《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)配套课件：7-3
《优化探究》高考数学总复习(人教A文)配套课件选修4-1-2
• 延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋ r.
• 设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r. • 由圆的割线定理知，PA·PB＝6 PD·PC，
6
• ∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r ＝.
• 答案：
• 考向一 圆周角、弦切角和圆的切线问题 • [例1] (2013年银川模拟)如图，已知AB是
• 1．用一个平面去截一个圆柱，当平椭圆面与 圆柱的两底面平行时，截面是一个圆；当
平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一
个
．
• 2．定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
• 八、平面与圆锥面的截线
• 在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于
O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶
点，l′为母线的圆锥面，椭圆任取平面π，若它 与轴l的交角为β(当π与l平抛物行线时，记β＝0)， 则
双曲线
• (1)β>α，平面π与圆锥的交线为
；
• (2)β＝α，平面π与圆锥的交线为
；
• (3)β<α，平面π与圆锥的交线为
．
• 1．(课本习题改编)如图，P是圆O外一点， 过P引圆O的两5 条割线PB、PD，PA＝AB ＝ ，CD＝3，则PC等于( )
• A．2或－5
B．2
• C即．5×3 2 5＝x(x＋3)，解得 x＝2 或 x＝D－．5(舍10去)．故选 B.
切线． • (2)∵AB＝2BO，AB＝2BE， • ∴BO3＝BE＝CO. • 设BO32 ＝BE＝CO＝x，
• 1．(2013年安徽六校联考)已知C点在圆O 直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC 是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D 点．
【优化探究】(教师用书)2014高考数学总复习 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件配套试题 理
【优化探究】（教师用书）2014高考数学总复习 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件配套试题理新人教B版[命题报告·教师用书独具]题号及难度考查知识点及角度基础中档稍难四种命题及其关系1、36、9、10充要条件的判断24、8、11充要条件的应用5、7121．(2013年西城模拟)命题“若a＞b，则a＋1＞b”的逆否命题是( )A．如果a＋1≤b，则a＞b B．如果a＋1＜b，则a＞bC．如果a＋1≤b，则a≤b D．如果a＋1＜b，则a＜b解析：逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”．答案：C2．(2012年高考某某卷)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由条件推结论和结论推条件后再判断．若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．答案：A3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中的真命题只有一个．故选C.答案：C4．(2013年某某模拟)已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由a⊥α，b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α，因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，选A.答案：A5．(2013年潍坊模拟)命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.答案：C二、填空题6．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是____________命题．(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假7．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案：－18．(2013年某某模拟)对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的序号是________．解析：①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a＞b时a2＞b2不一定成立，所以③错误，④中“a＜5”得不到“a＜3”，但“a ＜3”可得出“a＜5”，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，正确．答案：②④9．(2013年某某模拟)下列说法：①“∃x ∈R,2x >3”的否定是“∀x ∈R,2x≤3”； ②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的最小正周期是π； ③命题“函数f (x )在x ＝x 0处有极值，则f ′(x 0)＝0”的否命题是真命题；④f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x >0时的解析式是f (x )＝2x，则x <0时的解析式为f (x )＝－2－x.其中正确的说法是________．(写出所有正确结论的序号)解析：对于①，“∃x ∈R,2x >3”的否定是“∀x ∈R,2x≤3”，因此①正确；对于②，注意到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3，则其最小正周期是2π4＝π2，②不正确；对于③，注意到命题“函数f (x )在x ＝x 0处有极值，则f ′(x 0)＝0”的否命题是“若函数f (x )在x ＝x 0处无极值，则f ′(x 0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f (x )＝x 3，当x 0＝0时，③不正确；对于④，依题意知，当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－2－x，因此④正确．综上所述，其中正确的说法是①④.答案：①④ 三、解答题10．给出命题：已知a 、b 为实数，若a ＋b ＝1则ab ≤14，判断其逆命题、否命题、逆否命题的真假．解析：因为a ＋b ＝1⇒1＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2≥4ab ⇒ab ≤14，所以原命题为真命题．从而逆否命题亦为真命题；若ab ≤14，显然得不出a ＋b ＝1，故逆命题为假命题，从而否命题亦为假命题．11．求方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件． 解析：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负根． 当a ＝0时，x ＝－12，适合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a ≥0，∴a ≤1， 当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1.当a <1时，若方程有且仅有一负根，则x 1x 2＝1a<0，∴a <0.综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.12．(能力提升)求证：方程x 2＋ax ＋1＝0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |＞3，这个条件是其充分条件吗？为什么？证明：设x 2＋ax ＋1＝0的两实根为x 1，x 2，则平方和大于3的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4≥0，x 21＋x 22＝x 1＋x 22－2x 1x 2＝－a2－2＞3，即a ＞5或a ＜－ 5. ∵{a |a ＞5或a ＜－5}{a ||a |＞3}，∴|a |＞3这个条件是必要条件但不是充分条件．[因材施教·学生备选练习]1．(2013年某某模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (4－x )＝f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么f (0)<0是函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：依题意得，f (4－x )＝f (x )＝f (－x )，即函数f (x )是以4为周期的函数．因此，当f (0)<0时，不能得出函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点，如此时f (2)<0，结合该函数的性质分析其图象可知，此时函数f (x )在区间[0,6]上不存在3个零点；反过来，当函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点时，结合该函数的性质分析其图象可知，此时f (0)<0.综上所述，f (0)<0是函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点的必要而不充分条件，选C.答案：C2．(2013年东城区质检)已知直线l 过定点(－1,1)，则“直线l 的斜率为0”是“直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：显然当直线l 的斜率为0时，直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切；当直线l 与圆x 2＋y2＝1相切时，除了直线l 的斜率等于0外，还有直线l 的斜率不存在的情况．所以“直线l 的斜率为0”是“直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．(2013年哈师大附中模拟)“λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若数列a n ＝n 2－2λn 为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3>2λ，λ<32；注意到由λ<1可得λ<32；但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn 为递增数列”的充分不必要条件，选A.答案：A。
