3-5群的自同构群.ppt
合集下载
基本形群化构成ppt课件
ppt课件完整
11
四、基本形群化构成作品范例
基本形群化构成作品
ppt课件完整
基本形群化构成作品 12
ppt课件完整
13
ppt课件完整
14
ppt课件完整
15
ppt课件完整
16
ppt课件完整
17
作业
• 设计一个基本形，并用这个基本形作9种不同的群化组合。
• 要求：基本形设计的形象要简洁，连接排列组合成新形，各 得到不同的图形效果。
精选ppt图425旋转放射式放置图426旋转放射式放置图427旋转放射式放置图428旋转放射式放置精选ppt按不同的方向自由放置只要画面中的图形具有较为稳定的平衡关系基本形的位置关系在符合形式美法则的前提下可相对灵活地运用按不同的方向自由放置按不同的方向自由放置精选ppt10图431按不同的方向自由放置图432按不同的方向自由放置精选ppt11三群化构成的基本要求
ppt课件完整
9
图4-31 按不同的方向自由放置
图4-32 按不同的方向自由放置
ppt课件完整
10
三、群化构成的基本要求： • 群化构成要求简练、醒目，所以基本形的数
量不宜过多，基本形要简练、概括 ； • 基本形的位置关系要适当，相互之间可以交
错、重叠、透叠，避免形成过于松散或过于 拥挤的现象； • 构成的群化图形外形要完整、美观； • 注意画面的平衡和稳定。
ppt课件完整
7
图4-25 旋转放射式放置
图4-26 旋转放射式放置
图4-27 旋转放射式放置
图4-28 旋转放射式放置
ppt课件完整
8
3. 按不同的方向自由放置
只要画面中的图形具有较为稳定的平衡关系，基本形的位置关系在 符合形式美法则的前提下，可相对灵活地运用
群论第二章ppt
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
11
§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
4
§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
3-5群的自同构群.ppt
2018/1/10 16:35
于是易知 1 n(A) : A 0 1 是G到自身的一个映射 .又由于 1 ( AB) ( 0 n( AB) 1 ) 0 1 n( A) n( B ) 1
1 n( A) 1 n( B ) ( A) ( B ), 0 1 0 1 故是群G的一个自同态映射 .但是, 把中心元素 2 0 1 0 2 却变成非中心元素 0 不是全特征子群 .
2018/1/10 16:35
(H ) H ,
则称H为群G的一个全特征子群. 全特征子群一定是特征子群.
例2 群G的中心C是G的一个特征子群. 证 : 任取c C, x G, AutG, 则
(c)x (c) [ (x)] [c (x)]
-1 -1
由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有 (n) 个生成元,从而其自同构群分别为2阶循环
2018/1/10 16:35
群和
(n) 阶群.
推论2 无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同 构群同构. 定理3 设G是一个群, a G. 1)
则
a : x axa1 ( x G)
是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;
2018/1/10 16:35
小结 1.群的自同构群的概念，循环群的自同构群。 2.内自同构群，特征子群，全特征子群。 作业： 5.6
2018/1/10
16:35
2018/1/10
2 ,因此, G的中心 1
16:35
例4 证明:循环群G=<a>的子群都是全特征子群.
全特征子群、特征子群和正规子群间的关系是
全特征子群 特征子群 正规子群
于是易知 1 n(A) : A 0 1 是G到自身的一个映射 .又由于 1 ( AB) ( 0 n( AB) 1 ) 0 1 n( A) n( B ) 1
1 n( A) 1 n( B ) ( A) ( B ), 0 1 0 1 故是群G的一个自同态映射 .但是, 把中心元素 2 0 1 0 2 却变成非中心元素 0 不是全特征子群 .
2018/1/10 16:35
(H ) H ,
则称H为群G的一个全特征子群. 全特征子群一定是特征子群.
