定积分的概念

定积分与微积分定理

1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a

x n

-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1

1

()()n

n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=∆=∑∑

如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a S f x dx =⎰

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b

a f x dx ⎰，而不是n S ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点

[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1

()n

i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a

f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b

a S f x dx =⎰；变速运动路程2

1

()t t S v t dt =⎰；

变力做功 ()b

a W F r dr =⎰

2．定积分的几何意义

说明：一般情况下，定积分()b

a f x dx ⎰的

几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆L L 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +

于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆L L

()b

a

f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b

a -=⎰1

性质2 ⎰⎰=b

a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 1212[()()]()()b b b

a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4

()()()()b

c

b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx

a c

b =+<<⎰⎰⎰其中

（定积分对积分区间的可加性）

说明：①推广：1212[()()()]()()()b

b

b

b

m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L ②推广:1

2

1

()()()()k

b

c c b

a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L

③性质解释：

P

C

N M B

A

a

b

O

y

x

y=1

y

x

O

b

a

2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式

定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，

说明：

①它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。我们可以用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]

a b 上的定积分.

②它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

思考并回答下列问题：

性质1

性质

①与函数f(x)相对应F(x)的唯一吗？如果不唯一，它们之间什么关系？原函数的选择影响最后的计算结果吗？

②计算定积分()b

a f x dx ⎰的关键是什么？

③寻找函数f(x)的原函数F(X)的方法是什么？

④利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数

典例分析

例1．计算定积分2

1(1)x dx +⎰

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为5

2

。 即：2

1

5(1)2

x dx +=⎰

呢？

思考：若改为计算定积分2

2(1)x dx -+⎰改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]-上出

现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 1. （2014·湖北高考理科·Ｔ6）若

函数f(x)，

()g x 满足11()g()d 0f x x x -=⎰，则称f(x)，()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组

函数：

①11

()sin ,()cos 22f x x g x x ==；②()1,g()1f x x x x =+=-；③2

(),g()f x x x x ==

其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）

【解题提示】 考查微积分基本定理的运用

【解析】选C. 对①，1

1

11111

111(sin cos )(sin )cos |022

22

x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数；

对②，1

123111114(1)(1)(1)()|033

x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数；

对③，1341111()|04

x dx x --==⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.

2.（2014·山东高考理科·Ｔ6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的

1 2

y

x

o

面积为（ ）

A 、22

B 、42

C 、2

D 、4

【解题指南】 本题考查了定积分的应用，先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】选D.由⎩⎨⎧==3

4x

y x

y ，得交点为()()()8,2,8,2,0,0--， 所以(

)

402

4124422

3

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=-=⎰

x x dx x x S ，故选D.

3.(2014·陕西高考理科·T3)定积分(2x+e x

)dx 的值为 ( )

+2 +1

【解题指南】求出被积函数2x+e x 的原函数,然后根据定积分的定义解之. 【解析】选C.

(2x+e x )dx=(x 2+e x )=1+e-1=e.

4.（2014·福建高考理科·Ｔ14）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.

【解题指南】本题考查了反函数在图象上的性质，利用对称性，将问题化为可利用定积分求解面积的问题。

【解析】x y e =和ln y x =互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形， 则

1

2

221()()0

212

2

x x

ex e e e S p S e e e ∆

--'

=

==

=

⎰

．

【答案】

22e

5.已知f (x )为偶函数且6

0⎰f (x )d x ＝8，则6

6-⎰f (x )d x 等于 ( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 解析：原式＝0

6-⎰f (x )d x ＋6

0⎰f (x )d x ， ∵原函数为偶函数，

∴在y 轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 答案：D

6．设f (x )＝⎩

⎨⎧

x 2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则20⎰f (x )d x 等于 ( ) D ．不存在 解析：数形结合，

20

⎰

f (x )dx =10⎰x 2dx +2

1⎰(2-x )dx

=321211(2)3

2

1

x x x +- =3115(422)3

2

6

x +--+=. 答案：C

7．计算以下定积分： (1)

2

1

⎰

(2x 2

－1

x

)d x ；

(2)3

2⎰(x ＋

1x

)2

d x ； (3)30

π

⎰(sin x －sin2x )d x ；

解：(1)

2

1

⎰

(2x 2

－1x )d x ＝(23x 3－ln x )21

＝163－ln 2－23＝14

3－ln 2. (2)3

2

⎰(x ＋1x

)2d x ＝32⎰(x ＋1

x ＋2)d x

＝(12x 2＋ln x ＋2x )3

2

＝(9

2＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4) ＝ln 32＋92

.

