一类交换p-群的自同构群
有限p_群的中心自同构群
K
Ho m (G /N , Cp e ) | = | G /N | 1 于是由引理 2 可得 | | = | G /N | |
= nN
K
= n # 1 = n, 所 以 A I
KA H
CAu t G (G /M, N ). 再任取 g I G, 则 ( gN ) H是满射。
= g g =
- 1
A
g g ( gN ) = ( gN ) , 所以 K ,即 A = K , 表明 A = K 综上可得 H是从 CAu t G (G /M, N ) 到 Der (G /N, M ) 的一个同构映射 , 据此即得所证结论。 证毕。 推论 1 设 G 为任意有限群, M, N 均为 G 的正 规子群且 M [ N H Z (G ), 则 : CA ut G (G /M, N ) µ H om (G /N, M ) 证明 因为 M [ N H Z (G ), 所以 M [ Z (N ), 根据定理 1得到 CA ut G ( G /M, N ) µ D er(G /N , M ) 1又 因为 M [ Z (N ), 故 G /N 在 M 上的共轭作用平凡 , 表 明 Der (G /N, M ) = H o m ( G /N , M ) 1 证毕。 引理 1 且 exp K [ 证明 引理 2 证明 定理 2 设 K 为有限交换 p 2群, A 为循环 p 2群 exp A, 则 H om (K, A) µ K 1 见文献 [ 4] 中引理 E 1 设 A, C, U 均 为 有 限 交 换 群 , 则 见文献 [ 4] 中引理 C 1 设 G 为有限 p 2 群 , M, N 均为 G 的正规 CA ut G (G /M, N ) µ G /N 的充要条件是 G c[ N, M 为循环群, 且 exp( G /N ) [
一类有限群的自同构群阶的上确界
考 虑 什么 样 的有 限群 其 自同构群 阶 的上确 界 仅 与群 阶有关 ， 是研 究 有 限群 Ｇ与其 自同构群 Ａｕ（ ｔＧ）
＝
ｌ
ｌ 一
Hale Waihona Puke 又 记 ： （ ）＝ ｛ ｌ 为 群 ， 且 ５ｎ Ｇ Ｇ 并
Ｇ ： ｎ． ｝
ｂ － 据 Ｇ 的定义 关系 ， 得 ＇＇ ａ．根 可
Ⅱ” 一 ｎ
．
关 于 数 （ ） 以 下 几 个 性 质 是 明 显 的 ． 定 理 １ ， 在
（） １
的证 明中我们将 不 加说 明地引用 ：
引 理 ２ （， ｎＤ ｅ ） 设 Ｇ 是 由 生 成 元 ． ， ￣ａ ｙ ｋ Ｔ ， … ， 和关 系 ，（ ， ， ． ） １ｉ ， 定义 的群 ， ． ：… 一 ，∈ 所 Ｈ ＝ ＜ 日 一， ＞ （ 中 的 峨 可 能 相 同 ） Ｖ ｉ ， 其 ， ∈ ，
里Ｈ （） 的素因子集． 是 那么
Ａｕ （ ｌ＝ ． ” ｔ Ｇ） ） ） ．
＂ … ． 中 Ｐ ＜ Ｐ ＜ … ＜ Ｐ 是互 异 素数 ． 其 ．
记
ｊ
“
１
（） 兀 ｌ（ ～ ） ｎ＝ ｌ ；
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证明 对 Ｇ 的 任 一 自 同 构 ． 口 。 ＝ ． （ ） 有 （ ） ａ ｂ
钟 祥 贵
Ｚｈ ｎ ａ ｇ ｕ ｏ ｇ Ｘｉｎ ｇ ｉ
Ｓ ｐ ｅ ｕ ｏ ｈｅ ０ｒ ｒ ｏ ｔ ｍ ｏ ｐｈ ｓ ｕ ｒ ｍ ｍ ｆ ｔ ｄｅ ｆ Ａｕ ｏ ｒ ｉｍ
一类新p-群的自同构群的最佳下界
一类新p-群的自同构群的最佳下界
在数论中，研究p-群的自同构群的最佳下界是一个非常重要的课题。
它指的是在一个p-群中，可以用最少的自同构而构建出最大的自同构群。
根据Lagrange的定理，最佳下界是p-1。
因此，当我们考虑一类新p-群
的自同构群的最佳下界时，我们有必要考虑p-1的情况。
现有的结果表明，可以在一个p-群中，用最少的自同构组合而构成
一个自同构群，其最佳下界比p-1更小。
其中，最典型的是，Babai在1985年提出的一个p-群的最佳下界，它可以用最少的自同构构成一个最
大的自同构群，并且最大的自同构群的最佳下界为(2p-1)/3。
因此，可以说，当考虑一类新p-群的自同构群的最佳下界时，除了
p-1之外，最好的下界还可能更小，具体值取决于这类新p-群的特性。
四元数群的自同构群-概述说明以及解释
四元数群的自同构群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：四元数是一种数学结构，它扩展了复数的概念。
与复数类似，四元数可以用方式a + bi + cj + dk进行表示，其中a、b、c和d分别是实数，而i、j和k是特定的虚数单位。
四元数群是指由四元数构成的数学群，其中群的运算是四元数的乘法。
本文主要研究四元数群的自同构群。
自同构群是指一个数学结构自己到其自身的同构映射所构成的群。
在本文中，我们将探讨四元数群的自同构群的概念和性质，并研究其特点、应用和意义。
了解四元数群的自同构群对于理解四元数的结构和性质具有重要意义。
自同构群可以帮助我们发现四元数群中的对称性质和关系，从而推导出关于四元数的重要性质和结论。
此外，研究四元数群的自同构群还能够为解决一些实际问题提供有力的工具和方法。
因此，深入研究四元数群的自同构群对于数学和工程领域的学者都具有重要的参考价值。
在接下来的正文中，我们将首先介绍四元数群的定义和性质，包括四元数的乘法运算和群的封闭性等。
然后，我们会详细讨论自同构群的概念和性质，并给出一些自同构群的例子和结论。
最后，我们将总结四元数群的自同构群的特点，并探讨其在实际应用中的意义和潜在的发展方向。
希望通过本文的研究，读者能够对四元数群的自同构群有一个清晰的认识，并能够将其应用于相关领域的研究和解决问题中。
1.2文章结构文章结构部分将描述文章的整体结构和各个章节的内容安排。
文章按照以下的结构进行组织和撰写：1. 引言：引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对四元数群和自同构群的基本概念进行简单介绍，强调自同构群对于四元数群的重要性和研究意义。
1.2 文章结构：详细阐述文章的整体结构，即各个章节的内容和组织方式。
1.3 目的：明确本文的研究目的和研究方法，指出本文的创新点和科学价值。
2. 正文：正文部分分为以下几个章节：2.1 四元数群的定义和性质：介绍四元数群的基本定义，包括四元数的表示方法以及群运算的性质，如结合律、单位元等。
循环群的自同构群
循环群的自同构群循环群是群论中一类重要而特殊的群结构。
它具有很多有趣的性质和应用，其中一个重要的性质就是它的自同构群。
首先，我们需要了解什么是循环群。
循环群是由一个元素生成的群，该元素被称为生成元。
换句话说，循环群中的每个元素都可以通过不断进行群运算（加法或乘法）与生成元相乘来得到。
例如，整数集合Z和模n剩余类集合Zn都是循环群，它们的生成元分别是1和1~(mod n)。
循环群的元素可以被表示为幂的形式，例如在整数集合Z 中，对于一个生成元g，其幂运算可以表示为g^n。
循环群的自同构群指的是将循环群映射到自身且保持群运算的双射（双向一一对应）集合。
换句话说，自同构群是循环群的一种变换，其中变换之前和之后的群运算保持不变。
循环群的自同构群在群论研究中具有重要的地位。
首先，自同构群是研究循环群内部结构的重要工具。
通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的各种性质和结构，并且可以对循环群进行分类。
其次，循环群的自同构群对密码学中的安全性有着重要的影响。
在现代密码学中，循环群被广泛应用于构建安全性强大的加密算法，例如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。
而自同构群则可以用于验证加密算法的安全性和强度。
循环群的自同构群可以分为两类：平凡自同构群和非平凡自同构群。
平凡自同构群是指将循环群的所有元素映射到它们自身的恒等映射。
换句话说，平凡自同构群保持循环群的原始结构不变。
而非平凡自同构群则是指存在一种映射，能够改变循环群的结构，例如将生成元映射到其他元素或改变群的性质。
在循环群的自同构群中，非平凡自同构群是研究的重点。
对于循环群Z，它的非平凡自同构群就是循环群Z*。
而对于循环群Zn，它的非平凡自同构群就是单位元素到自身的同余映射（自同构映射）。
这些非平凡自同构群在代数结构和密码学中有着重要的应用。
总结起来，循环群的自同构群是群论研究中的一个重要课题。
通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的内部结构和性质，并且可以将其应用于代数结构和密码学等领域。
【word】带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群
