北京航空航天大学2013年网络学历教育高起专《数学》综合模拟题

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【三维设计】北京航空航天大学附中2013年高考数学二轮复习算法初步与框图

北京航空航天大学附中三维设计2013年高考数学二轮复习：算法初步与框图本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：例如用十六进制表示有D+E＝1B，则A×B=( )A． 6E B． 7C C． 5F D． B0【答案】A2．用辗转相除法求394和82的最大公约数时，需要做除法的次数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D3．执行下图所给的程序框图，则运行后输出的结果是( )A．3 B．－3C．－2 D．2【答案】B4．如下程序框图输出的结果是2021，则判断框内应填入的条件是( )A ．20?n ≤B ．20?n <C ．20?n >D ．20?n ≥ 【答案】A5．程序框图如图所示，其作用是输入空间直角坐标平面中一点(,,)P a b c ，则输出相应点(,,)Q a b c ，若点P 的坐标为(2,3,1).若O 为坐标原点，则cos ,OP OQ <>=( )A ．1B ．1314C ．1114D ．57【答案】C6．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入( )A．q=NMB．q=MNC．q=NM N+D．q=MM N+【答案】D7．下列框图中，不是结构图的是( )【答案】C8．执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为( )A．5 B．9 C．17 D．33 【答案】D9．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123【答案】B 10．利用秦九韶算法计算多项式65432()3456781f x x x x x x x =++++++当4x =时的值，需要做乘法和加法的次数分别为( )A ．6，6B ． 5，6C ．5，5D ． 6，5【答案】A11．将八位数135（8）化为二进制数为( )A ． 1110101（2）B ．1010101（2）C ． 1011101（2）D ． 1111001（2）【答案】C12．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是( )A ．2或22-B ．22或22-C ．2-或22-D ． 2或22【答案】A第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．用秦九韶算法计算多项式641922401606012)(23456+-+-+-=x x x x x x x f 当2=x 时的值为____________。

