二项式定理同步练习3新选修23
高中数学选修2-3同步练习题库：二项式定理(填空题：容易)
二项式定理（填空题：容易）1、_____ ___．2、的展开式中，的系数是__________．（用数字填写答案）3、若，则的二项展开式中的系数为__________．4、若，则的二项展开式中的系数为__________．5、的展开式中，的系数为__________．6、若的展开式中存在常数项，则常数项为__________．7、若的展开式中的系数为7，则实数_________．8、设，则_________.9、二项式的展开式中的常数项是 __________．10、的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）11、在的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中项的系数为__________．12、设，则__________．13、的二项式中不含的项的系数为__________．14、的展开式中的系数是__________．15、若的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式中的系数为__________．16、若的二项展开式中，含项的系数为，则实数_________．17、的展开式中常数项为__________．(有数字填写答案)18、若的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则=__________．19、若展开式中的系数为10，则实数__________．20、的展开式中，系数最大的项为第__________项．21、的展开式中项的系数为20，则实数__________．22、在的展开式中，各项系数的和为，其二项式系数之和为，若64是与的等比中项，则__________．23、二项式的展开式中，常数项是_____．24、的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）25、在的展开式中含项的系数是__________．（用数字作答）26、的展开式中的第项的二项式系数为______________．（用数字作答）27、的展开式中的常数项为．28、若的展开式中各项系数的和2，则该展开式中的常数项为__________．29、若的展开式中存在常数项，则常数项为_____.30、的展开式中的第3项的二项式系数为_________．31、已知的展开式中，，则__________.32、在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．33、_____34、在的二次展开式中，的系数为_____．35、在的展开式中，的系数为_________（用数字作答）．36、若，则的二项展开式中的系数为__________．37、在的展开式中含的项的系数是．38、在二项式的展开式中，含的项的系数是．（用数字作答）39、计算．40、除以9的余数为．41、的展开式中的常数项为______________（用数字作答）42、设,则．43、设函数则时，表达式中的展开式中的常数项为 .（用数字作答）44、现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种.45、二项式展开式中，的系数为．46、展开式的常数项为．（用数字作答）47、在的展开式中，记项的系数为f(，)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3) = .48、二项式的展开式中第四项的系数为 .49、在的二项展开式中，的系数为50、若（2－3x）5＝a0＋a1x＋…＋a5x5，则a1＋a2＋…＋a5＝_______________.51、在二项式的展开式中各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中含项的系数为 .52、若则= .53、二项式的展开式中的系数为．（用数字作答）54、设二项式的展开式中常数项为A，则A＝．55、x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是．56、在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列．（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：三项式的2次系数列是_________ ；三项式的3次系数列是_________ ．（Ⅱ）二项式的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下①当时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数列的数阵表；②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：，类似的请用三项式的次系数表示（无须证明）；（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示．57、的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）58、已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则．59、在的展开式中，系数为有理数的项共有___________项.60、的展开式中项的系数为___．（用数字表示）61、的展开式的中间一项是__________．62、(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为________．63、(1＋2x2)8的展开式中的常数项为________．64、设，则的展开式中常数项是 .65、(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 ________.66、在二项式的展开式中，含的项的系数是．67、若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是．68、若展开式的常数项是，则常数的值为 .69、设常数，若的二项展开式中项的系数为，则 .70、若的展开式中的系数为7，则实数_________．参考答案1、2、3、1804、1805、6、-847、8、29、4510、-18911、12、213、14、2415、-1516、117、1618、819、120、3或521、422、423、28；24、-18925、1526、1527、28、4029、8430、1531、032、11233、102434、35、12036、18037、-5538、2839、12040、741、2442、3043、44、24045、4546、47、12048、.49、50、－3351、-9052、53、80.54、．55、84.56、（Ⅰ）三项式的2次系数列是1,2,3,2,1；三项式的3此系数列是1,3,6,7,6,3,1. （Ⅱ）①三项式的次系数的数阵表如下：②观察得：.（Ⅲ）.57、58、159、60、61、-2062、063、－4264、-33265、066、1067、18068、469、-270、【解析】1、试题分析：考点：二项式定理2、二项式展开式的通项为，令得。
人教A版高中数学选修23：1.3+二项式定理(配套课件+同
课时训练4二项式定理一、选择题1.·2n+·2n-1+…+·2n-k+…+等于().A.2nB.2n-1C.3nD.1答案:C解析:原式=(2+1)n=3n.2.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为().A.-210B.210C.-120iD.-210i答案:A解析:由通项公式得T7=·(-i)6=-=-210.3.展开式中x3的系数为10,则a的值等于().A.-1B.C.1D.2答案:D解析:展开式的通项公式T r+1=·x5-r·=a r·x5-2r,令5-2r=3,则r=1.∵x3的系数为10,∴a=10.∴a=2.4.(2012安徽高考)(x2+2)的展开式的常数项是().A.-3B.-2C.2D.3答案:D解析:的通项为T r+1=(-1)r=(-1)r.要使(x2+2)的展开式为常数,须令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x2+2)·的展开式的常数项是(-1)4×+2×(-1)5×=3.5.若x+x2+…+x n能被7整除,则x,n的值可能为().A.x=5,n=5B.x=5,n=4C.x=4,n=4D.x=4,n=3答案:B解析:x+x2+…+x n=(1+x)n-1,检验得B正确.6.(2014内蒙古鄂尔多斯高三下学期模拟考试)在的展开式中x3的系数等于-5,则该展开式各项的系数中最大值为().A.5B.10C.15D.20答案:B解析:展开式的通项为T r+1=x5-r=(-a)r x5-2r,令5-2r=3,则r=1,所以-a×5=-5,即a=1,故系数最大值应该为=10,故选B.7.(2014四川高考)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为().A.30B.20C.15D.10答案:C解析:含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为=15,故含x3项的系数是15.二、填空题8.(2014广东梅州高三3月总复习质检)(2x-1)5的展开式x3项的系数是.(用数字作答)答案:80解析:根据二项式定理可得(2x-1)5的第n+1项展开式为(2x)n(-1)5-n,则n=3时,得到展开式x3项为(2x)3(-1)2=80x3,所以系数为80.9.(2012浙江高考)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=.答案:10解析:由x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5可得,可解得10.(2014课标全国Ⅰ高考)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)答案:-20解析:(x+y)8的通项公式为T r+1=x8-r y r(r=0,1,…,8,r∈Z).当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.三、解答题11.利用(a+b)n的二项展开式解题.