【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 4-1-1 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难平行线分线段成比例定理的应用2、57相似三角形的判定及性质的应用1、3、4、69、10、1112 射影定理的应用8一、选择题1．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，则CD为( ) A．3 B．4C．5 D．6解析：∵∠BAC＝∠ADC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC，∴BCAC＝ACCD，∴CD＝AC2BC＝8216＝4.故选B.答案：B2．如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，则BF∶FD等于( )A．2∶5 B．3∶5C．2∶3 D．5∶7解析：∵AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，∴BE∶AD＝2∶5.∵AD∥BC，∴BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5.答案：A3．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，则S△CDE等于( )A.2B.32C.3D ．2解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD .∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，得S △CDE ＝ 3. 答案：C4．如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，要使△ABC ∽△CDB ，那么BD 与a ，b 应满足( )A ．BD ＝b 2aB ．BD ＝ba 2C ．BD ＝a 2b D ．BD ＝ab2解析：∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， ∴当AC BC ＝BCBD 时，△ABC ∽△CDB ，即当a b ＝b BD时，△ABC ∽△CDB ，∴BD ＝b 2a.答案：A5．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FG AD＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵EF ∥BC ，∴EF BC ＝AF AC， 又∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝CF AC， ∴EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋CF AC ＝ACAC＝1. 答案：A 二、填空题6．两个相似三角形面积的比为3∶5，已知较大的三角形大边上的高为3，则较小的三角形大边上的高为________．解析：相似三角形的面积比等于对应边上高的比的平方，易得所求的高为355.答案：3557．(2013年某某调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35， ∵DE ＝6， ∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ， 所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4. 答案：48．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________.解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：139．△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，则这个正方形的边长为________cm.解析：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，设正方形的边长为x cm.∵PN ∥BC ， ∴△APN ∽△ABC . ∴AE AD ＝PN BC ，∴8－x 8＝x 12. 解得x ＝4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm. 答案：4.8 三、解答题10．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .11．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF.证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF . 又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C ， ∴∠BAD ＝∠BDF ， ∴△DBF ∽△ADF .∴DB AD ＝DF AF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ，因此AB AC ＝DB AD. ∴AB AC ＝DF AF.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解析：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ， 所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ， 所以S △BEF S △BDM ＝19， 即S △BDM ＝9S △BEF ， 又S △DMC S △BDM ＝23， 即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ， 因此S △BEFS 四边形DEFC＝114.。
【优化探究】高考数学总复习 提素能高效题组训练 3-4 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-4[命题报告·教师用书独具]1．(2013年潍坊质检)将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析：平移后的函数解析式是y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ＝2sin x cos x ，故函数f (x )的表达式可以是f (x )＝2cos x .答案：B2．(2013年福州模拟)函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A ，B 分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为42，则函数f (x )图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝4D ．x ＝2解析：由题|AB |＝42，而最值之差为4，故T 2＝4，T ＝8，由题设f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ(0<φ<π)为奇函数，故φ＝π2，令π4x ＋π2＝k π，得x ＝－2＋4k ，k ∈Z ，故x ＝2是一条对称轴．答案：D3．(2013年济南模拟)将函数f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( )A.62B ．－1 C. 2 D ．2解析：∵f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －π4＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝62.答案：A4．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )A ．10小时B ．8小时C ．6小时D ．4小时解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，2πω＝12，解得A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，则y ＝0.5cos π6t＋1.令y ＝0.5cos π6t ＋1>1.25(t ∈[0,24])得cos π6t >12.又t ∈[0,24]，π6t ∈[0,4π]，因此0≤π6t <π3或5π3<π6t ≤2π或2π≤π6t <2π＋π3或2π＋5π3<π6t ≤2π＋2π，即0≤t <2或10<t ≤12或12≤t <14或22<t ≤24，在一日内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．答案：B5．(2013年惠州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：由图象知A ＝1，34T ＝11π2－π6＝3π4，T ＝π⇒ω＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2⇒φ＝π6⇒f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则图象向右平移π6个单位后得到的图象的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D.答案：D 二、填空题6．(2013年北京东城模拟)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析：观察图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝3π12，所以T ＝π，从而有ω＝2πT＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入函数解析式f (x )＝2sin(2x ＋φ)得－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，不妨令7π6＋φ＝3π2，得φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案：627．(2013年杭州模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的单调递减区间是________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ·32－sin x ·12 ＝34cos 2x －14sin 2x ＋34＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋34.求此函数的单调递减区间应有2k π≤2x ＋π6≤π＋2k π(k ∈Z )，由此可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12 (k ∈Z )8．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：由题意知ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，∴f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 9．(2013年大庆模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位可以得到图象C .解析：由于2×1112π－π3＝3π2，故①正确；由于2×2π3－π3＝π，故②正确；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故函数为增函数，故③正确；将函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位可得函数y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，故④不正确．