例2 群G的中心C是G的一个特征子群. 证 : 任取c C, x G, AutG, 则
(c)x (c) [ (x)] [c (x)]
-1 -1
由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有 (n) 个生成元,从而其自同构群分别为2阶循环
2018/1/10 16:35
群和
(n) 阶群.
推论2 无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同 构群同构. 定理3 设G是一个群, a G. 1)
则
a : x axa1 ( x G)
是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;
2018/1/10 16:35
小结 1.群的自同构群的概念，循环群的自同构群。 2.内自同构群，特征子群，全特征子群。 作业： 5.6
2018/1/10
16:35
2018/1/10
2 ,因此, G的中心 1
16:35
例4 证明:循环群G=<a>的子群都是全特征子群.
全特征子群、特征子群和正规子群间的关系是
全特征子群 特征子群 正规子群
第9讲 群的同构与同态
同态保持元素的性质
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
2019/9/15
7
同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
幂运算规则
2019/9/15
22
题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG，|x|>2，则 xx-1
由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个.
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|,
f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
2019/9/15
5
群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
2019/9/15
6
同态映射的性质1
2019/9/15
16
同态基本定理推论
(同态基本定理)若G’为G 的同态像 （f(G)=G’），则G/kerf ≅G’.
|f(G)|整除于|G|
2019/9/15
17
小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
2019/9/15
7
同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
幂运算规则
2019/9/15
22
题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG，|x|>2，则 xx-1
由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个.
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|,
f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
2019/9/15
5
群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
2019/9/15
6
同态映射的性质1
2019/9/15
16
同态基本定理推论
(同态基本定理)若G’为G 的同态像 （f(G)=G’），则G/kerf ≅G’.
|f(G)|整除于|G|
2019/9/15
17
小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
第三章正规子群和群的同态与同构
则称为群G到群 G 的一个同态映射.
Taishan University
山东省成人高等教育品牌专业网络课程
抽象代数
复习回顾:
当 又是满射时,则称群 G与 G同态,
记为 G ~ G.
当是一个双射时, 称为群G到G
的一个同构映射.如果群G到 G 存在同构 映射,就称群 G与G同构,记为 G G.
Taishan University
抽象代数
定理5 设G是一个 pn阶有限交换群,其中 p是一个素数,则 G 有 p阶元素,从而有p 阶子群.
提示:对n用数学归纳法可证.
推论 pq ( p, q为互异素数) 阶交换群必为
循环群.
Taishan University
山东省成人高等教育品牌专业网络课程
抽象代数
三 哈密顿群和单群
定义2 设 G 是一个非交换群.如果G 的每个子群都是的正规子群,则称 G是一个 哈密顿群.
C(G) G . 例2 设 H S3 , 其中H ((123)) {(1),(123),(132)}
易知 H S3 .但是 S3 的.三个子群
H1 {(1),(12)}, H2 {(1),(13)}, H3 {(1),(23)}
都不是 S3 的正规子群.
Taishan University
但 G是群,故由 e 2 e 可知，e 是G的单位元.
至于(a1) (a)1 可由定理1直接得到.
Taishan University
山东省成人高等教育品牌专业网络课程
抽象代数
定理2 设 是群G 到群G的一个同态映射
(不一定是满射), 则 1）当 H G时,有(H) G,且H ~ (H );
抽象代数
证 1)设 NG, H G,任取nh NH,(n N,hH), 由于hN Nh ,故 nh Nh hN HN, 从而NH HN. 同理可得 NH HN. 因此 NH HN ,从而 NH G.
Taishan University
山东省成人高等教育品牌专业网络课程
抽象代数
复习回顾:
当 又是满射时,则称群 G与 G同态,
记为 G ~ G.
当是一个双射时, 称为群G到G
的一个同构映射.如果群G到 G 存在同构 映射,就称群 G与G同构,记为 G G.
Taishan University
抽象代数
定理5 设G是一个 pn阶有限交换群,其中 p是一个素数,则 G 有 p阶元素,从而有p 阶子群.