(1)求二项式(a+2b)4的展开式;(2)展开.解:(1)根据二项式定理(a+b)n=a n+a n-1b+…+a n-r b r+…+b n,得(a+2b)4=a4+a3(2b)+a2(2b)2+a(2b)3+(2b)4=a4+8a3b+24a2b2+32ab3+16b4.(2)(2x)5+(2x)4·(2x)3(2x)2(2x)=32x5-120x2+.12.(2014重庆一中高二下学期期中考试)在(3-x)20(x∈R,x≠0)的展开式中,已知第2r项与第r+1项(r≠1)的二项式系数相等.(1)求r的值;(2)若该展开式的第r项的值与倒数第r项的值的相等,求x的值.解:(1)由题意知,即2r-1=r或2r-1=20-r,解得r=7或r=1(舍去).故r的值为7.(2)T r=·321-r·(-x)r-1,当r=7时,T7=·314·x6,倒数第7项,即T15=·36·x14,由题意·314·x6=··36·x14,解得x=±6.13.已知在的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.解:(1)通项公式为T k+1=(-3)k(-3)k.∵第6项为常数项,∴k=5时有=0,即n=10.(2)令=2,得k=(n-6)=2,因此所求的系数为(-3)2=405.(3)根据通项公式,由题意得令=r(r∈Z),则10-2k=3r,即k=5-r.∵k∈Z,∴r应为偶数.于是r可取2,0,-2,即k可取2,5,8.故第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为(-3)2x2,(-3)5,(-3)8x-2.。
人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1 二项式定理A组基础同步训练(含解析)
人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1二项式定理A 组基础同步训练（原卷版）一、选择题1．（2021·北京高二期末）在4(x 的展开式中，2x 的系数为（）A ．6B ．12C ．24D ．482．化简23133x x x +++=（）A ．4x B ．()31x +C ．()41+x D ．()31x -3．（2021·山东菏泽三中高二月考）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年､1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则，在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，x 的系数为（）A ．10B ．52-C ．54D ．54-4．（2021·云南高二期末）51x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．10B ．10-C ．5D ．5-5.（多选题）（2021·江苏苏州市高二月考）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则n 的取值可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．66．（多选题）（2021·全国高二专题练习）若二项式6(x展开式中的常数项为15，则实数m 的值可能为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－2二、填空题7．展开5212-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=_____．8．（2021·全国高二课时练习）在二项式5(x -的展开式中，2x 的系数为__________．9．（2021·全国高二课时练习）若9(a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a =．10．（2021·云南省保山第九中学高二月考）()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是________．三、解答题11．（2021·湖北荆门市高二月考）已知4530n n A C =，设()nf x x ⎛= ⎝．（1）求n 的值；（2）求()f x 的展开式中的常数项．12．（2021·江西高二期末）在二项式122x ⎫-⎪⎭的展开式中，（1）求展开式中含3x 项的系数：（2）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值.人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1二项式定理A 组基础同步训练（解析版）一、选择题1．（2021·北京高二期末）在4(x 的展开式中，2x 的系数为（）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】B【详解】4(x -展开式的通项为(44rr r C x -，由42-=r ，解得2r =，则2x 的系数为(2246212C=⨯=，故选：B2．化简23133x x x +++=（）A ．4xB ．()31x +C ．()41+x D ．()31x -【答案】B【详解】()3230312223333331331111x x x C C x C x C x x +++=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=+.3．（2021·山东菏泽三中高二月考）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年､1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则，在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，x 的系数为（）A ．10B ．52-C ．54D ．54-【答案】D【详解】5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()251031551122k kk kk k k k T C xx C x---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1031k -=，解得3k =，所以二项式展开式中，x 的系数为3351524C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.4．（2021·云南高二期末）51x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．10B ．10-C ．5D ．5-【答案】B【详解】要求51x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项，只需求51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数.因为51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为()3351C 10-=-，所以51x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为10-.5.（多选题）（2021·江苏苏州市高二月考）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则n 的取值可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】BD【详解】因为1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第1r +项为()()2111r r r n r r rn r r n n T C x x C x ---+=-=-，若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则只需20n r -=，即2n r =，又*n N ∈，r N ∈，所以n 只需为正偶数即可，故AC 排除，BD 可以取得；故选：BD.6．（多选题）（2021·全国高二专题练习）若二项式6(x展开式中的常数项为15，则实数m 的值可能为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】AB【详解】二项式6x⎛ ⎝展开式的通项为，661rr r r C x T -+=3626r r r x m C -=，令3602r -=，得4r =，常数项为44615C m =，41m =，得1m =±，故答案为±1.二、填空题7．展开5212-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=_____．【答案】52471080401013280x x x x x x-+-+-【详解】()()()()()154555355222222343205212455511111122·2222x C x C x C x C x C x x C x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=--+⎭+⎝52471080401013280x x x x x x=-+-+-．8．（2021·全国高二课时练习）在二项式5(x -的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52.【详解】结合二项式定理的通项公式有：355215512rrr r r r r T C x C x --+⎛⎛⎫==-⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：22511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭.9．（2021·全国高二课时练习）若9(a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a =．【答案】1【详解】9()a x x -展开式的的通项为()992199rr r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令9233r r -=⇒=，9()a x x-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=.10．