答案：①②③ 三、解答题10．已知函数f (x )＝23·s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4 －sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解析：(1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 11．(2013年北京东城模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)已知在函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－1,1,3，求sin ∠MNP 的值． 解析：(1)由题图可知，A ＝1.最小正周期T ＝4×2＝8，所以T ＝2πω＝8，ω＝π4.又f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，且－π2<φ<π2， 所以π4＋φ＝π2，φ＝π4.(2)因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (3)＝0， 所以M (－1,0)，N (1,1)，P (3,0)．设Q (1,0)， 连结MN ，NP .在直角三角形MNQ 中，设∠MNQ ＝α， 则sin α＝25，cos α＝15，所以sin ∠MNP ＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×25×15＝45. 12．(能力提升)如图是某市在城市改造中沿市内主干道季华路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ．其与季华路一边所在直线l 相切于点M ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．(1)以∠AON ＝θ(rad)为参数，将S 表示成θ的函数； (2)试确定当绿化的面积最大时点A 的位置及其最大面积．解析：(1)如题图，BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：所以，当θ＝3时，S 取得最大值S max ＝3 7503m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到季华路一边的距离为150 m.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年金华模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴交于点(0，3)，在y 轴右边到y 轴最近的最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，则不等式f (x )>1的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋56π，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋56π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋π4，k ∈Z 解析：依题意A ＝2,2sin φ＝3且|φ|<π2，∴φ＝π3.由2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πω12＋π3＝2得πω12＋π3＝π2，∴ω＝2，由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3>1，得2k π＋π6<2x ＋π3<2k π＋5π6(k ∈Z )，∴k π－π12<x <k π＋π4(k ∈Z )．答案：D2．(2013年德州模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为π2，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 B ．y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2C ．y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2解析：由题意可得最大值为4，最小值为0，故A 错，两对称轴间的最短距离为π2，故T2＝π2，T ＝π，ω＝2，故C 错，把x ＝π6代入应取最值，可知B 对，D 错，故选B. 答案：B3．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析：由函数图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T ＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． 又∵点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10在图象上，∴10＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ. ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1100＋π6＝－5.答案：A。
《优化探究》高考数学总复习(人教A文)配套课件8-2
x＝－2<0， 3 或 y＝31 6，
(舍去)．
1 37 即存在满足题设条件的点 P，其坐标为 9，18 .
• 1．(2013年荆州模拟)已知点P(2，－1)． • (1) 求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方 程； • (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方 程，最大距离是多少？ 解析：(1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2，而 P 点坐标为(2，－1)， • (3)是否存在过 P点且与原点距离为 6的直线？ 可见，过 P(2，－1)且垂直于 x 轴的直线满足条件． 若存在，求出方程；若不存在，请说明理 此时 l 的斜率不存在，其方程为 x＝2. 由． 若斜率存在，设 l 的方程为 y＋1＝k(x－2)，
1 当 y＝2时，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|， 2 解得 x＝－3<0 或 x＝－3<0，均舍去．
8x＋2y－5＝0， 由 |2x－y＋3|＝|x＋y－1|， 8x＋2y－5＝0， 8x＋2y－5＝0， 化简得 或 x－2y＋4＝0， 3x＝－2.
ห้องสมุดไป่ตู้
x＝1， 9 解得 37 y＝18 ，
考向二 距离问题 [例 2] 已知三条直线 l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x－2y＋1＝0； 7 5 l3：x＋y－1＝0，且 l1 与 l2 的距离是 10 . (1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件： 1 ①点 P 在第一象限；②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的2；③ 点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能， 求点 P 的坐标； 若不能，说明理由．
3． (2013 年宁波三校联考)已知直线 l1 的方程为 3x＋4y－7＝0， 直线 l2 的方程为 6x＋8y＋1＝0，则直线 l1 与 l2 的距离为( 8 A.5 C．4 3 B.2 D．8 )
【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 2-4 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-4[命题报告·教师用书独具]1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确． 答案：D2．(2013年郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x <0，则该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＋f (x )＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x <0时，－x >0，f (－x )＋f (x )＝(1－2x )＋(2x －1)＝0；易知f (0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f (－x )＋f (x )＝0，即函数f (x )是奇函数．当x >0时，函数f (x )是增函数，因此函数f (x )单调递增，选C.答案：C3．(2013年长沙模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 011)＋f (2 012)＝( )A ．1＋log 23B ．－1＋log 23C ．－1D ．1解析：∵f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (－2 011)＝f (2 011)．当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的函数．又2 011＝4×502＋3，2 012＝4×503，∴f (2 011)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1，f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，∴f (－2 011)＋f (2 012)＝－1，选C.答案：C4．(2013年杭州模拟)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：A5．(2013年潍坊质检)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件： ①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，－x 2－4x x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：不妨设函数y ＝log 2x 的图象上的点P (x ，log 2x )，x >0，则其关于坐标原点对称的点的坐标为(－x ，－log 2x )，如果该点在函数y ＝－x 2－4x 的图象上，则－log 2x ＝－x 2＋4x ，问题等价于求这个方程的实数解的个数，不难知道这个方程有两个实数解，故选C.答案：C 二、填空题6．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f x ，x <0是奇函数，则f (x )＝________.解析：令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3. ∴g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案：2x ＋37．