高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质
高三 函数知识点
高三函数知识点函数是数学中的重要概念之一，在高中数学学习中占据着重要地位。
掌握函数的相关知识点对于高三学生来说至关重要。
本文将介绍函数的定义、性质、图像以及函数的类型等知识点。
一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素（称为自变量）映射到另一个集合中的元素（称为因变量）。
函数通常表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数具有以下基本性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数映射到的因变量的集合；2. 单调性：函数可以是递增的或递减的；3. 奇偶性：函数可以是奇函数（满足f(-x) = -f(x)）或偶函数（满足f(-x) = f(x)）；4. 周期性：函数可以是周期函数，即存在正数T，使得对于任意x，有f(x+T) = f(x)。
二、函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
通过观察函数的图像，可以获得关于函数性质的直观认识。
函数图像的特征包括：1. 增减性和极值：函数的图像在增减区间上表现为上升或下降的趋势，并在极值点上取得最大值或最小值；2. 过零点：函数的零点是函数图像与x轴的交点，对应于函数的解；3. 对称性：函数的图像可能具有对称性，如关于y轴的对称、关于原点的对称等；4. 渐进线：函数图像可能存在水平渐近线和垂直渐近线；5. 断点和间断点：函数图像上的断点表示函数在该点不连续，而间断点表示函数在该点不存在。
三、常见函数类型高中数学教学中常见的函数类型包括：1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数，表示直线函数；2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，表示抛物线函数；3. 指数函数：y = a^x，其中a为底数大于0且不等于1，表示幂函数；4. 对数函数：y = loga(x)，其中a为底数大于0且不等于1，表示逆幂函数；5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等；6. 绝对值函数：y = |x|，表示以原点为顶点的V型函数；7. 反比例函数：y = k/x，其中k为常数，表示反比例关系。
(完整版)高三一轮复习：函数的基本性质(含答案)
高三一轮复习：函数的基天性质一、选择题：1、以下各组函数中，表示同一函数的是（）A 、f ( x) 1, g( x) x0B 、f ( x) x 2, g( x)x24x2 C、f ( x)x , g (x)x, x0 D 、f (x) x, g (x) ( x )2x, x0x3, x10，则 f (8) 2、已知函数f ( x)5)], x （）f [ f (x10A 、 2B、 4C、 6D、 73、设函数 f ( x) 和 g( x) 分别是R上的偶函数和奇函数，则以下结论恒建立的是（）A 、f ( x)g( x) 是偶函数B 、f (x)g( x) 是奇函数C、f ( x)g ( x) 是偶函数 D 、f ( x)g( x) 是奇函数4、假如奇函数 f (x)在区间[ 3,7]上是增函数且最小值为5，那么 f ( x) 在区间 [ 7,3] 上是（）A、增函数且最小值为C、减函数且最小值为55B、增函数且最大值为D、减函数且最大值为555、设f ( x)是R上的奇函数， f ( x 2) f (x) ，当0x 1时，f (x)x ，则 f (7.5)（）A、0.5B、0.5C、1.5D、 1.5二、填空题：6、已知函数 f ( x)3x , x 1，若 f (x)2，则 xx, x17、已知函数 f (x), g(x) 分别由下表给出：x123x f ( x)131g(x)123 321则 f [ g(1)] 的值为；知足 f [ g( x)] g[ f (x)] 的 x 的值为8f ( x)为 R上的减函数，则知足f () f (1)的实数 x 的取值范围是、已知1x9 f ( x) 关于随意实数 x 知足条件 f (x 1) f (3x)，若 f ( 1)8，则 f (5)、函数、设函数 f ( x)( x 1)( xa)为奇函数，则a10x11、设 f 1 (x) cos x ，定义 f n 1 (x) 为 f n (x) 的导数，即 f n 1( x) f n (x) ，n*，若ABC的内角 A 知足 f 1 ( A) f 2 ( A) f 2013( A) 0，则 sin A 的值是12、在 R 上定义运算： x y x(1 y) ，若对随意 x2 ，不等式 ( x a)x a 2 都建立，则实数 a 的取值范围是三、解答题：13、已知 f x 是二次函数， 不等式 f x0 的解集是 0, 5 ，且 fx 在点 1, f 1处的切线与直线 6x y 1 0 平行 .