（2021·云南省保山第九中学高二月考）()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是________．【答案】3【详解】()5552222211121121x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()52101552111rr rr r r r R C C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，所以，()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()()()2210210282101,155********k r k rk k r r k k r r k r T x C x C x C x C x ----++=⋅-⋅+⋅-⋅=⋅-⋅+⋅-⋅，由2802100k r -=⎧⎨-=⎩，可得45k r =⎧⎨=⎩，因此，()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为()()4545551213C C ⋅-+⋅-=.三、解答题11．（2021·湖北荆门市高二月考）已知4530nnA C =，设()nf x x ⎛= ⎝．（1）求n 的值；（2）求()f x 的展开式中的常数项．【详解】（1）由已知4530n n A C =得：()()!30!4!5!5!n n n n =--，()()()!30!45!1205!n n n n n =---解得:8n =．（2）8x ⎛ ⎝展开式的通项为()()48831881kkk k k k k T C x C x --+骣ç=-=-çç由4803k-=得6k =，即()f x 的展开式中的常数项为728T =．12．（2021·江西高二期末）在二项式122x ⎫-⎪⎭的展开式中，（1）求展开式中含3x 项的系数：（2）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值.【详解】(1)设第1k ＋项为362112(2)kk kk T C x-+=-，令363,2k -=解得2k ＝，故展开式中含3x 项的系数为()22122264C -=.(2)∵第3k 项的二项式系数为3112k C -，第2k +项的二项式系数为112k C +，∵3111212=k k C C -+，故31+1k k －＝或31++112r r －＝，解得1k ＝或3k ＝.。
高考数学第一轮复习强化训练 10.3《二项式定理》新人教版选修23
【考纲要求】1、能用计数原理证明二项式定理.2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】1、二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。
2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =⋅⋅⋅） （1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项（2）其中rn C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数。
（3）注意0,1,2,,r n =⋅⋅⋅3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。
即m nC =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。
（3）所有二项式系数的和等于2n，即n nn n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质： 对于2012()n n f x a a x a x a x =++++0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=，0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-5、证明组合恒等式常用赋值法。
【例题精讲】例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1令x=1，得到2004210......a a a a ++++=1又原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=)......(2003)......(2004200421002004210a a a a a a a a a +++++=++++ ∴原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=2004 例2. 已知二项式nxx )2(2-，（n ∈N *）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴110)2()2(2244=-⋅-⋅CC nn，解得n=8 令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1(2) 展开式中第r 项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r n r C--⋅218,r r C 28⋅,1182++⋅r r C ,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：r n r C --⋅218≤r r C 28⋅ 并且1182++⋅r r C ≤r rC 28⋅，解得5≤r ≤6；所以系数最大的项为T 7=1792111x ⋅；二项式系数最大的项为T 5=112061x⋅10.3二项式定理强化训练 【基础精练】1．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．52．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( )A ．45B ．55C ．70D ．80 3．在(1x ＋ 51x3)n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．7924．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－2x3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( )A ．10B ．6C ．5D ．35．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( )A ．第2n ＋1项B ．第2n ＋2项C ．第2n 项D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项7．若(x 2＋1x3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．8．（ x ＋2x2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用数字作答) 9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x ＝________. 10．已知(x －124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．11．设(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5；(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2.【拓展提高】1．在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．【基础精练参考答案】1.B 【解析】：T k ＋1＝C k 5x 2(5－k )(－x －1)k ＝(－1)k C k 5x 10－3k(k ＝0,1，…，5)，由10－3k ＝4得k ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10.2.C 【解析】：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55·(2)5＝1＋52＋20＋202＋20 ＋42＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.3.B 【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 611＝462. 4.C 【解析】：∵T k ＋1＝C kn (3x 2)n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3k＝(－1)k·C k n 3n －k·2k ·x2n －5k，∴由题意知2n －5k ＝0，即n ＝5k 2，∵n ∈N *， k ∈N， ∴n 的最小值为5.5.B 【解析】：⎝⎛⎭⎪⎫2x －y 25的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于－1；第六项的系数为C 5520⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＞－1，故系数大于－1的项共有4项． 6.A 【解析】：由二项展开式的通项公式T k ＋1＝41k n C + (－x )k＝(－1)k41kn C +x k，可知系数为(－1)k41k n C +，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n ＋1项和第2n＋2项，又由第2n ＋1项系数为(－1)2n41k n C +＝41k n C +，第2n ＋2项系数为(－1)2n ＋12141n n C ++＝－2141n n C ++＜0，故系数最大项为第2n ＋1项．7.10【解析】：展开式中各项系数之和为S ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，∴n ＝5.T k ＋1＝5kC ()52kx － (1x3)k ＝5k C 1023k k x －－＝5kC 105k x －，∴展开式中的常数项为T 3＝C 25＝10. 8. 