2013年高考数学模拟试题

2013年高考数学模拟试题1. 复数1＋i 1－i ＋1－i1＋i＝ .2.设一个椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列，则此椭圆的离心率e ＝ .3. 函数f (x )＝lg(x 2―ax ―1)在区间(1,+∞)上单调增函数，则a 的取值范围是________.4. 下面的流程图可表示分段函数是________.5. 在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边AB,AC 互相垂直,则AB 2+AC 2＝BC 2.”拓展到空间,类比平面几何里的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系,能够得到的准确的结论是“设三棱A －BCD 的侧面ABC , ACD , ADB 两两互相垂直,则有________.6. 在区间[－1，1]上随机取一个数x ，cos πx 2的值介于0到12之间的概率为 .7. tan12o －3(2cos 212o －1)sin12o＝ . 8. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8,则曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是 .9. 从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能是 (1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(2)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.其中准确的结论有________个.10. 设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若3S n ,4S n +1,5S n +2成等差数列，则q 的值为．11. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝17，AC ＝15，则→BC ·→AO ＝．12. 小李拟将1,2,3,…, n 这n 个数输入电脑, 求平均数, 当他认为输入完毕时, 电脑显示只输入n －1个数, 平均数为3557, 假设这n －1个数输入无误,则漏输的一个数是 .13. 正数x , y 满足(1＋x )(1＋y )＝2, 则xy ＋1xy 的最小值是．14. 设x 是一个正数, 记不超过x 的最大整数为[x ], 令{x }＝x －[x ],且{x }, [x ], x 成等比数列,则x ＝ . 二解答题15. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，且C 1B 1=3，AB =4，∠ABB 1=60o .(1)求证：平面CA 1B ⊥平面A 1AB ；(2)求直线AC 1与平面BCC 1所成的角的正弦； (3)求三棱锥A 1－BCC 1的体积.A16. 设{a n }是正数数列, 其前n 项和S n 满足S n ＝14(a n －1)(a n ＋3).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1S n ,试求数列{b n }的前n 项和T n .17. 在平面上，给定非零向量b ，对任意向量c ，定义c ＝a －2(a b )|b |2b .（1）若a ＝(2,3), b ＝(－1,3), 求c ；（2）若b ＝(2,1)，证明：若位置向量a 的终点在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，则位置向量c 的终点也在一条直线上；（3）已知存有单位向量b ，当位置向量a 的终点在抛物线C ：x 2＝y 上时，位置向量c 终点总在抛物线C′： y 2＝x 上，曲线C 和C′关于直线l 对称，问直线l 与向量b 满足什么关系？18. 如图，两个工厂A ，B 相距2 km ，点O 为AB 的中点，现要在以O 为圆心，2 km 为半径的圆弧MN 上的某一点P 处建一幢办公楼，其中MA ⊥AB ，NB ⊥AB ．据测算此办公楼受工厂A 的“噪音影响度”与距离AP 的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B 的“噪音影响度”与距离BP 的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受A ，B 两厂的“总噪音影响度”y 是受A ，B 两厂“噪音影响度”的和，设AP 为x km ．（1）求“总噪音影响度”y 关于x 的函数关系，并求出该函数的定义域；（2）当AP 为多少时，“总噪音影响度”最小？19. 已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点A B 、分别为其左、右顶点，点12F F 、分别为其左、右焦点，以点A 为圆心，1AF 为半径作圆A ；以点B 为圆心，OB 为半径作圆B ；若直线:3l y x =-被圆A 和圆B截得的弦长之比为6；（1）求椭圆C 的离心率；（2）己知a =7，问是否存有点P ，使得过P 点有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34；若存有，请求出所有的P 点坐标；若不存有，请说明理由．20. 已知函数f (x )＝2x ＋a ln x .OMAHFEDCBA(1)若a ＜0,证明：对于任意两个正数x 1,x 2,总有f (x 1)＋f (x 2)2≥f (x 1＋x 22)成立；(2)若对任意x ∈[1,e], 不等式f (x )≤(a ＋3)x －12x 2恒成立，求a 的取值范围.加试题21.从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分 A ．选修4—1 几何证明选讲如图, 在锐角△ABC 中, 三条高AD , BE , CF 交于点H , 证明点H 是△DEF 的内心.(三条内角平分线的交点) B ．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C : xy ＝1在矩阵⎣⎡⎦⎤cos θ sin θ－sin θ cos θ(0≤θ＜π2)对应的变换作用下得到曲线F ，且F 的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0), 求θ和a 的值.C ．选修4—4 参数方程与极坐标在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋5，y ＝－4－t (t 为参数), 圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数), 直线l 与交于两个不同的点A , B , 点P 在圆C 上运动, 求△P AB 面积的最大值.D ．选修4—5 不等式证明选讲证明：对任意正数a ≠b 的算术平均A ＝a +b2与几何平均B =ab 有B ＜(a －b )28(A －B )＜A .22. 【必做题】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望. 23. 【必做题】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P ,Q 分别是直线BD 1, AC 上的动点, 且PQ 与BD 1, AC 都垂直, 则称线段PQ 是异面直线BD 1与 AC 的公垂线段. (1) 求直线BD 1与平面ACD 1所成角的正弦值; (2) 求异面直线BD 1与 AC 的公垂线段PQ 的长; (3) 求二面角B －CD 1－A 的余弦值.O DCBA解答1. 0.2. 45. 由a ＋b ＝2c , a 2－b 2＝c 2, 两式相除得a －b ＝12c , 与a ＋b ＝2c 相加得2a ＝52c ,从而e ＝c a ＝45. 3.填(－∞,0]. g (x )＝x 2―ax ―1的对称轴x ＝a2≤1,且 g (1)＝―a ≥0, 所以a ≤0.4. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ＞00 x ＝0－1 x ＜05. S △BCD 2＝S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ABD 2.6. 0≤cos πx 2≤12,在区间[－1，1]上的解应满足π3≤πx 2≤π2和－π2≤πx 2≤－π3,解得23≤x ≤1,和－1≤x ≤－23.所以0≤cos πx 2≤12的概率是13.7. －8.过程是tan12o －3(2cos 212o －1)sin12o＝sin12o cos12o －sin60ocos60o cos24sin12o ＝－sin48ocos24o sin12o cos60o cos12o ＝－8.8. 方法一在等式f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8中将x 全部换成2－x 得f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8,联立两式解得f (x )＝x 2.所以曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是y －1＝2(x －1),即2x －y －1＝0.方法二在等式f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8中令x ＝1解得f (1)＝1,对等式f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两端求导得f '(x )＝－2f ' (2－x )－2x ＋8,令x ＝1解得f '(1)＝2, 所以曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是y －1＝2(x －1),即2x －y －1＝0.9. 填4. 四边形ABCD 适合(1), 四面体ACB 1D 1适合(2), DB 1C 1D 1适合(3), DA 1C 1D 1适合(4),所以准确的结论有4个.10. 8S n +1＝3S n ＋5S n +2, 即8(S n ＋a n +1)＝3S n ＋5(S n ＋a n +2), 所以8a n +1＝5a n +2, q ＝a n +2a n +1＝85.11. －32.解法一 →BC ·→AO ＝－(→OC －→OB )·→OA ＝→OA ·→OB －→OA ·→OC ＝→OA 2＋→OB 2－→AB 22－→OA 2＋→OC 2－→AC 22＝→AC 2－→AB 22＝－32.解法二取BC 的中点D , 则→BC ·→AO ＝→BC ·(→AD ＋→DO )＝→BC ·→AD ＋→BC ·→DO ＝→BC ·→AD ＝(→AC －→AB )·12(→AC ＋→AB )＝12(→AC 2－→AB 2)＝－32.12. 设删去的一个数是x ,则1≤x ≤n , 则删去的一个数是1,则平均数不减, 平均数为n (n ＋1)2－1n －1＝n ＋22,删去的一个数是n ,则平均数不增, 平均数为n (n ＋1)2－n n －1＝n 2, 所以n2≤3557≤n ＋22, 69＜n ≤71.当n ＝71时, n (n ＋1)2－x n －1＝3557,解得x ＝56,当n ＝70时无解,所以x ＝56.13.方法一因为(x ＋y )2≥4xy , (1＋x )(1＋y )＝2,所以, x ＋y ＝1－xy ,(1－xy )2≥4xy ,即1－2xy ＋(xy )2≥4xy , 1＋(xy )2≥6xy ,所以两边同除以xy 得 xy ＋1xy≥6.方法二因为(1＋x )(1＋y )＝2,所以,2＝1＋xy ＋x ＋y ≥1＋xy ＋2xy ＝(xy ＋1)2,所以xy ≤2－1,xy ≤(2－1)2＝3－22,所以3－xy ≥22,两边平方得1＋(xy )2≥6xy ,所以两边同除以xy 得 xy ＋1xy≥6.方法三由柯西不等式得(1＋x )(1＋y )≥(xy ＋1)2,所以xy ≤2－1,xy ≤(2－1)2＝3－22,因为函数f (t )＝t ＋1t 在(0,3－22]上单调递减,所以xy ＋1xy ≥3－22＋13－22＝6.14.5＋12,因为{x }, [x ], x 成等比数列, 则1＜[x ]{x }＝x [x ]＝{x }＋[x ][x ]＝1＋{x }[x ]＜2,所以1≤[x ]＜2{x }＜2,于是[x ]＝1,从而[x ]{x }＝x [x ]化为1{x }＝1＋{x },注意到0＜{x }＜1, 解得{x }＝5－12,所以x ＝5＋12. 15.(1) 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, C 1B 1∥CB , 所以CB ⊥AB , 又因为CB ⊥B 1B , AB ∩B 1B ＝B , 所以CB ⊥平面A 1AB , 因为CB ⊆平面CA 1B , 所以平面CA 1B ⊥平面A 1AB ；(2)由C 1B 1⊥平面A 1AB , 得平面A 1AB ⊥平面BCC 1. 过A 作AH ⊥平面BCC 1, H 为垂足, 则H 在B 1B 上, 连接C 1H , 则∠AC 1H 为直线AC 1与平面BCC 1所成的角.连接AB 1, 由四边形A 1ABB 1是菱形, ∠ABB 1=60o ,可知△ABB 1为等边三角形, 而H 是BB 1的中点, 又AB 1＝4, AH ＝23, 于是在直角△C 1B 1A 中, AC 1＝42＋32＝5,在直角△AH C 1中, sin ∠A C 1H ＝235, 因此, 直线AC 1与平面BCC 1所成的角的正弦等于235.(3)因为四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1=3，△ABB 1为等边三角形,所以BB 1＝4, 所以△BCC 1的面积为12×3×4＝6, 由(2) AH ⊥平面BCC 1,AH ＝23,所以三棱锥A 1－BCC 1的体积V ＝13×△BCC 1的面积×AH ＝4 3.16. (1)由a 1＝S 1＝14(a 1－1)(a 1＋3)及a n ＞0得a 1＝3.由S n ＝14(a n －1)(a n ＋3),得S n -1＝14(a n -1－1)(a n -1＋3).所以a n ＝14(a n －1)(a n ＋3)－14(a n -1－1)(a n -1＋3)＝14[(a n 2－a n 2-1)＋2(a n －a n -1)].整理得2(a n ＋a n -1)＝(a n ＋a n -1)(a n －a n -1).