Lurie系统绝对稳定的时滞相关准则
中立型一般Lurie系统绝对稳定的时滞相关准则
杨斌; 王金城
【期刊名称】《《自动化学报》》
【年(卷),期】2004(030)002
【摘要】研究了具有时滞的中立型一般Lurie系统的绝对稳定性问题.利用Lyapunov方法给出了系统在无限扇形角内绝对稳定的时滞相关准则,所给的判定条件是线性矩阵不等式(LMI)形式的,可以很方便地运用Matlab工具箱求解.一个应用的例子表明与现有的一些准则相比,本文所给的条件具有较小的保守性.
【总页数】4页(P261-264)
【作者】杨斌; 王金城
【作者单位】大连理工大学自动化系大连 116023
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.中立型Lurie型控制系统的时滞相关准则 [J], 董晓梅;赵峥嵘
2.具有时滞的中立型Lurie系统绝对稳定性准则 [J], 杨斌;李涛
3.中立型Lurie系统的绝对稳定性准则 [J], 王岩青;王在华
4.不确定性中立型 Lurie 控制系统的时滞相关鲁棒绝对稳定性 [J], 王玉红;包俊东
5.中立型一般Lurie系统绝对稳定的时滞相关准则1） [J], 杨斌; 王金城
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具有时变时滞的中立型lurie系统鲁棒稳定性判据
1008-0562(2012)03-0417-04具有时变时滞的中立型L ur i e系统鲁棒稳定性判据高骞刘德友燕山大学理学院，河北秦皇岛066004摘要:针对一类具有时变时滞和时变结构不确定性的中立型Lu r i e控制系统的鲁棒稳定性问题，采用构造适当的Lya punov函数结合自由权矩阵方法，并利用线性矩阵不等式技术，分别获得了保证该系统绝对稳定和鲁棒稳定的时滞相关充分条件，数值例子表明本方法的有效性和可行性.该成果对中立型Lur i e控制系统稳定性的研究具有一定的参考和应用价值.关键词:中立型Lur i e系统;线性矩阵不等式;鲁棒稳定;时变时滞;非线性控制系统;绝对稳定;时滞相关;李雅普诺夫函数TP183AC r i t er i a f or r obust s t abi l i t y of neut r al Lur i e syst em s w i t h t i m e-var yi ng del ayGAO Qi a n LI U D eyou2011-11-14国家自然科学基金资助项目(71071133)高骞(1985-)，山西运城人，硕士研究生，主要从事时滞神经网络稳定性面的研究.刘德友(1961-)，河北秦皇岛人，博士，教授，主要从事神经网络稳定性面的研究.第31卷419420辽宁工程技术大学学报(自然科学版)第31卷则满足时滞约束条件(2)的不确定系统(1)在条件(3)下是鲁棒稳定的．证明利用彳+H F(t)Ea，B+H F(t)Eb，E+H F(t)E e分别替换式(6)中的A，B，E，这样系统(4)中对应的式(6)可以改写成西+PHA C’H}P：H，(f)[E E b0Ee o卜霹可E1OFT(t)[H TP00H TC A H X W]<0．(13)利用引理2，式(13)成立的一个充要条件是存在一个正数s，使得下式成立西+s一1pHA C l HF阳，[H7P00H T C A H7形]+￡E1或砭O 【疋乓0E0】<o，(14)而此时利用引理1，式(14)成立等价于占<0，因此当线性矩阵不等式(5)和(12)成立时系统(1)是鲁棒稳定的．3数值例子A=B=C=㈠]，系数矩阵为0、oo l’_o．5J0．10。
LURIE控制系统绝对稳定的时滞相关条件
LURIE控制系统绝对稳定的时滞相关条件的报告，800字
本报告旨在详细描述LURIE控制系统的绝对稳定性所需的时
滞相关条件，并将研究结果总结成一个可行的方案。
首先，我们来看看LURIE控制系统得到绝对稳定性所必需的
时滞相关条件。
在这种情况下，必须考虑延迟函数时滞和系统本身的状态空间时滞，以便系统可以按照信号的人为设计输入和状态的设想输出而保持稳定。
此外，应该考虑控制器的激励效应和系统的系统滞后，使整个控制系统能够反映准确的反馈信号，从而得到更好的控制调整效果。
其次，通过系统的理论分析和模型检查，可以确保系统的绝对稳定性，即系统状态空间时滞和延迟函数时滞不会破坏系统的稳定性。
此外，在控制器设计阶段，可以采用一种滞后性优化方法，以便在不破坏系统的稳定性的前提下最大限度地改善系统的性能。