10 253【解析】：∵T k ＋1＝C k 5x5－k·(2x2)k ＝C k 5x 5－3k ·2k，由5－3k ＝2，∴k ＝1，∴x 2的系数为10. 令x ＝1得系数和为35＝243.9. －13【解析】：由T 7＝C 6923x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－226＝214， ∴x ＝－13.10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n (12)，C 2n (12)2，且2C 1n ·12＝1＋C 2n (12)2，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)， ∴展开式的第k ＋1项为C k8(x )8－k(－124x)k＝(－12)k C k 8·x 8－k 2·x －k 4＝(－1)k·C k82k ·x 16－3k 4.(1)证明：若第k ＋1项为常数项， 当且仅当16－3k 4＝0，即3k ＝16，∵k ∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项． (2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k4为整数，∵0≤k ≤8，k ∈Z，∴k ＝0,4,8， 即展开式中的有理项共有三项，它们是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2. 11.【解析】设f (x )＝(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5， 则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(－3)5＝－243.(1)∵a 5＝25＝32，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝f (1)－32＝－31. (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5 ＝－f (－1)＝243.(3)∵f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝2442＝122.(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5) ＝f (1)×f (－1)＝－243. 【拓展提高参考答案】(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k －1项系数最大，于是2222222242424202022222222202220203232,3232k k k k k k k k k k k kC C ----------⎧⎪⎨⎪⎩≥C ≥C 化简得221014310070.10163924k k k k ⎧-⎪⎨+-⎪⎩≤≥0又k 为不超过11的正整数，可得k ＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T 9＝C 820·312·28·x 12·y 8.。
1.3.1二项式定理-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3同步课时练
高二年级（数学）学科习题卷 二项式定理编号：102一、选择题：1．(x ＋2)n 的展开式共有12项，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．8 2．6(2)x +的展开式中3x 的系数是 ( )A ．20B ．40C ．80D ．1603. 61()x x-的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－404．若(1＋2)4＝a ＋b 2 (a 、b 为有理数)，则a ＋b 等于( )A ．33B ．29C ．23D ．195．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．－5B ．5C ．－10D ．106．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－2107．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )A ．－210B ．210C ．－120iD ．－210i 8．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 4109．在⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3B ．5C ．8D ．1010．在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3B ．4C ．5D ．611．已知⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( ) A ．17 B ．－17 C ．7 D ．－712．若二项式⎝⎛⎭⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( ) A ．6B ．10C ．12D ．1513． ⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5D ．2014．(x ＋ax)5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )A ．－1B. 12C ．1D ．215．在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项16．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( )A ．－297B ．－252C ．297D ．20717．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112＜x ＜15B.16＜x ＜15C.112＜x ＜23D.16＜x ＜25二、填空题：18．(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______．(用数字填写答案)19．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 20．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为___________． 21．(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为_____________．三、解答题22．记⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m ． (1)求b m 的表达式；(2)若n ＝6，求展开式中的常数项； (3)若b 3＝2b 4，求n ．23．若二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．24．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．1、解析：选C ∵(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n 的展开式共有12项，∴n ＝11．故选C ．2：答案：D解析：333162160r T C x +==3：答案：B解析:6621661()(1)r rr r rr r T C x C x x--+=-=-3r =常数项为-20 4：答案：B解析:40123444444(12)22224C C C C C +=+•+•+•+,所以a=17,b=125：答案：D解析:5(1)x -中3335()10C x x -=-，而6(1)x -中3336()20C x x -=-两式相减得310x 6：答案：A解析：46446410(2)840C x y x y -=7、解析：选A 由通项公式得T 7＝C 610·(－i)6＝－C 610＝－210．8、【答案】 D【解析】 ∵T r ＋1＝C r 10x 10－r (－3)r .令10－r ＝6，解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 410. 9、【答案】 B 【解析】T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r⎝⎛⎭⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n x 3n －5r.令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z . ∴n 的最小值为5. 10、【答案】 D【解析】 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x )r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.11、解析：选B T 4＝C 37x 4⎝⎛⎭⎫－1x 3＝5，∴x ＝－17． 12、解析：选C ∵T 5＝C 4n (x )n －4·⎝⎛⎭⎫－2x 4＝24·C 4n x n －122是常数项，∴n －122＝0，∴n ＝12． 13、解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A ． 14、【答案】 D【解析】 C r 5·x r (a x)5－r ＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4，由C 45·a ＝10，得a ＝2. 15、【答案】 A【解析】 T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝⎛⎭⎫－12r ＝⎝⎛⎭⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，∴(2)r与220－r 3均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.∴r ＝2,8,14,20.16、解析：选D x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项．∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207．17、【答案】 A【解析】 由⎩⎨⎧ T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎨⎧C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜15. 18、解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r 5·x 5－r 2． 令5－r 2＝3，得r ＝4．故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10． 答案：10 19、【答案】 2【解析】 C 36(x 2)3·⎝⎛⎭⎫1ax 3＝20a 3x 3＝52x 3，∴a ＝2. 20：答案：179解析：两种方式产生10x ，第一种22810104180x C x x •••=，第二种0100101012C x x -•••=-相加为17921、【答案】 －5【解析】 (1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6＋x ⎝⎛⎭⎫x －1x 6＋x 2⎝⎛⎭⎫x －1x 6， ∴要找出⎝⎛⎭⎫x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x2项的系数， T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝0，∴r ＝3， 令6－2r ＝－1，无解． 令6－2r ＝－2，∴r ＝4.∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.22、解：(1)⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为 C m －1n·(2x )n －m ＋1·⎝⎛⎭⎫1x m －1＝2n ＋1－m ·C m －1n ·x n ＋2－2m ，所以b m ＝2n ＋1－m ·C m －1n ． (2)当n ＝6时，⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝26－r ·C r 6·x 6－2r．依题意，6－2r ＝0，得r ＝3， 故展开式中的常数项为T 4＝23·C 36＝160． (3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n ，从而C 2n ＝C 3n ，即n ＝5．23、解：∵T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 6x 6－3r 2， 令6－3r2＝3，则r ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2； 令6－3r2＝0，则r ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4． 24、【解析】 通项为：T r ＋1＝C r n ·(x )n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r . 由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得：n ＝8. 记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有：t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有：⎩⎪⎨⎪⎧C k －18·2－k ＋1≥C k 8·2－k C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2 即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2.[来源:学。
高中数学选修2-3同步练习题库：二项式定理(简答题：一般)
二项式定理（简答题：一般）1、已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.2、已知n展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求n 展开式中的系数最大的项。
3、已知，在的展开式中，第二项系数是第三项系数的．（Ⅰ）展开式中二项系数最大项；（Ⅱ）若，求①的值；②的值．4、定义：在等式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，1).(1)填空：三项式的2次系数列是_______________；三项式的3次系数列是_______________；(2)由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质,类似的请用三项式次系数列中的系数表示 (无须证明)；(3)求的值.5、已知，是虚数单位，，，求展开式中系数为正实数的项.6、已知.（1）求展开试中含项的系数；（2）设的展开式中前三项的二项式系数之和为，的展开式中各项系数之和为，若，求实数的值.7、已知（，）展开式的前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. （1）求和的值；（2）展开式中是否存在常数项？若有，求出常数项；若没有，请说明理由；（3）求展开式中二项式系数最大的项.8、若的展开式的二项式系数和为128.(1)求的值；(2)求展开式中的常数项.9、已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10:1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.10、已知（）的展开式中各项的二项式系数和为64.（Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）求展开式中的常数项.11、已知函数f(x)＝－x3＋3f′(2)x，令n＝f′(2)，则二项式展开式中常数项是第____项．12、已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．13、(Ⅰ)已知，其中.（i）求；（ii）求.(Ⅱ)2017年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位.（i）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？（ii)若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案有几种？14、如果（1）求a。
数学选修2-3二项式定理练习题含答案
18.二项式 的展开式中 项的系数为________．
19.已知 对任意 恒成立，则 ________；若 ，则 ________．
20.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，记作数列 ，若数列 的前 项和为 ，则 ________．
（4）奇数项系数和与偶数项系数和．
26.已知在 的展开式中，第 项为常数项
（1）求 的展开式中含 的项的系数；
（2）求 的展开式中系数最大的项．
27.已知 ，在 的展开式中，第二项系数是第三项系数
（1）展开式中二项系数最大项；
（2）若 ＝ ，求 的值．
28.已知 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等．
则有 ，∴ ，解得 ，
故答案为： ．
15.
【答案】
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得 的展开式中二项式系数最大的项．
【解答】
在 的展开式中，通项公式为 ，
故第 项的系数为 ，故当 ＝ 时，二项式系数最大，
故当 ＝ 时，展开式中二项式系数最大的项为 ＝ ，
（1）求 的值；
（2）求展开式中的常数项（用组合数表示）．
参考答案与试题解析
数学选修2-3二项式定理练习题含答案
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
北师大版高中数学选修2-3二项式定理同步练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作二项式定理 同步练习【选择题】1、在（1+x ）n 的展开式中，第9项为 （ ）A.C 9n x 9B. C 8n x 8C. C 9n x 9-nD. C 8n x 8-n2、在(a －b)n (n∈N +)展开式中，第r 项的系数为 ( )A.C rn B .C 1-r n C. (－1)r C r n D. (－1)r-1C 1-r n3、在(1－26x )n 展开式中，第5项的二项式系数和第7项的二项式系数相等，则n ＝（ ）A.8B.9C.10D.114、二项式（a +b ）2n (n ∈N +)的展开式中，二项式系数最大的项是 （ ）A.第n 项B.第n+1 项C.第n+2 项 D .不确定5、在(a+b)n 展开式中与第k 项系数相同的项是 （ ）A ．第n －k 项 B.第n －k+1项 C.第n －k+2项 D.第n+k －1项6、（a+b ）n +（a －b ）n (n 是奇数)展开式合并后还有 （ ）A.2(n+1)项B.21n +项 C.n+1项 D 21-n 项7、若（X X 1+）n (n∈N +)展开式中含有常数项，则n 必为 （ ） A.奇数 B.偶数 C.3的倍数 D.6的倍数8、在（X －X1）10展开式中系数最大的项是 （ ） A.第5、7项 B.第6项 C.第5、6项 D.第6、7项【填空题】 9、（2123-）20展开式中有理项共有 项。
10、352003除以6的余数为 。
11、若（aa 13-）n 展开式中，第三项含有a 4，则n = 。
12、（1+x ）6（1－x ）4展开式中含有x 3项的系数为 。
【解答题】13、已知（1+a ）n 展开式中连续3项的系数比为3：8：14，求展开式中系数最大的项。
14、在（a+b ）23的展开式中，是否存在连续三项，这三项的系数成等差数列？如果存在，说明是哪些项，如果不存在，说明理由。
高中数学选修2-3 同步练习 1.3 二项式定理(解析版)
