九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版知识精讲

九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验

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【本讲教育信息】

一、教学内容：

弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论.

二、知识要点：

1. 弧、弦、圆心角

（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.

如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵

CD ，则∠AOB ＝∠COD ，

AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵

CD.

O

A

B

C

D

2. 圆周角

（1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半

.

③②

①

（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

三、重点难点：

本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.

【典型例题】

例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明：

（1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝

AC.

B

分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵

AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC.

解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵

AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC.

（2）由（1）得︵BD ＝︵

AC ，∴BD ＝AC.

例2. 如图所示，C 是︵

AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个.

解：B

评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.

例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵

BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE.

分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的

弧为︵

AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.

C

解：连结AB 、AC. ∵︵AB ＝︵

AG ，∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＋∠BAE ＝90°.

∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BCA ＝90°， ∴∠BCA ＝∠BAE. ∴∠BAE ＝∠ABG ， ∴AE ＝BE.

例4. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC 、∠ADC 、∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC 、∠EBC 和∠ADC 的度数关系

.

分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC 所对的圆心角是∠AOC ，所对的圆周角是∠ABC ，优弧ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.

解：∵∠AOC ＝150°，

∴∠ABC ＝1

2

∠AOC ＝75°.

∵∠α＝360°－∠AOC ＝360°－150°＝210°，

∴∠ADC ＝1

2

∠α＝105°，

∠EBC ＝180°－∠ABC ＝180°－75°＝105°.

∵∠ABC ＋∠ADC ＝75°＋105°＝180°，∠EBC ＝∠ADC ＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.

例5. 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C. 求证：AB ＝

CD.

分析：此题的证明方法很多，由于AB 和CD 在圆中，且为弦，可证明AB 和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB 和CD 相等. 等等.

解法一：如图（1）所示，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.

∴AB ＝2AE ，CD ＝2CF ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF. ∴AB ＝

CD.

(1)

解法二：如图（2）所示，连结OB 、OD.

∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D. ∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D. ∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝

CD.

(2)(3)

解法三：如图（3）所示，连结AC. ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.

又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4. ∴︵BC ＝︵AD.

∴︵BC ＋︵BD ＝︵AD ＋︵BD ，即︵AB ＝︵CD ， ∴AB ＝CD.

例6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦，O 到AB 的距离OE 等于1

2AB ，求∠C 的度数.

分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答

.

B

B m

解：如图（1）所示，连结AO 、BO.

因为OE ⊥AB ，所以EB ＝AE ＝1

2

AB.

又OE ＝1

2AB ，所以EB ＝OE ＝AE.

所以∠EBO ＝∠EOB ＝∠EOA ＝∠EAO ＝45°.

所以∠C ＝12∠AOB ＝12（∠AOE ＋∠EOB ）＝1

2

×90°＝45°.

如图（2）所示，由（1）得∠AOB ＝90°，所以优弧A m B 所对的圆心角是270°，所以

∠C ＝135°.

即∠C 的度数为45°或135°.

评析：图（1）中，△ABC 为锐角三角形，圆心在△ABC 内部；图（2）中，△ABC 为钝角三角形，圆心O 在△ABC 外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.

【方法总结】

1. 圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性. 利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.

2. 在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.

3. 圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握. 同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.

【预习导学案】

（点和圆的位置关系）

一、预习前知

1. 圆可以看作是到__________的距离等于__________的点的集合，也就是说圆上的点到圆心的距离都等于__________.

2. 圆的内部可以看作是到__________的距离小于半径的点的集合.

3. 圆的外部可以看作是到__________的距离大于半径的点的集合.

二、预习导学

1. ⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线的距离OD ＝3cm . 点A 、B 、C 在直线l 上，若AD ＝23cm ，BD ＝4cm ，CD ＝5cm . 则点A 在⊙O__________，点B 在⊙O__________，点C 在⊙O__________.

2. 下列条件中，可以画一个圆，并且只可以画一个圆的条件是（ ） A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知三点 D. 过直线上两点和直线外一点

3. 三角形外接圆的圆心是（ ） A. 三内角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三中线的交点 D. 三高线的交点

4. 用反证法证明：“在△ABC 中，至少有两个内角是锐角”时，第一步假设__________成立.