因为a n ＋a n -1＞0,所以a n －a n -1＝2, 即{a n }是以3为首项公差为2的等差数列,于是 a n ＝2n ＋1.(2)因为a n ＝2n ＋1,所以S n ＝n (n ＋2), b n ＝1S n ＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2),AT n ＝k ＝1∑nb k ＝12k ＝1∑n(1k －1k ＋2)＝12(1＋12―1n ＋1―1n ＋2)＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).17.(1) c ＝(2,3)－2(－2＋9)10(－1,3)＝(175,－65).(2)设a ＝(x ,y ), c ＝(x ′,y ′),则(x ′,y ′)＝(x ,y )－25(x ＋2y )(2,1)＝(－35x －45y , －45x ＋35y ),所以, ⎩⎨⎧x ′＝－35x －45y ，y ′＝－45x ＋35y .于是，⎩⎨⎧x ＝－35x ′－45y ′，y ＝－45x ′＋35y ′.故A (－35x ′－45y ′)＋B (－45x ′＋35y ′)＋C ＝0,从而, －15(3A ＋4B )x ′＋15(－4A ＋3B )y ′＋C ＝0.由于A , B 不同时为零,所以3A ＋4B , －4A ＋3B 也不同时为零.于是向量c 的终点在一条直线－15(3A ＋4B )x ＋15(－4A ＋3B )y ＋C ＝0上. (3)设b ＝(b 1, b 2), 则b 12＋b 22＝1,对任意实数t , 取a ＝(t ,t 2), 则 c ＝(t ,t 2)－(2(t ,t 2)⋅(b 1, b 2))(b 1, b 2)＝(t ,t 2)－(2tb 1＋2t 2b 2)(b 1, b 2)＝((1－2b 22)t －2b 1b 2t 2, －2b 1b 2t ＋(1－2b 12)t 2).因为c 的终点在曲线C′上,所以((1－2b 22)t －2b 1b 2t 2)2＝－2b 1b 2t ＋(1－2b 12)t 2. ○1 由于t 为任意实数,比较○1式两边t 的系数得 1－2b 22＝0, (－2b 1b 2)2＝－2b 1b 2, 1－2b 12＝0,从而, b 12＝b 22＝12, b 1b 2＜0,所以, b ＝±(22,－22). 对曲线C 中任意点(x 0,y 0),可知(y 0, x 0)在曲线C′上, 反之亦然. 故曲线C ：x 2＝y 与曲线C′：y 2＝x 关于直线l ：y ＝x 对称. l 的方向向量d ＝(1,1), 因为d ⋅b ＝0,所以d ⊥b , 即直线l 与向量b 垂直.18. （1）连结OP ，设AOP α∠=，则π2π33α≤≤．在△AOP 中，由余弦定理得22212212cos 54cos x αα=+-⨯⨯⨯=-．在△BOP 中，由余弦定理得22212212cos(π)54cos BP αα=+-⨯⨯⨯-=+．∴2210BP x =-．则2222141410y AP BP x x=+=+-． ∵π2π33α≤≤，∴11cos 22α-≤≤， ∴354cos 7α-≤≤x ≤∴221410y x x=+-，定义域为{|x x ．（2）解法一：由（1）得221410y x x =+-＝2222114()[(10)]1010x x x x++--＝22221104(5)1010x x x x -++-≥1(510+=910．当且仅当222210410x x x x -=-，即2103x =时取等号，此时3x =．答：当APkm 时，“总噪音影响度”最小．（2）解法二：令2t x =，则14(37)10y t t t=+-≤≤，∴2222222214(2)(10)(10)(310)(10)(10)(10)t t t t y t t t t t t ---+-'=+==-⋅-⋅-．由0y '=，得10103t t ==-,或(舍)．当10(3,)3t ∈时，0y '<，函数在10(3,)3上是单调减函数；当10(,7)3t ∈时，0y '>，函数在10(,7)3上是单调增函数．∴当103t =，即x =时，y 有最小值．答：当AP为3km 时，“总噪音影响度”最小． 19. （1）由3l k =-，得直线l 的倾斜角为150︒，则点A 到直线l 的距离1sin(180150)2a d a =︒-︒=，故直线l 被圆A截得的弦长为1L ==，直线l 被圆B截得的弦长为22cos(180150)L a =︒-︒，（3分）据题意有：12L L =6=，（5分）化简得：2163270e e -+=，解得：74e =或14e =，又椭圆的离心率(0,1)e ∈；故椭圆C 的离心率为14e =．（2）假设存在，设P 点坐标为(,)m n ，过P 点的直线为L ；当直线L 的斜率不存在时，直线L 不能被两圆同时所截；故可设直线L 的方程为()y n k x m -=-，则点)0,7(-A 到直线L 的距离2117knkm k D ++--=，由（1）有14c e a ==，得34A a r a c =-==421，故直线L 被圆A截得的弦长为1'L =，则点)0,7(B 到直线L 的距离2217kn km k D ++-=，7=B r ，故直线L 被圆B截得的弦长为2'L =据题意有：1234L L =，即有22221216()9()AB r D r D -=-，整理得1243D D =，2173knkm k ++-=，○1 所以4|―7k ―km ＋n |＝3|7k －km ＋n |,即4(―7k ―km ＋n )＝3(7k －km ＋n )或4(―7k ―km ＋n )＝－3(7k －km ＋n ), 也就是(49＋m )k －n ＝0或(1＋m )k －n ＝0与k 无关.于是⎩⎨⎧49＋m ＝0 n ＝0或⎩⎨⎧1＋m ＝0 n ＝0,故所求点P 坐标为（－1，0）或（－49，0）．方法二对式○1两边平方整理成关于k 的一元二次方程得 07)14350()3433507(222=++-++n k mn m k m m ，关于k 的方程有无穷多解，故有：⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++49010070143500343350722m n m n n mn n m m 或，故所求点P 坐标为（－1，0）或（－49，0）．（注设过P 点的直线为m kx y +=后求得P 点坐标同样得分）HFEDCB A20. (1)f (x 1)＋f (x 2)2－f (x 1＋x 22)＝2x 1＋a ln x 1＋2x 2＋a ln x 22－2⋅x 1＋x 22－a ln x 1＋x 22＝a ln x 1x 2－a lnx 1＋x 22＝a ln 2x 1x 2x 1＋x 2. 因为x 1＋x 22≥x 1x 2, 所以2x 1x 2x 1＋x 2≤1, ln 2x 1x 2x 1＋x 2≤0,又a ＜0,故a ln 2x 1x 2x 1＋x 2≥0,所以f (x 1)＋f (x 2)2≥f (x 1＋x 22)成立.(2)因为f (x )≤(a ＋3)x －12x 2对x ∈[1,e],恒成立，故2x ＋a ln x ≤(a ＋3)x －12x 2, a (x －ln x )≥12x 2－x ,因为x ∈[1,e],所以x －ln x ＞0,因而a ≥12x 2－x x －ln x .设g (x )＝12x 2－x x －ln x, x ∈[1,e].因为g ' (x )＝(x －1)(x －ln x )―(1―1x )(12x 2－x )(x －ln x )2＝(x －1)(12x ＋1－ln x )(x －ln x )2,当x ∈(1,e)时, x －1＞0, 12x ＋1－ln x ＞0,所以g ' (x )＞0,又因为g (x )在x ＝1和x ＝e 处连续, 所以g (x )在x ∈[1,e]时为增函数, 所以a ≥g (e)＝12e 2－e e －1＝e 2－2e2(e －1).附加题21.从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分 A ．选修4—1 几何证明选讲如图, 在锐角△ABC 中, 三条高AD , BE , CF 交于点H , 证明点H 是△DEF 的内心.(三条内角平分线的交点)证明在四边形BDHF 中, 由于HD ⊥BD , HF ⊥BF , 所以B ,D ,H ,F 四点共圆， ∠HDF ＝∠FBH .因为BH ⊥AC , 所以∠FBH ＝90o －∠BAC , 即∠HDF ＝90o －∠BAC , 同理, 在四边形CDHE 中, C ,D ,H ,E 四点共圆，∠HDE ＝90o －∠BAC , 于是, ∠HDF ＝∠HDE .由对称性, ∠DFH ＝∠EFH , 所以H 是△DEF 的内心. B ．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C : xy ＝1在矩阵⎣⎡⎦⎤ cos θ sin θ－sin θ cos θ(0≤θ＜π2)对应的变换作用下得到曲线F ，且F 的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0), 求θ和a 的值.解设P (x 0,y 0)是曲线C 上任意一点, 点P (x 0,y 0)在矩阵⎣⎡⎦⎤cos θ sin θ－sin θ cos θ对应的变换下变为点P '(x 0',y 0') , 则有⎣⎡⎦⎤x 0'y 0'＝⎣⎡⎦⎤ cos θ sin θ－sin θ cos θ ⎣⎡⎦⎤x 0y 0, 所以 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎡⎦⎤x 0'y 0'.又因为点P 在曲线C 上，所以由x 0y 0＝1,得(x 0'2－y 0'2)sin θcos θ＋(cos 2θ－sin 2θ)x 0'y 0'＝1, 要使得方程变为x 2－y 2＝a 2(a ＞0),必须cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0,因为0≤θ＜π2,所以θ＝π4.这时a 2＝2, a ＝ 2.C ．选修4—4 参数方程与极坐标在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋5，y ＝－4－t (t 为参数), 圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数), 直线l 与交于两个不同的点A , B , 点P 在圆C 上运动, 求△P AB 面积的最大值.解直线l 的普通方程是x ＋y －1＝0, 圆C 的普通方程是x 2＋y 2＝1, 它们交于两点A (1,0), B (0,1), 设点P 的坐标为(cos θ,sin θ)(0≤θ＜2π), 则点P 到直线l 的距离为 d ＝|cos θ＋sin θ－1|2＝|2sin(θ＋π4)－1|2,当θ＝5π4时,d 取最大值2＋12, 因为AB ＝2,所以当P 为(―22,―22)时, △P AB 面积最大,最大值为2＋12. D ．选修4—5 不等式证明选讲证明对任意正数a ≠b 的算术平均A ＝a +b2与几何平均B =ab 有B ＜(a －b )28(A －B )＜A .证明因为B ＜A ,所以B ＜A +B2＜A ,而(a －b )28(A －B )＝(a 2－b 2)24(a －b 2)＝(a +b )24＝A +B 2,所以 B ＜A +B 2＜A .22. 【必做题】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.解（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件zyxPDC 1B 1A 1CBA D 1QA 的概率为()11141133327P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），∴()()441220,1,2,3,433kkk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴即ξ的分布列是∴ξ的期望是0246881812781813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.23. 【必做题】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P ,Q 分别是直线BD 1, AC 上的动点, 且PQ 与BD 1, AC 都垂直, 则称线段PQ 是异面直线BD 1与 AC 的公垂线段. (4) 求直线BD 1与平面ACD 1所成角的正弦值; (5) 求异面直线BD 1与 AC 的公垂线段PQ 的长; (6) 求二面角B －CD 1－A 的余弦值.解如图,建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz , 则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),D (0,0,0), A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),C 1 (0,1,1),D 1 (0,0,1),(1) 连结B 1D , 则AC →＝(－1,1,0), AD 1→＝(－1,0,1), DB 1→＝(1,1,1), 因为DB 1→∙AC →＝DB 1→∙AD 1→＝0,所以DB 1⊥AC ,DB 1⊥AD 1,又AC ∩AD 1＝A ,从而由直线与平面垂直的判断定理得DB 1⊥平面ACD 1, 从而DB 1→是平面ACD 1的法向量. 又D 1B →＝(1,1,－1),所以cos<DB 1→,D 1B →>＝DB 1→∙D 1B →|DB 1→|∙|D 1B →|＝13,从而直线BD 1与平面ACD 1所成角的正弦值为13.(2)设AQ →＝λAC →, BP →＝μBD 1→, 其中0≤λ,μ≤1.不难得到Q (1－λ,λ,0),P (1－μ,1－μ,μ),QP →＝(λ－μ,1－λ－μ,μ),由于PQ 是异面直线BD 1与 AC 的公垂线, 所以⎩⎨⎧QP →∙AC →＝0，QP →∙BD 1→＝0.即⎩⎨⎧1－2λ＝01－3μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝12μ＝13.所以, QP →＝(16,16,13), |QP →|＝(16)2＋(16)2＋(13)2＝66. (3)由(1)知DB 1→＝(1,1,1)是平面ACD 1的法向量, 显然DC 1→＝(0,1,1)是平面BCD 1的法向量, 由于cos<DB 1→,DC 1→>＝DB 1→∙DC 1→|DB 1→|∙|DC 1→|＝63,所以二面角B －CD 1－A 的余弦值为63.。

