(完整版)高中数学必修3概率统计知识点归纳

(完整版)高中数学必修3概率统计知识点归纳
(完整版)高中数学必修3概率统计知识点归纳

概率统计知识点归纳

平均数、众数和中位数

平均数、众数和中位数.要描述一组数据的集中趋势,最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明.

一、正确理解平均数、众数和中位数的概念

1.平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,反映一组数据的集中趋势.平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系,任何一个数据的变化都会引起平均数的变化.2.众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数.一组数据中的众数有时不唯一.众数着眼于对各数出现的次数的考察,这就告诉我们在求一组数据的众数时,既不需要排列,又不需要计算,只要能找出样本中出现次数最多的那一个(或几个)数据就可以了.当一组数据中有数据多次重复出现时,它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势.

3.中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后,处在最中间的一个数(或处在最中间的两个数的平均数).一组数据中的中位数是唯一的.

二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系

平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同.在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势,那得看数据的特点和要关注的问题.

三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题

由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题.

极差、方差、标准差

极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的,反映一组数据的波动范围或波动大小的量.

一、极差

一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差,即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量,它受极端值的影响较大.

二、方差

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数,它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.

求一组数据的方差可以简记先求平均,再求差,然后平方,最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ,则该组数据方差的计算公式为:

])()()[(1222212x x x x x x n

S n -++-+-=Λ.

三、标准差

在计算方差的过程中,可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致,在实际的应用时常常将求出的方差再开平方,此时得到量为这组数据的标准差.

即标准差=方差.

四、极差、方差、标准差的关系

方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量,常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差,是因为标准差的单位和原数据的单位一致,且能缓解方差过大或过小的现象.

一、 随机事件的概率

1、必然事件:一般地,把在条件S 下,一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。

2、不可能事件:把在条件S 下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。

3、确定事件:必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。

4、随机事件:在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件。

7、概率:随机事件A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.

概率的正确解释:随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性。认识了这种随机中的规律性,可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。

二、 概率的基本性质

1、事件的关系与运算

(1)包含。对于事件A 与事件B ,如果事件A 发生,则事件B 一定发生,称事件B 包含事件A (或事件A 包含于事件B ),记作(B A ??或A B)。

不可能事件记作?。

(2)相等。若B A A B ??且,则称事件A 与事件B 相等,记作A=B 。

(3)事件A 与事件B 的并事件(和事件):某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生。

(4)事件A 与事件B 的交事件(积事件):某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。

(5)事件A 与事件B 互斥:A B I 为不可能事件,即=A B ?I ,即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生。

(6)事件A 与事件B 互为对立事件:A B I 为不可能事件,A B U 为必然事件,即事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。

2、概率的几个基本性质

(1)0()1P A ≤≤.

(2)必然事件的概率为1.()1P E =.

(3)不可能事件的概率为0. ()0P F =.

(4)事件A 与事件B 互斥时,P(A U B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。

(5)若事件B 与事件A 互为对立事件,,则A B U 为必然事件,()1P A B =U .

三、古典概型

1、基本事件的特点:(1)任何两个事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

2、古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(2)每个基本事件出现的可能性相等。

具有这两个特点的概率模型称为古典概型。

3、公式:()=

A P A 包含的基本事件的个数基本事件的总数

四、几何概型

1、几何概型:每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例的概率模型。

2、几何概型中,事件A 发生的概率计算公式:

()P A =构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 三类概率问题的求解策略

对于一个概率题,我们首先要弄清它属于哪一类型的概率,因为不同的类型需要采取不同类型的概率公式和求解方法;其次,要审清题意,注意问题中的关键语句,因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。

一、可能性事件概率的求解策略

对于可能性事件的概率问题,利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时,应注意按下列步骤进行:求出基本事件的总个数n;②求出事件A 中包含的基本事件的个数m;③求出事件A 的概率,即n m

A P =)(

二、互斥事件概率的求解策略

对于互斥事件的概率问题,通常按下列步骤进行:①确定众事件彼此互斥;②众事件中有一个发生;先求出众事件分别发生的概率,然后再求其和。

对于某些复杂的互斥事件的概率问题,一般应考虑两种方法:一是“直接法”,将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是用“间接法”,即先求出此事件的对立事件的概率)(A P ,再用)(1)(A P A P -=求出结果。

