实变函数与泛函分析第5章

备
课
用
纸
第五章积分论
§5.1 Riemann 积分的局限性和L积分简介教学目的本节给出了函数Riemann可积的几个充要条件, 分析了经典积分存在的不足之处,建立性的积分的必要性. 本节要点函数
f
Riemann可积当且仅当 f 不连续点及测度为零. Riemann积分关于极限
与积分次序可交换要求 f 一致连续，应用 L ? N 公式要求 f 导数连续，这些条件限制了Riemann积分应用范围，Lebesgue 积分正好克服了这些不足. 本节难点函数
f
Riemann可积当且仅当 f 不连续点及测度为零的证明.
在介绍Lebesgue 积分之前，我们先将它的前身——Riemann 积分作一回顾，并从测度观点建立一个可积的充要条件． R 积分通常有两种定义，其一是大家熟知的“极限式”定义（即作为积分和的极限），另一是“确界式”定义。
一、Riemann 积分的定义 1、极限式定义设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界，在 [ a , b ] 中任意插入若干个分点
a ? x0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ?1 ? x n ? b
把区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为 ? xi ? xi ? xi ?1 ，( i ? 1, 2, ? ) ，在各小区间上任取一点 ? i （ ? i ? ? xi ），作乘积 f (? i ) ? xi ( i ? 1, 2, ? ) 并作和 S ?
?
i ?1
n
f (? i ) ? x i ，
记 ? ? max{? x1 , ? x 2 , ? , ? x n } ，如果不论对 [ a , b ] 怎样的分法，也不论在小区间 [ xi ?1 , xi ] 上点
? i 怎样的取法，只要当 ? ? 0 时， S 总趋于确定的极限我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在和
区间 [ a , b ] 上的定积分，记为
第
页

备
课
用
?
b a
纸
f ( x ) dx ? I ? lim ? f (? i ) ? x i
??0
i ?1 n
2、确界式定义设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界， T 表示 [ a , b ] 的任一分划
a ? x 0 ? x1 ? ? ? x n ? b
这里 n 为任一自然数,可随 T 而不同. 设 M i ， m i 分别表示 f ( x ) 在 [ xi ?1 , xi ] 上的上、下确界 (i ? 1, 2 ? n ) .
S (T , f ) ?
?
i ?1
n
M i ? x i ， s (T , f ) ?
? m ?x
i i ?1
n
i
分别叫作 f ( x ) 关于分划 T 的大和数与小和数，这里 ? xi ? xi ? xi ?1 ，
?
b a
f ( x ) dx ? inf S (T , f ) ， ?
b a
f ( x ) dx ? sup s (T , f )
分别叫作 f ( x ) 在 [ a , b ] 的Darboux 上积分与下积分，这里上、下确界是对 [ a , b ] 的一切可能分划 T 而取.如果
?
b a
f ( x ) dx ?
?
b
f ( x ) dx
a
则称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 R 可积，并称此共同值为 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的积分，记为 ? f ( x )dx 。
a
b
两种定义的等价性建立在下面的定理上. 达布定理：
? (T ) ? 0
lim S (T , f ) ? inf S (T , f ), lim s (T , f ) ? sup S (T , f )
T
? (T ) ? 0
T
二、 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 R 可积的充要条件 1）当 ? (T ) ? 0 时，
S (T , f ) ? s ( T , f ) ?
? w ?x
i i ?1
n
i
? 0, 其中 wi ? M i ? m i
2） inf [ S (T , f ) ? s (T , f )] ? 0
T
第
页

备
课
用
纸
这两个可积条件的缺点是没有将函数的可积性归结到函数的其它内在性质（如连续性等）上面去．从这一角度看，下面Lebesgue 给出的可积的充要条件就好得多． 3) f ( x ) 在 [ a , b ] 上 a .e. 连续. 引理：设 f ( x ) 是 E 上有限实函数，则 f ( x ) 在 x0 ? E 处连续的充要条件是 f ( x ) 在 x 0 处的振幅为0. 第三充要条件的证明：若 f ( x ) Riemann可积,则 f ( x ) 的Darboux上、下积分相等，从而
?
[ a ,b ]
? ( x ) dx ? ?
b a
f ( x ) dx ?
?
b a
f ( x ) dx ? 0，
又因为
? ( x ) ? 0 a .e. 于 [ a , b ],
故 ? ( x ) 在 [ a , b ] 上几乎处处为零. 从而 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的不连续点全体为零测度集，上述过程反之也成立. Riemann 将Cauchy 以来只对连续函数定义的积分概念扩张成现在我们所知的 R 积分，从而扩大了积分的应用范围．但是即使在有界函数范围内， R 积分还是存在着很大的缺点，主要表现在以下两个方面：
（1） R 积分与极限可交换的条件太严．我们知道一列 R 可积函数的极限函数不一定保持R 可积性．因此在积分与极限交换问题上， R 积分的局限性就特别突出．大家知道：为了使
?
b a
lim f n ( x ) dx ? lim ? f n ( x )dx
n n a
b
对 f n ( x ) 加上了一致收敛于 f ( x ) 的条件．可是这一充分条件不但非常苛刻，而且检验起来也非常不便．由于积分与极限交换问题不能顺利解决，就大大降低了 R 积分的效果．
第
页

