北师大版高中理科数学2-1：双曲线的简单几何性质(教案)

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3.3.2双曲线的简单几何性质-北师大版高中数学选修2-1课件

且离心率e 5 的双曲线方程。 4
解：由c2 49 24 25, 得c 5.焦点为（ 5，0），
设共焦点的双曲线为 x2 a2
y2 52 a2
1, 然后由 5 a
5 4
求得a 4, b2 25 16 9,可得 x2 y2 1. 16 9
注：与 x2 a2
y2 b2
1共焦点的椭圆系方程是
16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
解：椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F1(2 2，0)，F（2 2 2，0）
双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
双曲线的渐近线方程为 y 3 x
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 6
y2 2
3 . 3 . 2双曲线的简单几何性质-北师大版高中数学选修 2-1课件
图象
范围
xa
或
x a
ya
或
y a
对称性
顶点
渐近线
离心率
关于坐标
(a,0)
y
b a
x
e
c
轴和
a
原点都对
称
(其中
(0,a)
yax b
c2 a2 b2)
3 . 3 . 2双曲线的简单几何性质-北师大版高中数学选修 2-1课件
例题讲解
3 . 3 . 2双曲线的简单几何性质-北师大版高中数学选修 2-1课件
c2 a2 b2
2.椭圆的图像与性质:
3 . 3 . 2双曲线的简单几何性质-北师大版高中数学选修 2-1课件

高中数学北师大版选修2-1 3.3.2双曲线的简单性质课件(35张)

�� e= ��
2 2
��2 42
−
��2 32
=1,由此可知 ,实
半轴长 a=4,虚半轴长 b=3,则 c= ��2 + �� 2 =5. 所以焦点坐标为(0,-5),(0,5);离心率
5 = ; 4 4 y=± x. 3
顶点坐标为(0,-4),(0,4);渐近线方程为
=
=
�� 2 -1 ��
=
�� 2 �� -1 ,所以越大,e ��
也越大,从而离心率可以用
来表示双曲线开口的程度.
-6-
【做一做 2】
��2 已知双曲线 4
��2 + =1 的离心率 e<2,则 k 的取值 ��
范围是( ) A.k< 0 或 k> 3B.-3<k<0 C.-12<k<0 D.-8<k<3 解析 :由题设知 k<0 且焦点在 x 轴上 ,则 a =4,b =-k,故 1< 解得 -12<k<0. 答案 :C
因式分解即得渐近线方程,这样就避免出错了.
-8-
②双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交. ③若已知渐近线方程为mx±ny=0,求双曲线的方程.双曲线的焦
点可能在x轴上,也可能在y轴上,可用下面的方法来解决. 方法1:分两种情况设出方程进行讨论. 方法2:依据渐近线方程,设出双曲线方程为m2x2-n2y2=λ(λ≠0),求出 λ即可.
��2 ��2 �� 2 ��2 (2)①双曲线 2 − 2=1 的渐近线为 y=± x,双曲线 2 − 2 =1 的渐 �� 近线为 y=± x,两者容易记混,可将双曲线方程中的“1”换成 “0”,然后 ��

2.2.2双曲线的简单性质2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，
只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，
此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.
作者编号：、32200
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，
y
虚轴
a叫做实半轴长；
B2
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，
b叫做双曲线的虚半轴长.
B1
实轴
作者编号：、32200
x2
>
m
<
9
y2
−
4
= 1<
>，
/m
归纳总结
由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤：
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
（2）由标准方程确定焦点位置，确定 <
a<
>
m
>， <
/m
b/m
>
m
>
<的值.
（3）由 <
c 2 = a2 + b2 <
>
m
>求出 <
/m
c<
>
m
>的值，从而写出双曲线的几何性质.
由已知可得点C的坐标为(35，37.5)，代入双曲
352 37.52
线的标准方程有
2 1,
2
33.5
b
∴b2≈15359.26 .
x2
y2

1.
∴所求双曲线的标准方程为
1122.25 15359.26
作者编号：、32200
归纳总结
解决和双曲线有关的实际问题的思路：
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的双曲线，将原问题转化

北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》双曲线的几何性质

4 渐近线方程是 y = ± x 3
14
9
16
例3．一双曲线型冷却塔的外形，是双曲．一双曲线型冷却塔的外形，线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为24m，上口直径为的最小直径为，上口直径为26m，下，口直径50m，高为口直径，高为55m，在所给的直角坐，标系中，求此双曲线的近似方程(虚半轴长标系中，求此双曲线的近似方程虚半轴长精确的0.1m)。精确的。
x y 曲线的标准方程是 − =1 9 7
2 2
双曲线渐近线方程是
7 y=± x 3
13
例2．求双曲线．求双曲线16x2－9y2=144的实轴长和的实轴长和虚轴长、顶点坐标、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程。 x2 y2 解：把双曲线方程化为标准方程 − = 1 由此可知，实半轴长由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长，虚半轴长b=4，，半焦距c=5，半焦距c=5，因此实轴长 2a=6；虚轴长 2b=8；顶点；；坐标是(3，，－，；坐标是，0)，(－3，0)；焦点坐标是(－，，，；焦点坐标是－5，0)，(5，0)；
x+ x −a
可知当x越来越大时，越来越接近于0. 可知当越来越大时，|PM|越来越接近于越来越大时越来越接近于这说明当点M以双曲线的顶点A 以双曲线C的顶点这说明当点以双曲线的顶点 2开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点 b A2时，点M和直线 y = x 就越来越接近。就越来越接近。和直线
16
所以
252 y12 2 − 2 =1 12 b 2 2 13 y2 − =1 122 b 2