提示:对n用数学归纳法可证.
推论 pq ( p, q为互异素数) 阶交换群必为
循环群.
Taishan University
山东省成人高等教育品牌专业网络课程
抽象代数
三 哈密顿群和单群
定义2 设 G 是一个非交换群.如果G 的每个子群都是的正规子群,则称 G是一个 哈密顿群.
C(G) G . 例2 设 H S3 , 其中H ((123)) {(1),(123),(132)}
易知 H S3 .但是 S3 的.三个子群
H1 {(1),(12)}, H2 {(1),(13)}, H3 {(1),(23)}
都不是 S3 的正规子群.
Taishan University
但 G是群,故由 e 2 e 可知，e 是G的单位元.
至于(a1) (a)1 可由定理1直接得到.
Taishan University
山东省成人高等教育品牌专业网络课程
抽象代数
定理2 设 是群G 到群G的一个同态映射
(不一定是满射), 则 1）当 H G时,有(H) G,且H ~ (H );
抽象代数
证 1)设 NG, H G,任取nh NH,(n N,hH), 由于hN Nh ,故 nh Nh hN HN, 从而NH HN. 同理可得 NH HN. 因此 NH HN ,从而 NH G.
2~4阶群的自同构群的结构
2~4阶群的自同构群的结构自同构群是一类拥有了像组合结构的群，它是指把有限环作为元素构成的一个集合，其中满足某种自同构关系。
在群论研究中被称为自同构群，它们在数学上具有重要的地位，在计算机科学和加密中发挥重要作用。
一般来说，所有的自同构群都可以分解成2~4阶的群，其中2阶的群就是交换群，3阶群就是由环构成的，4阶群则包括了更多的情形。
其中，2阶自同构群的结构比较简单，它仅仅由有限的交换元素来构成，并且满足一定的自同构关系。
它可以分解成一组有限的整数和一组有限的换位元素，而有限的整数可以用来表示交换元素之间的关系，换位元素可以表示最终的关系。
3阶自同构群结构比较复杂一些，它由三元组(a,b,c)构成，其中a，b，c表示三元素的标标识符，并且满足(a,b,c)=(b,c,a)的自同构关系。
3阶自同构群可以分解成一组有限的整数和一组有限的换位元素以及一组特殊的函数，有限的整数可以用来表示三元素之间的关系，换位元素可以表示最终的关系，而特殊的函数则可以表示该组中各元素之间分配的权重。
4阶自同构群则更加复杂，它由由4元组(a,b,c,d)构成，其中a，b，c，d分别表示4元组的标标识符，并且满足(a,b,c,d)=(b,c,d,a)的自同构关系。
此外，4阶自同构群还可以分解成由一组有限的整数和一组有限的换位元素以及一组特殊的函数组成，并且以上提到的有限整数和特殊函数可以用来表示4元素之间的关系。
最后，换位元素可以表示最终的关系。
自同构群的结构具有复杂的特征，是一类非常重要的群，且其在计算机科学和加密中发挥着重要的作用。
2~4阶的自同构群的结构可以分解成由一组有限的整数和一组有限的换位元素以及一组特殊的函数组成，具体的细节取决于该群的阶数。
群论讲义
第一章 抽象群基础§1.1 群【定义1.1】 G 是一个非空集合，G =｛…，g ，…｝，“· ” 为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G 及其运算满足以下四个条件： （1）封闭性：∀f, g ∈G , f ·g=h , 则h ∈G ; （2）结合律：∀f, g, h ∈G ，（f ·g ）·h ＝f ·(g ·h ); （3）有单位元：∃e ∈ G , ∀f ∈ G , f ·e ＝e ·f ＝f;（4）有逆元素：∀f ∈G ，∃f -1 ∈G , 使f ·f -1= f -1·f = e; 则称G 为一个群，e 为群G 的单位元，f --1为f 的逆元。
·系1. e 是唯一的。
若e 、e ´ 皆为G 的单位元，则e ·e ´= e ´，e ·e ´= e ，故e ´= e 。
·系2. 逆元是唯一的。
若存在f 的两个逆元f ´=f"，则f''f''e f''f)(f'f'')(f f'e f'f'=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=, 即''f f'= ·系3 e –1 = ee –1 = e -1·e = e , 即：e –1 = e 。
·系4 若群G 的运算还满足交换律，∀f ，g ∈G , 有f ·g=g ·f , 则称G 为交换群，或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。
通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1 整数集{z }及其上的加法+单位元为0, 逆元z -1 = -z ,构成整数加法群。
基础代数第二章
由 是满同态可知， ( H ) G / N .