(2013年济南模拟)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝________.解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.答案：38．(2013年宁波模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．解析：依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1.若函数f (x )在R 上是单调函数，则f (x )是R 上的单调增函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1.答案：－19．(2013年潍坊模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案：①②④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由． 解析：当a ＝0时，f (x )＝x 2， 对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．(能力提升)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值． 解析：(1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝0.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年大同模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，给出如下命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为( ) A ．①② B ．②④ C ．①②③D ．①②④解析：依题意可得f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (3)＝f (－3)＝0，①正确；由①知f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )是以6为周期的周期函数，则f (x －6)＝f (x ＋6)．又f (x )＝f (－x )，因此有f (x －6)＝f (－6－x )，即函数f (x )的图象关于直线x ＝－6对称，②正确；依题意知，函数f (x )在[0,3]上是增函数，则函数f (x )在[－3,0]上是减函数，又函数f (x )是以6为周期的周期函数，因此函数y ＝f (x )在[－9，－6]上是减函数，③不正确；结合函数y ＝f (x )的图象可知f (－9)＝f (9)＝f (3)＝f (－3)＝0，故函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，④正确．综上所述，其中所有正确命题的序号为①②④，选D.答案：D2．(2013年哈师大附中月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6＋2<1，由此解得a >8，即a 的取值范围是(8，＋∞)，选D.答案：D3．(2012年高考课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：将函数化简，利用函数的奇偶性求解． f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 答案：2。
【与名师对话】2014年高考数学总复习 7-4 数列求和配套课时作业 理 新人教A版
【与名师对话】2014年高考数学总复习 7-4 数列求和配套课时作业 理 新人教A 版一、选择题1．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝4，a 2＋a 3＋a 4＝－2，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝( )A.2116B.1916C.98D.78 解析：由于q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝－24＝－12，所以a 3＋a 4＋a 5＝(a 2＋a 3＋a 4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，a 6＋a 7＋a 8＝(a 3＋a 4＋a 5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－18，于是a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝78.答案：D2．(2012年大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101 C.99100D.101100解析：由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3， ∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.答案：A3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.答案：C4．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n 的前n 项和S n 等于( )A.3n －1n ＋1B.2n n ＋1C.3n n ＋1D.4n n ＋3解析：a n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 答案：B5．(2012年某某四校联考)设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n的取值X 围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]解析：依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝12a n ，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝121－12n 1－12＝1－12n ，所以S n ∈[12，1)，选C.答案：C6．(2013届某某某某市高三上学期期中)已知函数f (n )＝n 2cos(nπ)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．100C ．5 050D ．10 200解析：因为f (n )＝n 2cos(nπ)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝503＋1992＝5 050，选C.答案：C 二、填空题7．(2012年某某诸城高三月考)已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *有a p a q ＝a p ＋q ，若a 1＝12，则S 9＝________.解析：由题意得a n ＋1＝a n a 1，a n ＋1a n ＝a 1＝12，a n ＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 因此S 9＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫129＝511512.答案：5115128．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________. 解析：∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)． 两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ， ∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4. ∴{a n }从第2项起是公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3， ∴n ≥2时，a n ＝3·4n －2，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×1－491－4＝1＋49－1＝49.∴log 4S 10＝log 449＝9. 答案：99．(2012年辽南协作体高三上学期期中)已知数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，则a n ＝________解析：由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2＋1a n∴数列{a n }的倒数成公差为2的等差数列，由此可求1a n ＝2n －1，∴a n ＝12n －1. 答案：12n －1三、解答题10．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝6＋d q ＝64，S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403.(舍去)故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)， 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.11．(2011年某某)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n －1}的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列{a n 2n －1}的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n ， 所以，当n >1时，S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.12．(2013年某某名校调研)在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23. (1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．解：(1)∵a n ＋1＋a n ＝2n －44，a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)－44. ∴a n ＋2－a n ＝2，又a 2＋a 1＝－42，a 1＝－23，∴a 2＝－19.同理得：a 3＝－21，a 4＝－17，故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项、2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以a 2为首项、2为公差的等差数列，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －24n 为奇数n －21n 为偶数.(2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋(2×4－44)＋…＋[2×(n －1)－44]＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－n 2·44＝n 22－22n ，故当n ＝22时，S n 取得最小值－242. 