（1）求 fx 的分析式；（2）能否存在tN *，使得方程f x370 在区间 t, t 1 内有两个不等的实数x根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明原因.【参照答案】1、 C2、 D 【分析】f (8) f [ f (85)] f [ f (13)] f (10)73、 C4、 B5、 B 【分析】 f (x2) f ( x) ， f ( x4) f ( x2) ，即 f (x4) f ( x)f ( x) 是以周期为 4 的周期函数，f ( 7.5) f (7.58) f ( 0.5) f (0.5)0.56、log32【分析】由x1得， x log 3 2 ；由x 1得， x 无解3x2x27、 1； 2【分析】f [ g (1)] f (3)1；把 x 1,2,3 分别代入 f [ g( x)]g[ f ( x)] 进行考证8、(,0)(1,) 【分析】由11得，x10 ，即x 0或 x 1x x9、810、111、 1【分析】由题意可知， f n ( x) 是一个周期为 4 的周期函数，且f1 (x) f2 (x)f3 (x) f 4 ( x)0 ，所以 f1 ( A) f 2 ( A)f2013 ( A) f 2013( A)f1( A) cos A0，即 A2 sin A112、(,7] 【分析】 ( x a)x( x a)(1x)x2ax x ax2ax x a a 2 对随意x 2 恒建立即 a x2x22 恒建立x2对随意xx2x2( x2)432( x 2)47x22x 3x2当且仅当 x24，即 x4时等号建立xa7213、（ 1）解法 1：∵f x是二次函数，不等式 f x0 的解集是0,5 ，∴可 f x ax x5， a0 .⋯⋯⋯⋯⋯ 1分∴ f / ( x)2ax5a .⋯⋯⋯⋯⋯ 2分∵函数 f x在点 1,f1的切与直6x y10平行，∴ f /16.⋯⋯⋯⋯⋯ 3分∴ 2a5a6，解得 a2.⋯⋯⋯⋯⋯ 4分∴ f x2x x52x210x .⋯⋯⋯⋯⋯ 5分解法 2：f x ax2bx c ，∵不等式 f x0的解集是 0, 5 ，∴方程 ax2bx c0的两根0, 5.∴ c0, 25a5b0 .①⋯⋯⋯⋯⋯ 2分∵ f / ( x)2ax b .又函数 f x在点 1,f1的切与直6x y10平行，∴ f /16.∴ 2a b 6 .②⋯⋯⋯⋯⋯ 3分由①② , 解得a 2 ,b10 .⋯⋯⋯⋯⋯ 4分∴ f x2x210x .⋯⋯⋯⋯⋯ 5分（ 2）解：由（ 1）知，方程f x370 等价于方程 2x310 x2370 .x⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分h x2x310 x237 ，h/x6x220x2x3x10 .⋯⋯⋯⋯⋯ 7分当x0,10，/0h x10上减；⋯⋯⋯ 8分h x，函数在33当 x10,， h/x0 ，函数 h x 在10 ,33上增 .⋯9分∵ h 310, h 1010, h450，⋯⋯⋯⋯⋯ 12分327∴方程在区,10，10,内分有独一数根，在区h x0340, 3,334,内没有数根 .⋯⋯⋯⋯⋯ 13分∴存在独一的自然数 t 3 ，使得方程 f x 37t, t 1 内有且只0 在区x有两个不等的数根 .⋯⋯⋯⋯⋯ 14分。
高考数学一轮复习 函数的奇偶性与周期性
解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原点对
称的特征知函数 f(x)为奇函数．
(3)由4|x－＋x32|≥－03，≠0 得－2≤x≤2 且 x≠0.
所以 f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．
(4)(2018·武昌联考)若函数 f(x)＝1k＋－k2·2xx在定义 域上为奇函数，则实数 k＝________.