【三维设计】北京航空航天大学附中2013年高考数学二轮复习三角函数

航空航天大学附中三维设计2013年高考数学二轮复习：三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数]4,3[sin 2)(ππω-=在区间x x f 上的最小值为－2，则ω的取值X 围是( )A ．[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,629, B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2329,C ．(][)+∞-∞-,62,D ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,232, 【答案】D2．扇形面积是1平方米，周长为4米，则扇形中心角的弧度数是( )A ． 2B ． 1C ．πD ．2π 【答案】A3．为得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数)62sin(π+=x y 的图像( )A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度【答案】A4．若x 是三角形的最小内角，则函数y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域是( )A ．［-1，+∞)B ． (1,2+12］C ．［-1,2］D ． (0,2］【答案】B5．已知a =︒80sin ，则cos100°的值等于( )A ．21a -B ．21a --C ．211a--D ．a -【答案】B 6．tan θ+1tan θ =4,则sin2θ=( ) A ．15B ． 14C ． 13D ． 12【答案】D7．图中的曲线对应的函数解析式是( )A ． y ＝｜sinx ｜B ． y ＝sin ｜x ｜C ． y ＝－sin ｜x ｜D ． y ＝－｜sinx ｜【答案】C8．函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是( )A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππB ． )(324,344Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππD ． )(384,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 【答案】D9．已知()53sin =+απ且α为第四象限角，则()πα2cos -的值是( ) A ．54B ．54-C ．54±D ．53【答案】A10．2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y )的图象的一部分图形如图所示，则函数的解析式为( )A ．y=sin(x+3π)B ．y=sin(x-3π)C ．y=sin(2x+3π)D ．y=sin(2x-3π)【答案】C11．当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为( )A ．2B ．32C ．4D ．34 【答案】C12．420sin °=( )A ．23-B ． 21C ． 23D ． 21-【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若,(0,)2παβ∈，cos()22βα-=，1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+的值等于____________ 【答案】12-14．若()53sin =-απ，α是第二象限，则=αcos . 【答案】54-15．若等式3sin α+cos α=413+m 能够成立，则m 的取值X 围是.【答案】7[3,]3- 16．已知tanx=6，那么21sin 2x+31cos 2x=. 【答案】55111三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q=（a 2，1），p=（c b -2， C cos ）且q p //．求：(I ）求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值X 围．【答案】（I ）∵q p //，∴c b C a -=2cos 2，根据正弦定理，得C B C A sin sin 2cos sin 2-=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C ，21cos =∴A ，又0A π<<3π=∴A ；sinA=23(II ）原式C C C C C C C CC cos sin 2cos 21cos sin 1)sin (cos 211tan 12cos 2222+-=+--=++-=， )42sin(22cos 2sin π-=-=C C C ， ∵π320<<C ，∴πππ1213424<-<-C ，∴1)42sin(22≤-<-πC ， ∴2)42sin(21≤-<-πC ，∴)(C f 的值域是]2,1(-．18．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM R = ，45MOP ∠=，OB 与OM 之间的夹角为θ. (1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.(2）若45R m =，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01m2)【答案】(Ⅰ）由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM AD ⊥. 设OM 于BC 的交点为F ，则2sin BC R θ=，cos OF R θ=.1cos sin 2AB OF AD R R θθ=-=-.所以2sin (cos sin )S AB BC R R R θθθ=⋅=-22(2sin cos 2sin )R θθθ=-2(sin 21cos 2)R θθ=-+222sin(2)4R R πθ=+-，(0,)4πθ∈ . (Ⅱ）因为(0,)4πθ∈ ，则32(,)444πππθ+∈ .所以当242ππθ+=，即8πθ=时，S 有最大值.2max (21)S R =221)450.4142025838.35=⨯=⨯=.故当8πθ=时，矩形ABCD 的面积S 有最大值838.35m2.19．用两种方法说明函数1tan()26y x π=-的图像可以由函数tan y x =的图像经过怎样的变换得到。

(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷08 文

【步步高】（全国版）2013届高三数学名校强化模拟测试卷08 文第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【改编题】若集合A ＝｛－1，0，1｝，B ＝｛y ｜y ＝cosx ，x ∈A ｝，则A ∩B ＝ A ．｛0｝ B ．｛1｝ C ．｛0，1｝ D ．｛－1，0，1｝3. 【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】i 是虚数单位，1233ii+等于 A.13412i + B.33i + C.33i - D. 13412i -3. 【2013届安徽省示范高中高三9月模底考试】样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝（） A 、305 B 、65C 、2D 、24. 【2013云南省第一次高中毕业生统一检测复习】抛物线22x y =的焦点坐标是（A ）1(,0)2 （B ）1(0,)2（C ）(1,0) （D ）(0,1)5. 【2012年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】若实数yx z x y x y x y x 230001,+=⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-则满足的最小值是A ．0 B. 1 C. 3 D. 9 【答案】B【解析】可行域如图，可知B(0,1),O(0,0),由1=011(),=022x y A x y -+⎧-⎨+⎩，，显然当目标函数2z x y '=+过点O 是取得最小值为0，故23x y z +=的最小值为1.6. 【原创题】右图所示的是根据输入的x 值计算y 的值的程序框图，若x 依次取数列)(162*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧+N n n n 中的项，则所得y 值的最小值为A.16B.8C.4D.32 【答案】16 【解析】2*1616,8(48,n n N n n x n n+∈=+≥==≥当时，“”成立），即由程序框图可知，当x=8是运行=2y x ，故此时y 值的最小值为16.7. 【广东省珠海市2013届高三9月摸底一模考试】如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A ．36 B ．108 C ．72 D ．180 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个有正四棱柱和上面的一个正四棱锥，其体积为1662+663=108.3⨯⨯⨯⨯⨯ 8. .【2013年河南省开封市高考数学一模试卷】已知直线ax ﹣by ﹣2=0与曲线y=x 3在点P （1，1）处的切线互相垂xyBA O-1x-y+1=0x+y=0x+2y=0直，则为（） A ．B ．C ．D ．9. 【山东省日照市2012届高三下学期5月份模拟训练】要得到函数)42cos(3π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象（A ）沿x 轴向左平移8π个单位（B ）沿x 向右平移8π个单位（C ）沿x 轴向左平移4π个单位（D ）沿x 向右平移4π个单位10. 【山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试】F 1、F 2为双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为（） A212 B 213 C 193 D 19211. 【原创题】如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CDBD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为A. π23B. π3C. π32D. π212. 【2013年临沂市高三教学质量检测考试】已知函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是(A) (0,)+∞ (B) 1(0,]2 (C) 1(0,]4 (D) 11[,]43【答案】CDCBA 'D CB A第11题【解析】由)()1(x f x f -=+得，)()2(x f x f =+，所以函数)(x f 为周期为2的周期函数，又因为函数)(x f 为偶函数，有)()()1(x f x f x f -=--=+-，所以有)1()1(+=+-x f x f ，所以函数)(x f 关于1=x 对称，令0)1()()(=+-=x k x f x g ，得函数)1()(+=x k x f ，令函数)1(+=x k y ，做出函数)(x f 和函数)1(+=x k y 的图象，如图：当直线)1(+=x k y 必须过点)1,3(C 时有4个交点，此时直线)1(+=x k y 的斜率为41)1(301=---=k ，要使函数)1()()(+-=x k x f x g 有四个零点，则直线的斜率410≤<k ，选C.第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国模拟卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷数学模拟试题（Ⅰ）【温馨提示】若果此文档的有些公式不能显示，建议你在你的电脑中安装M a t h t y p e6.0（公式编辑器6.0）或比M a t h t y p e6.0更高的版本。