当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝a 1＋(2×2－44)＋(2×4－44)＋…＋[2×(n －1)－44]＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋n －12×(－44)＝－23＋n ＋1n －12－22(n －1)＝n 22－22n －32， 故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243. 综上所述，S n 的最小值为－243.[热点预测]13．(2012年某某某某5月模拟)已知函数f (x )满足ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)，f (1)＝2且f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2.求证：数列{a n }是等差数列；(3)若b n ＝a n2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)， 得f (x )(ax －1)＝b .若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝b ax －1. 由f (1)＝2＝ba －1，得2a －2＝b .①由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立， 得bax ＋2－1＝－ba2－x －1，由此解得a ＝12.②把②代入①，可得b ＝－1， ∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：∵f (a n )＝22－a n ，S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2，∴S n ＝14(a n ＋1)2，∴a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2，∴数列{a n }是等差数列． (3)数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n －1. ∴b n ＝2n －12n .T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ③同边同乘以12，得12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1④ ③－④，得12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1，∴12T n ＝2×(12＋122＋123＋…＋12n )－2n －12n ＋1－12＝2×121－12n 1－12－2n －12n ＋1－12＝32－2n ＋32n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋32n .。
【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 4-1-1 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难平行线分线段成比例定理的应用2、57相似三角形的判定及性质的应用1、3、4、69、10、1112 射影定理的应用81．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，则CD为( ) A．3 B．4C．5 D．6解析：∵∠BAC＝∠ADC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC，∴BCAC＝ACCD，∴CD＝AC2BC＝8216＝4.故选B.答案：B2．如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，则BF∶FD等于( )A．2∶5 B．3∶5C．2∶3 D．5∶7解析：∵AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，∴BE∶AD＝2∶5.∵AD∥BC，∴BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5.答案：A3．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，则S△CDE等于( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD .∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，得S △CDE ＝ 3. 答案：C4．如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，要使△ABC ∽△CDB ，那么BD 与a ，b 应满足( )A ．BD ＝b 2aB ．BD ＝b a 2C ．BD ＝a 2bD ．BD ＝a b2解析：∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， ∴当AC BC ＝BCBD 时，△ABC ∽△CDB ，即当a b ＝b BD时，△ABC ∽△CDB ，∴BD ＝b 2a.答案：A5．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FG AD＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵EF ∥BC ，∴EF BC ＝AF AC， 又∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝CF AC， ∴EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋CF AC ＝ACAC＝1. 答案：A 二、填空题6．两个相似三角形面积的比为3∶5，已知较大的三角形大边上的高为3，则较小的三角形大边上的高为________．解析：相似三角形的面积比等于对应边上高的比的平方，易得所求的高为355.答案：3557．(2013年惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35， ∵DE ＝6， ∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ， 所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4. 答案：48．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________.解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：139．△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，则这个正方形的边长为________cm.解析：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，设正方形的边长为x cm.∵PN ∥BC ， ∴△APN ∽△ABC . ∴AE AD ＝PN BC ，∴8－x 8＝x 12. 解得x ＝4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm. 答案：4.8 三、解答题10．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .11．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF.证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF . 又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C ， ∴∠BAD ＝∠BDF ， ∴△DBF ∽△ADF .∴DB AD ＝DF AF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ，因此AB AC ＝DB AD. ∴AB AC ＝DF AF.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解析：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ， 所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ， 所以S △BEF S △BDM ＝19， 即S △BDM ＝9S △BEF ， 又S △DMC S △BDM ＝23， 即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ， 因此S △BEFS 四边形DEFC＝114.。
【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 2-8 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-8[命题报告·教师用书独具]1．把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3 B ．y ＝(x －3)2＋1 C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋1解析：把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 答案：C2．(2013年毫州模拟)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |始终满足0<|f (x )|≤1，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 的图象大致为( )解析：由f (x )＝a |x |始终满足0<|f (x )|≤1，可知0<a <1，且y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＝－log a |x |，即可以作出y ＝log a x 的图象后通过变换得到，故选B 项．答案：B3．(2013年天津河西模拟)设方程3x＝|lg (－x )|的两个根为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析：函数y ＝3x与函数y ＝|lg (－x )|的图象如图所示，由图示可设x 1＜－1＜x 2＜0，则0＜3x 1＜3x 2＜1，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝lg －x 1，3x 2＝－lg －x 2，可得3x 1－3x 2＝lg (－x 1)＋lg (－x 2)＝lg x 1x 2， ∵3x 1－3x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故应选D. 答案：D4．