带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群数学年刊2011,32A(6):665—678带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群冰廖军杨艳刘合国.提要给出了带极大或极小条件的Abel群A的自同构群以及自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.同时也给出了群A=Q0Q0…0Q的自同构群是可解或幂零的充要条件,以及群A的自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.关键词自同构群,自同态环,可解,幂零MR(2000)主题分类20K30,20F16,20F18中图法分类O152.2文献标志码A文章编号1000—8314(2011)06—0665—141引言本文采用文f121的术语和符号,一般情况下计算群的自同构群和研究群的自同构群的性质是很困难的,即使对Abel群也是如此.从结合环R出发,自然地可以构造一个Lie环L,方法如下:定义L的加群为_R的加法群(R,+)以及Lie积为[X,Y]=xy—yx,通常记为_R(～,称为的相伴Lie环.Abel群的自同态环EndA是结合环,则可以构造Lie环End(一.因此我们可以研究Abel群的自同态环的相伴Lie 环的可解,幂零性质对群结构的影响.同样地,也可以通过研究Abel群的白同构群AutA的可解,幂零性质来分析群A的结构.本文将对几类带有有限性条件的Abel 群进行讨论,并给出了它们的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零以及自同构群是可解,幂零的充要条件.在多数情况下它们具有相似性.其实这也并不偶然,正是由于这些Abel群是由它的自同态环或者自同构群所确定.第2节首先给出了有限AbelP一群的自同构群AutA可解的充要条件,接着利用自同构群的稳定自同构的一个结论(见引理2.3),分别给出了带极大和极小条件的Abel群的自同构群是可解,幂零的充要条件.在定理2.6一定理2.10中,分别给出了有限AbelP一群,带极大条件的Abel群和带极小条件的Abelp-群的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零的充要条件.当P≠3时,有限Abelp-群的自同构群AutA可解当且仅当群A的自同态环的相伴Lie环End(一)可解.对于带极大,极小条件的Abel群的自同构群AutA的可解性和群的自同态环的相伴Lie环End(一)的可解性,定理2.2一定理2.3和定理2.8一定理2.9分别相对应,在它们的幂零性的论述中,定理2.4和定理2.10相对应.设A=Q0Q.0…④Q,其中Q={丌pmI?Tti,m∈Z},这里7rk为某pi∈k 些素数的集合.第3节对群A讨论了类似的问题:定理3.1和定理3.2分别给出了A的本文2011年2月25日收到,2011年6月18日收到修改稿.北京大学数学科学学院,北京100871.E—mail:*************.ca0湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:******************0通讯作者.湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:**************.cn国家自然科学基金(No.10971054)资助的项目.数学年刊32卷A辑自同构群AutA是可解,幂零的充要条件,定理3.4给出了群A的自同态环的相伴Lie环EndA(一)是可解,幂零的充要条件.此时AutA是可解(幂零)的当且仅当EndA㈠是可解(幂零)的.定理3.3表明,A的自同构群AutA可解和B1是一致的.除去P=2的情况,比较定理2.4,定理2.10,定理3.2和定理3.4可以知道,对于我们所讨论的Abel群A,的自同构群AutA和自同态环的相伴Lie环EndA(一)是幂零的当且仅当它们是交换的.而且此时它们都具有相对简单的结构:AutA和EndA【一)是幂零(交换)的,如果A是满足极大条件的Abel群,当且仅当A是循环的;如果是满足极小条件的Abel群,当且仅当A是循环的或者是拟循环群的直和;如果A=Q0Q0…0Q当且仅当每一个Q是全不变的.2带极大或极小条件的Abel群设有限Abelp-群有分解A=(zpn)h0(n.)0…0(nr),其中r,ft是正整数,0<nl<n2<…<n.记群A的自同态环EndA=,群A的自同构群为AutA.下列的事实,见文【3-6】.(a)群A的自同态环=EndA可以表示成r×r矩阵环(岛),其中岛=Hom((nt)”,(n));(b)环有Jaeobson根=(),其中=pCi~;当i≠J时,J=(C)AutA的极大正规子群是△=1+.引理2.1【】除了n=2,IFI=2,3外,GL(F)是不可解的.以下总约定P为素数,z为整数环,Zp为进整数环,n=Z/(pZ)为模P剩余类环或P阶循环群.引理2.2(i)群GL2(Z)以及GL2(Zp)不可解;(ii)当素数P>2时,上的上三角可逆矩阵群()不是幂零的;(iii)当素数P>3时,Aut(m0n)不是幂零的.证记[,Y]=[z,Y,Y,…,],其中Y出现n次.环的满同态:Z一诱导群的满同态GL2(Z)一GL2(),同态像GL2()在P>3时是不可解的,因而GL~(Z)不可解.类似地,GL2(Zp)不可解.GL2(Z2)&,是可解的,而中一5-是平凡的,因此不是幂零的.考虑上的上三角可逆矩阵群(zp),由于[(G0o)]=(.1),当P>2时,取a:2,则[(((.1)组因此()不是幂零的.不妨设m≠佗(否则GL2(n)不可解),Aut(m0n)在Q1(m0n)上的限制同构于(),因此Aut(m0n)不是幂零的.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群667定理2.1设是有限Abelp-群,且A=(n)”0(n).0…0(n),其中r是正整数,n1<n2<…<礼,ft都是正整数.则(1)当P>3时,AutA可解当且仅当f1:f2=…=0=1;(2)当P=2或3时,Aut可解当且仅当li≤2(1≤i≤r)证(1)当P>3,ll=12=…=f=1时,由文【8]中推论2.9知AutA△(一1),这里△=(AutA)是AutA的极大正规子群,因此是幂零群,则是可解群,(zp一1)是Abel群,即AutA是可解子群△=Op(AutA)被Abel群的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个li>1,则GL2(zpn.)≤AutA,但是GL2(nt)的商群GL2()是不可解的,矛盾.所以?1=f2=…=0=1.(2)当P=2或3时,ct≤2(1≤i≤r),由文[8】中定理1.1和命题2.2知rAutA△×lJGLt(),t=1这里△=(AutA),它是幂零的因而是可解的.由引理 2.1,当2t≤2时,GLl(zp)是可解群,则兀GLt()是可解的.则AutA是可解子群△=Op(AutA)被可解群0=lr兀GLf,()的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个fi>2,则GL3(nt)≤AutA,但是GL3(nt)的商群GL3()是不可解的,矛盾.所以li≤2.事实上,对于有界Abelp-群也有同样的结论,定理2.1的证明也同样适用.另一方面,有限Abel群可以分解为有限Abelp-群的直和,每个分支都是全不变的,则是特征子群,所以有限Abel群的自同构群可以分解为有限Abelp-群自同构群的直积.因此对有限Abel群总可以约化到定理2.1的情形,类似地对有界Abel群也一样.为便于叙述,我们首先给出下面的引理,它是本文计算某些自同构群的基础.引理2.3设是Abel群,B是的特征子群,且A=B0,则AutA=Horn(C,B)(AutB×Aut).证的所有稳定B的自同构构成AutA的一个子群,记为Aut(A)B,即Aut()B={∈AutAIB”=B).由于是A的特征子群,所以AutA=Aut(A)B.由文f9]中定理2.1知Aut(A)8=Der,B)Pair(C,B).由于A是Abel群B与C的直和,即A=B0C,因此平凡地作用在Abel 群B上,则导子就是它们之间的同态,即Der(C,B)=Hom(C,),668数学年刊32卷A辑并且由直接验算Pair(C,B)满足的条件,可知Pair(C,B)=AutB×AutC,因此AutA=Hom(C,B)(AutB×Aut),AutB×AutC在Hom(C,B)上的作用为(,(,))一&.定理2.2设是满足极大条件的Abel群,则AutA可解的充要条件是的挠子群的白同构群是可解的且ro(A)≤1.