解：因为 f(－x)＝1k＋－k2·2－－xx＝k2·2x＋x－k1，所以 f(－x)＋f(x)＝（k－2x）（（2x＋1＋k）k·2＋x）（（k·22xx＋－k1））（1＋k·2x） ＝（（1k＋2－k1·2）x）（（222xx＋＋1k））. 由 f(－x)＋f(x)＝0 对定义域中的 x 均成立可得 k2＝1， 所以 k＝±1.故填±1.
所以 f(x)＝（x＋43－）x2－3＝
4－x2 x.
所以 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)是奇函数．
(4)由9x2－－x92≥ ≥00， 得 x＝±3.
所以 f(x)的定义域为{－3，3}，关于原点对称．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
所以 f(x)＝±f(－x)． 所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(2)若函数 f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，
则 f(x)在[－b，－a]上为． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)
奇 ± 奇 ＝ ________________ ， 偶 ± 偶 ＝ ________________，奇×奇＝________________，偶×偶 ＝________________，奇×偶＝________________.
高中函数题型汇总及典型例题
高中函数专题
基础知识
1. 函数的基本性质： （1）函数的单调性：① f ' ( x) 0 （或 0 ） f ( x) 单调递增（或单调递减） ； ② f ( x) 单调递增（或单调递减） f ' ( x) 0 （或 0 ） 。 （2）函数的周期性： f ( x T ) f ( x ) ，则称 T 为 f ( x) 的一个为期；若 T0 是所有 周期中一个最小的正周期，则称 f ( x) 的周期是 T0 。 （3）函数的奇偶性：① f ( x) f ( x) f ( x) 是偶函数； ② f ( x ) f ( x) f ( x) 是奇函数。 （注：定义域需关于原点对称） 。 （4）函数的连续性： f ( x) 在 x x0 处连续 lim f ( x) f ( x0 ) （常数） 。
15 函数 y f ( x ) 在区间 (0, ) 内可导，导函数 f ' ( x) 是减函数，且 f ' ( x) 0 。 设 x0 (0, ) ， y kx m 是曲线 y f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程，并设函数
g ( ， f ( x0 ) ， f ( x0 ) 表示 m ；
（II）证明：当 x (0, ) 时， g ( x ) f ( x ) ；
16 已知 a，b 是实数，函数 f(x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f'(x)和 g'(x)是 f(x)，g(x)的导函数，若 f'(x)g'(x)≥0 在区间 I 上恒成 立，则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性一致 (1)设 a＞0，若函数 f(x)和 g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求实数 b 的取值范围； (2)设 a＜0，且 a≠b，若函数 f(x)和 g(x)在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值．
高三数学专题复习函数的性质及应用
函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。
函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。
研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。
函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。
对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。
掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有个．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是．（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= ．（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为 。
高中数学专题：函数的基本性质
1 / 11高中数学专题：函数的基本性质探考情 悟真题【考情探究】分析解读 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的常考内容,例如判断或证明函数的单调性,求单调区间,利用单调性求参数的取值范围,利用单调性解不等式.考题既有选择题与填空题,又有解答题,既有容易题和中等难度题,也有难题.2.函数的奇偶性在高考中也时有出现,主要考查奇偶性的判定以及与周期性、单调性相结合的题目,这类题目常常结合函数的图象进行考查.3.函数的周期性,单独考查较少,一般与奇偶性综合在一起考查,主要考查函数的求值问题,以及三角函数的最小正周期等.4.预计高考试题中,仍会对函数的性质进行重点考查,复习时应高度重视.破考点 练考向【考点集训】考点一 函数的单调性与最值1.下列函数中,在(0,+∞)上是增函数的是( )A.y=(12)|x|B.y=|ln x|C.y=x 2+2|x|D.y=|x -1x |答案 C2 / 112.若函数f(x)=lo g 12(x 2+ax+6)在[-2,+∞)上是减函数,则a 的取值范围为( ) A.[4,+∞) B.[4,5) C.[4,8) D.[8,+∞)答案 B3.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1x答案 A考点二 函数的奇偶性与周期性1.已知函数y=f(x)+cos x 是奇函数,且f (π3)=1,则f (-π3)=( )A.-2B.-1C.1D.2答案 A2.已知a,b ∈R,则“a>|b|”是“a ·2a -12a +1>b ·2b -12b +1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A炼技法 提能力【方法集训】方法1 判断函数单调性的方法1.定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2-x 1)·[f(x 2)-f(x 1)]>0.则当n ∈N *时,有()A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)答案C2.对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数,若f(x)=ln x+x 是k倍值函数,则实数k的取值范围是.答案(1,1+1)e方法2判断函数奇偶性的方法1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=√1+x2B.y=x+1xD.y=x+e xC.y=2x+12x答案D2.