物理人教版必修2：第五章 6.向心力

【例2】如图 5－6－4 甲所示为游乐场的悬空旋转椅，我们
把它抽象为如图乙所示的模型：一质量 m＝40 kg 的球通过长 L＝
12.5 m 的轻绳悬于竖直面内的直角杆上，水平杆长 L′＝7.5 m．
整个装置绕竖直杆转动，绳子与竖直方向成θ角．当θ＝37° 时，(g＝9.8 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求： (1)绳子的拉力大小； (2)该装置转动的角速度．
6．向心力
1．物体做圆周运动会有向心加速度，那么由牛顿第二定律
向心力 可知，这个向心加速度必然对应着一个力，这个力叫________，
r2 m mω2r 表达式是 Fn＝________＝________. r
2．物体做变速圆周运动时所受的合外力不指向圆心，但它 可以分解为运动方向上的力 Ft(切向分力)和指向圆心的力 Fn(法 向分力)，切向分力改变物体运动速度的大小，法向分力改变物 方向 向心力 体运动的______，即是_______．当切向分力为零时，物体所受 匀速圆周 的合外力与 Fn 相等，此时物体做__________运动．
v2 1．基本公式：F＝ma＝m r ＝mω2r. 4π2 2．拓展公式：F＝m T2 r＝m4π2f2r.
3．应用向心力公式解题的一般步骤：
(1)确定研究对象，必要时将它隔离出来；
(2)确定物体做圆周运动的轨道平面，并找出圆心和轨道半 径；
(3)分析研究对象的受力情况，判断哪些力提供向心力； (4)在沿半径指向圆心的方向和沿垂直半径与运动趋势一 致的方向建立正交坐标系，将物体受到的力分解到坐标轴方向 上，根据牛顿第二定律列方程求解．
3．有长短不同、材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个
质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么( B )
A．两个小球以相同的线速度运动时，长绳易断 B．两个小球以相同的角速度运动时，长绳易断 C．两个球以相同的周期运动时，短绳易断 D．不论如何，短绳易断
4．做匀速圆周运动的物体，其加速度的数值必定( D ) A．跟其角速度的平方成正比 B．跟其线速度的平方成正比 C．跟其运动的半径成反比 D．跟其运动的线速度和角速度的乘积成正比
图5－6－5
【触类旁通】 3．两个质量分别是 m1和m2的光滑小球套在光滑水平杆上， 用长为 L 的细线连接，水平杆随框架以角速度ω做匀速转动， 两球在杆上相对静止，如图 5－6－6 所示．求两球离转动中心 的距离 R1 和 R2 及细线的拉力．
图 5－6－6
解：绳对 m1 和 m2 的拉力 F 是它们做圆周运动的向心力， 根据题意有 R1＋R2＝L，故 R2＝L－R1 对 m1 有 F＝m1ω2R1 对 m2 有 F＝m2ω2R2＝m2ω2(L－R1) 所以 m1ω2R1＝m2ω2(L－R1) m2L 解得 R1＝ m1＋m2 m1L R2＝L－R1＝ m1＋m2 m2L m1m2ω2L F＝m1ω2· ＝ . m1＋m2 m1＋m2
(1)因为向心力是按力的作用效果来命名的，不是某种性质
的力，所以充当向心力的可以是重力、弹力、摩擦力等各种力， 可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由 某个力的分力提供，要根据物体受力的实际情况判定． (2)在匀速圆周运动中向心力就是物体所受的合力．在变速 圆周运动中，物体所受的合力不再指向圆周的中心，可按切线 和法线方向分解，法向的合力就是向心力．
D.悬线拉力突然增大
错因：误认为线速度能够突然发生变化而选择A.其实，线
速度变化需要时间，加速度变化不需要时间． 正解：小球运动到悬点正下方时，悬线碰到钉子这一瞬间，
线速度不能发生突变，由于半径变小，悬线拉力发生突变，突
然增大．向心力突然增大，向心加速度也突然增大． 答案：CD
答案：BD
【触类旁通】 1．如图 5－6－2 所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一
个物体并随圆筒一起运动，物体相对桶壁静止，则下列说法正
确的是( C ) A．物体受到四个力的作用
B．物体所受向心力是由重力提供的
C．物体所受向心力是由弹力提供的 D．物体所受向心力是由静摩擦力提供的 图 5－6－2
2．关于向心力，下列说法正确的是( C ) A．向心力是除物体所受的重力、弹力和摩擦力以外的一
4．如图 5－6－7 所示，一质量为0.5 kg 的小球，用长0.4 m 的细线拴住在竖直面内做圆周运动，(取 g＝10 m/s2)求： (1)当小球在圆上最高点的速度为 4 m/s 时，求细线的拉力． (2)当小球在圆上最低点的速度为 4 拉力．
2 m/s 时，求细线的
图 5－6－7
解：(1)在圆上最高点时小球受重力和细线的拉力，如图 1 所示，并由这两个力的合力提供小球做圆周运动的向心力．
大 大 该力越_____，小球运动速度越大该力越_____．
(2) 在上面的例子中，如果突然将杯子提开，小球将沿 杯口切线 __________方向飞出去．
1．向心力公式：
v2 (1)由向心力公式 F＝ma＝m r ＝mω2r 可知，做匀速圆周运
动的物体的向心力与物体的质量、线速度、角速度和半径有关． ①当质量和线速度一定时，向心力与半径成反比； ②当质量和角速度一定时，向心力与半径成正比； ③当质量和半径一定时，向心力与线速度(或角速度)的二 次方成正比．
图2
【例 3】(双选)如图 5－6－8 所示，长为 L 的悬线固定在 O
L 点，在 O 点正下方2处有一钉子 C，把悬线另一端的小球 m 拉
到跟悬点在同一水平面上无初速度释放．当小球运动到悬点正
下方时悬线碰到钉子，则小球的( A.线速度突然增大 )
B.角速度突然减小
C.向心加速度突然增大 图 5－6－8
v2 v2 1 由向心力公式 F＝m r 有 F1＋mg＝m r v2 42 1 则 F1＝m r －mg＝0.5×0.4 N－0.5×10 N＝15 N.