反过来， 如果 H 是 G / N 的一个正规子群， 那么对于所 有的 x G ，有 ( x 1 1 ( H ) x) ( x) 1 H ( x) H . 即 x 1 1 ( H ) x 1 ( H ) . 这就是说， 1 ( H ) 也是 G 的正规子群.
显然有 N HN ，且 ( HN ) ( H ) . 由同态基本定理，我们有 HN / N ( H ) . 从而我们有 HN / N H / H N .
2012/10/9 1 群的同态定理 7
§2 循环群
设 G 是一个群， S 是 G 的一个非空子集合， 由 S 生成的子群， 记为 S H .
2012/10/9 1 群的同态定理 6
定理 3:设 H ＜G ， N G .则有同构 HN / N H / H N .
证明：设 N G ， ：G G / N ，而 H 是 G 的任意一个子群.显然 有 ( H ) < G / N .限制在 H 上， 的核为 H N ，而 H N 显 然是 H 的一个正规子群. 由同态基本定理，我们有 H / H N ( H ) . 另一方面，我们不难验证 HN G ： 任取 h1, h2 H ， n1 , n2 N ， (h1n1 )(h2 n2 ) h1 (h2 h2 1 )n1h2 n2 h1h2 (h2 1n1h2 )n2 HN ， (h1n1 ) 1 n11h11 h11 (h1n11h11 ) HN .
2012/10/9
m m ，因而 ɡs 的阶为 . d d
2 循环群 13
引理：设交换群 G 中元素 ɡ, h 的阶分别为 m , n 且 (m, n) 1， 于是 ɡh 的阶为 mn .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[ (x)c] [ (x)] (c) x (c),
1 -1
即 (c) C, (C) C.即C是G的一个特征子群 .
2018/1/10 16:35
例3 有理数域Q上的2阶线性群G=Gl2(Q)的中心(Q 上的所有2阶纯量矩阵)不是全特征子群.
证 : 任取A G, 即A为有理数域Q上的一个2阶满秩 方阵, 则行列式A 是个有理数.因此可令 b n(A) A 2 , a 其中a , b为奇数, n(A)是与A有关的整数. 由于 AB A B , 故有 n(AB) n(A) n(B).
2018/1/10 16:35
(H ) H ,
则称H为群G的一个全特征子群. 全特征子群一定是特征子群.
例2 群G的中心C是G的一个特征子群. 证 : 任取c C, x G, AutG, 则
(c)x (c) [ (x)] [c (x)]
-1 -1
a b (x) a ( b (x)) a (bxb-1 )
-1 a(bxb-1 )a -1 (ab)x(ab) ab (x)
2018/1/10
16:35
. 即 a b ab仍为G的一个内自同构 又易知 a 是 a的逆元, 即 a
1 1
a -1 .
2018/1/10 16:35
小结 1.群的自同构群的概念，循环群的自同构群。 2.内自同构群，特征子群，全特征子群。 作业： 5.6
2018/1/10
16:35
2018/1/10
2 ,因此, G的中心 1
16:35
例4 证明:循环群G=<a>的子群都是全特征子群.