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列四个命题中,错误的是()A.y=g(f(x)+1)为偶函数B.y=g(f(x))为奇函数C.函数y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称D.y=f(g(x+1))为偶函数答案B3 / 113.设函数f(x)=2+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性()a-1A.与a无关,且与b无关B.与a有关,且与b有关C.与a有关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案D方法3函数周期性的解题方法1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)且f(1)=2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=()A.-2B.0C.2D.2018答案C2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),且f(x-2)=f(-x),当x∈(-1,1)时,f(x)=x2+1,则f(2020)=()A.-1B.0C.1D.2答案A【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组已知a∈R,函数f(x)=|x+4-a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.x答案(-∞,9]2B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性与最值4 / 111.下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案A2.设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A.f(log314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(log314)>f(2-23)>f(2-32)C.f(2-32)>f(2-23)>f(log314)D.f(2-23)>f(2-32)>f(log314)答案C3.设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.答案-1;(-∞,0]4.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.答案f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一)5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a的取值范围是.5 / 11答案(12,3 2 )考点二函数的奇偶性与周期性1.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1答案D2.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C3.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f(x+12)=f(x-12),则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D4.下列函数为奇函数的是()A.y=√xB.y=|sin x|C.y=cos xD.y=e x-e-x答案D5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.6 / 116.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={x+a,-1≤x<0,|25-x|,0≤x<1,其中a∈R.若f(-52)=f(92),则f(5a)的值是.答案-25C组教师专用题组1.函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D2.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C3.已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.答案-24.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案125.若函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数,则a=.7 / 116.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是. 答案(-1,3)【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共32分)1.设不为1的实数a,b,c满足a>b>c>0,则()A.log c b>log a bB.log a b>log a cC.b a>b cD.a b>c b答案D2.下列函数中,既是奇函数又在R上具有单调性的是()A.y=x3B.y=cos xC.y=2|x|D.y=1x答案A3.已知函数f(x)=x|x|-2x,则有()A.f(x)是偶函数,递增区间为(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间为(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间为(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间为(-∞,0)8 / 119 / 114.若∀m,n ∈N,有g(m+n)=g(m)+g(n)-3,则f(x)=x √1−x 2x 2+1+g(x)的最大值与最小值之和是( )A.4B.6C.8D.10答案 B5.函数f(x)=3x-x 3在区间(a 2-12,a)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,√11)B.(-1,2]C.(-1,4)D.(-1,4]答案 B6.设f(x)=2x 2x+1,g(x)=ax+5-2a(a>0),若对任意x 1∈[0,1],总存在x 0∈[0,1],使得g(x 0)=f(x 1)成立,则a 的取值范围是( )A.[52,4]B.[4,+∞)C.(0,52]D.[52,+∞)答案 A7.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足如下条件:(1)对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0;(2)对一切x>0,有f(x)+1x >0;(3)对任意的x ∈(0,+∞),有f(x)·f (f(x)+1x )=1.则f(1)的值是( )10 / 11A.1+√52B.1−√52C.1±√52D.-1+√52答案 B8.函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,且对任意x,y ∈(-1,1)均有f(x)-f(y)=f (x -y 1−xy ),f (12)=-1,且对任意x>0均有f(x)<0,则下列选项正确的是( )A.