图1Leabharlann (2)在圆上最低点时小球受重力和细线的拉力，如图 2 所示， 并由这两个力的合力提供小球做圆周运动的向心力．
v2 v2 2 由向心力公式 F＝m r 有 F2－mg＝m r v2 4 22 2 则 F2＝m r ＋mg＝0.5× 0.4 N＋0.5×10 N＝45 N.
v2 解析：做匀速圆周运动的物体，向心加速度可以写成a＝ r
＝ω2r＝ωv，故选项 D 正确．
知识点1
向心力的理解
如图5－6－1 所示，将杯子倒过来罩住一个小球，让小球
沿杯子旋转．要使小球转动得越快，就要使用越大的力；若用
较小的杯子使出同样的力，小球也会转动得更快……
图 5－6－1
讨论： 向心 (1)小球做匀速圆周运动时会受到______力，小球质量越大
【例1】(双选)下列关于向心力的说法中，正确的是( A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力 B．做匀速圆周运动的物体，其向心力就是它所受的合力 C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 D．向心力不改变物体做圆周运动的线速度的大小
)
解析：向心力是按力的作用效果来命名的，并不是具有特
定性质的某种力；做匀速圆周运动的物体，其向心力就是它所 受的合力，且向心力的方向与线速度的方向垂直，时刻在改变； 向心力不改变物体做匀速圆周运动的线速度的大小，只改变线 速度的方向．综上所述，B、D 正确．
那么在一般的曲线运动中，运动方向的改变可否也归结为向心
力作用的结果呢？答案是肯定的，任何曲线运动的方向改变都
是向心力作用的结果．图5－6－3 所示的是曲线运动轨迹 C 在
P 点所等效的圆周运动的示意图．
讨论：
图 5－6－3
(1)一个质量为 m 的物体做曲线运动的向心力是 Fn，在某点 的运动速度为 v，则在这点上该物体对应的圆周运动的半径是 mv2 r＝ Fn ________． 大 (2)在速度一定时，半径越小物体受到的向心力越______， 大 运动路径越弯曲物体受到的向心力越_____．
种新的力
B．向心力就是做圆周运动的物体所受的合力
C．向心力是导致线速度方向变化的原因
D．只要物体受到向心力的作用，物体就做匀速圆周运动
知识点2
向心力的应用
生活中有各种各样的运动，比如直线运动和圆周运动，但 最普遍的运动还是曲线运动．曲线运动和圆周运动都是方向时
刻变化的运动，在圆周运动中，向心力改变物体的运动方向，
(2)向心力公式也适用于变速圆周运动或一般的曲线运动．
2．向心力的性质： (1)向心力是效果力，它的作用效果是产生向心加速度，它 只改变速度的方向，不改变速度的大小． (2)向心力是变力，匀速圆周运动中，向心力的大小虽然不 变，但方向总指向圆心，与线速度方向垂直，时刻在变化，故 向心力是变力．
3．向心力的来源：
甲 图5－6－4
乙
解：(1)对球作受力分析如图 5－6－5 所示，则 mg F 拉＝cos 37° 代入数据得 F 拉＝490 N. (2)小球做圆周运动的向心力由绳的 拉力和重力的合力提供，有 F 向＝mgtan 37° ＝mω2(Lsin 37° ＋L′) gtan 37° 所以 ω＝ Lsin 37° ＋L′ 代入数据得 ω＝0.7 rad/s.