全特征子群、特征子群和正规子群间的关系是
全特征子群 特征子群 正规子群
定理4 设C是群G的中心,则
InnG G C
证:易知
2018/1/10 16:35
展台设计
. 作成一个子群 因此, InnG Aut G, 即InnG , a 是G的任意一个 3)设是G的任意一个自同构 .任取x G, 令 1 (x) y,即 (y) x,则 内自同构
a 1 (x) a (y) (aya-1 ) (a -1 ) (a)x (a)-1 (a) (y)
编辑：cvdfbgnyhtt993456
2018//10
16:35
: a a
(a G )
是群G到InnG的一个满射 .又由定理2知 ab a b , 即 (ab) (a) (b),故G ~ InnG. 又若 a 是G的恒等自同构 , 即对G中任意元素x 都有 a (x) x,即有axa-1 x , ax xa, 则a C. 反之, 任取c C, 则显然 c是G的恒等自同构 ,故 C Ker . 于是由群同态基本定理 知, InnG G C.
2018/1/10 16:35
于是易知 1 n(A) : A 0 1 是G到自身的一个映射 .又由于 1 ( AB) ( 0 n( AB) 1 ) 0 1 n( A) n( B ) 1
1 n( A) 1 n( B ) ( A) ( B ), 0 1 0 1 故是群G的一个自同态映射 .但是, 把中心元素 2 0 1 0 2 却变成非中心元素 0 不是全特征子群 .
(a) (x) .故 即 a 1 (a)仍是G的一个内自同构 Aut G InnG
2018/1/10 16:35
定义1 对群G的所有自同构都不变的子群,亦即对 G的任何自同构
都有
(N ) N
的子群N,叫做G的一个特征子群.
特征子群一定是正规子群反之不成立. 定义2 设H是群G的一个子群.如果H对G的每个自同 态映射都不变,即对G的每个自同态映射 都有
例1 求Klein四元群
K4 {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
的自同构群.
2018/1/10 16:35
解 : 把K 4的四个元素依次记为 e, a , b, c.再令x, y,z 代表a, b, c ,中三个不同的元素 , 则xyz是a, b, c的任 意一个排列 .由于自同构把单位元变 成单位元, 故 根据K 4中元素的乘法易知 , 置换 e a b c e x y z 是K 4的一个自同构 .由于三个元素共有 3! 6个排列, 从而K 4共有6个自同构 .因此, 在同构意义下 , K 4的自 同构群就是三次对称群 S3 , 即Aut K4 S3 .这里S3是集 合{a , b, c}上的三次对称群 .
近世代数
§5 群的自同构群
2018/1/10
16:35
本节讨论群的全体自同构作成 的群.首先我们来考虑更一般的代 数系统的自同构群.
2018/1/10
16:35
定理1 设M是一个有代数运算(叫做乘法)的集合,则M的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群,称为M 的自同构群. 推论1 群G的全体自同构关于变换的乘法作成 一个群,这个群称为群G的自同构群,记为 AutG.
由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有 (n) 个生成元,从而其自同构群分别为2阶循环
2018/1/10 16:35
群和
(n) 阶群.
推论2 无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同 构群同构. 定理3 设G是一个群, a G. 1)
则
a : x axa1 ( x G)
是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;
2) G的全体内自同构作成一个群,称为群G的内 自同构群,记为InnG;
2018/1/10 16:35
3)
InnGAutG
-1 a(xy)a (axa-1 )(aya-1 ),
证 : 1)易知 a 是G的一个双射变换 .又由于 即 a (xy) a (x) a (y),故 a 是G的一个自同构 . 2)设 a 与 b为G的任二内自同构 , 则对G中任 意元素x有
2018/1/10 16:35
定理2 无限循环群的自同构群是一个2阶循环群;n阶 循环群的自同构群是一个 (n) 阶群,其中 (n) 为Euler函数. 证: 由于在同构映射下,循环群的生成元与生成 元相对应,而生成元的相互对应完全决定 了群中所有元素的对应,因此一个循环群有多 少个生成元就有多少个自同构.