证若AutA可解,由引理2.2,GL2(Z)不可解,知ro(A)≤1,并且A的挠子群的自同构群是AutA的子群,因此是可解的,必要性已证.下证充分性.注意到的挠子群是A的特征子群,设为,如果TO(A):0,则A是有限群,此时归为定理2.1的情形.不妨设TO(A)=1,则A=T0Z,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,T))日(AutTXAutz),其中Hom(Z,T)T,AutZ=Z2.由假设,有AutT可解,因此AutA可解.类似地,对于满足极小条件的Abel群有下面的定理.定理2.3设4是满足极小条件的Abelp-群,则AutA可解的充要条件是A的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1.证设A是满足极小条件的Abelp-群,的极大可除子群为D,既约子群为R,则‘A=D0R且D是A的特征子群.由引理2.3,可得AutA=Hom(R,D)>日(AutD×AutR),而Horn(R,D)是Abel群,因此AutA可解的充要条件是AutD,AutR是可解的,引理2.2说明GL2(Zp)不可解,其中z是P一进整数环.因此的极大可除子群D的秩r(D)≤1.若r(D)=1,即D=z..,熟知当P>2时,AutZp..～10zp.当P=2 时,AutZ2..Z20z2,其中z是进整数环.反之,4的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1时,AutA可解.注意到满足极小条件的Abel群的自同构群是其P一子群自同构群的直积,因此满足极小条件的Abel群的自同构群是可解的充要条件是其所有子群的自同构群都是可解的.于是,结合定理2.1和定理2.3我们可以得到满足极小条件的Abel 群的自同构群是可解的充要条件.由引理2.2和引理2.3可以得到下面的定理.定理2.4(i)有限Abel2’-群A的白同构群AutA幂零的充要条件是rp(A)≤1,当且仅当是循环群;(ii)满足极大条件的Abel群且其挠子群是2一群的自同构群AutA 幂零的充要条件是有限且(A)≤1或A=Z,即为循环群;(iii)满足极小条件的Abel2/_群的自同构群AutA幂零的充要条件是A有限且rv(A)≤l或A=0...6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群669证(i)不妨设是有限AbelP一群,由引理2.2,当P>2时,T2()不是幂零的,因此不含形如m0的子群,即是循环群,rp(A)≤1.反之显然.(ii)假设Z=n0Z,则AutAn(AutnX),计算[(1,(1,1)),(0,(1,))]l其中Oz是z的二阶自同构,注意到它的作用方式把它写成矩阵形式[((呈)]=(.12)这里(一2)≠0是因为是2一群,因此AutA不是幂零的,所以或者有限或者自由循环,当有限时,由(i)知也是循环的.(iii)此时的证明方法同(为了处理P=2的情形,我们需要下面定理,见文『1O].稳定性定理设群G忠实地作用在群上,G稳定的如下长度为2的正规群列1≤W<记Z:=41(W)是的中f1.,它自然地作成一个一模,则G≤Der(v/z),其中Der(Z)是到z的所有导子作成的Abel群.定理2.5(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)0(Z2n2).0…0(Z2)L,这里nl<?22<…<几,l是正整数,则AutA幂零的充要条件是l=1.(ii)设是自由Abel群与Abel2-群的直和,则A的自同构群AutA幂零当且仅当A=2r2n0Z2nz0?-?0Z2n0Z,这里礼1<礼2<…<72r.(iii)满足极小条件的Abel2-群A的自同构群AutA幂零当且仅当A=Z2n①Z2nz0…0n0..,这里札1<佗2<-??<竹r.证(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)h0(Z2n.)120?-?0(Z2n),这里几1<?22<…<n,ll是正整数.当所有的i,1=1时,群4的自同构群AutA是一个2一群,因此是幂零的.反之假设存在某个ft>1,则GL2(n)≤AutA 且它的一个商群是GL(),由引理2.2是非幂零的,矛盾.(ii)设是自由Abel群与Abel2一群的直和,且自由子群是自由循环群z若Abel2一子群B=Z2n0Z2n①…0Z2(其中?21<礼2<…<礼),它是特征子群,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,B)×(AutB×Autz),其中Horn(Z,B)B,AutB是一个2一群,AutZZ2,则AutA是一个2一群,因此是幂零的.670数学年刊32卷A辑当A=Z2n0Z2n.0…0n0z时,证明其自同构群是幂零的另一个方法是:设C=2”A={2”aIa∈),其中n>n,则C2Z,它是的特征子群,A/Cz2n10Z2n20…0Z2n0zn.考虑G=AutA在0≤C<A上的自然作用.记ca(c)={∈GIc.=c,c∈), Cc(A/C):{∈Gl(a+)=a+C,a+C∈A/C},贝0c/ca(c)≤AutC,C/Ca(A/C)≤Aut(A/C),且c/ca(c)rhCa(A/C)≤c/cc(c)XG/Ca(A/C),又cc(c)nCc(A/C)稳定,0<C<A,故根据稳定性定理知cc(c)nCG(A/C)≤Der(A/C,),A/C是有限的,而C是自由循环群,因此Der(A/C,C):Hom(A/C,C)=0.AutA/C是一个2一群,AutC,则G≤AutC×Aut(A/C)是幂零群.反之若AutA是幂零群,则AutA的子群AutB是幂零的,当且仅当B=Z2n0Z2”0…0…由于GL2(Z)不是幂零的,因此自由子群是自由循环群z,因此A=z2n0Z2n20…0n0Z,其中nl<n2<…<nr.(iii)由(ii)以及引理2.2知条件是必要的,下证充分性.设A=Z2n0Z2n20…0n0..,这里仡1<n2<…<nr,设B:Q2n(A)={0∈Al2ha=0),其中n>n,则Bz2n10z2n20…0n0n,它是A的特征子群.考虑G=AutA在0≤B<A上的自然作用.记Ca(B)=fQ∈G1b.=b,b∈B),Cc(A/B)={∈Gl(a+B)”=a+B,a+B∈A/B},则C/Ca(B)≤AutB,C/CG(A/B)≤Aut(A/B),且C/CG(B)nCc(A/B)≤C/Cc(B)×C/Cc(A/B).又Cc(B)nCc(A/B)稳定,0<B<A,故根据稳定性定理知Cc(B)nCc(A/B)≤Der(A/B,B),A/BZ2o.是可除的,而B有限,因此Der(A/B,B)=Hom(A/B,B)=0.AutA/B(o.)=Z20Z2是Abel群,由(i)知AutB是一个2一群,则C≤AutBXAut(A/B)是幂零群.下面讨论带极大,极小条件的Abel群的自同态环构成的Lie环是可解,幂零的条件,为此需要下面的引理.引理2.4(m)(一)可解,坞()(一)不可解.证直接计算可得[(),()]=(c—brz+-cyd一.6cr一一d).6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群671设L=M2(Z2)(一,则由上面的计算知则则)lm)为了计算,在上式中令d=一a,r=一x,有[),G)]=(2.b…z-cyn名一),{(m).令b=2b1,c:2c1,Y=2yl,=2zl,有),()]一blz…l-cly哪yza-bmlx/,)c∈m)归纳地,知M2(Z2m)(一)可解.记K=M3(Z2)(_.,则K=(e),其中表示(J)位置为1,其它位置全为0的矩由于当i≠J时,,eij1=eij,[eij,eft]=eli—ejj,有K=(eij,eii—eli≠歹).又因n>2,存在k满足k≠i,k≠J,i≠J,则eij=【eik,ekj],eii一jJ=【eij,e所以K=K≠0,因此不可解,即M3(Z2)(一)不可解引理2.5当P>2时,()(一)不可解;相伴Lie环(z)(一)和(zp)(一)不可解.证取L=(el2,e21>,由于(e12,e21】=ell—e22,【611一e22,el2】=2e12,【ell—e22,e21】=一2e21, 则el1一e22,e12,e21∈L,归纳地,对任意的正整数此()(一)不可解.m,有el1一e22,e12,e21∈(,则()≠0,L不可解,因()(一)是(z)(一)和Mn(Zp)(一)在自然同态z一以及zp一下诱导的Lie环同态像,因此(z)(一)和(zp)(一)不可解.定理2.6设P是奇素数,记A=(n)ll④(n.)④…0(),这里扎1<n2<…<n,如是正整数,则End(一)可解的充要条件是如=1672数学年刊32卷A辑证如果End(一)可解,由引理2.5知1=1,否则存在一个子环()(一)不可解,矛盾.