(2013年广州模拟)定义：若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称 B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图象关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin(x ＋π3)，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称解析：选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x 轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确，故选B.答案：B5．(2013年石家庄模拟)已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2，且对x ∈R ，恒有f (x ＋1)≥f (x )，则实数a 的取值范围为( )A ．[0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C ．[－1,1]D ．[－2,0]解析：当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，x －2a 2，x >a 2.因为函数f (x )为奇函数，故函数f (x )的图象关于原点对称，如图所示．因为f (x ＋1)的图象可以看作由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，需将函数f (x )的图象至少向左平移4a 2个单位才能满足不等式f (x ＋1)≥f (x )恒成立，所以4a 2≤1，故a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.答案：B 二、填空题6．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1， ∴1f 3＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3＝f (1)＝2.答案：27．(2013年苏州模拟)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如下图，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：(数形结合法)利用函数f (x )的图象关于原点对称． ∴f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5)． 答案：(－2,0)∪(2,5)8．(2013年福州质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对．解析：因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数问题． 作函数图象如图，可知有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对． 答案：39．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．解析：根据f (x )的性质及f (x )在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；0<x <10时，|lg x |<1；x >10时|lg x |>1. 结合图象知y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象交点共有10个． 答案：10 三、解答题10．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．求g (x )的解析式．解析：设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.11．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解析：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3.当x ＝0时，f (x )＝0.∴函数的解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为：(－∞，－1)，(1，＋∞)．函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．12．(能力提升)已知不等式x 2－log a x ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解析：由x 2－log a x ＜0，得x 2＜log a x . 设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时， 函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方， 如图，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得116≤a ＜1.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. [因材施教·学生备选练习]1．(2013年北京东城模拟)规定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，b <a ，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：画出函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象，如图中的粗体线所示．显然(0,0)和(－t,0)关于直线x ＝－12对称，故有0＋－t 2＝－12，所以t ＝1.答案：D2．(2013年西安模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )－log 3 |x |＝0的根的个数是( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3 |x |的图象如图所示，由图示可得，函数y ＝f (x )－log 3 |x |的零点有4个，故应选B.答案：B3．已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD .若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是( )解析：由平面ABC ⊥平面ACD ，且O 为AC 的中点可知BO ⊥平面ACD ，易知BO ＝2，故三棱锥N AMC 的高为ON ＝2－x ，△AMC 的面积为12·MC ·AC ·sin 45°＝2x ，故三棱锥N AMC 的体积为y ＝f (x )＝13·(2－x )·2x ＝13(－2x 2＋22x )(0<x <2)，函数f (x )的图象为开口向下的抛物线的一部分，故选B.答案：B。
优化探究高三一轮人教A理科数学复习第7章立体几何课件
A 组 考点基础演练一、选择题1．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面α，则x 的值为( )A ．－2B ．－ 2 C. 2D ．±2解析：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量， 故－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝±2. 答案：D2．(2015年太原月考)如图，在正方体AC 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是平面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意一点，则直线AM 与OP 所成角是( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：设正方体的棱长为2a ，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A (2a,0,0)，M (0,0，a )，O (a ，a,0)．∵P 是A 1B 1上任意一点，∴不妨设P (2a ，m,2a )(0≤m ≤2a )． ∴AM →＝(0,0，a )－(2a,0,0)＝(－2a,0，a )， OP →＝(2a ，m,2a )－(a ，a,0)＝(a ，m －a,2a )．∴AM →·OP →＝－2a ×a ＋0×(m －a )＋a ×2a ＝0. ∴异面直线AM 与OP 所成角为π2.答案：D3.如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF .当A 1，E ，F ，C 1共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成锐二面角的余弦值为( )A.32B.12C.15D.265解析：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，易知当E (6，3,0)、F (3,6,0)时，A 1、E 、F 、C 1共面，设平面A 1DE 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DE →＝6a ＋3b ＝0，n 1·DA 1→＝6a ＋6c ＝0，可取n 1＝(－1,2,1)，同理可得平面C 1DF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)，故平面A 1DE 与平面C 1DF 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝12.故选B.答案：B4．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( )A.64 B ．－64 C.104D ．－104解析：取AC 中点E ，连接BE ，则BE ⊥AC ， 如图所示，建立空间直角坐标系B -xyz ，则A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，D (0,0,1)，则AD →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，1.∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面AA 1C 1C ，∴BE →＝⎝⎛⎭⎫32，0，0为平面AA 1C 1C 的一个法向量，∴cosAD →，BE→64， 设AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α＝|cos AD →，BE →|＝64.答案：A5．(2014年泰安联考)二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由条件知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6× 8cos CA →，BD →(217)2. ∴cosCA →，BD→12CA →，BD→120AC →，BD→60°.∴二面角的大小为60°. 答案：C 二、填空题6. (2015年潍坊考试)如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，若ABCD 是边长为2的正方形，AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则BD 1的长为________．解析：∵BD 1→＝BA →＋BC →＋BB 1→，∴|BD 1→|2＝(BA →＋BC →＋BB 1→)2＝9，故BD 1＝3. 答案：37．