存在x 1x 2<0,使得f(x 1)f(x 2)>0B.f(x)为偶函数C.f (-18)>14D.对任意的ε>0,总存在x ∈(-1,1)使得|f(x)|>ε答案 D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共24分)9.(命题标准样题,11)设f(x)=ln a -x 2+x 为奇函数,则a= .答案 210.若函数f(x)=x (x+2)(x -a)为奇函数,则实数a 的值为 ;且当x ≥4时, f(x)的最大值为 .答案 2;1311.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则f (0)= ; 若当x>0时,f(x)=x 3+5,则f(-2)= . 答案 0;-1312.已知f(x)=ax x -x+1,若对任意的x ∈R,都有f(x)≤1恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案[-3,1]13.已知函数f(x)=|√1−x2-ax-b|(a,b∈R),当x∈[0,1]时,设f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为.答案√2-1211 / 11。
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高三数学一轮复习必备函数基本性质高三数学一轮复习必备共讲全部欢迎Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】第3讲函数基本性质备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载】一．【课标要求】1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2．结合具体函数，了解奇偶性的含义； 二．【命题走向】从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索预测2010年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点 三．【要点精讲】 1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f (－x )与f (x )的关系； 作出相应结论：若f (－x )=f (x )或f (－x )－f (x )=0，则f (x )是偶函数； 若f (－x )=－f (x )或f (－x )＋f (x )=0，则f (x )是奇函数 （3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
考点01 函数的概念及性质-2022年高考数学(理)一轮复习小题多维练(全国通用)(解析版)
考点01 函数的概念及性质1．（2021·浙江高二期末）函数()f x =的定义域是（ ） A ．(2,0]- B ．(2,1]-C ．(,2)(2,0]-∞--D ．(,2)(2,1]-∞--【答案】A 【分析】由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0即可求解. 【详解】解：由题意，12020x x ⎧-≥⎨+>⎩，即02x x ≤⎧⎨>-⎩，所以20x -<≤，所以函数()f x 的定义域为(]2,0-， 故选：A.2．（2021·全国高三月考（理））已知函数()()()22log 1,23,2x x f x f x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()4f f =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】由内向外，代入分段函数求值，先计算()4f ，再计算()()4f f .【详解】由题意，()224(1)log (11)1==+=f f ，所以()()224(1)log (11)1==+=ff f .故选：A.3．（2021·浙江高一期末）()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(0)(6)f f <，则下列各式一定成立的是（ ）A ．(0)(6)f f <-B ．(3)(1)f f ->C ．(2)(3)f f <D ．(1)(0)f f ->【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，可得(6)(6)f f -=，即可得解.【详解】由()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数， 所以(6)(6)f f -=，由(0)(6)f f <，则(0)(6)f f <-，其它的不能确定， 故选：A4．（2021·四川高三月考）已知函数()[]()22,61f x x x =∈-，则（ ） A ．()f x 是单调递增函数 B ．()f x 是奇函数 C ．函数()f x 的最大值为()2fD ．()()()345f f f <<【分析】由函数的解析式判断函数的单调性，由其自变量区间知非奇非偶函数，进而可知其最大值及()()()3,4,5f f f 的大小关系.【详解】A ：由解析式知：()f x 是单调递减函数，错误；B ：由[]2,6x ∈，显然不关于原点对称，()f x 不是奇函数，错误；C ：由A 知：在[]2,6x ∈上()max (2)2f x f ==，正确；D ：由A 知：()()()345f f f >>，错误. 故选：C.5．（2020·全国高三其他模拟）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()(1)f x f x =-，则(2018)(2019)(2020)f f f ++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B 【分析】根据()f x 是R 上的奇函数，且()(1)f x f x =-即可得出()f x 的周期为2，从而可求出(2018)0f =，并且可得出(2019)(2020)0f f +=，这样即可得出答案.解：∵()f x 是R 上的奇函数，且()(1)f x f x =-， ∵(1)()()f x f x f x +=-=-， ∵(2)()f x f x +=， ∵()f x 的周期为2，∵(2018)(021009)(0)0f f f =+⨯==，且(2019)(2020)(2019)((12020)2019)(2019)0f f f f f f +=+-=-=， ∵(2018)(2019)(2020)0f f f ++=. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性周期性，题目中基本是奇偶性和对称性相结合推出函数的周期性，最后根据周期性求出对应的函数值，或者根据奇函数的性质求解，需要在备考过程中多总结.6．（2020·全国高三其他模拟）已知函数()22()lg 911f x x x =++-，则满足()331log log 2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．(]0,3B ．