北师大版高中数学选修2-1课件：3.3.2 双曲线的简单性质

考点类析
考点类析
考点三双曲线的离心率问题
[导入]用a,b(a>0,b>0)表示双曲线的离心率为
.
[答案] (1)A
考点类析
考点类析
[答案] (1)B
考点类析
[答案] (2)C
考点类析
备课素材
1．定义法
在求双曲线的渐近线方程时，可以先求出a，b，再由渐近线方程的定义得出渐近线
的方程．
[例] 双曲线x42－y92＝1 的渐近线方程
就越开阔．由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
备课素材
(4)双曲线渐近线的理解．双曲线的渐近线是两条直线，当 x，y 趋向于无穷大时，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．因为焦点在 x 轴上和 y 轴上的渐近线方程分别为 y＝±bax 和 y＝±abx，容易混淆，所以求渐近线方程时，常把双曲线标准方程右边的常数写成 0，分解因式即得渐近线方程．
[答案] 1x22 －y82＝1
[解析] 设双曲线方程为 x2 － y2 ＝1，将点 16－k 4＋k
(3 2，2)代入得 k＝4，故所求双曲线方程为1x22 －y82
＝1.
当堂自测
[答案] A
当堂自测
[答案] C
当堂自测
[答案] A
当堂自测
[答案] C
备课素材
[小结]
知识
方法
易错
1.求双曲线 1.求双曲线的顶点、焦点、轴长、离心率、
三维目标
3．情感、态度与价值观在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动，实现共同探究，教学相长的教学活动情境．结合教学内容，培养学生科学的探索精神、科学的审美观和世界观，激励学生创新．

新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线第二节双曲线-教学课件全篇

由正弦定理得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝2 2<|AB|．
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的交点)．
由双曲线的定义知，F 点在以 A，B 为焦点，2 为实轴长的双曲线的下半支上．
所以点 F 的轨迹方程是 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．
1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意||PF1| －|PF2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，其基本步骤为 ①寻求动点 M 与定点 F1，F2 之间的关系； ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)； ③判断：若 2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点 M 的轨迹就是双曲线，且 2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应 a，b，c； ④根据 F1，F2 所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
§2 双曲线
2.1 双曲线及其标准方程 2.2 双曲线的简单几何性质 P51
取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择其端点，另一条边选择中间的一点，分别固定到 F1、F2 上，F1 到 F2 的长为 2a(a>0)，把笔尖放在 M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线，如图所示．
(2)双曲线定义的应用： ①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点 M 的轨迹为双曲线． ②若动点 M 在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．

双曲线的简单几何性质课件数学北师大版(2019)选择性必修第一册

−
2
＝(
2

≠ 0， >
0， > 0)；
(2)如果两条渐近线的方程为 ± ＝0，那么双曲线的方程可
设为22－22＝( ≠ 0， > 0， > 0).
2
(3)与双曲线 2

−
2
2
＝1或 2
2

2
曲线方程可设为 2

−
−
2
＝1(
2

2
2
＝λ或 2
2
²
2
解把方程化为标准方程 − 2 = 1，
4²
3
可得: 实半轴长 = 4，虚半轴长b=3，
半焦距c= 4² + 3² = 5，
焦点坐标是(0,-5),(0,5)，
离心率 =

=
5
，
4
渐近线方程为 =
4
± .
3
双曲线方程的常见设法
(1)渐近线为 =

2
± 的双曲线方程可设为 2

−
> 0， > 0)共渐近线的双
2
＝λ(
2

≠ 0)．
双曲线方程的常见设法
2
(4)与双曲线 2

2
− 2 ＝1(

2
程可设为 2

2
2
＝λ或 2
2

−
> 0， > 0)离心率相等的双曲线系方
−
2
＝λ(
2

≠ 0)，这是因为离心率不能
确定焦点位置．
2
(5)与双曲线 2

北师大版选择性222双曲线的简单几何性质课件(44张)

说法正确的是(

)
A.焦点为(± ,0)
C.离心率 e=
B.渐近线方程为 3x±4y=0

D.焦点到渐近线的距离为 4

(1)解析:由双曲线的几何性质可以得到焦点坐标为(±5,0),渐近线方程为

3x±4y=0,离心率 e= ,焦点到渐近线的距离为 3.故选 BC.