另一方面,如果li=1,则A=n10zpn20 0EndA{(aij)laijEHorn(,’))且i<J,Pln巧.记L=End(_.,Cij=∑(aikakj—bikakj),如果cij∈L,则PlCij,i≤J.归纳地, Cij∈(,对任意的i,J,有PI.,且当i<J时,P.l,继续重复上述过程,直到Cij=0,因此可解.也可以用另外一种方法来证明可解:EndA在【21(A)上的限制就是n一诱导的环同态,即对每一位置模P,同态像是上的一个三角矩阵,同态的核是每个位置元素都能被P整除的数,即0Mod(p).由环的同态得到Lie环的一个同态,结合可解Lie环在扩张下封闭的性质得到Lie环L=End(一)是可解的.定理2.7设A=(Z2n)/10(Z2)120…0(Z2),这里n1<Tt2<…<n,f是正整数,则End(一)可解的充要条件是ft≤2证设fi≤2,自然同态z2n.一z2诱导的环同态,End(一)的同态像是一个下对角矩阵,并且对角线上是1阶或2阶可解块,因此同态像可解,同时核满足2Ia同上述定理相同的证明方式,知其可解,得到End(一)可解.反之,由引理2.4,如果End(一)可解,则li≤2.定理2.8设A是满足极大条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解且_r0(A)≤1.证设A=0A0Z,0A是A的全不变子群,).(~EndAEndZEndA【H.m(z)J(,z/),又(0EndAp)～0EndA和z(一)都是可解的,按分块矩阵计算知EndA(一)是可解的.反之,End是End(一)的子环显然可解,且()(一)不可解,因此ro()≤1.类似的方法可以得到下面极小条件下的定理.定理2.9设是满足极小条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解.End可解当且仅当End磷可解且rank(Dp)≤1,其中Rp和Dp分别是A的既约子群和极大可除子群.的引理2.6(z)(一)不是幂零的,若=n0m,n<m,则EndA(一)不是幂零证注意到对任意的正整数n,[el2,?tc22]=el2≠0由引理2.5和引理2.6,立即可得下面的定理6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群673定理2.10(i)有限Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是rp(A)≤1;(ii)满足极大条件的Abel群A的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且口(A)≤1或A=z;(iii)满足极小条件的Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且rp(A)≤1或A=0..;P(iv)满足极大或极小条件的Abel群4的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是的自同态环的相伴Lie环是Abel的.3完全分解的无挠Abel群下面考虑这样一类Abel群,首先介绍符号和一些简单的结论:记丌为某些素数的集合,设Q={兀.mIm,m∈Z}.对群Q有下列简单事Pl∈7r实:(a)Q的元具有无限丌一高,有限丌一高,即任意的P∈7r,P高为0(3,否则为有限.(b)Q的任意一个自同态可以由1的像完全决定.事实上,m=(m?1)妒=m?1;由(pp)=1,知p?(p)=1,因此(p)妒=p1妒,所以(兀m)妒=兀m?1;pp(c)如果71”17I”2,则Horn(Q,Q.)=0,否贝0Horn(Q,Q.)Q.事实上,如果丌17r2,存在P∈丌1一丌2,Q中的任意元具有无限71”1一高,特别地,1具有无限高,若∈Hom(QQ.),则1∈Q.也具有无限p一高,则1=0,因此Horn(Q丌l1Q)=0.如果71”171-2,任意的∈Hom(Q丌¨Q.),由1的像1完全决定,而1∈Q.,因此Horn(Q,Q.)Q..特别地,EndQ=Horn(Q,Q)Q.(d)AutQQ={l=士11p.,Pi∈7r,仃∈z)z2①ZI.特别地,AutQpQ=r,oZ2④Z.这是因为EndQ=Horn(Q,Q)Q,因此AutQQ.若兀m∈Q,则存在p:.兀他∈Q,使1=兀m兀n=兀m佗,贝0mn=1,m=土1.pppp设A:Q0Q.0…0Q此时称是”完全分解”的,首先我们讨论秩为2即=Q0Q.的情形.A=Q0Q的自同态环和自同构群具有下面的矩阵表达形式:EndA竺{I兰三}I∈Itom(p,Q),{,J=1,2},AutA』【【2()可逆,∈H.m(Q,Q)下面按集合71”1和71”2的包含关系分别讨论群A=Q0Q.的白同构群以及自同构群的可解幂零性.(i)当71”171”2,71”271”1时,记71”1=71”2=7r.End[g>(,AutGL2(674数学年刊32卷A辑由于GL2(Z)≤GL2(Q),而GL2(Z)是不可解群,因此GL2(Q)也不可解.GL2(Q)的中5-为CGL2(Q)=)aEQA),铡).易知O.charA,而A=Q0O由引理2.3,知AutAHom(O,O)>日(AutOXAutO)O.(Q.×Q)是可解的,但不是幂零的,事实上,Aut(!)f.∈AutQ.,c∈AutQ~,bEHom(Q,Q:>.若(!)∈~AutA,则()=)=I1c+)=(舌,6=..取是嵌入同态,则.限制在Q等于c,记为..所以()a01),即(~AutA=()I.).若1)∈(~2AutA,则对任意的)∈AutA,有[(6)j(舌tA又(=(.一)一[(),(吾)]=(n0一一ac一-16.)(0一一X--一1)(a..b)(苦Y) =(.1).由于(01)∈<Aut,其中=一a-1bc+X--1yz+a-ix一(6一y)zc=0,对任意的∈Q.,∈Q,Y∈Q成立.若Y=0,即一a-1bc+a-ix_1bzc=0,则b=0,且2C--lyz—a-1-1yzc=0,则a】=c.因此()=()∈(AutA,AutA=(AutA≤AutA,AutA不是幂零群.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群675当I71-2J<..时,AutA=Q.(AutQ×AutQ.)是有限生成的可解群,但不是多循环的,由于Q.不是有限生成的.而超可解是多循环的,因此它不是超可解的.(iii)当71”171”2,7r27r1时,E..%OZI#ll~.,此时AutA是Abel群.因此若AutA是超可解或多循环的,则AutA是幂零的且是Abel的.当且仅当7rl丌2,7r27r1.一般地,有下面定理.定理3.1设A=Q0Q.0…0Q其中Q:{nm}mi,m∈Z},这里.1rk为某些素数的集合,则AutA可解当且仅当对任意的i≠J,71”i≠7rj.证当7’=2时,由前面的叙述(i)一(iii)知AutA可解当且仅当71”1≠71”2.先证充分性.假设对某个i≠J,7I”i=,当k≠i,时,设A1={∈AutAl使在Q上的限制为1,即lQ:1Q),则1是AutA的子群,且A1GL2(Q.),而GL2(Q)是不可解的,从而1是不可解的,于是AutA不可解,与已知矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,亿≠,那么存在一个元,不妨记为丌,满足对任意的i≠r,有丌,否则,必有某两个集合相等,与已知矛盾.这样的丌称为集合{『1≤i≤r)的极大元.显然QcharA,则.r一1,,r一1,AutAHorn(0QQ)>日(Aut0Q×AutQ~r)jt=1i=1,r一1,r一1其中Horn(0QQ)0Horn(QQ)与AutQ都是Abel的,对r进行归,i=1=1 r一1纳,知Aut0Q是可解的,因此AutA是可解的.=1定理3.2设A;Q0Q.0…0Q其中Q:{npmIIYt,,m∈Z},这,pt∈丌’里丌为某些素数的集合,则AutA幂零当且仅当对任意的i≠J,死.证当r=2时,由前面的叙述知道AutA幂零当且仅当丌1/1”2,丌2丌1.先证充分性.如果对某个i≠J,7ri7r{,当k≠i,J时,设A1={∈AutAI使在Q上的限制为1,即lQ=1Q),则A1是AutA的子群,当死:时,A1GL~(Q);当时,AutAQ)日(AutQ×AutQ),而aL2(Q)和Q丌j(AutQ×AutQ丌j)都不是幂零群,因此A1不是幂零的,与AutA幂零矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,7ri,则Horn(QQ)=0.676?数学年刊32卷A辑因此EndAA,AutA(Q)×(Q)×-??×(Q)日≥(z2.z’z’),=1AutA是Abel的,因而是幂零的.推论3.1设A=Q0Q0…0Q其中Q:{兀pmI?gti,m∈Z},这Pl∈.a-k. 