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠B 1A 1C 1＝90°，D 为BB 1的中点，则异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为________．解析：以A 为原点建立空间直角坐标系，如图，A 1(0,0,2)，C (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,1,2)， 则C 1D →＝(1，－1，－1)，A 1C →＝(0,1，－2)，|C 1D →|＝3，|A 1C →|＝5，C 1D →·A 1C →＝1， cosC 1D →，A 1C→C 1D →·A 1C →|C 1D →||A 1C →|＝1515，故异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为1515.答案：15158．正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是________．解析：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a 2， 则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)， 设平面P AC 的一个法向量为n ，可取n ＝(0,1,1)，则cosCB →，n＝CB →·n |CB →|·|n |＝a 2a 2·2＝12， ∴CB →，n60°，∴直线BC 与平面P AC 所成的角为90°－60°＝30°.答案：30° 三、解答题9．(2014年南昌一模)在五边形ABCDE 中(图(1))，BD 是AC 的垂直平分线，O 为垂足，ED ∥AC ，AE ∥BD ，AB ⊥BC ，P 为AB 的中点．沿对角线AC 将四边形ACDE 折起，使平面ACDE ⊥平面ABC (图(2))．(1)求证：PE ∥平面DBC ；(2)当AB ＝2AE 时，求直线DA 与平面DBC 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：设M 为BC 中点，连接PM ，DM .依题意，ED 綊12AC .∵P ，M 分别为AB ，BC 的中点， ∴PM 綊12AC ，∴ED 綊PM ，∴四边形PMDE 为平行四边形，∴EP ∥DM . 又DM ⊂平面DBC ，PE ⊄平面DBC ， ∴PE ∥平面DBC .(2)以点O 为原点，直线OA ，OB ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设|AE |＝2，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (－2,0,0)，D (0,0,2)，E (2,0,2)，P (1,1,0)．所以DA →＝(2,0，－2)，BC →＝(－2，－2,0)，DB →＝(0,2，－2)． 设平面DBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·DB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝－1， ∴n ＝(1，－1，－1)． cosOA →，nDA →·n |DA →|·|n |＝63， ∴直线DA 与平面DBC 所成角的正弦值为63. 10.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若二面角M -QB -C 为30°，试确定点M 的位置． 解析：(1)证明：∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ . ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD .又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BQ ⊥平面P AD . ∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，Q (0,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)． 故设M (x ，y ，z )，则PM →＝(x ，y ，z －3)，MC →＝(－1－x ，3－y ，－z )， ∵PM →＝tMC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t (－1－x )，y ＝t (3－y )，z －3＝t (－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t1＋t，y ＝3t 1＋t ，z ＝31＋t..在平面MBQ 中，QB →＝(0，3，0)， QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 1＋t ，3t 1＋t ，31＋t ，∴平面MBQ 的一个法向量为m ＝(3，0，t )， ∵二面角M -BQ -C 为30°， cos 30°＝n ·m |n ||m |＝t3＋0＋t 2＝32， ∴t ＝3.∴M 位于PC 靠近C 点的四分之一点．B 组 高考题型专练1．(2014年高考天津卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F -AB -P 的余弦值．解析：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)．(1)证明：BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)， 故BE →·DC →＝0. 所以BE ⊥DC .(2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BD →＝0，n ·PB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos n ，BE→n ·BE→|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)，则cosn 1，n 2n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F -AB -P 是锐角，所以其余弦值为31010.2.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .(1)求证：P A ⊥平面ABCD . (2)求二面角D -AC -E 的余弦值．(3)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2，即P A ⊥AD . 又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD .(2)过E 作EG ∥P A 交AD 于G ，从而EG ⊥平面ABCD ， 且AG ＝2GD ，则EG ＝13P A ＝13，连接BD 交AC 于O ，过G 作GH ∥OD ，交AC 于H ， ∴GH ＝23OD ＝23，连接EH .∵GH ⊥AC ，∴EH ⊥AC ， ∴∠EHG 为二面角D -AC -E 的平面角． ∴tan ∠EHG ＝EG GH ＝22⎝⎛⎭⎫0<∠EHG <π2， ∴二面角D -AC -E 的余弦值为63. (3)存在．以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13. 设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)，使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0. 又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， 又BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点.。
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【创新探究】 立体几何中的参数问题 【典例】 (2012 年高考重庆卷)设四面体的六条棱的长分别为 2的棱异面，则 a 的取值范围是
1,1,1,1， 2和 a，且长为 a 的棱与长为 ( ) A．(0， 2) C．(1， 2)
B．(0， 3) D．(1， 3)
• 【思路导析】 根据已知条件作出图形， 利用三角形存在的条件求解．
• 5．(2013年合肥模拟)若两条异面直线所成 的角为60°，则称这对异面直线为“黄金 异面直线对”，在连接正方体各顶点的所 有直线中与AC构成“黄金异面直线对”的 直线共有________条．
• 解析：正方体如图，若要出现所成的角为
• 考向一 平面的基本性质及应用 • [例1] (2013年湘潭模拟)如图所示，在正 方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点， F为A1A的中点，求证：(1)E，C，D1，F四 点共面； • (2)CE，D1F，DA三线共点．
• 同理在平面AB1C1D和平面ABC1D1 内，都 可以作一条与AC1不同的直线与AB，AD，
• 3．(2011年高考大纲全国卷)已知正方体 ABCD -A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则 异面直线AE与BC所成角的余弦值为 ________． • 解析：取A1B1的中点F，连接EF，AF. • ∵ 在 正 方 体 ABCD -A1B1C1D1 中 ， EF∥B1C1，B1C1∥BC， • ∴EF∥BC. • ∴∠AEF即为异面直线AE与BC所成的角． • 设正方体的棱长为a，
考向三 异面直线所成的角 [例 3] (2012 年高考上海卷)如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点．已知 AB＝2，AD＝2 2， PA＝2.求： (1)三角形 PCD 的面积； (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．
[解析] (1)因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD.又 AD⊥CD，所以 CD⊥平面 PAD，从而 CD⊥PD. 因为 PD＝ 22＋2 22＝2 3，CD＝2， 1 所以三角形 PCD 的面积为2×2×2 3＝2 3.
【解析】 ，设点 E 为 AB 的中点，则 ED⊥AB，EC⊥AB， 2 则 ED＝ AD －AE ＝ ， 2
2 2
2 同理 EC＝ 2 . 由构成三角形的条件知 0<a<ED＋EC＝ 2，∴0<a< 2.
• 【答案】 A • 【高手支招】 本题将参数范围的求解问 题很巧妙地融合在立体图形中，体现了高 考的创新立意．而将立体几何问题平面化 是解决此题的突破点，把a作为三角形的 边长，利用三角形存在条件加以限制，构
• 2 ． ( 课 本 习 题 改 编 ) 平 行 六 面 体 ABCD -A1B1C1D1 中，既与AB共面又与CC1 共面 的棱的条数为( ) • A．3 B．4 • C．5 D．6 • 解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有 BC；与AB相交且与CC1 平行的棱有AA1 ， BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD， C1D1，故符合条件的棱共有5条，选C.