第一章 计数原理1.3 二项式定理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(1+x )7的展开式中x 2的系数是 A ．42 B ．35 C ．28 D ．21【答案】D【解析】(1+x )7的展开式的通项公式为T r+1=7C r x r , 令r =2,得x 2的系数为27C =21.故选D. 【技巧点拨】熟记二项式定理：011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈N ，是解决此类问题的关键.2．二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是A ．6x 4B ．﹣6x 4C ．12x 4D ．﹣12x 4【答案】D【解析】展开式的通项公式6162C rr rr T xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.选D ．【名师点睛】（1）求二项展开式的特定项的常见题型①求第r 项，T r =C r －1n an －r ＋1b r －1；②求含x r 的项(或x p y q 的项)； ③求常数项； ④求有理项．（2）求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．3．若6axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中含32x项的系数为，则实数的值为A．B．C．D．【答案】B4．的展开式中,的系数为A．B．C．D．【答案】B【解析】的展开式的通项为,则的展开式中,的系数为5．在3nxx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为A．50 B．70 C．90 D．120 【答案】C【解析】∵各项系数和与二项式系数和之比为32，∴4322nn=，得∴通项公式为135522 155C33Crrr r r rrT x x x---+⎛⎫==⎪⎝⎭，令3522r -=，的系数为【总结归纳】二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指0C n ，1C n ，…，C nn ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如()na bx +的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C rn ，而该项的系数是C rn rr n ab -.当然，某些特殊的二项展开式如(1)n x +，各项的系数与二项式系数是相等的．6．已知()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为40-，则a 的值为A ．2B ．2-C ．2±D ．4【答案】C【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先写出51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a 的方程，解方程即可求得最终结果.7．已知二项式4112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则展开式的常数项为A ．1-B ．1C ．47-D ．49【答案】B【解析】44111212x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦234111114262422x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴二项式中的常数项产生在24111,62,2x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭中，分别是()()2224111,622,C 2x x x x ⎛⎫⨯⋅-⋅⋅- ⎪⎝⎭, 它们的和为124241-+=，故选B ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题.解题时，首先将4112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变形为4112x x⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果. 8．＝,则等于A ．32B ．-32C ．-33D ．-31【答案】D 【解析】因为＝,当时,当时,① 当时,②①-②，得=①+②，得=所以=故选D ．9．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】D【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r rr T x -+=-， 令1222r -=，得5r =.∴展开式中含2x 项的系数是()55121C 792-=-，故选D ．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可；（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 10．设，若，则展开式中二项式系数最大的项为A ．第4项B ．第5项C ．第4项和第5项D ．第7项【答案】C 【解析】令，可得，令，得，由题意得，代入得，所以，又因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第项，故选C.11．的展开式中恰有三项的系数为有理数，则的可能取值为A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】由题意，展开式中项的系数为3C 32n r rrn-⋅⋅，系数为有理数，则n ﹣r 是3的倍数，r 是2的倍数， n =9，r =6，不符合； n =10，r =4,10，不符合； n =11，r =2，8，不符合； n =12，r =0,6,12，符合题意， 故选D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．12．如果13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是 ______ . 【答案】-189【技巧点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．利用二项展开式的通项时注意下列问题： （1）C kn kk n ab -是第k ＋1项，而不是第k 项．（2）通项公式中a ，b 的位置不能颠倒．（3）通项公式中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.13．设5250125)21(x a a x a x a x -=++++,则125a a a +++=_________.【答案】2【解析】令x ＝1可得()501252111a a a a ++++=⨯-=,令x ＝0可得()5011a =-=-, 所以125a a a +++＝2.【名师点睛】“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x =0可得常数项，令x =1可得所有项系数之和，令x =－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 14．233除以9的余数是_________.【答案】8【解析】233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21199－···＋C 10119－1＝9(910－C 11199＋···＋C 1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.【名师点睛】利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开. 15．(N *)展开式中不含的项的系数和为 ________ .【答案】1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在二项式(2x −3y )9的展开式中,求：（1）二项式系数之和； （2）各项系数之和；（3）各项系数绝对值之和.【解析】设(2x −3y )9=a 0x 9+a 1x 8y+a 2x 7y 2+···+a 9y 9. （1）二项式系数之和为09C +19C +29C +···+99C =29. （2）各项系数之和为a 0+a 1+a 2+···+a 9, 令x =1,y =1,得a 0+a 1+a 2+···+a 9=(2−3)9=−1. （3）|a 0|+|a 1|+|a 2|+···+|a 9|=a 0−a 1+a 2−···−a 9, 令x =1,y =−1,得|a 0|+|a 1|+|a 2|+···+|a 9|=a 0−a 1+a 2−···−a 9=59, 则各项系数绝对值之和为59.17．已知在2112nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第项为常数项. 求：（1）的值； （2）展开式中的系数.【解析】（1）在212nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，第9项为常数项， 而第9项为,故有2n −20=0，解得n =10.（2）由（1）可得展开式的通项公式为()()52010202102211010C 2112C r rrrr r rr r r T xxx-----+=⋅⋅⋅-⋅=-⋅⋅.令20−=5,求得r =6,故展开式中x 5的系数为61041105C 28⋅=. 18．利用二项式定理证明2n +2·3n +5n －4(n *∈N )能被25整除.【解析】因为2n +2·3n =4×(1＋5)n ，所以2n +2·3n ＋5n －4，所以n ≥2时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除， n =1时，2n +2·3n ＋5n －4=25.所以，当n *∈N 时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除. 19．已知a >0,b >0,m ≠0,n ≠0,若二项式(ax m +bx n )12的展开式中系数最大的项恰好是常数项,且2m+n =0,求ab的取值范围.【解析】T r+1=12C r (ax m )12−r ·(bx n )r =a 12−r b r 12C rx m (12−r )+nr . 