第Ⅰ卷()＝0，2A．28 B．29 C．30 D．317.(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能是()8. (2012·烟台模拟)与椭圆x24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A. C. 9. )A B C D 10.11. (2012·济南模拟)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为 ( )A.33 B.233 C.223 D.2312. ．函数f (x )＝12(e x ＋e －x )取极小值时，x 为( )A ．1B ．－1C ．0D ．不存在第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 的14. 15. 的值为16. 117. ((18.某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．(Ⅰ)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是215，求抽奖者获奖的概率； (Ⅱ)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ.19.（本小题满分12分）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面BDEF于R点，试确定R点的位置．20.F1，且(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为203，求此时椭圆的方程．21. （本小题满分12分）设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，e x＞x2－2ax＋1.请考生在第22,23, 24三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分。

(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷10 文

【步步高】（全国版）2013届高三数学名校强化模拟测试卷10 文第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】设全集{}N x x x x Q ∈≤-=,052|2，且Q P ⊆，则满足条件的集合P 的个数是 A.3 B.4 C.7 D.82. 【2012宁夏石嘴山市第二次联考数学试题】若复数12ω=+（i 为虚数单位），则1ω-等于（）A. 2ωB. 2ω-C.ω-D.1ω-【答案】A【解析】因为111122ω-=-=-，2211()22ω==-+，所以21ωω-=，故选择A 。

3. 【山东省青岛市2013年高三统一质量检测】某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调查,得到本月的用水量(单位:m 3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过15m 3的住户的户数为A.10B.50C.60D.140 【答案】C【解析】以50为样本容量可计算出超过315m 用水量的户数为()50.050.015015,⨯+⨯=所以可估算200户居民超过315m 用水量的户数60.4. 【北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）】若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为( )（A）2 （B（C2或2 （D25. 【河南省豫北六校2012届高三年级第三次精英联考】实数x ，y 满足不等式组1,10,10,x y y W x x y ≥⎧-⎪≥=⎨+⎪-≥⎩则的取值范围是A ．[一12，1） B ．[一1，1） C ．（一1,1）D ．1[,1]2-6. 【云南省昆明市2013届高三摸底调研测试】某班有24名男生和26名女生，数据1250,,,a a a 是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W ；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图里空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的A ．0?T >，50M W A +=B ．0?T <，50M WA +=C ．0?T <，50M WA -=D ．0?T >，50M WA -=【答案】D【解析】因男生平均分为M ，女生平均分为W ，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，故空白的判断框应区分正负，根据是男生的成绩，故应为0?T >因全班成绩的平均数A ，且W 为负值，故50M WA -=，综上答案为D.7. 【北京市西城区2012届高三下学期二模】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是（）；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）． A19，3π；B 13，3π；C 13，6π；D 19，6π；8. 【山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试】函数x xy cos 1⋅=在坐标原点附近的图象可能是【答案】A【解析】函数为奇函数，所以B 不正确，，定义域中没有0≠x ，所以D 不正确，当20π<<x 时，函数值为正，所以C 不正确，答案选A.9. 【湖北省武汉外国语学校、钟祥一中2012届高三4月联考】函数()()ϕω+=x A x f sin （其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()x x g 2sin =的图象，则只需将()x f 的图象( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位10. 【江西省八所重点高中2012届高三4月高考模拟联考】设抛物线2:2(0)M y px p =>的焦点F 是双曲线2222:1(0,0)x y N a b a b-=>>右焦点. 若M 与N 的公共弦AB 恰好过F ，则双曲线N 的离心率e 的值为（）B.1 C. 3 D. 211. 【改编题】函数()(a x y a 13log -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则nm 21+的最小值等于 A.16B.12C.9D. 812. 【原创题】在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，若 1512mS S n n ≤-+对+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 A.3 B.4 C. 5 D.6第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷12