三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略

对于相互独立事件同时发生的概率问题,其求解的一般步骤是:①确定众事件是相互独立的;②确定众事件会同时发生;③先求每个事件发生的概率,再求它们的积。

概率的计算方法

一、公式法 利用公式P =(随机事件)随机事件可能出现的结果数随机事件所有可能出现的结果数就可以计算随机事件的概率,这里1=(必然事件)P ,

0=(不可能事件)P ,如果A 为不确定事件,那么0<)

(A P <1. 二、列表法

例.如果每组3张牌,它们的牌面数字分别是1,2,3,那么从每组牌中各摸出一张牌,两张牌的牌面数字和为几的概率最大?两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少?

解:利用列表法:

列表中两次出现1,2,3点的可能性相同,因而共有9中可能,而牌面数字和等于4的情况有

(1,3),(2,2),(3,1),3中可能,所以牌面数字和等于4的概率等于93,即31. 三、树状图法 如上题的另一中解法,就利用用树状图法来解:

总共9种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多,

共3次,因此牌面数字和等于4的概率最大,概率为等于93,即31. 四、面积法

几何概型的概率的求解方法往往与面积的计算相结合

例.如图,矩形花园ABCD ,AB 为4米,BC 为6米,小鸟任意落下,则小鸟落在阴影区的概率是多少?

解:矩形面积为:4×6=24(米2),

阴影部分面积为:12642

1=??(米2), 212412==(小鸟落在阴影区)P .

3 1 1 1 2 2 2 3 (4) (5) (4) 开始

2 1

3 3 (2) (3) (3) (4) (5) (6) A B

C D

最全高中数学必修三知识点总结归纳(经典版)

最全高中数学 (经典版) 第一章算法初步 1.1.1 算法的概念 1、算法概念:在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1) 有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2) 确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可.

(3) 顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4) 不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5) 普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2 程序框图 1、程序框图基本概念: (一) 程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文 字说明。 学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外, 大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果; 另一类是多分支判断,有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。(三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下 的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一

高中必修二数学知识点全面总结

第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 22 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图:斜二测画法 44斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于y 轴的线长度变半,平行于x ,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= (二)空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上( 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

高中数学必修五知识点详细解答附答案

姓名____________ 20XX 年____月_____日 第___次课 正、余弦定理 一。知识回顾:在初中我们知道:(1)在三角形中,大边对大角、大角对大边的边角关系; (2)在直角三角形中,sinA= a c ,sinB= b c ?c=sin a A ,c=sin b B ? sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲: <一>.正弦定理: (1)概念:在一个三角形中,各边与它所对应角的正弦比相等,即: sin a A =sin b B =sin c C (2)证明: j r C ①几何证明法:(略,同学们自己证明) ②向量证明: 证明:(如图)当?ABC 为锐角三角形时, A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π,j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ,j r 与CA u u u r 的夹角为2π +A ; 设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π +A )=0 ∴asinB=bsinA,即:sin a A =sin b B 同理可得:sin b B =sin c C ,故:sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时,同样可证明得到:sin a A =sin b B =sin c C (3)正弦定理的变形: ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a :b:c=sinA:sinB:sinC ③ sin a A =sin b B =sin c C =2R (R 为?ABC 外接圆的半径) ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R (二)余弦定理: (1)概念:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍,即: 2 a =2 b +2 c -2bccosA; 2 b =2 a +2 c -2accosB; 2 c =2 a +2 b -2abcosC 变形:2 sin A=2 sin B+2 sin C-2sinBsinCcosA 2 sin B=2 sin A+2 sin C-2sinAsinCcosB 2 sin C=2 sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角:cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理:2 c =2a +2b 推广:A 为锐角→222a b c <+;A 为直角→222a b c =+;A 为钝角→222 a b c >+ (3)三角形的面积公式: ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=1 2 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形,都有:sinA>0

人教版高中数学必修3知识点汇总(一册全)

