狗追兔子的问题

狗追兔子的问题
摘要
技术科学中往往遇到大量的微分方程就是联系着自变量，未知函数以及他的导数的关系式。

在自然科学和微分方程问题。

通过对高级微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型。

在模型的求解过程中应用数学软件等计算工具，编写相应的程序，解决实际问题。

关键词
微分方程数学建模猎狗追兔
问题的提出
现有一只兔子，一只猎狗，兔子位于猎狗的正西100米处。

假设兔子与猎狗同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而猎狗在追兔子，已知兔子、猎狗是匀速跑且猎狗的速度是兔子的两倍。

问题是兔子能否安全逃回到巢穴？
问题的假设
建立平面直角坐标系，取兔子跑时的坐标为原点（0，0），兔子位于狗的正西100米处，从而取狗的坐标为（100，0）。

取任意时刻兔子的坐标为（a,b ），狗的坐标为（c,d ）。

模型的分析与建立
我们可以在任意时刻用Q 表示兔子的坐标点，用P 表示狗的坐标点。

兔子的运动轨迹为直线，狗的运动轨迹为一条曲线，此曲线可看做由一些向量构成的折线。

狗和兔子的运动轨迹如下图
变量说明
1v ：兔子的速度
2v ：狗的速度，且122v v =
t ：狗追击兔子的时间
1s ：在时刻t ，兔子跑过的路程，)(11t s s =
2s ：在时刻t ，狗跑过的路程，)(22t s s = 兔子的轨迹 狗的轨迹
x/m y/m
0 (c,d) 60
(a,b)
100
Q ),(11y x ：表示在时刻t 时，兔子的坐标 P ),(y x ：表示在时刻t 时，狗的坐标 模型假设
狗追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P ),(y x 的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为)(x y y =。

模型建立
由于狗始终朝向兔子，则在狗所在位置P ),(y x 点过狗的轨迹处的切线方向在y 轴上的截距为1y 。

设切线上的动点坐标为（X ，Y ），则切线方程为
)(x X y y Y -'=-
令X ＝0，则截距x y y Y '-=。

此时t v y 11=。

则此时截距等于兔子所跑过的路程，则： 1y Y =， 所以：x y y y Y '-==1
在t 时刻，兔子跑过的路程为
t v y s 111== 由于狗的速度是兔子的2倍，则狗跑的路程为 112ry rs s == 则： dx y s x ⎰'+=100
221 所以可得：)(11100
2x y y r ry dx y x '-=='+⎰ 对其两边求对x 的导，化简得
rx y y 21'+='' 此微分方程的初始条件为：0100==x y 0100='=x y
要判定狗是否追上兔子，
可以通过微分方程来判定。

当x＝0，如果计算求解得到60
≥y，则视为没有追上；当x＝0，如果计算求解得到60
<y，则视为兔子被追上；模型求解
程序设计：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
double Y[10000],X[10000],y[10000],T=0.01,v=10,sinA,cosA;
y[0]=0;Y[0]=0;X[0]=100;
for(int i=0;;i++)
运行结果：
通过上面运行结果可知，狗没有追上兔子。