(3)

30

π

⎰

(sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋1

2

cos2x )30

π

＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14

.

题组二

求曲多边形的面积

8图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( ) A ．1 D ．2

解析：函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面

积等于20⎰(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝20⎰(－x 2＋2x )d x ＝43

.

答案：B

9．已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为4

3

，则k ＝________.

解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k ]， 再由0

k

⎰(kx －x 2

)d x ＝(kx 22－x 33)0k ＝k 36＝4

3

求得k ＝2.

答案：2

10．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动， 记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________． 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx, P 点的坐标为(x ，y )， 则0x

⎰(kx －x 2)d x ＝2

x ⎰(x 2－kx )d x ， 即(12kx 2－13x 3)0x ＝(13x 3－12kx 2)2x ， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12

kx 2

)，

解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169

)．

答案：(43，16

9

)

11.一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为

( )

解析：s ＝2

1⎰(t 2

－t ＋2)d t ＝(13t 3－12t 2＋2t )|2

1＝176

.

答案：A

12．若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要花费的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ．1 J

解析：设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1 N 时，x ＝ m ，可解得k ＝100 N/m ，则F ＝100x ，所以W ＝0.1

0⎰100x d x ＝50x 2

0.1

0＝ J.

答案：B

13．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．

解析：据题意，v 与t 的函数关系式如下：

v ＝v (t )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

3

2

t ，0≤t ＜20，50－t ，20≤t ＜40，

10，40≤t ≤60.

所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为

s ＝60

0()d v t t ⎰＝20

3

d 2

t t ⎰＋4020(50)d t t -⎰＋604010d t ⎰ ＝34t 2200＋(50t －12t 2)4020＋10t 40

20 ＝900米． 答案：900

14.(2010·烟台模拟)若y ＝0x

⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是 ( )

A ．1

B ．2

C ．－7

2 D ．0

解析：y ＝0x

⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ＝0x

⎰(sin t ＋1

2

sin2t )d t

＝(－cos t －14cos2t )0x

＝－cos x －14cos2x ＋54

＝－cos x －14(2cos 2

x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32

＝－1

2(cos x ＋1)2＋2≤2.

答案：B

15．(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数，且1

0⎰f (x )d x ＝5，1

⎰xf (x )d x ＝17

6，那么21

⎰f (x )x

d x 的值是________．

解析：∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由10⎰(ax ＋b )d x ＝5得(12ax 2＋bx )

10

＝1

2a ＋b ＝5， ① 由1

⎰xf (x )d x ＝176得10⎰ (ax 2

＋bx )d x ＝176

，即

(13ax 3＋12bx 2) 10＝176，∴13a ＋12b ＝17

6， ② 解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， 于是2

1

⎰f (x )x d x ＝21⎰4x ＋3x d x ＝21⎰ (4＋3

x

)d x ＝(4x ＋3ln x )2

1

＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.

答案：4＋3ln2

16．设f (x )＝1

0⎰|x 2－a 2|d x .

(1)当0≤a ≤1与a ＞1时，分别求f (a )； (2)当a ≥0时，求f (a )的最小值． 解：(1)0≤a ≤1时，

f (a )＝1

0⎰|x 2－a 2|d x

＝0a

⎰(a 2

－x 2

)d x ＋1

a ⎰(x 2－a 2)d x

＝(a 2

x －13x 3)0a ＋(x 33－a 2

x )1a

＝a 3－13a 3－0＋0＋13－a 2－a

33

＋a 3

＝43a 3－a 2＋13. 当a ＞1时， f (a )＝1

0⎰(a 2－x 2)d x ＝(a 2

x －13x 3)10

＝a 2－13

.

∴f (a )＝32

241(0),

33

1(>311).

a a a a a ⎧-+⎪⎪⎨

⎪-⎪⎩

≤≤

(2)当a ＞1时，由于a 2－1

3在[1，＋∞)上是增函数，故f (a )在[1，＋∞)上的最小值

是f (1)＝1－13＝2

3

.

当a ∈[0,1]时，f ′(a )＝4a 2－2a ＝2a (2a －1)， 由f ′(a )＞0知：a ＞1

2或a ＜0，

故在[0，12]上递减，在[1

2，1]上递增．

因此在[0,1]上，f (a )的最小值为f (12)＝1

4.