最后，针对滞后性优化方法，可以通过实验来检验控制器的有效性和可靠性。
为此，可以建立模拟系统，对系统进行合理的参数设置，以便实现控制器的有效性和可靠性的检验。
综上所述，LURIE控制系统的绝对稳定性的时滞相关条件是：首先，考虑延迟函数时滞和系统本身的状态空间时滞；其次，通过理论分析和模型检查确保系统的绝对稳定性；最后，通过实验检验控制器的有效性和可靠性。
在绝对稳定性的时滞相关条件都得到满足的情况下，控制器可以正确地调整信号输入，从而实现良好的控制效果。
Lurie系统的稳定性研究及其在混沌同步中的应用的开题报告
Lurie系统的稳定性研究及其在混沌同步中的应用的开题报告一、选题背景和意义随着混沌理论的发展和深入研究，混沌现象被越来越多地应用于通信、加密、图象处理、非线性动力学系统控制等领域。
混沌同步问题是其中的一个重要问题。
Lurie控制系统是一种反馈控制系统，具有自适应性和灵活性。
它可以应用于各种系统的同步问题中，如混沌同步问题。
该系统的稳定性分析具有重要意义。
二、研究内容本文主要研究Lurie系统的稳定性分析及其在混沌同步中的应用。
具体研究内容包括：1. Lurie系统的构建及其基本特性分析2. Lurie系统的稳定性分析，包括Lyapunov指数方法和拉格朗日稳定性方法，比较两种方法的优缺点3. 混沌同步的基本概念和传统的同步方法4. 基于Lurie系统的混沌同步控制方案5. 数值实验并讨论两种稳定性分析方法的适用性和准确性三、研究方法采用文献查阅法和数学分析法。
通过查阅相关文献，掌握Lurie系统的基本概念和数学模型，以及混沌同步、稳定性分析的基本理论。
对Lurie系统的稳定性采用比较常用的Lyapunov指数方法和拉格朗日稳定性方法进行分析，并比较两种方法的优缺点。
然后基于Lurie系统的基本特性，提出实现混沌同步的控制策略和方法，最后通过数值实验分析和比较两种稳定性分析方法的适用性和准确性。
四、预期研究结果通过本文的研究，可以深入了解Lurie系统的基本理论和稳定性分析方法，并将其应用于混沌同步控制中，提出了一种基于Lurie系统的混沌同步方法，能够对混沌同步控制提供参考。
同时，通过数值实验验证两种方法的适用性和准确性，为混沌同步控制提供理论支持。
五、研究意义本研究旨在探究Lurie系统在混沌同步中的应用，提供了一种新的混沌同步控制方法，并对Lurie系统的稳定性进行了深入研究和分析，对于深入研究和应用混沌同步控制技术具有重要的理论和实际意义。
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河北科技师范学院学报第21卷第4期,2007年12月Journa l of H ebeiN or ma lUn i versity of Science&Technology Vo.l21No.4Dec.2007一般中立型Luri e控制系统的绝对稳定性欧光明,陈松林(安徽工业大学电气信息学院,安徽马鞍山,234002)摘要:利用Lyapunov泛函和线性矩阵不等式方法,研究一般中立型Lu rie控制系统的绝对稳定性,给出了系统绝对稳定的充分条件,这些条件用线性矩阵不等式表示,可以很方便地应用M ATLA B工具箱求解。
关键词:中立型;Lyapunov泛函;绝对稳定性;线性矩阵不等式中图分类号:O231文献标志码:A文章编号:1672-7983(2007)04-0039-03具有时滞的Lurie控制系统的绝对稳定性问题已得到较深入的研究,但中立型Lurie控制系统的绝对稳定性的研究结果不多,文献[1]用Popov频率准则分析Lurie直接控制系统的绝对稳定性,文献[2 ~4]和文献[5]分别用线性矩阵不等式方法分析了中立型Lur i e间接控制系统和一般形式中立型Lurie 控制系统的绝对稳定性。
笔者用Lyapunov泛函方法对比文献[5]更具有一般形式的中立型Lurie控制系统的绝对稳定性进行分析,给出这类系统绝对稳定的充分条件。
1几个有关的引理约定I表示相应维数的单位矩阵,diag(D1,,,D n)表示以D1,,,D n为对角元的对角矩阵。
首先给出下面的引理。
引理1[6](矩阵Schur补性质):对给定对称阵S=S11S12S21S22,则下边3个条件是等价的:(1)S<0;(2)S11<0,S22-S T12S-111S12<0;(3)S22<0,S11-S12S-122S T12<0。