人教版高中数学必修三知识点汇总 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 1、算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。(二)构成程序框的图形符号及其作用

学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 框是依次执行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执 行B框所指定的操作。 2、条件结构:

人教版数学高中必修2知识点整理

数学必修2知识点 S 底·h ch ′ h (S 上底+S 下底 (c+c ′)h ′ 表中S 表示面积,c ′、c 分别表示上、下底面周长,h 表示高,h ′表示斜高,l 表示侧棱长。 2. 旋转体的面积和体积公式 πr2h πh (r21+r1r2+r22) πR3 表中l 、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2分别表示圆台上、下底面半径,R 表示半 径。 3、平面的特征:平的,无厚度,可以无限延展. 4、平面的基本性质: 公理1、若一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. ,,,l l l αααA∈B∈A∈B∈?? 公理2、过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. ,,,,,C C ααααA B ?A∈B∈∈三点不共线有且只有一个平面使 公理3、若两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. l l αβαβP∈?=P∈ 且 推论1、经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面. 推论2、经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3、经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. //,////a b b c a c ?

5、等角定理:空间中若两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 6、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 数学符号表示:,,////a b a b a ααα??? 直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示://,,//a a b a b αβαβ?=? 7、平面与平面平行的判定定理:(1)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 数学符号表示:,,,//,////a b a b a b ββαααβ??=P ? (2)垂直于同一条直线的两个平面平行. 符号表示:,//a a αβαβ⊥⊥? (3)平行于同一个平面的两个平面平行. 符号表示://,////αγβγαβ? 面面平行的性质定理: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. //,//a a αβαβ?? (2)若两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. //,,//a b a b αβαγβγ==? 8、直线与平面垂直的判定定理:(1)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 数学符号表示:,,,,m n m n l m l n l ααα??=A ⊥⊥?⊥ (2)若两条平行直线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. //,a b a b αα⊥?⊥ (3)若一条直线垂直于两个平行平面中一个,那么该直线也垂直于另一个平面. //,a a αβαβ⊥?⊥ 直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. ,//a b a b αα⊥⊥? 9、两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. ,a a βααβ⊥??⊥ 平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示:,,,b a a b a αβαβαβ⊥=?⊥?⊥ 10、直线的倾斜角和斜率: (1)设直线的倾斜角为α( ) 0180α≤< ,斜率为k ,则tan 2k παα?? =≠ ?? ? .当2πα=时,斜率不存在. (2)当090α≤< 时,0k ≥;当90180α<< 时,0k <.

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章:解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理:在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,,则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式: ①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R A = ,sin 2b R B =,sin 2c C R =; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; 3、三角形面积公式:111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B . 4、余弦定理:在 C ?AB 中,有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ,推论:bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=,推论: C ab b a c cos 22 2 2 -+=,推论:ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题,必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型,特别要多角度(几何作图,三角函数定义,正、余弦定理,勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况,根据已知条件判断解的情况,并能正确求解 1、三角形中的边角关系 (1)三角形内角和等于180°; (2)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; ac b c a B 2cos 2 22-+=

(3)三角形中大边对大角,小边对小角; (4)正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ,其中R 是△ABC 外接圆半径. (5)在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. (6)三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中,h 是BC 边上高,P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 (1)已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理. (2)已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理. (3)已知三边,求三个角,常选用余弦定理. (4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理. (5)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是:①化边为角;②化角为边. 4、三角形中的三角变换 (1)角的变换 因为在△ABC 中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)=-cosC ;tan(A+B)=-tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+; (2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。 r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半 (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠A ,∠B ,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°;△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ,∠B ,∠C 成等差数列且a ,b ,c 成等比数列.