综上可知，f (x )在[0，＋∞)上的最小值为1

4

.

课堂练习

计算下列定积分 1．5

(24)x dx -⎰ 5

0(24)945x dx -=-=⎰

2．1

1x dx -⎰ 1

1111111122

x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰

布置作业

1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分⎰b

a dx x f )(的符号________

A.一定是正的

B.一定是负的

C.当b a <<0时是正的

D.以上都不对 2. 与定积分dx x ⎰π230

sin 相等的是_________

A.⎰π230

sin xdx B.⎰π230

sin xdx

⎰

π

sin xdx

⎰ππ

2

3sin xdx D.⎰⎰+2

32

20

sin sin πππ

xdx xdx

3. 定积分的⎰b

a dx x f )(的大小_________

A. 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关.

B. 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关

C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关

D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关 4. 下列等式成立的是________

A.a b dx b a -=⨯⎰0

B.2

1=

⎰b

a

xdx C.dx x dx x ⎰⎰=-10112 D.⎰⎰=+b

a b

a xdx dx x )1( 5. 已知⎰

b a dx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f b

a

6. 已知,18)()(=+⎰dx x g x f b

a ⎰=b

a dx x g 10)(,则⎰b

a dx x f )(=______________ 7. 已知,3)(20

=⎰dx x f 则[]=+⎰dx x f 2

6)(___________

8. 计算dx x 21

03

1⎰ 9. 计算dx x 31

06⎰

演练方阵

A 档（巩固专练）

1．5

0(24)x dx -⎰= ( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

2．2

11ln xdx x ⎰= ( )

A ．21

ln 22 B ．ln 2 C ．2ln 2 D ．ln2

3．若11

(2)3ln 2a x dx x

+=+⎰，且1a >，则a 的值为( )

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

4．已知自由落体运动的速率v=gt ，则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为( )

A ．203gt

B ．2

0gt C ．202gt D ．206

gt

5．曲线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形（阴影部分）的面积等于 ． 6．()0d x

F't t =⎰ ．

7．如图，求由两条曲线2x y -=，24x y -=及直线y = -1所围成图形的面积．

8．如图，抛物线C 1：y = -x 2与抛物线C 2：y =x 2-2ax (a >0)

交于O 、A 两点．若过原点的直线l 与抛物线C 2所围成的图形面积为32

9

a ，

求直线l 的方程．

9．平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m 的平行线段，沟宽AB 为2m ，与沟沿垂直

的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深，沟中水深1m ． （Ⅰ）求水面宽；

（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？

10．设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ．[来源:学科网]

（1）求)(x f 的表达式．

y x

o

1 2

2

- -1

-1

A B C D

第7

第8图

A

（2）若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t

的值．

B 档（提升精练）

1．2

11

dx x ⎰

=______________． 2．3211

(2)x dx x

-⎰=___________．

3．求由曲线22y x x =-与x 轴所围的封闭区域的面积．

4．已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N 的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 ． 5．由曲线22y x =-与直线y x =-所围成的平面图形的面积为 ． 6．(cos 5sin 2)d a

a x x x x --+⎰= ． 7．3

21(4)x x dx --=⎰_________________．

8．20

(sin )x x dx π

+=⎰_______________．

9．dx x ⎰-22

2cos π

π_____________．

10．已知A （-1，2）为抛物线C ：y =2x 2上的点．直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切．直线l 2：

x =a (a ≠-1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D ．

（1）求直线l 1的方程；

（2）设∆ABD 的面积为S 1，求BD 及S 1的值；

（3）设由抛物线C 、直线l 1、l 2所围成的图形的面积为S 2，求证：S 1∶S 2的值为与a 无关的常数．

C 档（跨越导练）

1．1

0()x x e e dx -+=⎰ ( )

A ．e e 1+

B ．2e

C ．e 2

D ．e

e 1- 2．曲线]2

3,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积( ) A ．4 B ．2 C ．2

5 D ．3

3．若20(345)a

x x dx +-⎰=32a -（1a >），则a = ． 4

．4x ⎰= ． 5．求定积分：1

2

232

0(9)x x dx -⎰．

6．求曲线x x x y 22

3++-=与x 轴所围成的图形的面积．

7． 230(2cos 1)

x dx π

-⎰= ( )