引理2[7]:设向量x I R n,而K m i n(A)为任意n阶正定阵A的最小特征值,则有x T A x\K m i n(A)+x+2。
2一般中立型Lurie系统绝对稳定性的证明考虑具有状态时滞和控制时滞的一般中立型Lurie控制系统:x c(t)=A x(t)+B x(t-S)+C x c(t-S)+D u(t)+E u(t-S)M u d(t)+N u c(t)+R u(t)=f(R(t))R(t)=F x(t)-G u c(t)-H u(t)(1)状态向量x(t)I R n,控制向量u(t)I R m,而A,B,C,D,E,F,G,H,M,N,R为适当维数常数矩阵, M=d iag(m1,,,m m)。
f i(p)I K[0,k i]={f i(p)|f i(0)=0,P R i X0,k i R2i\R i f(R i)>0},m维向量R(t)=[R1(t),,,R m(t)]T,f(R(t))=[f1(R1(t)),,,f m(R m(t))]T,K=diag(k1,,,k m)。
S为系统时滞常数。
令u(t)=y(t),u c(t)=z(t),设X(t)=(x(t),y(t),z(t))T,为方便记,仍记X(t)为x(t),则系统(1)化为等价系统x c(t)=A x(t)+B x(t-S)+C x c(t-S)+D w(t)w(t)=f(R(t))R(t)=Ex(t)(2)且A=A D000I0-M-1R-M-1N,B=B E0000000,C=C00000000,D=M-1,E=F T-H T-G TT。
基金项目:安徽省教育厅自然科学基金资助项目(项目编号:2003kj053)。
收稿日期:2007-04-12;修改稿收到日期:2007-09-08定理:对系统(2),设P 为正定阵,若存在矩阵L =d iag (L 1,,,L 2m +n )>0,A =diag (A 1,,,A m )>0,C =diag (C 1,,,C 2m +n )>0,G =d iag (G 1,,,G m )>0,使满足下列条件之一¹0<0,º [I ]4T4-C-1<0,则Lurie 系统(1)绝对稳定。
其中0=(M ij )4@4, [I ]=( [I]ij )4@4M 11=A T P +P A +A T C A +L ;M 12=P B +A TC B;M 13=P C +A T C C;M 14=PD +A T C D +12E T G +12A T E T A ;M 21=B T P +B T C A;M 22=B T C B -L ;M 23=B T C C;M 24=B TCD +12B TE T A ;M 31=C T C A +C T P;M 32=C T C B;M 33=C T C C -C ;M 34=C T C D +12C T E TA ;M 41=D T C A +D TP +12A EA +12G E;M 42=D T C B +12A EB;M 43=D T C C +12A EC;M 44=D T C D -G K -1+D T E T A 。
[I ]11=A T P +P A +L ; [I ]12=P B ; [I ]13=P C ; [I ]14=P D +12E T G +12A T E T A ; [I]21=B TP ; [I ]22=-L ; [I ]23=0; [I]24=12B T E TA ; [I ]31=C TP ; [I ]32=0; [I ]33=-C ; [I ]34=12C T E TA ; [I ]41=D T P +12A EA +12G E ; [I ]42=12A EB ; [I]43=12A EC; [I]44=-G K -1+D T E T A ;4=(A B C D )T。
证明:对系统(2),取Lyapunov 函数V (t ,x t )=x T(t)Px (t)+E 2m +ni =1L i Q t t -S x 2i(H )d H +E mi =1A i Q R i (t)0f i (R i (s))d R i (s)+E 2m +ni =1C i Q t t -S x c 2i (s)d s 当满足定理条件时,V(t ,x t )>0。