(2)求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、
2
2
2
2
在 Rt△AF1F2 中,由勾股定理可得 4c =9a +a =10a ,所以 e=

.
当点 A 在双曲线的左支上时,由双曲线的定义可知,|BF2|=5m-2a,所以|AF2|=9m-2a,

所以|AF2|-|AF1|=9m-2a-3m=2a,所以 m= a,所以|AF1|=2a,|AF2|=4a.
底座外直径为

B.

,下
,杯高为 6,且杯身最细处到上杯口的距离是到下底座距离
的 2 倍,则双曲线 C 的离心率为(
A.2

C.3
D.4
)
解析:因为金杯主体部分的上杯口外直径为

线的一条渐近线的垂线,垂足为 M,若△OMF1 的面积等于 4(O 为坐标原点),则实数 b
的值等于(
D
A.4
C.3
B.1
)
D.2
解析:由题意知焦点 F1 到双曲线的一条渐近线的距离为|F1M|=b,因为|OF1|=c,所以

|OM|=a,因为 e== ,所以 a=2b,所以△ =|OM|·|F1M|=b×2b=4,解得 b=2.故

双曲线简单的几何性质第二课时高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

③ a b 时，双曲线为等轴双曲线．
双曲线的通径
过双曲线的焦点，作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得线段
MN 2b2 叫做双曲线的通径，如图，对于双曲线 x2 y2 1 a 0,b 0 ，将
a
a2 b2
x
c 代入 x2 a2
y2 b2
1中得 y
b2 ，故双曲线的通径长 MN a
y
双曲线 y2 a2
e c1 a 直线 y a x b
例题来了
例 1 求双曲线 9x2-16y2＝-144 的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及渐近线方
程，并画出该双曲线．
解：
将 9x2-16y2＝-144 化为标准方程 y2 x2 1， 9 16
所以实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝8，焦点坐标为(0，-5)，(0，5)，顶点坐标为(0，-3)，
解：
（1）设双曲线的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1a
3x. 2
0,b 0 ．
由题意知 2b 12 ， c 5 且 c2 a2 b2 ． a4
∴ b 6,c 10, a 8 ，
∴所求双曲线方程为 x2 y2 1 ． 64 36
（2）当焦点在 x 轴上时，由 b 3 且 a 3 ，∴b 9 ．
双曲线的第二和第三定义
第二定义：平面内到定点 F 的距离到定直线 l（F 不在 l 上）的距离之比是常数 e 的点的轨迹.当 e 1时轨迹为双曲线. 第三定义：平面内到两定点的斜率乘积等于定值的点的轨迹，当定值大于 0 时轨迹为双曲线.
总结
标准方程图形
范围对称性顶点
轴离心率渐进线
x2 y2 a2 b2 1 a 0, b 0

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1
双曲线的简单几何性质
◆ 知识与技能目标
了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方
程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐
近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了

解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义
．
◆ 过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线
的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进
一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性
质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实
轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通

过56P的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单
几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和
位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）双曲线的简单几何性质

①范围：由双曲线的标准方程得，222210yxba，进一步得：xa，或xa．这
说明双曲线在不等式xa，或xa所表示的区域；
②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究双曲线

的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥
曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴
叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线byxa叫做双曲线22221xyab的渐近线；

⑤离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ace叫做双曲线的离心率（1e）．
（iii）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线22916144yx的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线
方程．
分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,abc．引导学生用双曲线的实半轴长、
2

虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐
近线是ayxb．

扩展：求与双曲线221169xy共渐近线，且经过23,3A点的双曲线的标准方及离心率．
解法剖析：双曲线221169xy的渐近线方程为34yx．①焦点在x轴上时，设所求的双
曲线为22221169xykk，∵23,3A点在双曲线上，∴214k，无解；②焦点在y轴上时，
设所求的双曲线为22221169xykk，∵23,3A点在双曲线上，∴214k，因此，所求双
曲线的标准方程为221944yx，离心率53e．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，

事实上，可直接设所求的双曲线的方程为22,0169xymmRm．
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它
的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，
求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程

为22221xyab，算出,,abc的值；此题应注意两点：①注意建立

直角坐标系的两个原则；②关于,,abc的近似值，原则上在没
有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿

着道路PA或PB送到呈矩形的足球场ABCD中去铺垫，已知150APm，

100BPm，60BCm
，60APB．能否在足球场上画一条“等距

离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设M为“等距离”线上任意一点，则PAAMPBBM，即

50BMAMAPBP
（定值），∴“等距离”线是以A、B为焦点的双曲线的左支上

的一部分，容易“等距离”线方程为2213525,0606253750xyxy．理由略．
3

例5 如图，设,Mxy与定点5,0F的距离和它到直线l：165x的距离的比是常数54，
求点M的轨迹方程．
分析：若设点,Mxy，则225MFxy，到直线l：165x的

距离165dx，则容易得点M的轨迹方程．
引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线
若点,Mxy与定点,0Fc的距离和它到定直线l：2axc的距离比是常数
c
ea

0ca，则点M的轨迹方程是双曲线．其中定点
,0Fc
是焦点，定直线l：2axc相应

于F的准线；另一焦点,0Fc，相应于F的准线l：2axc．