10,[3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)3,+∞D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到()f x 为偶函数，()11f =，利用偶函数和对数的性质将()331log log 2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭转化为()()3log 1f x f ≤，再解不等式即可. 【详解】因为()22()lg 911f x x x =++-，所以()22()lg 911()f x x x f x -=++-=，即()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递增，且()11f =，()331log log 2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭可得()()33log log 2f x f x +-≤，即()32log 2f x ≤，所以()3log 1f x ≤，即()()3log 1f x f ≤. 所以3log 1x ≤，解得133x ≤≤. 故选：D.7．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R 的是（ ） A ．1y x=B ．1y x x=+C ．1y x x=-D ．sin y x =【答案】C 【分析】由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A 、B 、D ，对C ，采用导数法，函数函数图象可判断正确 【详解】对A ，1y x=为奇函数，值域为0y ≠，故A 错； 对B 、1y x x=+，函数为“对勾函数”因为0x ≠，所以0y ≠，故B 错误；对C ，1y x x =-为奇函数，当0x >时，因为21'10y x =+>，故1y x x=-在0x >为增函数，1x =时，函数值为0，当0x +→时，y →-∞，,→+∞→+∞x y ，画出图形如图：所以y R ∈，故C 正确；对D ，sin y x =，函数为奇函数，值域为[]1,1-，故D 错误；故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性与值域的判断，属于基础题 ∵判断函数奇偶性除了定义法外，还可采用口诀进行判断： 奇函数=奇函数±奇函数=奇函数()⨯÷ 偶函数；∵对于常见函数类型，应熟记于心，比如反比例函数，对勾函数； ∵对于复杂函数，研究值域时，可采用导数进行研究8．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））已知20222020a =，20212021b =，20202022c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c << 【答案】C 【分析】由ln 2020ln 2021ln 2021ln 2022a b =，设2ln ()(e )1xf x x x =≥+，求出导函数得出单调性，从而可得(2020)(2021)0f f >>，即ln 1ln ab>，得出,a b 大小，同理可得,b c 大小，得出答案. 【详解】∵ln 2020ln 2022ln 20202021ln 2021ln 2021ln 20212022a b ==， 构造函数2ln ()(e )1xf x x x =≥+，2(1)ln ()(1)x x x f x x x +-'=+， 令()(1)ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<， ∵()g x 在2[e ,)+∞上单减，∵22()(e )1e 0g x g ≤=-<，故()0f x '<，所以()f x 在2[e ,)+∞上单减，∵ln 2020ln (2020)2021(2020)(2021)01ln ln ln 2021ln (2021)2022a f f f ab a b b f >>⇒==>⇒>⇒>， 同理可得ln ln b c b c >⇒>，故a b c >>， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导数得出函数单调性，利用单调性比较指数幂的大小，解答本题的关键是设设2ln ()(e )1xf x x x =≥+，得出()f x 在2[e ,)+∞上单减，，从而可得(2020)(2021)0f f >>，即ln 1ln ab>，得出,a b 大小，同理可得,b c 大小，属于中档题.9．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．94- B ．32-C ．74 D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+∵；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+∵．令1x =，由∵得：()()()024f f a b =-=-+，由∵得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由∵得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T=．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 10．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 11．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.12．（2020·北京高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.13．（2020·海南高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.14．（2021·浙江高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =___________.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.15．（2021·全国高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：116．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x +有如下四个命题： ∵f （x ）的图象关于y 轴对称．∵f （x ）的图象关于原点对称．∵f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ∵f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】∵∵【分析】利用特殊值法可判断命题∵的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题∵的正误；利用对称性的定义可判断命题∵的正误；取0x π-<<可判断命题∵的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题∵，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题∵错误；对于命题∵，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题∵正确；对于命题∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题∵正确；对于命题∵，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题∵错误.故答案为：∵∵.【点睛】 本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。