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二一、选择题(36分)1．已知数列{x n }满足x n +1=x n －x n －1(n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ，记S n =x 1+x 2+ +x n ，则下列结论正确的是(A )x 100=-a ，S 100=2b -a (B )x 100=-b ，S 100=2b -a (C )x 100=-b ，S 100=b -a (D )x 100=-a ，S 100=b -a2．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得AE EB =CFFD =λ (0<λ<+∞)，记f (λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则(A ) f (λ)在(0，+∞)单调增加(B ) f (λ)在(0，+∞)单调减少(C ) f (λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D ) f (λ)在(0，+∞)为常数3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个4．在平面直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x －2y +3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为(A )(0，1) (B )(1，+∞) (C )(0，5) (D )(5，+∞)5．设f (x )=x 2－πx ，α = arcsin 13，β=arctan 54，γ=arcos(－13)，δ=arccot(－54)，则 (A )f (α)>f (β)>f (δ)>f (γ) (B ) f (α)> f (δ)>f (β)>f (γ) (C ) f (δ)>f (α)>f (β)>f (γ) (D ) f (δ)>f (α)>f (γ)>f (β)6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有 (A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x ，y 为实数，且满足⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1．则x +y = .2．过双曲线x 2－y 22=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条，则λ= .3．已知复数z 满足⎪⎪⎪⎪2z +1z =1，则z 的幅角主值范围是．4．已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为．5．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．6．设a =log z +log[x (yz )-1+1]，b =log x -1+log(xyz +1)，c =log y +log[(xyz )-1+1]，记a ，b ，c 中EFB C D A最大数为M ，则M 的最小值为．三、（20分）设x ≥y ≥z ≥π12，且x +y +z =π2，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值．四、(20分)设双曲线xy =1的两支为C 1，C 2(如图)，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P 、Q 、R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设P (-1，-1)在C 2上， Q 、R 在C 1上，求顶点Q 、R 的坐标．五、(20分)设非零复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5满足其中S 为实数且|S |≤2．求证：复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{x n }满足x n +1=x n －x n －1(n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ，记S n =x 1+x 2+ +x n ，则下列结论正确的是(A )x 100=-a ，S 100=2b -a (B )x 100=-b ，S 100=2b -a (C )x 100=-b ，S 100=b -a (D )x 100=-a ，S 100=b -a解：x 1=a ，x 2=b ，x 3=b －a ，x 4=－a ，x 5=－b ，x 6=a －b ，x 7=a ，x 8=b ，…．易知此数列循环，x n +6=x n ，于是x 100=x 4=－a ，又x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=0，故S 100=2b －a ．选A ．2．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得AE EB =CFFD =λ (0<λ<+∞)，记f (λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则(A ) f (λ)在(0，+∞)单调增加 (B ) f (λ)在(0，+∞)单调减少(C ) f (λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D ) f (λ)在(0，+∞)为常数解：作EG ∥AC 交BC 于G ，连GF ，则AE EB =CG GB =CFFD ，故GF ∥BD ．故∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，但AC ⊥BD ，故∠EGF=90°．故f (λ)为常数．选D ．3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个解：设首项为a ，公差为d ，项数为n ，则na +12n (n －1)d=972，n [2a +(n －1)d ]=2×972，即n 为2×972的大于3的约数．∴ ⑴ n=972，2a +(972－1)d=2，d=0，a=1；d ≥1时a <0．有一解；⑵n=97，2a +96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； ⑶n=2×97，n=2×972，无解．n=1，2时n <3.．选C4．在平面直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x －2y +3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为(A )(0，1) (B )(1，+∞) (C )(0，5) (D )(5，+∞)解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x －2y +3=0的距离的比：x 2+(y +1)2|x －2y +3|12+(－2)2=5m <1⇒m >5，选D ．5．设f (x )=x 2－πx ，α = arcsin 13，β=arctan 54，γ=arcos(－13)，δ=arccot(－54)，则E FBCDA(A )f (α)>f (β)>f (δ)>f (γ) (B ) f (α)> f (δ)>f (β)>f (γ) (C ) f (i )>f (α)>f (β)>f (γ) (D ) f (δ)>f (α)>f (γ)>f (β) 解：f (x )的对称轴为x=π2，易得， 0<α<π6<π4<β<π3<π2<γ<2π3<3π4<δ<5π6．选B ．6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有(A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条解：在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A 'D '，作一个平行六面体ABCD —A 'B 'C 'D '，在c 上取线段A 'D '上一点P ，过a 、P 作一个平面，与DD '交于Q 、与CC '交于R ，则QR ∥a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交．由于可以取无穷多个点P ．故选D ．二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x ，y 为实数，且满足⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1．则x +y = .解：原方程组即⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)+1=0，(1－y )3+1997(1－y )+1=0．取 f (t )=t 3+1997t +1，f '(t )=3t 2+1987>0．故f (t )单调增，现x －1=1－y ，x +y=2． 2．过双曲线x 2－y 22=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条，则λ= ．解：右支内最短的焦点弦=2b 2a =4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对称性有两条．故λ=4时设AB 的倾斜角为θ，则右支内的焦点弦λ=2ab 2a 2－c 2cos 2θ=41－3cos 2θ≥4，当θ=90°时，λ=4．与左支相交时，θ=±arccos23时，λ=⎪⎪⎪⎪2ab 2a 2－c 2cos 2θ=⎪⎪⎪⎪41－3cos 2θ=4．故λ=4． 3．已知复数z 满足⎪⎪⎪⎪2z +1z =1，则z 的幅角主值范围是．解：⎪⎪⎪⎪2z +1z =1⇔4r 4+(4cos2θ－1)r 2+1=0，这个等式成立等价于关于x 的二次方程4x 2+(4cos2θ－1)x +1=0有正根．△=(4cos2θ－1)2－16≥0，由x 1x 2=14>0，故必须x 1+x 2=－4cos2θ－14>0． ∴cos2θ≤－34．∴ (2k +1)π－arccos 34≤2θ≤(2k +1)π+arccos 34． ∴ kπ+π2－12arccos 34≤θ≤kπ+π2+12arccos 34，(k=0，1)B‘C’D’A‘BCDASQ PR acb4．已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为．解：SA=SB=SC=2，⇒S 在面ABC 上的射影为AB 中点H ，∴ SH ⊥平面ABC ．∴ SH 上任意一点到A 、B 、C 的距离相等． ∵ SH=3，CH=1，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 与SH 交于O ，则O 为SABC 的外接球球心．SM=1，∴SO=233，∴ OH=33，即为O 与平面ABC 的距离．5．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．解：青蛙跳5次，只可能跳到B 、D 、F 三点(染色可证)．青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号：□1□1□1□1□1规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有23－2=6种，后两个□中填号的方法有22种．∴ 共有2+6×4=26种方法．6．设a =log z +log[x (yz )-1+1]，b =log x -1+log(xyz +1)，c =log y +log[(xyz )-1+1]，记a ，b ，c 中最大数为M ，则M 的最小值为．解：a=log(x y +z )，b=log(yz +1x )，c=log(1yz +y )．∴ a +c=log(1yz +1x +yz +x )≥2log2．于是a 、c 中必有一个≥log2．即M ≥log2，于是M 的最小值≥log2．但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此时M=log2．于是M 的最小值≤log2． ∴ 所求值=log2．三、（本题满分20分）设x ≥y ≥z ≥π12，且x +y +z=π2，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值．解：由于x ≥y ≥z ≥π12，故π6≤x ≤π2 －π12×2=π3．∴ cos x sin y cos z=cos x ×12[sin(y +z )+sin(y －z )]=12cos 2x +12cos x sin(y －z )≥12cos 2π3 =18 ．即最小值．(由于π6 ≤x ≤π3 ，y ≥z ，故cos x sin(y －z )≥0)，当y=z=π12 ，x=π3 时，cos x sin y cos z=18 ． ∵ cos x sin y cos z=cos z ×12[sin(x +y )－sin(x －y )]=12cos 2z －12cos z sin(x －y )．O M2HSA B C 212由于sin(x －y )≥0，cos z >0，故cos x sin y cos z ≤12cos 2z=12cos 2π12 =12(1+cos π6)=2+ 38 ．当x= y=5π12 ，z=π12 时取得最大值． ∴ 最大值2+38，最小值18．四、(本题满分20分)设双曲线xy =1的两支为C 1，C 2(如图)，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P 、Q 、R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设P (-1，-1)在C 2上， Q 、R 在C 1上，求顶点Q 、R 的坐标．解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上．此三点的坐标为P (x 1，1x 1)，Q (x 2，1x 2)，R (x 3，1x 3)．不妨设0<x 1<x 2<x 3，则1x 1>1x 2>1x 3>0．k PQ =y 2－y 1x 2－x 1=－1x 1x 2；k QR =－1x 2x 3；tan ∠PQR=－1x 1x 2 +1x 2x 31+1x 1x 3x 22<0，从而∠PQR 为钝角．即△PQR 不可能是正三角形．⑵ P (－1，－1)，设Q (x 2，1x 2)，点P 在直线y=x 上．以P 为圆心，|PQ |为半径作圆，此圆与双曲线第一象限内的另一交点R 满足|PQ |=|PR |，由圆与双曲线都是y=x 对称，知Q 与R 关于y=x 对称．且在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数)．于是R (1x 2，x 2)．∴ PQ 与y=x 的夹角=30°，PQ 所在直线的倾斜角=75°．tan75°=1+331－33=2+3．PQ 所在直线方程为y +1=(2+3)(x +1)，代入xy=1，解得Q (2－3，2+3)，于是R (2+3，2－3)．五、(本题满分20分)设非零复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5满足其中S 为实数且|S |≤2．求证：复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．证明：设a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4=q ，则由下式得a 1(1+q +q 2+q 3+q 4)=4a 1q 4(1+q +q 2+q 3+q 4)．∴ (a 12q 4－4) (1+q +q 2+q 3+q 4)=0，故a 1q 2=±2，或1+q +q 2+q 3+q 4=0．⑴ 若a 1q 2=±2，则得±2(1q 2+1q +1+q +q 2)=S ．⇒S=±2[(q +1q )2+(q +1q )－1]=±2[(q +1q +12)2－54]． ∴ 由已知，有(q +1q +12)2－54∈R ，且|(q +1q +12)2－54|≤1．令q +1q +12=h (cos θ+i sin θ)，(h >0)．则h 2(cos2θ+i sin2θ)－54∈R ．⇒sin2θ=0．－1≤h 2(cos2θ+i sin2θ)－54≤1．⇒14≤h 2(cos2θ+i sin2θ)≤94，⇒cos2θ>0．⇒θ=kπ(k ∈Z ) ∴ q +1q ∈R ．再令q=r (cos α+i sin α)，(r >0)．则q +1q =(r +1r )cos α+i (r －1r )sin α∈R ．⇒sin α=0或r=1．若sin α=0，则q=±r 为实数．此时q +1q ≥2或q +1q ≤－2．此时q +1q +12≥52，或q +1q +12≤－32．此时，由|(q +1q +12)2－54|≤1，知q=－1．此时，|a i |=2．若r=1，仍有|a i |=2，故此五点在同一圆周上．⑵ 若1+q +q 2+q 3+q 4=0．则q 5－1=0，∴ |q |=1．此时|a 1|=|a 2|=|a 3|=|a 4|=|a 5|，即此五点在同一圆上．综上可知，表示复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．。