8． A ．

B ．12-

C ．12

D

8．3

20|312|x dx -⎰= ( )

A ．21

B ．22

C ．23

D ．24 9．下列命题： ①若f(x)是定义在R 上的奇函数，则0()x

f t dt ⎰为R 上的偶函数； ②若f(x)是周期为T （＞0）的周期函数，则0()()a

a T

T f x dx f x dx +=⎰⎰；

③0(())()x

f t dt f x '''=⎰。

其中正确命题的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

10．如图，抛物线24y x =-与直线y ＝3x 的二交点为A 、B .点P 在抛物线的弧上从A 向B 运动。

??（1）求使PAB ∆的面积为最大时P 点的坐标(,)a b ；

（2）证明由抛物线与线段AB

定积分的几何意义及微积分的基本定理答案

典题探究

例1．C 例2．C 例3．C 例4．2

14

-π

演练方阵

A 档（巩固专练）

1． A 2．A 3．D 4．C 5．2

9 6．F(x)-F(0)

7．由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍． 由⎩

⎨⎧-=-=12y x y 得C （1，-1）．同理得D （2，-1）．

∴ 所求图形的面积

S =})]1(4

[)](4[{22122

1

02dx x dx x x ---+---⎰⎰

3

4)124

(

221213

10

3=+-=x x x

． 8．设过原点的直线方程为y =kx ，解方程组

⎩

⎨⎧-==ax x y kx

y 22

，得x 1=0，x 2=k +2a ． 当k +2a ≥0时，⎰⎰

++-+=+-=a

k a

k dx x x a k dx ax x kx S 20

20

22

])2[()2(

6

)2()3122(32032a k x x a k a k +=-+=+．

于是 (k +2a )3=27a 3，解得k =a ． 所以，直线l 的方程为y =ax ．

当k +2a <0时，⎰+-+=0

22

])2[(a k dx x x a k S 6

)2(3

a k +-=．

y

x

o

1 2

2

- -1

-1

A B C D

第7

于是 - (k +2a )3=27a 3，解得k = -5a ． 所以，直线l 的方程为y = -5ax ．

综上所述，所求直线l 的方程为y =ax 或y = -5ax ．

9． （Ⅰ）如图建立直角坐标系xoy ，设抛物线方程为)0(,2>=a ax y ．则由抛物线过点)2

3

,1(B ，可得23=

a ．于是抛物线方程为22

3

x y =．当y =1时，36±=x ，由此知水面宽为362（m ）．

（Ⅱ）柱体的底面积

)(9

64)3123(2236

03360

m x x

=⋅-=． ∴柱体体积为)(964009641003m =⨯

，即水沟中有水3

9

6400m ． 10．（1）12)(2++=x x x f ；（2）3

2

11-=t ．

B 档（提升精练）

1．

22

3 2．ln 2

3．4

3

4．如图所示，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F 与弹簧的伸长量（或压缩量）

x 成正比，即F = kx ．在上式中k 为比例系数．

根据题意，当x = 0. 02时，F = 9. 8，故由F = kx 得k =490．这样得

到的变力函数为F = 490x ．于是所求的功为 2

0.1

0.10

0490490() 2.45 2

x

W xdx ===⎰（J ）．

5．92

6．4a

7．

20

3 8．2

18π+

9．2

π

10．（1）由y =2x 2，得x y 4='．当x = -1时，4-='y ．

x

x 0

O

x

y F

A B

C D E G 图6

∴l 1的方程为y -2= -4(x +1)，即4x +y +2=0． （2）由y =2x 2及x =a ，解得点B 的坐标为（a ,2a 2）． 由4x +y +2=0及x =a ，解得点D 的坐标为（a ,-4a -2）．

又可求得点A 到直线BD 的距离为1+a ，BD =2a 2+4a +2=2(a +1)2． ∴S 1=3

1+a ．

（3）由题意，当a >-1时，⎰--++=++=a

a x x x dx x x S 112322)223

2

()242(

323)1(3

2

22322232+=+-+++=

a a a a ， 当a <-1时，⎰-++=122)242(a dx x x S 3)1(32

+-=a ，

∴S 1∶S 2=3∶2．即S 1∶S 2的值为与a 无关的常数．

C 档（跨越导练）

1．D 2．D 3．2

4．

271

6 5．529

6．首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(- 内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为

7．D 8．C 9．D 10．（1）37

(,)24

P -；（2）面积均为

125

12