里丌为某些素数的集合.则下列条件等价:fa)AutA是多循环的;(b)AutA是超可解的;fC]CAutA是幂零的;(d)AutA是Abel的.注意到群G称为是B的,如果G有一个正规列G=G1>G2>>Gn=1,即G司G,且Gi/Gi+1≤Q或Gi/Gi+l≤Q/z.定理3.3设A=Q0Q0…0Q其中Q={兀pmImt,仇∈z},这Pi∈7rk0里7r为某些素数的集合,则AutA是B1的当且仅当AutA是可解的. 证充分性显然,因为由定义B是可解的.下证必要性.当r=2时,AutAQ>日(AutQ×AutQ.)或AutA=r-oAutQl×AutQ2.若AutAQ:(AutQ×AutQ.),贝40<Q2<QZ2<Q.(Z20Z2)<Q.(Z20Z20Z)<Q>日(Z20Z20Z)<<Q.(Z20Z20Z/】+l.I)=AutA是AutA=Q.(AutQ×AutQ.)的一个正规列,其商因子分别为QZ2,Z2,Z,-? z,而QZ是Q的子群,是O,/Z的子群,因此AutA是B1的.如果AutA=e-,4AutQ1×AutQ2Zg.0Zl10Z20Zl,则AutA是Abel群,且可以分解为和z的直和,因此也是B1的.所以当r=2时,AutA是可解的则是B1的.当r≥3时,由定理3.1,存在一个极大元丌,使QcharA,则AutAHorn((~QQ)×(Al1t0QAutQ).记s=ml7r,1≤i<r)l,有r一1r一1Horn(Q,Q)Horn(Q,Q)Q,6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群677可以得到,r一1,AutAQ(Aut≥Q×AutQ).因Q,AutQ是B1的,由归纳假设Aut0Q是B1的,易知AutA是B1的. 定理3.4设A=Q0Q.0…0Q其中Q={兀pmlmi,m∈Z},这里丌k为某些素数的集合,则(a)EndA(一)可解的充要条件是7i”i≠对任意的i≠J;(b)EndA(一)幂零的充要条件是71”i对任意的i≠J,此时它是Abel的,其中End(一)是由自同态环EndA的加法群以及Lie积Y]=xy—yx构成的相伴Lie环.证先讨论r:2的情形:(i)当71”1=71”2时,EndA=(Q),由于(z)(一)≤(Q)(一)是不可解的,所以M2(Q)(一)不可解;(ii)当丌丌.,7r2丌时,End(Q~l.Q.)(%g),此时它构造的Lie环是可解的不是幂零的,因为[e12,n~22】:e12;(iii)当7r1丌z,7r271”1时,End(Q.Q.)(%.),此时的Lie环是幂零的,并且是交换的.一般地,如果71”i≠对任意的i≠J,则存在一个极大元丌,即7r,设A=B0Q,那么Q是全不变的,Ena(EBH.m),由于EndB(一)是可解的,因此EndA(一)可解.反之,显然有≠霄j对任意的i≠J.这就证明了第一部分.71”i对任意的i≠J,此时EndA0EndQAi是Abel的,因此是幂零的.反之由r=2情形易得对任意的i≠J,7ri参考文献[1]RobinsonDJS.Acourseinthetheoryofgroups[M].2nded.NewY ork:Spri nger—V erlag,1995.【2]KhukhroEI.p-AutomorphismsoffiniteP—groups[M】.Cambridge:Ca mbridgeUniver—sityPress,1998.[31Avifi6MA,SchultzP.Theuppercentralseriesofap-groupactingonaboun dedAbelianP—Group[EB/OL].arXiv:math.GR/0606605.『41Avifi6MA,SchultzP.TheendomorphismringofaboundedAbelianp-gro up[M]//678数学年刊32卷A辑AbelianGroups,RingsandModules,ContemporaryMathematics.V ol273,P rovidence,RI:AmerMathSoc,2001:75—84.[5】FuchsL.InfiniteAbeliangroupsV olI[M].NewY ork:AcademicPress,1970.[6]HausenJ,SchultzP.Themaximalnormalp-subgroupoftheautomorphism groupofanAbelianp-group[J】_ProcAmerMathSoc,1998,216:2525—2533. [7]AlperinJL,BellRB.Groupsandrepresentations[M】.NewY ork:Springe r—V erlag,1995.[8]Avifi6MA.SplittingtheautomorphismgroupofanAbelianp-group 【EB/OL].arXiv:math.GR/0603747.【9]樊恽,黄平安.分裂扩张的稳定自同构群[J].数学年刊,2001,22A(6):791—796.[10】SegalD.Polycyclicgroups[M】.Cambridge:CambridgeUniversityPress,19 83.EndomorphismRingsandAutomorphismGroupsof AbelianGroupswithFinitenessConditionsLIAOJunYANGY an.LIUHeguo. SchoolofMathematicalSciences,PekingUniversity,Beijing100871,China. E—mail:*************.an2DepartmentofMathematics,HubeiUniversity,Wuhan430062,China. E—mail:unicornyy~163.corn3Correspondingauthor.DepartmentofMathematics,HubeiUniversity,Wlu han430062,China.E—mail:ghliu~.ca AbstractLetAbeanAbeliangroupwithmaximumorminimumcondition.Th eauthors givenecessaryandsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Li eringasso—ciatedwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent).Moreove r,necessary andsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Lieringassociate dwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent)forA=Q7r10Q20…0Q 7rarealsogiven.KeywordsAutomorphismgroup,Endomorphismring,Solvable,Nilpotent 2000MRSubjectClassification20K30,20F16,20F18。
第三章 正规子群和群的同态与同构
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G ~ G，
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例 令 G = {全体正负奇数 }，代数运算为数的普通 乘法；
G = {1,−1}关于数的普通乘法 作成群， _ _ 令 ϕ : 正奇数 → 1, G ~ G , G 是群，但 G不是！ 负奇数 → − 1.
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
在 ϕ之下的所有逆象作成的 集合，叫做 ϕ的核 ，记为 ker ϕ .
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G中所有元素在 ϕ之下的象作成的集合， 叫做
ϕ的象集 ，记为 Im ϕ .
结论： 设 ϕ为群 G到群 G 的一个同态映射， K = ker ϕ ,
.
_
则 : (1) ker ϕ
<G , Im ϕ < G; ( 2) ϕ (a ) = ϕ (b ) ⇔ ∀a , b ∈ G , 有 aK = bK . (3）一个同态 ϕ 是单同态 ⇔ Kerϕ = {e } ⊆ G
设N是G的一个正规子群，任取二陪集aN与bN,有
(aN )(bN ) = a ( Nb) N = a (bN ) N = (ab) NN = (ab) N ,
即(aN )(bN ) = (ab) N , 称此为陪集的乘法.