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编1集合

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编1：集合一、选择题1 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤,B ={}0x x <,则A B =（） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞2 ．（2013届北京西城区一模理科）已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B =ð（） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x <≤ C ．{|12}x x << D ．{|12}x x ≤< 3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知集合},3,1{m A =，},1{m B =，A B A = ，则=m（） A ．0或3 B ．0或3 C ．1或3 D ．1或34 ．（2013届房山区一模理科数学）已知全集U =R ，集合2{|1},{|4}M x x N x x =≤=>，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

则()M C N =R （）A ．(2,1]-B ．[2,1]-C ．(,1]-∞-D ．(,2)-∞-5．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）已知集合{|21}x A x =>,{|1}B x x =<,则A B =（） A ．{|1}x x > B ．{|0}x x > C ．{|01}x x << D ．{|1}x x < 6 ．（2013北京东城高三二模数学理科）已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ,{|22,}B x x x =-<<∈R ,那么集合B A 是（） A ．∅ B ．{|01,}x x x <<∈RC.{|22,}x x x -<<∈R D ．{|21,}x x x -<<∈R7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知集合{}0,1,3M =,集合{}3,N x x a a M ==∈,则M N =（） A ． {}0 B ．{}0,3 C ．{}1,3,9 D ．{}0,1,3,9 8 ．（2013届门头沟区一模理科）已知全集U = R ，集合A {}24x x =≤，B {}1x x =<，则集合A B 等于UA ．{}2x x ≥-B ．{}12x x ≤≤C ．{}1x x ≥D ．R 9 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知集合{}()(){}021,012<-+∈=<+∈=x x x B x x A R R ,则=⋂B A （）A ．()1,-∞-B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,21D ．()+∞,210．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知集合{}{}034,232≥+-∈=<<-∈=x x x B x x A R R ,则=⋂B A（） A ．(]1,3- B ．()1,3- C ．[)2,1 D ．()[)+∞⋃∞-,32,11．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）设集合M= {x|x 2≤4),N={x|log 2 x≥1},则M N 等于（） A ．[-2,2] B ．{2} C ．[2,+∞) D ．[-2,+∞)12．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知集合{}23M x x =-<<,{}lg(2)0N x x =+≥,则M N =（） A ．(2,)-+∞ B ．(2,3)- C ．(2,1]-- D ．[1,3)-13．（2013届房山区一模理科数学）设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有： {|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n ∈N ； ③Z ； ④{|2}xy y =（） A ．①④ B ．②③ C ．①② D ．①②④14．（2013届东城区一模理科）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（） A ．{3} B ．{3,4} C ．{1,2} D ．{2,3}15．（2013届北京海滨一模理科）集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =（） A ．{3,4,5} B ．{4,5,6} C ．{|36}x x <≤ D ．{|36}x x ≤<二、填空题16．（2013届北京丰台区一模理科）已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。

(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷12 文

【步步高】（全国版）2013届高三数学名校强化模拟测试卷12 文第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 【江西景德镇市2012届高三第三次质检试题】已知集合M 、N 、P 均为全集U 的子集，图中阴影部分用M 、N 、P 表示为A ．（M ∪N ）∩PB ．（M ∪N ）∩（PC U ） C ．（M ∩P ）∪（N ∩P ）D ．（M ∪P ）∩（N ∪P ）3. 【湖北省武汉市2013年考试答题适应性训练】若复数22i1ia ++(i 为虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 【原创改编题】在等差数列{}n a 中，若15934a a a π++=，则46tan()a a +的值为（）A B ．－1 C ．1D ．不存在【答案】D【解析】本题利用等差数列的性质，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+。

由5912a a a =+，结合已知15934a a a π++=，得4335π=a ，因此45π=a ，从而22564π==+a a a ，故选择D 。

4. 【北京怀化2012高三第三次模拟考试】点A 是抛物线:1C x y 42=与双曲线:2C 12222=-by a x )0,0(>>b a 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为2，则双曲线2C 的离心率等于A ．6B ．5C ．3D ．25. 【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知变量x,y 满足条件120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是A. 6B. 4C. 3D.2 【答案】C【解析】数形结合可知，当1,1x y ==时，2z x y =+取最小值36. 【2012年洛阳市示范高中联考数学试题】下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[)100,，[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的人数依次为1A 、2A 、……、6A ．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的S =A. 5000B. 5500C. 6000D. 65007. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】某三棱锥的三视图如图2所示，该三棱锥的体积是为( )A. 80B. 40C.803D. 403【答案】D【解析】从图中可知，三棱锥的底为两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4 体积为11404(23)4323V =⨯⨯⨯+⨯= 8. 【广州市2013届高三年级1月调研测试】设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 【河北省唐山市2012届高三摸底考试数学】若函数22()(sin cos )2cos f x x x x m =++- 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则m 的取值范围为（）A. 1,2⎡+⎣B. []1,2-C. 1,2⎡-+⎣D. []1,3【答案】A【解析】由函数22()(sin cos )2cos 1sin 2cos 21f x x x x m x x m =++-=+++-)24x m π=++-得在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2m -，最小值是1m -所以max min ()20()10f x m f x m ⎧=-≥⎪⎨=-≤⎪⎩，解得12m ≤≤.10. 【原创改编题】若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体的外接球的表面积和内切球的表面积之比是（）A.1893+ B. 1893+ C. 3 D. 911. 【原创改编题】已知函数5()ln ,()log ,()lg f x x g x x h x x ===，若直线222()y m m m =-+-∈R 与(),(),()y f x y g x y h x ===图像交点的横坐标分别为,,a b c ，则A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<12. 【宁夏回族自治区石嘴山市2012届高三第二次联考】设函数2()32xf x x x =++，点A 0表示坐标原点，点A n 的坐标为*(,())()n f n n N ∈，K n 表示直线A 0A n 的斜率，设12n n S k k k =+++ ，则S 10=A.25 B. 524 C.112 D. 512【答案】D二。