人教版高中数学必修3知识点和练习题

人教版高中数学必修3知识点和练习题 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 1、算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。

(二)构成程序框的图形符号及其作用 学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A框和B

高中数学必修2知识点总结(史上最全)

高二数学必修 2 知识点总结 第 1 章空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体:一般地,我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体:我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE A' B ' C ' D ' E '或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD '几何特 征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的 截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P A' B ' C ' D ' E ' 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何 特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 ( 5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影:由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影。其中我 们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影:我们把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影。 3.平行投影:我们把在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影。(又分为正投影和斜投影) 4 空间几何体的三视图

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b,则90C <;③若 222a b c +<,则90C >. 注:正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标

最新高一下册数学必修三知识点

最新高一下册数学必修三知识点 【篇一】 一、集合(jihe)有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a A

列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A 与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同” 结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B ①任何一个集合是它本身的子集。A A ②真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) ③如果A B,B C,那么A C

必修三数学知识点总结 -#(精选.)

必修5 第一章 解三角形 1、正弦定理:在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ?AB 的外接圆的半径,则有 2sin sin sin a b c R C ===A B . 2、正弦定理的变形公式:①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R =;③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . (正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和一边,求其余的量。) ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况) 如:在三角形ABC 中,已知a 、b 、A (A 为锐角)求B 。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把a 扰着C 点旋转,看所得轨迹以AD 有无交点: 当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则B 法二:是算出CD=bsinA,看a 的情况: 当ab 时,B 有一解 注:当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式:111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B . 4、余弦定理:在C ?AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ,2222cos b a c ac =+-B ,222 2cos c a b ab C =+-. 5、余弦定理的推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222 cos 2a b c C ab +-=. (余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状:设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 2 2 2

高中数学必修2知识点总结

高中数学必修2知识点 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α 时,0≥k ; 当() 180,90∈α时,0

高中数学必修五数列知识点

一、知识纲要 (1)数列的概念,通项公式,数列的分类,从函数的观点看数列. (2)等差、等比数列的定义. (3)等差、等比数列的通项公式. (4)等差中项、等比中项. (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法. 二、方法总结 1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想、数形结合的思想. 2.等差、等比数列中,1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”,体现了方程(组)的思想、整体思想,有时用到换元法. 3.求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1,公比是字母时要进行讨论,体现了分类讨论的思想. 4.数列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化等. 三、知识内容: 1.数列 数列的通项公式:?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和:n n a a a a S ++++= 321 1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 6、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 7、常数列:各项相等的数列. 8、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式. 10、数列的递推公式:表示任一项n a 与它的前一项1n a -(或前几项)间的关系的公式. 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时,111==S a ,当2n ≥时,34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: (1)定义法:对于数列 {}n a ,若d a a n n =-+1(常数),则数列{}n a 是等差数列。 (2)等差中项:对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式: 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ,公差是d ,则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明:该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和:①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明:对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项: 如果a , A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。即:2 b a A += 或b a A +=2 说明:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质: (1)等差数列任意两项间的关系:如果n a 是等差数列的第n 项,m a 是等差数列的第m 项,且n m ≤,公差为d ,则有 d m n a a m n )(-+=

高一数学必修三知识点总结及典型例题解析

新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件:随机事件( random event ),确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次,当实验的次数n 很大时,我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明:① 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重复事件时某个事件是否发生,具有频率的稳定性 ,而频率的稳定性又是必然的,因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这个摆动的幅度越来越小,而这个接近的某个常数,我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果,讲的是一种大的整体的趋势,而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件A ,有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率(Classical probability model ):① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ,则每一个基本事件发生的概率都是n 1,如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件,则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型(geomegtric probability model ):一般地,一个几何区域D 中随机地取一点, 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ,则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = ( 这里要求D 的侧度不为0,其中侧度的意义由D 确定,一般地,线段的侧度为该线段的长度;平面多变形的侧度为该图形的面积;立体图像的侧度为其体积 ) 几何概型的基本特点:① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明:为了便于研究互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界,在区域D 内随机地取点,指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比,而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件

高一数学必修三知识点总结

高一数学必修三知识点总结 【篇一】高一数学必修三知识点总结 1.一些基本概念: (1)向量:既有大小,又有方向的量. (2)数量:只有大小,没有方向的量. (3)有向线段的三要素:起点、方向、长度. (4)零向量:长度为0的向量. (5)单位向量:长度等于1个单位的向量. (6)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量. ※零向量与任一向量平行. (7)相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2.向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点【篇二】高一数学必修三知识点总结 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:

(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大

相关文档
最新文档