一类非交换群间的同态数量与T.Asai和T.Yoshida猜想的验证
2021年12月伊犁师范大学学报（自然科学版）Dec .2021第15卷第4期Journal of Yili Normal University （Natural Science Edition）Vol.15No.4一类非交换群间的同态数量与T.Asai和T.Yoshida 猜想的验证张维1，郭继东1，2*（1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁835000；2.伊犁师范大学应用数学研究所，新疆伊宁835000）摘要：基于群理论下一类非交换群的群结构和元素的阶，利用数论中同余的基本概念，计算一类非交换群之间的所有同态个数，进而验证T.Asai &T.Yoshida 猜想对这类非交换群成立.关键词：非交换群；同态；T.Asai &T.Yoshida 猜想中图分类号：O152.6文献标识码：A文章编号：2097-0552（2021）04-0010-060引言计算两个群之间的同态个数是有限群论研究的一个重要问题.Frobenius 曾在文献［1］中给出：设C n 为n阶循环群，A 是有限群，则有||Hom ()C n ,A ≡0()mod ()n ,||A ，其中||Hom ()C n ,A 表示n 阶循环群到有限群A 的同态个数.1993年，T.Yoshida 在文献［2］中对Frobenius 定理进行了推广，设A 为有限交换群，B 为有限群，则有||Hom ()A ,B ≡0()mod ()||A ,||B .进一步，T.Asai 和T.Yoshida 将有限交换群替换成任意有限群，给出猜想||Hom ()A ,B ≡0()mod ()||AA',||B ，其中A'是有限群A 的换位子群.文献［3-5］分别计算了二面体群、亚循环群等之间的同态个数，并验证其同态个数对T.Asai 和T.Yoshida 猜想成立.本文基于以上研究具体计算了一类非交换群之间的同态数量，并验证其同态个数满足T.Asai 和T.Yoshida 猜想.称G 4p 2为4p 2阶非交换群，其中p >3是素数，且p ≡1()mod4，如果G 4p 2=|a ,b a p 2=1=b 4,a b =a -1［6］.称G 6q 2为6q 2阶非交换群，其中q 是奇素数，q ≠3且3不整除()q -1，如果G 6q 2=|x ,y x 3q 2=1=y 2,x y =x -1［7］.文中所讨论的G 4p 2和G 6q 2都是有限群，[]a ,b 表示整数a 和b 的最小公倍数，()a ,b 表示a 和b 的最大公因数，其他记号和术语参见文献［8-9］.收稿日期：2021-05-08基金项目：新疆维吾尔自治区高校科研计划自然科学重点项目（XJEDU2020I018）.作者简介：张维（1998—），男，甘肃天水人，硕士研究生，研究方向：有限群理论.*通信作者：郭继东（1965—），男，山东菏泽人，教授，研究方向：有限群理论.张维，郭继东：一类非交换群间的同态数量与T.Asai 和T.Yoshida 猜想的验证第4期1预备知识引理1在G 4p 2中，有a ∩b =1.证明：我们知道a ≤G 4p 2，b ≤G 4p 2，由Lagrange 定理得|||a ∩b ||a且|||a ∩b||b ，所以|||a ∩b(||a ,||b )，由题意知(||a ,||b )=1，所以有|||a ∩b 1，从而||a ∩b =1.故a ∩b =1.引理2如果G 4p 2=|a ,b a p 2=1=b 4,a b =a -1，在G 4p 2中具有如下性质：（1）ο()a i=p 2()p 2,i ，0≤i <p 2；（2）ο()a i b 2=[]ο()a i,2，0≤i <p 2；（3）{}b 2是G 4p 2中的所有二阶元；（4）{}|a i b j 0≤i <p 2,j =1,3是G 4p 2中所有的四阶元.证明：根据生成元的生成关系以及群中元素阶的性质，易证（1）（2）成立.设ο()a i b j =2，其中0≤i <p 2，0≤j <4，当j 是奇数时，()a i b j 2=()b 2j=1，此时j =0,2，这与j 是奇数矛盾.当j 是偶数时，()a i b j 2=()a 2i()b 2j=1，所以有|p 22i 且|42j ，从而有i =0且j =0或2，当j =0时，这与ο()a i b j =2矛盾.所以{}b 2是G 4p 2中的所有二阶元，即性质（3）成立.设ο()a i b j =4，其中0≤i <p 2，0≤j <4，当j 是奇数时，()a i b j 4=()b 4j=1，此时j =1,3.当j 是偶数时，()a ib j 4=()a 4i()b 4j=()a 4i=1，所以有|p 24i ，从而i =0，又因为j 是偶数，即j =0,2，这与ο()a i b j =4矛盾.所以{}|a i b j 0≤i <p 2,j =1,3是G 4p 2中所有的四阶元，即性质（4）成立.引理3在G 4p 2中，G 4p 2的换位子群G'4p2=|a 2a p 2=1.证明：任取a i b j ,a s b t ∈G 4p 2，根据换位子群的定义知：G'4p2=[]a i b j,a s b t，其中0≤i ,s <p 2，0≤j ,t <4.下面分4种情况讨论：当j ,t 为偶数时，[]a i b j ,a s b t =1；当j 为偶数，t 为奇数时，[]a i b j ,a s b t =a -2i ；当j 为奇数，t 为偶数时，[]a i b j,a s b t=a2s；当j ,t 为奇数时，[]a i b j ,a s b t =a 2()i -s .综上，G'4p2=|a 2a p 2=1.引理4如果G 6q 2=|x ,y x 3q 2=1=y 2,x y =x -1，在G 6q 2中有以下性质：(1)ο()x i=3q 2()3q 2,i ，0≤i <3q 2；（2）{}|x i y 0≤i <3q 2是G 6q 2中所有的二阶元.证明：根据生成元的生成关系以及群中元素阶的性质，易证（1）成立.设ο()x i y j =2，其中0≤i <3q 2，j =0,1，当j =1时，()x i y 2=y 2=1；当j =0时，()x i y 2=x 2i =1，则|3q 22i ，于是i =0，这与ο()x i y j =2矛盾.所以{}|x i y 0≤i <3q 2是G 6q 2中所有的二阶元，即性质（2）成立.引理5在G 6q 2中，G 6q 2的换位子群G'6q2=|x 2x 3q 2=1.证明：任取x i y j ,x s y t ∈G 6q 2，根据换位子群的定义知：G'6q2=[]x iy j,x sy t，其中0≤i ,s <3q 2，0≤j ,t <2.下面分4种情况讨论：11伊犁师范大学学报（自然科学版）2021年当j ,t =0时，[]x i y j ,x s y t =1；当j =1，t =0时，[]x i y j ,x s y t =x 2s ；当j =0，t =1时，[]x i y j ,x s y t =x -2i ；当j ,t =1时，[]x i y j ,x s y t =x 2()i -s .综上，G'6q2=|x 2x 3q 2=1.引理6设A 和B 是两个有限群，Hom ()A ,B 是A 到B 的所有同态构成的集合，则任取a ∈A 和θ∈Hom ()A ,B ，恒有|ο()a θο()a .证明：易证.2主要定理及其证明定理1设q 是奇素数，q ≠3且3不整除()q -1；p >3是素数且p ≡1()mod4，则（1）当p ≠q 时，||||||Hom ()G 4p 2,G 6q 2=1+3q 2；（2）当p =q 时，||||||Hom ()G 4p 2,G 6q2=1+3q 4.证明：任取θ∈Hom ()G4p2,G 6q2，因为()b 4θ=()b θ4=1，所以有|ο()b θ4.又因为b θ∈G 6q 2，所以|ο()b θ6q 2，从而有|ο()b θ()6q 2,4，即|ο()b θ2()3q 2,2，由于()q 2,2=1，所以|ο()b θ2.由G 6q 2中元素的性质可知b θ∈{}1⋃{}|x i y 0≤i <3q 2.又()ap 2θ=()aθp 2=1，所以有|ο()a θp 2.又因为a θ∈G 6q 2，所以|ο()a θ6q 2，从而有|ο()a θ()6q 2,p 2，即|ο()a θ()q 2,p 2，再根据G 6q 2中元素的性质可知，则当p ≠q 时，a θ∈{}1，当p =q 时，a θ∈{}|x i |ο()x i q 2,0≤i <3q 2.下面分4个断言来证明定理1：断言1设θ:G 4p 2→G 6q 2()a ↦1,b ↦1，则θ为群同态.显然此时θ为平凡同态.所以此时群同态θ只有1种选择.断言2设θ:G 4p 2→G 6q 2()a ↦1,b ↦x i y ，其中0≤i <3q 2，则θ为群同态.事实上，θ∈Hom ()G 4p 2,G 6q 2，由于ab =ba -1，所以有()ab θ=()ba -1θ，可得()ab θ=a θb θ=x i y 和()ba -1θ=b θ()a θ-1=x i y ，显然x i y =x i y .因为a θ=1，b θ=x i y ，对于任意的a s b t ∈G 4p 2，其中0≤s <p 2，0≤t <4，所以令()a s b t θ=()x i y t.设任意的a s 1b t 1,a s 2b t 2∈G 4p 2，如果a s 1b t 1=a s 2b t 2，则通过引理1有a s 1-s 2=bt 2-t 1∈a ∩b =1，所以有|4t 2-t 1，从而有t 2=t 1.所以有()x i y t 1=()x i y t 2，从而()a s 1b t 1θ=()a s 2bt 2θ，所以θ为映射.任取a s 1b t 1,a s 2b t 2∈G 4p 2，当t 1为奇数时，一方面()a s 1b t 1a s 2b t 2θ=()a s 1-s 2b t 1+t 2θ=()x iy t 1+t 2，另一方面()a s 1b t 1θ()a s 2b t 2θ=()x iy t 1()x iy t 2=()x iy t 1+t 2，从而有()a s 1b t 1a s 2b t 2θ=()a s 1b t 1θ()a s 2b t 2θ.