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编2函数

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编2：函数一、选择题1 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠,定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题: ①()()F x f x =; ②函数()F x 是奇函数;③当0a <时,若0mn <,0m n +>,总有()()0F m F n +<成立,其中所有正确命题的序号是（）A ．②B ．①②C ．③D ．②③【答案】D ．2 ．（2013届东城区一模理科）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（）A ．2或7-B ．2或8-C ．1或7-D ．1或8-【答案】A 3 ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A ．1y x =-B ．tan y x =C ．3y x =D ．2log y x =【答案】C ．4 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知偶函数()()f x x R ∈,当(2,0]x ∈-时,()(2)f x x x =-+,当[2,)x ∈+∞时,()(2)()f x x a x =--(a R ∈). 关于偶函数()f x 的图象G 和直线l :y m =(m R ∈)的3个命题如下: ① 当a=4时,存在直线l 与图象G 恰有5个公共点;② 若对于[0,1]m ∀∈,直线l 与图象G 的公共点不超过4个,则a≤2;③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞,使得直线l 与图象G 交于4个点,且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③第二部分(非选择题共110分)【答案】 D ．5 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知函数⎩⎨⎧≤>=0,30,log )(4x x x x f x，则=)]161([f f （）A ．9B ．91C ．9-D．91-【答案】B6 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ,使000()(1)()63f x f x f x n +++++=L 成立,则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B7 ．（2013届北京西城区一模理科）已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（）A ．1(0,]4B ．1[,)4+∞C ．1(0,]8D ．1[,)8+∞【答案】D8 ．（2013届北京丰台区一模理科）如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A ．y=f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y 4≤B ．y=f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y 4≥C ．y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≥D ．y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≤ 【答案】C9 ．（2013北京西城高三二模数学理科）已知函数()[]f x x x =-,其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数.若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根,则实数k 的取值范围是（） A ．111[1,)(,]243--UB ．111(1,][,)243--UC ．111[,)(342--U 【答案】B ．10．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知函数)0(2)(23≠-+=a bx ax x f 有且仅有两个不同的零点1x ，2x ，则（）A ．当0<a 时，021<+x x ，021>x xB ．当0<a 时，021>+x x ，021<x xC ．当0>a 时，021<+x x ，021>x xD ．当0>a 时，021>+x x ，021<x x【答案】B11．（2013届北京大兴区一模理科）若集合{|2}-==xM y y ，{|1}==-P y y x ，则M P =I（）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y【答案】C 二、填空题12．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知定义域为R 的偶函数()x f 在(]0,∞-上是减函数,且221=⎪⎭⎫⎝⎛f ,则不等式()22>xf 的解集为_____________. 【答案】答案()+∞-,1因为函数为你偶函数,所以11()()222f f -==,且函数在(0,)+∞上递增.所以由(2)2xf >得122x>,即1x >-,所以不等式()22>xf 的解集为()+∞-,1.13．（2013届北京海滨一模理科）已知函数22, 0,()3, 0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.【答案】491a <≤14．（2013届北京大兴区一模理科）已知函数12,02()122,12x x f x x x ìïïïï=íïï-<ïïïî≤≤≤，定义1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x -=，(2n ≥,n *ÎN )．把满足()n f x x =（[]0,1x Î）的x 的个数称为函数()f x 的“n -周期点”．则()f x 的2-周期点是；n -周期点是．【答案】4，2n15．（2013届房山区一模理科数学）某商品在最近100天内的单价()f t 与时间t 的函数关系是22(040,)4()52(40100,)2tt t f t t t t ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩N N日销售量()g t 与时间t 的函数关系是109()(0100,)33t g t t t =-+≤≤∈N .则这种商品的日销售额的最大值为 . 【答案】808.516．（2013届房山区一模理科数学）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =； ②1()()52x f f x =； ③(1)1()f x f x -=-.则4()5f = ，1()2013f = . 【答案】11,23217．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））函数()x f 的定义域为A ,若A x x ∈21,且()()21x f x f =时总有21x x =,则称()x f 为单函数.例如,函数()()R ∈+=x x x f 1是单函数.下列命题:①函数()()R ∈-=x x x x f 22是单函数;②函数()⎩⎨⎧<-≥=2,2,2,log 2x x x x x f 是单函数;③若()x f 为单函数,A x x ∈21,且21x x ≠,则()()21x f x f ≠;④函数()x f 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()x f 一定是单函数. 其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)【答案】答案③ ①若2()2f x x x =-,则由12()()f x f x =得22112222x x x x -=-,即1212()(2)0x x x x -+-=,解得1212,20x x x x =+-=或,所以①不是单函数.②若()⎩⎨⎧<-≥=2,2,2,log 2x x x x x f 则由函数图象可知当12()()f x f x =,时,12x x ≠,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某个区间D 上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③.18．（2013届门头沟区一模理科）定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“等比函数”。

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高起专入学测试《数学》模拟题

一、选择题
1、已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合M={1，3，5}，N={2，4，6}，则NM（）
A.Ø B.I C.N D.M
2、已知函数0),21121()(xRxxxfx且，下列判断正确的是（）
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.以上都不正确

3、已知 ，，2023)cos(（）
A.6 B.65 C. 611 D.61165或
4、方程)2)(1()2()1(22aayaxa中，当21a时，它表示（）
A.椭圆或圆 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线
5、已知)3,3(AB，则通过点（1，2）且与AB平行的直线方程为（）

A.1yx B.233yx C.1yx D. 233yx
6、设集合MT）（NTNM则}3,2,1{},4,3,0{},3,0{等于（）
A.{0,1,2,3,4} B. Ø C.{0，3} D.{0}
7、函数||)(xxxf是（）
A.偶函数，又是增函数 B.偶函数，又是减函数
C.奇函数，又是增函数 D.奇函数，又是减函数

8、设直线l经过点)2,2(A且与x轴，y轴围成的三角形的面积等于1，则此直线方程为
（）
A. 022022yxyx或 B. 022022yxyx或

C. 022022yxyx或 D. 022022yxyx或
9、已知集合A中有5个元素，则集合A的所有子集的个数是（）
A.33 B.32 C.31 D.25

10、曲线23xxy在)2,1(处的切线方程为（）

A.35xy B.35xy C.75xy D.75xy
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11、设3},11|{axxM，下列各式正确的是（）

A. a M B. Ma C.Ma}{ D.}{a M
12、如果实数yx,满足等式3)2(22yx，那么xy的最大值是（）

A.21 B.33 C. 23 D.3
13、抛物线xy412关于直线0yx对称的抛物线的焦点坐标是（）
A.（1，0） B.（0，1） C. )161,0( D. )0,161(
14、直线052yx与圆022422yxyx图形之间的关系是（）
A.相离 B.相切 C.相交且直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
15、如果函数3)()(axxf对于任意的Rt都有)1()1(tftf，则)2(f的值是
（）
A.1 B.0 C.1 D.2

16、已知全集RI，集合}0)lg(|{},0||2|{xxBxxA，则BA等于（）

A.)2,1[ B. )2,1( C.),2[ D.),2(

17、已知22,342tan，求22cos)4sin(21sin2cos2的值是（）
A.35 B.35 C. 415 D.415
18、已知关于x的方程02qpxx的根为p和q，则p和q的值为（）
A.2,1qp B. 0,02,1qpqp或
C.0,1qp D. 0,12,0qpqp或
19、一排共8个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座：每人左右两旁都有空座位，且三人
的顺序是甲必须在另两个人之间，则不同的坐法共有（）
A.8种 B.24种 C.40种 D.120种
20、在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，都是合格品的概率是（）

A.4951 B.1002 C.990893 D.994
21、NMa是NMa的（）
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A.充要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

22、复数634sin2i的虚部是（）
A. 0 B.64 C.64 D.i64
23、函数xxxy24323（）
A.在2x时有最大值 B.在4x时有最大值
C.在2x时有最大值 D.在4x时有最大值

24、函数xxy2tan1tan3的最小正周期是（）

A.2 B. C.2 D.4
25、已知函数)0()(,73)(22acbxaxxyxxxf且)2()2(xyxy，那么
)]([xfy
（）

A.在区间（0，1）上是增函数 B.在区间（0，1）上是减函数
C.在区间（0，2）上是增函数 D.在区间（0，2）上是减函数

26、已知集合ZnnxxSZnnxxQZnnxxP,21|,,2|,,|，
则下列各式中正确的是（）
A.PQ B.SQ C.SPQ D.SPQ
27、下列给出的命题为真命题的是（）
A.coslogcoslog,02121则若

B. 7cos7sin)(cos)(cos,20则若
C.5cos5sin)(sin)(sin,2xxx则若
D.为一切实数时，则4cos4sin
28、二次函数)(xf满足)4()(xfxf，其中Rx，且)0()3(ff，若)1.1(9.0fa，
)16log(),9.0(211.1fcb
，则（）

A.cab B.cba C.bca D.acb
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29、不等式2|12|xx的解集为（）

A.221|xx B. 521|xx

C. 221|xxx， D. 521|xxx，
30、设yy则,cotcostansin的值（）
A.0y B.0y C.0y D.00yy或

《数学》模拟题A 参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A C C C A B A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 D D C A C D A B B C
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 B A B A A C D B B A