反思：（1）点和圆有哪些位置关系？

（2）经过不在同一直线上的三点画圆的时候，如何确定圆心？

（3）反证法的基本思路和一般步骤是怎样的？

【模拟试题】（答题时间：50分钟）

一、选择题

1. 一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的两个圆周角分别为（ ）

A. 150°，210°

B. 75°，105°

C. 60°，120°

D. 120°，240°

2. 已知AC 为⊙O 的直径，弦AB ＝10cm ，∠BAC ＝30°，那么⊙O 的半径为（ ）

A. 5cm

B. 52cm

C. 1033cm

D. 203

3cm

3. 如图所示，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，已知∠ECB ＝60°，∠AED ＝65°，那么，ADE

的度数为（ ）

A. 40°

B. 45°

C. 55°

D. 65°

*4. 如图所示，劣弧︵

AE 所对的圆心角为40°，则∠B ＋∠D 等于（ ） A. 320° B. 160° C. 300° D. 260°

D

5. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，∠ACD ＝15°，则∠BAD 的度数为（ ） A. 75° B. 72° C. 70° D. 65

°

6. 如图所示，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 120°

D. 130°

**7. 已知⊙O 的半径为6cm ，⊙O 的一条弦AB 的长为63cm ，则弦AB 所对的圆周角是（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°

二、填空题

1. 如图所示，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 弧长的大小关系是

__________.

2. 如图所示，点A 、B 、C 、E 都在圆周上，AE 平分∠BAC 交BC 于点D ，则图中相等的圆周角是

__________.

3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，︵BC ＝︵

BD ，∠A ＝30°，则∠BOD ＝

__________.

A

B

4. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，圆周角∠ABC ＝30°，则弦AC 的长是

__________.

5. 如图所示，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是︵

AC 上任意一点，那么∠D 的度数是

__________.

A

**6. 如图所示，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上顺次五点，且AB ＝BC ＝CD ，如果∠BAD ＝50°，那么∠AED ＝__________.

B

三、解答题

1. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F. （1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？

（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？︵AB 与︵

CD 的大小关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？

B

D

2. 如图所示，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ＝CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？

*3. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC ＝PC. PB 的延长线交⊙O 于D. 求证：AC ＝

DC.

P

*4. 如图所示，已知A 、B 、C 、F 、G 是⊙O 上的五点，AF 交BC 于点D ，AG 交BC 于点E ，且BD ＝CE ，∠1＝∠2. 求证：AB ＝

AC.

试题答案

一、选择题

1. B

2. C

3. C

4. B

5. A

6. D

7. D

二、填空题 1. 相等

2. ∠ABC ＝∠AEC ，∠ACB ＝∠AEB ，∠BAE ＝∠CAE ＝∠BCE ＝∠CBE

3. 60°

4. 2

5. 130°

6. 75°

三、解答题

1.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE ＝OF ，理由是：因为∠AOB ＝∠COD ，所以AB ＝CD. 因

为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝1

2

CD ，所以AE ＝CF. 又因为OA ＝OC ，所以R t △OAE

≌R t △OCF. 所以OE ＝OF. （2）如果OE ＝OF ，那么AB ＝CD ，︵AB ＝︵

CD ，∠AOB ＝∠COD ，理由是：因为OA ＝OC ，OE ＝OF ，所以R t △OAE ≌R t △OCF. 所以AE ＝CF ，又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，

所以AE ＝12AB ，CF ＝1

2CD. 所以AB ＝2AE ，CD ＝2CF. 所以AB ＝CD. 所以︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠

COD.

2. BE ＝CE. 理由：∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径，∴∠AOD ＝∠BOE ，∴BE ＝AD ，又∵AD ＝CE ，∴BE ＝CE.

3. 连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝12AP. ∴CD ＝AC ＝1

2AP.

∴AC ＝DC.

4.∵∠1＝∠2，∴⌒BF ＝⌒CG ，∴BF ＝CG ，⌒BG ＝⌒

CF ，∴∠FBC ＝∠GCE. 又BD ＝CE ，∴△BFD ≌

△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G. ∴⌒AB ＝⌒

AC ，∴AB ＝AC.