当t 1为偶数时，一方面()a s 1b t 1a s 2b t 2θ=()a s 1+s 2b t 1+t 2θ=()x iy t 1+t 2，另一方面()a s 1b t 1θ()a s 2b t 2θ=()x iy t 1+t 2，从而有()a s 1b t 1a s 2b t 2θ=()a s 1b t 1θ()a s 2b t 2θ，故θ为群同态.此时a θ有1种选择，b θ有3q 2种选择，所以群同态θ有3q 2种12张维，郭继东：一类非交换群间的同态数量与T.Asai 和T.Yoshida 猜想的验证第4期选择.断言3设θ:G 4p 2→G 6q 2()a ↦x i ,b ↦1，其中|ο()x i q 2，0≤i <3q 2，则θ为群同态的充分必要条件是i =0.若θ∈Hom ()G 4p 2,G 6q 2，由于ab =ba -1，所以有()ab θ=()ba -1θ，可得()ab θ=a θb θ=x i 和()ba -1θ=b θ()a θ-1=x -i ，即x 2i =1，所以|3q 22i ；再由于0≤i <3q 2，从而有i =0.反之，当i =0时，a θ=1，b θ=1为平凡同态.此时群同态θ有1种选择.断言4设θ:G 4p 2→G 6q 2()a ↦x i ,b ↦x j y ，其中|ο()x i q 2，0≤i ,j <3q 2，则θ为群同态.同定理1断言2的证明.此时首先b θ有3q 2种选择，令ο()x i =r ，知x i 中有φ()r 个r 阶元.又|r q 2，故a θ有∑|r q 2φ()r 种选择，而∑|r q 2φ()r =q 2，所以θ有3q 4种选择.综上所述，由断言1、2知（1）成立，由断言3、4知（2）成立.定理2q 是奇素数，q ≠3且3不整除()q -1；p >3是素数且p ≡1()mod4，则()1当p ≠q 时，||||||Hom ()G 6q 2,G 4p 2=2；()2当p =q 时，||||||Hom ()G 6q 2,G 4p 2=2.证明：设θ∈Hom ()G 6q2,G 4p2，因为()y 2θ=()y θ2=1，所以有|ο()y θ2.又因为y θ∈G 4p 2，所以|ο()y θ4p 2，从而有|ο()y θ()4p 2,2，即|ο()y θ2()2p 2,1，所以|ο()y θ2.由G 4p 2中元素的性质可知y θ∈{}1⋃{}b 2.由()x 3q θ=()x θ3q =1，所以有|ο()x θ3q 2.又因为x θ∈G 4p 2，所以|ο()x θ4p 2，从而有|ο()x θ()3q 2,4p 2，即|ο()x θ()q 2,p 2，再根据G 4p 2中元素的性质可知，当p ≠q 时x θ∈{}1.当p =q 时，x θ∈{}|a i b 2|ο()a i b 2p 2,0<i <p 2⋃{}|a i |ο()a i p 2,0≤i <p 2.下面分6个断言证明定理2：断言1设θ:G 6q 2→G 4p 2()x ↦1,y ↦1，则θ为群同态.显然此时θ为平凡同态.所以此时群同态θ只有1种选择.断言2设θ:G 6q 2→G 4p 2()x ↦1,y ↦b 2，则θ为群同态.若θ∈Hom ()G 6q 2,G 4p 2，由xy =yx -1，有()xy θ=()yx -1θ，可得()xy θ=x θy θ=b 2和()yx -1θ=y θ()x θ-1=b 2，即有b 2=b 2.显然θ为映射.任取x s 1y t 1,x s 2y t 2∈G 6q 2，当t 1=0时，一方面()x s 1x s 2y t 2θ=()b 2t 2，另一方面()xs 1θ()x s 2yt 2θ=()b 2t 2，所以()x s 1x s 2y t 2θ=()xs 1θ()x s 2y t 2θ.当t1=1时，一方面()x s 1yx s 2y t 2θ=()xs 1-s 2y1+t 2θ=()b 21+t 2，另一方面()x s 1y θ()x s 2y t 2θ=()b 2()b 2t 2=()b 21+t 2，所以()x s 1yx s 2yt 2θ=()x s 1y θ()x s 2yt 2θ，故θ为同态.此时θ有1种选择.13伊犁师范大学学报（自然科学版）2021年断言3设θ:G 6q 2→G 4p 2()x ↦a i b 2,y ↦1，其中|ο()a i b 2p 2，0<i <p 2，则此时群同态θ不存在.若θ∈Hom ()G 6q 2,G 4p 2，由xy =yx -1有()xy θ=()yx -1θ，可得()xy θ=x θy θ=a i b 2和()yx -1θ=y θ()x θ-1=b -2a -i ，从而a i b 2=b -2a -i ，即()a i b 22=1，所以a 2i b 4=a 2i =1，从而|3q 22i ，得到i =0，这与0<i <p 2矛盾.所以此时群同态θ不存在.断言4设θ:G 6q 2→G 4p 2()x ↦a i b 2,y ↦b 2，其中|ο()a i b 2p 2，0<i <p 2，则此时群同态θ不存在.同定理2断言3的证明.断言5设θ:G 6q 2→G 4p 2()x ↦a i ,y ↦1，其中|ο()a i p 2，0≤i <p 2，则此时θ为群同态的充分必要条件是i =0.事实上，θ∈Hom ()G 6q 2,G 4p 2，由xy =yx -1有()xy θ=()yx -1θ，可得()xy θ=x θy θ=a i 和()yx -1θ=y θ()x θ-1=a -i ，从而a i =a -i ，即a 2i =1，从而|3p 22i ，得到i =0.反之，当i =0时，x θ=1，y θ=1，显然θ为平凡同态.此时θ有1种选择.断言6设θ:G 6q 2→G 4p 2()x ↦a i ,y ↦b 2，其中|ο()a i p 2，0≤i <p 2，则此时θ为群同态的充分必要条件是i =0.同定理2断言2和断言5的证明，此时群同态θ有1种选择.综上所述，由断言1、2知（1）成立，由断言3～6知（2）成立.定理3设q 是奇素数，q ≠3且3不整除()q -1；p >3是素数且p ≡1()mod4，则||||||Hom ()G 4p 2,G 6q 2≡0()mod ()||||||G 4p2G'4p 2,||G 6q 2.证明：由引理3知，||||||G 4p2G'4p 2=4，易知||G 6q 2=6q 2，所以()||||||G 4p 2G'4p 2,||G 6q 2=()4,6q 2=2.因此由定理1知，群G 4p 2到群G 6q 2的同态个数满足T.Asai 和T.Yoshida 猜想，即||||||Hom ()G 4p 2,G 6q 2≡0()mod ()||||||G 4p2G'4p 2,||G 6q 2.定理4设q 是奇素数，q ≠3且3不整除(q -1)；p >3是素数且p ≡1()mod4，则||||||Hom ()G 6q 2,G 4p 2≡0()mod ()||||||G 6q2G'6q 2,||G 4p 2.证明：由引理5知||||||G 6q2G'6q 2=2，易知||G 4p 2=4p 2，所以()||||||G 6q 2G'6q 2,||G 4p 2=()2,4p 2.因此由定理2知，群G 6q 2到群G 4p 2的同态个数满足T.Asai 和T.Yoshida 猜想，即||||||Hom ()G 6q 2,G 4p 2≡0()mod ()||||||G 6q 2G'6q 2,||G 4p 2.参考文献：［1］FROBENIUS G.Uber Einen Fundamentalsatz der Grouppentheorie ［M ］.Gesammelte Abhandlungen.Berlin ：Springer -Verlag ，1903：330-334.［2］YOSHIDA T.Hom （A ，G ）［J ］.Journal of Algebra ，1993，156（1）：125-156.［3］李红霞，郭继东，海进科.二面体群到一类亚循环群之间的同态个数［J ］.山东大学学报（理学版），2019，54（6）：34-40.［4］张良，海进科.亚循环群到亚循环群之间的同态个数［J ］.山东大学学报（理学版），2018，53（6）：17-22.［5］赖吉娜，郭继东.一类非交换群与二面体群之间的同态个数［J ］.山东大学学报（理学版），2020，55（12）：30-36.14张维，郭继东：一类非交换群间的同态数量与T.Asai 和T.Yoshida 猜想的验证第4期The Number of Homomorphisims between a Class of Non -abelian Groups and Varificationof T.Asai &T.Yoshida ConjectureZhang Wei 1,Guo Jidong 1,2*（1.College of Mathematics and Statistics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China;2.Institute of Applied Mathematics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China ）Abstract:Based on the structure of a class of non -abelian groups and the order of the elements in groups theory,the number of homomrphisms between a class of non -abelian groups is calculated by using the basic concept of congrence in number theory.As an application,of T.Asai &T.Yoshida is proved to be valid for such non -abelian groups.Key words:non -abelian groups;homomorphisim;conjecture of T.Asai &T.Yoshida［6］杨芳平，曹洪平，陈贵云.4p 2阶群的非交换图及其对群结构的影响［J ］.西南大学学报（自然科学版），2009，31（08）：114-120.［7］李丽，曹洪平.一类6p 2阶群的非交换图及其对群结构的影响［J ］.西南大学学报（自然科学版），2012，34（06）：69-73.［8］徐明曜.有限群导引：上册［M ］.北京：科学出版社，1999：001-287.［9］闵嗣鹤，严士健.初等数论［M ］.北京：高等教育出版社，2006：001-216.【责任编辑：张建国】15。