函数基础知识梳理高三数学一轮复习
函数基础知识梳理一、函数的概念与表示【知识清单】1．函数的概念：设A ，B 是两个 ，如果对于集合A 中的 一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，使，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y ＝f (x )，x ∈A .在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的 .特别地,如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 . 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【必备知识】 1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)零次幂的底数不能为0. (5)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为 .(6)y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的定义域为 ． (7)y ＝tan x 的定义域为 . 2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a ＞0时，值域为 ；当a ＜0时，值域为 . (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是 ．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是 ．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是 . 补充(1)一次分式函数()()0ax b f x c cx d+=≠+的值域 ；(2)函数()()0,0bf x ax a b x =+>>的值域为 ；(3)函数()()0,0b f x ax a b x=->>的值域为 ； (4)函数()(),,R f x x a x b a b x =-+-∈的值域为),a b ⎡-+∞⎣； 函数()(),,R f x x a x b a b x =---∈的值域为,a b a b ⎡---⎤⎣⎦.二、函数的基本性质【知识清单】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是 的自左向右看图象是 的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．★函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”。
高三第一轮复习函数及其表示(最新编写)
或
? 0≤ x≤ 1 或 x＞ 1，故选 D.
21－x≤ 2
1－ log2x≤ 2
分段函数是一类重要的函数模型． 解决分段函数问题， 关键抓住在不同的段内研究问题， 如本例中， 需分 x≤ 1 和 x＞1 时分别解得 x 的范围，再求其并集．
2x＋ a， x＜ 1，
【训练 3】 (2011 ·江苏 )已知实数 a≠ 0，函数 f(x) ＝
2
x2 .
考点三 分段函数
21－x，x≤ 1，
【例 3】 ?(2011 ·辽宁 )设函数 f(x)＝
则满足 f(x) ≤2 的 x 的取值范围是 ( )．
1－ log2x，x＞ 1，
A ． [－ 1,2] B． [0,2] C．[1 ，＋∞ ) D． [0，＋∞ )
解析
f(x)≤ 2?
x≤1，
x＞ 1，
1.
【训练 1】 (1)已知 f(x)的定义域为
－
12，
1 2
，求函数
y＝f
x2
－
x－
1 2
的定义域；
(2)已知函数 f(3－ 2x)的定义域为 [ － 1,2]，求 f(x)的定义域．
解
(1) 令
x2 － x － 1 ＝ t ， 知 2
f(t) 的 定 义 域 为
t
－1 2
≤ t≤ 1 2
， ∴ － 1 ≤ x2－ x－ 1≤ 1， 整 理 得
(2)当 a＜ 0 时， 1－ a＞1,1＋ a＜ 1，这时 f(1－ a)＝－ (1－ a)－ 2a＝－ 1－ a； f(1＋ a)＝ 2(1＋a)＋ a＝ 2＋ 3a，
3
3
3
由 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，得－ 1－ a＝ 2＋3a，解得 a＝－ 4.综合 (1) ，(2) 知 a 的值为－ 4.答案 － 4
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函数专题1、函数的基本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。
2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）3、如何求一个函数的解析式。
（常见方法有哪些）4、如何求函数的值域。
（常见题型对应的常见方法）5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；（4）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域：(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）2、（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； （2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；3、若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 5、已知函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
三、函数的解析式求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、 1、换元（或代换）法：1、已知,11)1(22x x x x x f ++=+求)(x f .2、已知ｆ（x ＋１）＝ｘ＋２x ，求ｆ(ｘ)的解析式3、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、待定系数法1、已知函数ｆ（ｘ）是一次函数，且满足关系式3ｆ（ｘ＋1）－２ｆ（ｘ－1）＝２ｘ＋１７，求ｆ(ｘ)的解析式2、已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、解方程法(1)、已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f（2）、已知函数)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且)(x f +)(x g =11-x 求)(x f 、)(x g3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析式四、函数值域的求法1、配方法：对于求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠或可转化为形如[]2()()()(0)f x a g x bg x c a =++≠的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解. 例1：求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.例2：求函数342-+-=x x ey 的值域.例3：求函数421,[3,2]xxy x --=-+∈-的最大值与最小值。