• [证明] (1)分别连接EF，A1B，D1C. • ∵E，F分别是AB和AA1的中点，
1 (2)∵EF 綊2CD1， ∴直线 D1F 和 CE 必相交．
设 D1F∩CE＝P. ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D， ∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD， ∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点． 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D＝AD， ∴P∈AD， ∴CE，D1F，DA 三线共点．
• 2 ． (2010 年 高 考 江 西 卷 ) 过 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱 AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直 线l可以作( )
• A．1条 • C．3条
B．2条 D．4条
• 解析：连结AC1，则AC1与AB，AD，AA1所 成的角都相等； • 连结AC，A1C1，在平面ACC1A1内，过点A 可以作一条与AC1不同的直线与AB，AD， AA1所成的角都相等；
第三节
空间点、直线、平面之间的位置关系
• 一、平面的基本性质
• 二、空间直线的位置关系 • 1．位置关系的分类
• 2．平行公理 平行 • 平行于同一条直线的两条直线互 相 ． 相等或互补 • 3．等角定理 • 空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角 • ．
• 4．异面直线所成的角(或夹角) • (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空 锐角(或直角) 间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与 b′所成的 叫做异面直线a与b 所成的角．
• 3．(2013年广州模拟)若空间中有两条直线， 则“这两条直线为异面直线”是“这两条 直线没有公共点”的( ) • A．充分不必要条件 B．必要不充 分条件 • C．充要条件 D．既不充分 又不必要条件 • 解析：若两直线为异面直线，则两直线无 公共点，反之不一定成立． • 答案：A
• 4．(课本习题改编)两个不重合的平面可以 把空间分成________部分． • 解析：由题意知两个不重合的平面可以平 行或相交，平行时分空间3部分，相交时 分空间4部分． • 答案：3或4
证明：(1)由题设知，FG＝GA，FH＝HD， 1 1 所以 GH 綊2AD.又 BC 綊2AD， 故 GH 綊 BC.
所以四边形 BCHG 是平行四边形． (2)C，D，F，E 四点共面．理由如下： 1 由 BE 綊2AF，G 是 FA 的中点知，BE 綊 GF， 所以 EF 綊 BG.
由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH，故 EC、FH 共面．又点 D 在直线 FH 上，所以 C，D，F，E 四点共面．
• 三、直线与平面的位置关系
• 四、平面与平面的位置关系
• [疑难关注] • 1．三个公理的作用 • (1)公理1的作用：①检验平面；②判断直 线在平面内；③由直线在平面内判断直线 上的点在平面内． • (2)公理2的作用：确定平面的依据，它提 供了把空间问题转化为平面问题的条件． • (3)公理3的作用：①判定两平面相交；② 作两相交平面的交线；③证明多点共线．
• 考向二 空间中两条直线的位置关系 • [例2] 已知空间四边形ABCD中，E，H分 别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC， CD上的点． • (1)求证：BC与AD是异面直线； • (2)求证：EG与FH相交． • [证明] (1)假设BC与AD共面，不妨设它 们所共平面为α，则B，C，A，D∈α. • ∴四边形ABCD为平面图形，这与四边形 ABCD为空间四边形相矛盾． • ∴BC与AD是异面直线．
• 在本例条件下求异面直线CD与AE所成角 的大小． • 解析：如图，取PD中点G，连接EG，AG 则EG∥CD，从而∠AEG(或其补角)是异 面直线CD与AE所成的角．
在△AEG 中，由 EG＝1，AG＝ 3，AE＝2 知△AEG 为以∠AGE 为 π 直角的直角三角形，所以∠AEG＝3.因此，异面直线 CD 与 AE 所成角的 π 大小是3.
• 2．异面直线的有关问题 • (1)判定方法：①反证法；②利用结论，即 过平面外一点与平面内一点的直线与平面 内不过该点的直线是异面直线，如图： π (2)所成角的求法：平移法，注意范围0， .
2
• 1．(2013年辽宁三校联考)下列命题正确的 个数为( ) • ①经过三点确定一个平面； • ②梯形可以确定一个平面； • ③两两相交的三条直线最多可以确定三个 平面； • ④如果两个平面有三个公共点，则这两个 平面重合． • A．0 B．1 • C．2 D．3
• (2) 如 图 ， 连 接 AC ， BD ， 则 EF∥AC ， HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG， 则EFGH为平行四边形． • 又EG，FH是▱EFGH的对角线， • ∴EG与HF相交．
• 2．(2013年济宁模拟)已知空间中有三条线 段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那 么直线AB与CD的位置关系是( ) • A．AB∥CD • B．AB与CD异面 • C．AB与CD相交 • D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相 交 • 解析：若三条线段共面，如果AB、BC、 CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，
1． (2013 年许昌调研)如图， 平面 ABEF⊥平面 ABCD， 四边形 ABEF 1 1 与 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90° ，BC 綊 AD，BE 綊 FA， 2 2 G，H 分别为 FA，FD 的中点．
• (1)求证：四边形BCHG是平行四边形； • (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
则 AF＝
1 2 5 a ＝ a，EF＝a. a＋2 2
2
∵EF⊥平面 ABB1A1，∴EF⊥AF， 3 ∴AE＝ AF2＋EF2 ＝ a. 2 EF a 2 ∴cos ∠AEF＝AE＝3 ＝3. a 2 2 答案： 3
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(2)如图，取 PB 中点 F，连接 EF，AF，则 EF∥BC，从而∠AEF(或 其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角．在△AEF 中，由 EF＝ 2，AF ＝ 2，AE＝2 知△AEF 是等腰直角三角形， π 所以∠AEF＝ . 4
π 因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是4.
• 1．(2011年高考浙江卷)若直线l不平行于 平面α，且l⊄α，则( ) • A．α内的所有直线与l异面 • B．α内不存在与l平行的直线 • C．α内存在唯一的直线与l平行 • D．α内的直线与l都相交 • 解析：由题意知，直线l与平面α相交，则 直线l与平面α内的直线只有相交和异面两 种位置关系，因而只有选项B是正确的． • 答案：B