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0 0 : α 44 ∈ Aut ( H 4 ) 0 1 0 0 0 α 44
xi ， si 分别为模 p βi 的原根，即有 α ii ( xi ) = xisi ，其中 1 ≤ i ≤ 4 ，于是 α ii 生成 Aut ( H i ) ，进 且 C p βi ≅ H i =
方树珍，周芳
摘
要
设 C pβ i 是 p β i 阶的循环群，其中 p 为素数， 1 ≤ i ≤ 4 。J. N. S. Bidwell利用矩阵表示方法得到了没有共同 直 因 子 的 直 积 C p m × C p n 和 C p β1 × C p β 2 × C p β 3 的 自 同 构 群 。 本 文 采 用 同 样 的 方 法 得 到 了 直 积
−1 而 Aii 是阶为 ϕ p βi 的循环群；进一步， ti = si−1 mod p βi ，于是 α ii ( xi ) = xiti 。
( )
(
)
另若 i < j ，有 α ij ( x j ) = xip
βi − β j
；若 i > j ，有 α ij xij = xi ，则 α ij 生成 Hom H j , H i ，进而 Aij ( i ≠ j ) 是
The Automorphism Group of A Class of Abelian p-Group
Shuzhen Fang, Fang Zhou
Department of Mathematics, Taiyuan Normal University, Jinzhong Shanxi
th th th
0 0 1 0
0 0 0 1
a 12 1−t1 −1 由于 α12 − α11 。 = a11a12 α12 = (1 − t1 ) α12 ，于是 a11
a13 a14 1− t1 1− t1 类似计算结果有 a11 ， a11 。 = a11a14 = a11a13
a21 a11
C pβ1 × C pβ 2 × C pβ 3 × C pβ4 的自同构群的生成元和生成关系。
关键词
自同构群，循环群，矩阵表示，直积
1. 引言
设群 G = C p β1 × C p β2 × C p β3 × C p β4 ，其中 p 为素数， βi ( i = 1, 2, 3, 4 ) 互不相同， C p βi 为 p βi 阶的循环群。 J. N. S. Bidwell 在文献[1] [2] [3]给出了没有共同直因子直积的自同构群的结构， 并通过矩阵表示方法得到 了直积 C p m × C p n ， C p β1 × C p β2 × C p β3 的自同构群，其中 m, n 互不相同，并通过 GAP 软件计算了直积 周芳等人在文献[4]中利用该方法得到了给定半直积的稳定自同构群可分解为 C p β1 × × C p βn 的自同构群， 若干结构简单的特殊子群乘积的充要条件。 本文中我们用矩阵表示的方法计算了 C p β1 × C p β2 × C p β3 × C p β4 的 自同构群，得到了该自同构群的生成元和生成关系。本文的符号是标准的，见[1]。
2. 主要内容
设 G = C p β1 × C p β2 × C p β3 × C p β4 ，其中 p 为素数， β1 , β 2 , β3 , β 4 互不相同，不失一般性，设
β1 > β 2 > β3 > β 4 ，由[1]可得 Aut ( G ) ≅ = A11 A12 A13 A14 A21 A22 A23 A24 A31 A32 A33 A34 A41 A42 A43 A44 ，其中
一类交换p-群的自同构群
方树珍，周 芳
太原师范学院数学系，山西 晋中
收稿日期：2016年12月25日；录用日期：2017年1月10日；发布日期：2017年1月13日
文章引用: 方树珍, 周芳. 一类交换 p-群的自同构群[J]. 理论数学, 2017, 7(1): 20-29. /10.12677/pm.2017.71004
α11 0 0 0 0 1 0 0 令 a11 = = ,a 0 0 1 0 12 0 0 0 1
ϕ p βi , i = j 。 有 o ( aij ) = β max( i , j ) , i≠ j p
于是 = a11 , a12 , a13 , a14 , a21 , a22 , a23 , a24 , a31 , a32 , a33 , a34 , a41 , a42 , a43 , a44 。
akk akl akl 计算，当 通过对 aij = i j= , k l ，有 aii = aii ；当 i ≠ l , j ≠ k , l ，有 aij = aij 。
( )
根据矩阵主对角线元素的顺序，首先计算 a11 的共轭关系，
a12 a11
1 −α12 0 0 α11 0 0 0 1 α12 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
Received: Dec. 25 , 2016; accepted: Jan. 10 , 2017; published: Jan. 13 , 2017 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
−1 α12 α11 0 0 0 1 α12 − α11 0 1 0 0 0 1 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
α11 α11α12 − α12 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
我们得到 a11 的共轭关系如下：
a 13 a 12 1−t1 1−t1 a 14 1−t1 ， a11 ， a11 ， a11 = a11a12 = a11a14 = a11a13 a 23 a 22 a 24 a 21 t1 −1 a11 = a21 a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 ， a 33 a 32 a 34 a 31 t1 −1 a11 = a31 a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 ， a 43 a 42 a 44 a 41 t1 −1 a11 = a41 a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 ， a11 = a11 。
Open Access
Abstract
Let C pβ i be the cyclic group of order p β i where p is a prime number, and 1 ≤ i ≤ 4 . Using matrix representation, J. N. S. Bidwell got the automorphisms of direct products C pm × C pn , and C pβ1 × C pβ 2 × C pβ 3 which have no common direct factor. In this paper, the generators of the
a32 a22
0 0 01 0 0 01 0 0 0 1 0 1 0 0 0 α 22 0 0 0 1 0 0 = 0 −α 32 1 0 0 0 1 0 0 α 32 1 0 0 0 10 0 0 10 0 0 1 0 1 0 = 0 −α 32 0 0 1 −1 + α 32α 22 0 0 0 1 0 01 0 0 0 α 22 00 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 1
α11 0 0 0 −α 21α11 + α 21 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
a21 t1 −1 −1 由于 −α 21 + α 21α11 = a21 a11 。 = ( t1 − 1) α 21 ，于是 a11 a31 t1 −1 a41 t1 −1 类似计算结果有 a11 = a31 a11 ， a11 = a41 a11 。
−1 22
0 1 0 0 α 22 α 22α 23 − α 23 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1
1 α 23 − α α 23 1 0
0 0 0 1
a23 −t 2 −1 由于 α 23 − α 22 = a22 a1 α 23 = (1 − t2 ) α 23 ，于是 a22 23 。 a24 −t 2 类似计算结果有 a22 = a22 a1 24 。
( )
(
)
21
方树珍，周芳
β max ( i , j )
阶为 p
的循环群，其中 1 ≤ i, j ≤ 4 。
1 α12 0 0 1 0 0 0 = , , a44 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 α 44 0 0
Pure Mathematics 理论数学, 2017, 7(1), 20-29 Published Online January 2017 in Hans. /journal/pm /10.12677/pm.2017.71004
α11 0 0 0 0 1 0 0 = A11 : α11 ∈ Aut ( H1 ) , 0 0 1 0 0 0 0 1 1 α12 0 1 = A12 0 0 0 0 1 0 = A44 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 : α12 ∈ Hom ( H 2 , H1 ) , 1 0 0 1