令m (12−r )+nr =0, 又2m+n =0,所以m (12−r )−2mr =0, 又m ≠0,得r =4.所以展开式中的常数项为第5项,且为系数最大的项,则48439312124845751212C C C C a b a ba b a b⎧>⎨>⎩. 又a >0,b >0,所以9485b a a b ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,所以8954a b <<，即a b 的取值范围是89()54,. 20．（1）已知的第九项,第十项,第十一项的二项式系数依次成等差数列,求;（2）若()()621x a x a x ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R 的展开式中常数项为,求212ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的有理项.【解析】（1）由题意:成等差数列,则.化简得.（2）()()621x a x a x ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R 展开式中的常数项为+=,得，则4221122ax x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而4212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为=.故展开式中的有理项有83213531,,216T x T x T x -===。
高中数学 1.3.1二项式定理同步测试 新人教A版选修23
【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.3.1二项式定理同步测试新人教A 版选修2-3一、选择题1．(2013·景德镇市高二期末)在(x －12x )10的二项展开式中，x 4的系数为( )A ．－120B ．120C ．－15D ．15[答案] C [解析] T r ＋1＝C r10x10－r(－12x )r ＝(－12)r ·C r 10x 10－2r令10－2r ＝4，则r ＝3. ∴x 4的系数为(－12)3C 310＝－15.2．(2013·福州文博中学高二期末)在(x2－2x)6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B ．154C ．－38D ．38[答案] C [解析] ∵T r ＋1＝C r6(x2)6－r·(－2x)r＝C r6(－1)r 22r －6x 3－r(r ＝0,1,2，…，6)，令3－r ＝2得r ＝1.∴x 2的系数为C 16(－1)1·2－4＝－38，故选C.3．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，若a 0＋a 1＋…＋a n ＝30，则n 等于( )A ．5B ．3C ．4D ．7[答案] C[解析] 令x ＝1得a 0＋a 1＋…＋a n ＝2＋22＋ (2)＝30得n ＝4. 4．(2014·湖南理，4)(12x －2y )5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20[答案] A[解析] 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(12x )5－r ·(－2y )r ＝(12)5－r ·(－2)r C r 5x 5－r y r.当r ＝3时为T 4＝(12)2(－2)3C 35x 2y 3＝－20x 2y 3，故选A.5．(2013·辽宁理，7)使(3x ＋1x x)n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] B[解析] 由二项式的通项公式得T r ＋1＝C r n 3n －r xn －52r ，若展开式中含有常数项，则n －52r ＝0，即n ＝52r ，所以n 最小值为5.选B.6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297 D ．207[答案] D[解析] x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项． ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207. 二、填空题7．x (x －2x)7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)[答案] 84[解析] x 4的系数，即(x －2x)7展开式中x 3的系数，T r ＋1＝C r 7·x7－r ·(－2x)r ＝(－2)r ·C r 7·x 7－2r， 令7－2r ＝3得，r ＝2， ∴所求系数为(－2)2C 27＝84.8．(2013·景德镇市高二质检)设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式(a x －1x)6的展开式中的常数项等于________．[答案] －160[解析] a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝2，二项式(2x －1x)6展开式的通项为T r ＋1＝C r6(2x )6－r·(－1x)r＝(－1)r ·26－r·C r 6x3－r，令3－r ＝0得，r ＝3，∴常数项为(－1)3·23·C 36＝－160.9．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a 、b 为有理数)，则a ＋b 等于__________________． [答案] 70[解析] ∵(1＋2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292＝a ＋b 2，又a 、b 为有理数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝41，b ＝29.∴a ＋b ＝41＋29＝70.三、解答题10．求二项式(a ＋2b )4的展开式． [解析] 根据二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b nn 得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 3(2b )＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.一、选择题11．若二项式(x －2x)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15[答案] C[解析] ∵T 5＝C 4n (x )n －4·(－2x )4＝24·C 4n x n －122是常数项，∴n －122＝0，∴n ＝12.12．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] 通项T r ＋1＝C r10(x 2)n －r(－1x)r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.13．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A ．112＜x ＜15B ．16＜x ＜15 C ．112＜x ＜23 D ．16＜x ＜25[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧T 2>T 1，T 2>T 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C 162x >1，C 162x >C 262x 2.∴112＜x ＜15. 二、填空题 14．设二项式(x －a x)6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．[答案] 2 [解析] T r ＋1＝C r 6x6－r(－a x)r ＝(－a )r C r 6x 6－32r ，所以6－32r ＝3时，r ＝2，所以A ＝15a 2,6－32r ＝0时，r ＝4，所以B ＝15a 4，所以15a 4＝4×15a 2，所以a 2＝4，又a >0，得a ＝2. 15．若x >0，设(x 2＋1x)5的展开式中的第三项为M ，第四项为N ，则M ＋N 的最小值为________．[答案]522[解析] T 3＝C 25·(x 2)3(1x )2＝54x ，T 4＝C 35·(x 2)2·(1x )3＝52x， ∴M ＋N ＝5x 4＋52x ≥2258＝522. 三、解答题16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．[解析] 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1 ，n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝1.x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.17．(2013·山东嘉祥一中高二期中，大庆实验中学期中)在二项式 (3x－123x)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)C0n＋14C2n＝2·12C1n，∴n2－9n＋8＝0；∵n≥2，∴n＝8.(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T5＝C48(3x)4·(－123x)4＝358.(3)研究系数绝对值即可，⎩⎪⎨⎪⎧C r812r≥C r＋1812r＋1，C r812r≥C r－1812r－1，解得2≤r≤3，∵r∈N，∴r＝2或3.∵r＝3时，系数为负．∴系数最大的项为T3＝7x43 .。
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二项式定理 解答题测试 1.求3)21(-+
x
x 展开式中的常数项. 2.求62)1(x x -+展开式中的x 5项.
3.求二项式
6
)12(x x -的展开式的第六项的二项式系数和第六项的系数. 4.求14
43)1(x x -展开式中的常数项.
5.求(1-x )6(1+x )4展开式中x 3的系数.