分析V c (t ,x t )|(2),由V c (t ,x t )|(2)=[x c (t)]TP x (t)+x T(t)P x c (t)+x T(t)L x (t)-x T(t -S )L x (t -S )+[R c (t)]TA f(R (t))+[x c (t)]TC x c (t)-[x c (t -S )]TC x c (t -S ),应用S 步骤方法[8]有V c (t ,x t )|(2)[-y T (t)0y (t),其中y (t)=(x (t),x (t -S ),x c (t -S ),f (R (t))T,由定理条件0>0及引理2有V c (t ,x t )|(2)[-y T(t)0y (t)[-K m i n (0)+y (t)+2,又+y (t)+2>+x (t)+2,故V c (t ,x t )|(2)<-K m in (0)+x (t)+2<0。
另外,由0= [I ]+4T C 4,而4TC 4\0,据引理1知0<0等价于 [I ]4T4-C-1<0。
故在条件¹或º下,系统(2)绝对稳定,由系统(2)与系统(1)等价,故Lurie 系统(1)绝对稳定。
3举 例设一般中立型Luri e 控制系统如系统(1)所示,系数矩阵A =-1.9 0-3-2,B =-0.2-0.5 0.5-0.2,C =0.20.30.30.5,D = 0-1-1 0,E =-0.70.1 0.2-0.3,M=1001,N =50.5,R =2009,F =-0.8 0.1-0.1-0.2,G =0.70.3-0.30.7,H =1 0.10.40.5。
利用MATLAB 的LM I 工具箱,令f (R (t))为角域[0,K ],K =10I 内的函数,通过feas p 求解器求解线性矩阵不等式¹,得到正定阵P 以及对角阵C ,L ,G ,A 如下:40河北科技师范学院学报 21卷P=109.7390-3.073131.7049-3.97003.8343-5.9559 -3.073132.1922-0.20453.38751.56560.0671 31.7049-0.2045298.8269-4.030262.6008-9.8399 -3.97003.3875-4.0302912.27166.456123.7598 3.83431.565662.60086.456152.4736-4.1475 -5.95590.0671-9.839923.7598-4.1475101.5298;C=26.198700000014.39770000034.060400000014.551100000010.53500 000002.5556;L=56.895400000 045.06540000 00136.6623000 00062.102600 000034.06040 0000014.5511;A=29.09750021.6608;G=90.432600252.9669。
由于存在满足定理条件¹的参数,故据定理知该一般中立型Lurie控制系统绝对稳定。
设系统初始状态为x0=(-5,4)T,对f(R(t))对应角域[0,K],K=10I,且取非线性系统簇的特例f(R(t))=5005R(t),则系统状态变化曲线如图1及图2所示(其他情形同样分析)。
由仿真曲线可验证该一般中立型Lurie控制系统绝对稳定。
图1系统状态变量分量X1的时间变化曲线图2系统状态变量分量X2的时间变化曲线4结论应用Lyapunov泛函讨论一般中立型Lurie控制系统的绝对稳定性,得到系统绝对稳定的充分条件,这些条件用线性矩阵不等式表示,易于验证且具有较低的保守性,求解也比较方便。
(下转至第45页)41 4期欧光明等一般中立型Lur i e控制系统的绝对稳定性[4] 顾绍付,刘仰韶,田卿燕.土工格栅在处理软基中的工程特性分析[J].水文地质工程地质,2005(5):108-110.[5] 张兴强,闫澍旺,邓卫东.交通荷载作用下土工格栅加筋路基的弹塑性分析[J].振动工程学报,2001,14(3):278.[6] 陈惠发.土木工程材料的本构方程[M ].武汉:华中科技大学出版社,2001.[7] 黄晓明,朱湘.公路土工合成材料应用原理[M ].北京:人民交通出版社,2001.[8] K I M JS ,BARK ER R M.Effect o f li ve l oad surcharge on reta i n i ng w a lls and abut ment [J].Journa l o fG eotechn ica l and G eo -env i ro m ental Eng i neeri ng ,A SCE,2002,128(10):803-813.作者简介:孟德光(1976-),男,讲师,主要研究方向:地基的变形控制与加固处理。