2、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解.例6：（整体换元） 已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.3、不等式法：例11：求函数()()52()1x x f x x ++=+（1x ≠-）的值域.例14：求函数1222+++=x x x y 的值域.7、数形结合法：例29：求函数13y x x =-+-的值域.例30：求函数31y x x =--+的值域。
（答案：[]4,4-题型补充：五、函数的单调性1．函数单调性的定义：2. 证明函数单调性的一般方法:①定义法：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。
②用导数证明： 若)(x f 在某个区间A 内有导数，则()0f x ≥’，)x A ∈（⇔)(x f 在A 内为增函数；⇔∈≤)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为减函数。
3. 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。
4.复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性： ①若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； ②若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。
5．一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
④函数)0,0(>>+=b a x b ax y 在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减。
1、函数24)(2++=ax x x f 在区间)6,(-∞为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3≥a B ．3≤a C ．3-≥a D ．3-≤a 2、函数ax x x f 2)(2+-=与函数1)(+=x ax f 在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,0()0,1(Y - B ．]1,0()0,1(Y - C ．)1,0( D ． ]1,0(3．已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1..................log 1.......)12()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)21,0( B ． )1,21( C ．)21,31[ D ． )1,31[6、写出函数()212log 23y x x =--的单调区间，并指出在相应区间上函数的单调性．9、11、已知函数()f x ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数()f x ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）求函数()f x ＝x ＋cx (c ＞0)在区间[1,2]上的最小值；（3）研究函数()f x ＝2x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（4）对函数()f x ＝x ＋x a 和()f x ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．12、．已知c x x f +=2)(，且)1()]([2+=x f x f f 。
（1）设g （x ）=f[f （x ）]，求g （x ）的解析式；（2）设)()()(x f x g x λϕ-=，试问是否存在实数λ，使)(x ϕ在（-∞，-1）递减，且在（-1，0）上递增？六、对称性和周期性函数的对称性(1).函数)(x f 关于直线x=a 成轴对称的充要条件是：()()())-(2x a f x a f x a f x f =+-=或(与函数的周期性区分开).(2)..函数)(x f 关于点(a,b)对称的充要条件是：b x a f x f 2)2()(=-+或b x a f x a f 2)()(=-++ (3)..与函数)(x f y =关于直线a x =对称的函数解析式为：)2(x a f y -=. (4). 与函数)(x f y =关于点（a,b ）对称的函数解析式为：)2(2x a f b y --=. 函数周期性1．周期函数的定义:对于函数))((D x x f ∈,若存在一个不为零的常数T,使得D x ∈的每一个 值都有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数,常数T 叫做)(x f 的最小正周期.若所有的周期中存在一个最小的周期,则这个最小的正数称为这个函数的最小正周期.2．根据函数的对称性判断函数的周期1.若))(()(b a b cx f a cx f ≠+=+，则函数)(x f 是周期函数，b-a 是它的一个周期。
2．若)()(x f a x f -=+，则函数)(x f 是周期函数，2a 是它的一个周期。
一、对称性练习 1． 已知是奇函数，当时，,求的解析式.2． 已知是偶函数，当时，,求的解析式.3． 已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称, 求的解析式。
4． 设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，若当x ＜1时，y =x 2＋1，求当x >1时, ,f (x )的解析式. 5． 设, 求关于直线对称的曲线的解析式.6． 已知函数是偶函数，且x ∈(0,+∞)时有f (x )=x1, 求当x ∈(－∞,－2)时, 求 的解析式.7． 已知函数是偶函数，当时，又的图象关于直线对称，求在的解析式. 定义在上的偶函数满足且当时,.（1）求的单调区间;（2）求的值.二、周期性练习1、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()x f a x f -=+,则()x f y =是以 为周期的函数； 4、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f =++，则()x f y =是以 为周期的函数 5、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y =的一个周期.8．设是定义在（-∞,+∞）上的函数，对一切∈R 均有，当＜1时，求当时，函数的解析式。