6.计算(1.009)5的近似值(精确到0.001)
7.已知（n x x )1214+
展开式中，前三项系数成等差数列：（1）求展开式的中间项.(2)求展开式中的x 的有理项.
8.已知（9)2x x a -的展开式中x 3的系数为49，求常数a 的值？
9.求1995)(d c b a +++展开式中95900800200d c b a 项的系数.
10.已知(1+a )n 展开式里,连续三项的系数比是3∶8∶14,求展开式里系数最大的项.
11.求(x -2y )7展开式中系数最大的项.
12.在(1-x 2)20展开式中,如果第4y 项和第y +2项的二项式系数相等,
(1)求y 的值;
(2)写出展开式中的第4y 项和第y +2项.
13.在n
x x )21(4+
的展开式中,已知前三项系数成等差数列,求展开式里所有的有理项.
14.已知(1+x )n 展开式的第五、六、七项系数成等差数列,求展开式中系数最大项.
15.已知(1+2x )n 展开式中,某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍,而等于它后一项系数的65
,试求该展开式中二项式系数最大的项.
16.求(x -1+x 1
)５的展开式中含x 的项.
17.设f (x ) = (1+ x )m +(1+2x )n (其中m 、n 都是自然数) f (x )中含x 的项的系数是17，求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最大值与最小值.
18.某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷).
19.求9
)213(x x -
中的x 3的系数.
20.在20)23(y x -的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3）
系数最大的项.
21.对于2
)212(x x -
的展开式，求：
（1）各项系数的和；
（2）奇数项系数的和；
（3）偶数项系数的和.
22.求46)1()1(x x +-展开式中x 3的系数.
23.已知
n x x )3(232+展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中系数最大的项.
24.已知n
x x )21(4-
的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.
（1）证明展开式中没有常数项；
（2）求展开式中所有有理项.
25.求证：98322--+n n 能被64整除.
26.已知n x x )31(+的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14:3，求展开式中的常数项.
27.在993)32(+的展开式中，试求：
（1）第几项的二项式系数最大？
（2）有多少个有理项？
28.求102)11(x x +
+经过展开合并后，常数项的值.
29.，求：已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=-Λ
72101a a a a ++++Λ）（
7632102a a a a a a -++-+-Λ）（
76543103a a a a a a a ++++++）（
30.已知i ,m ,n 是正整数,且1<i ≤m <n .
(1)证明:n i i m A <m i i n A
(2)证明:(1+m )n >(1+n )m
31.求（1+2x )12展开式中系数最大的项.
32.已知f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (n ,m ∈N *)的展开式中x 的系数为13,且32
22C C +-=n m n m n
(1)求m ､n 之值;
(2)求展开式中含x 2项的系数.
33.设a >0,若（1+ax 21)n 的展开式中含x 2项的系数等于含x 项的系数的9倍，且展开式中第3项等于135x ,那么a 等于多少？
34.已知n
x x )31(+
的展开式中的系数之和比(a +b )2n 展开式系数之和小于240.
求:n
x x )1(3+
的展开式中系数最大的项?
35.求证:32n +2-8n -9能被64整除.
36.求证：0
C n p m C ＋1
C n 1C -p m ＋…＋p n C 0
C m ＝p n m +C
37. 若()n
x x ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-11log 5的展开式中各奇数项二项式系数之和为32，中间项为2 500，求x . 38.求证:
()()()()().!!!222212
0n n n C C C C n n r n n n =+++++ΛΛ
39.已知i,m,n 是正整数,且1＜i ≤m ＜n
(1)证明i n i i m i P m P n <
(2)证明(1＋m )n ＞(1＋n )m
参考答案 1.答案：-20 2.答案：.65x 3.
答案：-12 4.答案：3003 5.答案：8 6.答案：1.046
7.答案：(1)T 5=835(2)T 1=4408C x x +x T 8355=292561-=x T 8.答案：4
9.答案：.C C C C 9595900
99580017952001995 10.答案：系数最大项为T 6＝5
7C ｘ2·2５ｙ５＝672ｘ2ｙ５.
11.答案：T 5=560x 3y 4 12.答案：(1)4(2)T 4r =-15504x 30T r +2=-15504x 1
13.答案：T 1=x 4,T 5=
,835)21(C 448x x = 14.答案：当n =14时,T 8=3432x 7. 当n =7时,T 4=35x 3或T 5=35x 4.
15.答案：T 4=280x 2
3,T 5=560x 2. 16.答案：原式的展开式中含x 的项为(5+30+10)x =45x .
17.答案：当9,4==m n 时,t 有最小值为60.
当1,8==m n 时,t 有最大值为112.
18.答案：4 19.答案：815309
20.答案：（1）T 11=
10101010201010101010206C )2(3C y x y x ⋅=-⋅ （2）T 9=8128128
2023C y x ⋅⋅
（3）第9项系数最大.
21.答案：（1）展开式中各项系数的和为12
)23(
（2）奇数项系数之和为1312
12253+
（3）12131212)212(2
53x x --是的偶数项系数之和. 22.答案：8
23.答案：.4053265x T =
24.答案：展开式中的有理项有三项，它们是： .2561,835,29541-==
=x T x T x T 25.答案：略
26.答案：5
27.答案：(1)第50项及51项的二项式系数最大.
(2)展开式中共有12个有理项
28.答案：4351
29.答案：-85
30.答案：略
31.答案：第9项系数最大，T 9=812C （2x )8=126720x 8.
32.答案：(1)3,2==n m .
(2)展开式中含x 2项系数为31
33.答案：3
34.答案：T 3=
3222
46)31
()(C x
x x =. 35.答案：略
36.答案：略
37.答案：25=x 或.51
38.答案：略
39.答案：略。