备
课
用
纸
（2）积分运算不完全是微分运算的逆运算．我们知道 f ( x ) R 可积时， F ( x ) ?
?
x a
f ( t ) dt 在 f ( x ) 的所有连续点上都有 F ' ( x ) ? f ( x ) ．也
就是说积分后再微分可以还原（ R 积分函数的不连续点集测度为零，可不计）．但是另一方面有例子表明，一个可微函数 F ( x ) 的导数 f ( x ) 即使有界也不一定 R 可积，因此也就说不上有N-L 公式
F ( x) ? F (a ) ?
?
x
f ( t ) dt
a
所以在 R 积分范围内，积分运算只是部分地成为微分运算之逆．鉴于 R 积分的上述缺陷，19 世纪后期，不少科学家进行了改进 R 积分的尝试．1902 年法国数学家Lebesgue（1875-1941）在Borel 及其他人工作的基础上，建立了他的积分理论．他发表于1902 年的论文“积分、长度与面积”被公认为是现代积分论的奠基性工作，由于 Lebesgue 积分在很大程度上克服了 R 积分的缺陷，而且大大地扩充了可积函数的范围．所以成为现代分析中不可缺少的理论基础．
? x 2 , x为无理数 ? 作业：补充题：设 f ( x ) ? ? 3 ，则 f ( x ) 在 ? 0,1? 上是否 R ? 可积. ? x , x为有理数 ?
1 若 E 为 [ a , b ] 上测度为零的子集合，其特征函数 ? E ( t ) 在 [ a , b ] 上是否 R ? 可积？ 2 若 E 为 [ a , b ] 上的疏朗集，其特征函数 ? E ( t ) 在 [ a , b ] 上是否 R ? 可积？ 3 若 E 为 [ a , b ] 上测度为零的疏朗集，其特征函数 ? E ( t ) 在 [ a , b ] 上是否 R ? 可积？ 4 若 E 为 [ a , b ] 上测度为零的闭集，其特征函数 ? E ( t ) 在 [ a , b ] 上是否 R ? 可积？
——————————————————————————————
第页

备
课
用
纸
§5. 2 Lebesgue 积分的定义
教学目的本节介绍测度有限、函数有界条件下Lebesgue积分定义. 本节要点掌握在此条件下可积的充要条件. 本节难点测度有限、函数有界条件下Lebesgue可积的充要条件证明. 授课时数 2学时
——————————————————————————————
L 积分的定义有多种方法，为了便于同 R 积分比较，我们将采用和 R 积分的确界式定义
相当的定义. 本节先介绍测度有限、函数有界条件下Lebesgue积分定义. 一、Lebesgue积分的定义 1、分划定义1 ：设 E ? R q 是一非空可测集，如果 E ? ? E i ，其中各 E i 为互不相交的非空可测集，
i ?1 n
则称有限集合族 D ? ? E i ? 是 E 的一个可测分划，简称分划. 设 D ' ? ? E 'i ? 是 E 的另一分划，如果对于任一 E ' j ? D ' ，存在 E i ? D ，使 E ' j ? E i ，称 D ' 比 D 细. 引理1 给定 E 任意两个分划 D , D ' ，必存在比它们都细的第三分划
D '' ? { E i ? E ' j | E i ? D , E ' j ? D ' 且 E i ? E ' j ? ? } .
2 大、小和及性质定义2 设 f ( x ) 是定义在 R q 中测度有限的集 E 上的有界函数，对 E 的任一分划 D ? ? E i ? ，令 Bi ? sup f ( x ) ， bi ? inf f ( x ) ，则 ? Bi mE i ， ? bi mE i 分别称为 f ( x ) 关于分划 D 的大
x? E i
x? E i
i
i
和及小和（它们由 D 完全确定），并分别记为 S ? D , f ? 及 s ? D , f ? . 引理2 （1）设 B ? sup f ( x ) ， b ? inf f ( x ) ，则
x? E
x? E
第
页

备
课
用
纸
? ? S ? D, f ? ?
BmE
bmE ? s ? D , f
（2）设分划 D ' 比 D 细，则 s ? D , f ? ? s ? D ', f ? ， S ? D , f ? ? S ? D ', f ? （3）对于任两个分划 D , D ' 总有 s ? D , f ? ? S ? D ', f ? . （4） sup ? D , f ? ? inf S ? D , f ? ，这里上、下确界是对 E 的所有可能的分划取的. D
D
定义3
设 f ( x ) 是 E ? R q ? mE ? ? ? 上的有界函数，记
?
E
f ( x ) dx ? inf S ( D , f ) ， ?
f ( x ) dx ? sup s ( D , f )
E
分别称为 f ( x ) 在 E 上的 L 上、下积分. 如果
?
f ( x ) dx ?
E
?
f ( x ) dx
E
则称 f ( x ) 在 E 上 L 可积，并称此共同值为 f ( x ) 在 E 上的 L 积分，记为 ? f ( x )dx .
E
以上是 R q 中测度有限可测集上有界函数的 L 积分定义.我们看到它在形式上同 R 积分完全类似.除了“积分区域”更一般之外，主要不同之处在于采用的测度和分划的不同.
3 测度有限、函数有界条件下Lebesgue可积的充要条件定理1 设 f ( x ) 是 E ? R q ? mE ? ? ? 上的有界函数，则 f ( x ) 在 E 上 L 可积
? ? ? ? 0, ? E 的分划 D 使 S ( D , f ) ? s ( D , f ) ?
? w ?x
i i ?1
n
i
? ? , 其中 wi ? Bi ? bi
证明（略）以上条件由于它的导出只利用了分划的一般性质，所以必然是比较形式的，如果我们能进一步利用可测分划的特殊性质就可以得到一个较深刻的条件. 定理2 设 f ( x ) 是 E ? R q ? mE ? ? ? 上的有界函数，则 f ( x ) 在 E 上 L 可积
? f ( x ) 在 E 上可测.
有了这个定理，对于 R q 中测度有限既可测集上的有界函数来说，可测与 L 可积便是一回事了。由可测函数的性质可以立即得到：定理 3 设 f ? x ? , g ? x ? 是 E ? mE ? ? ? 上有界且 L 可积,则 f ? x ? ? g ? x ? ,
第页

备
课
用
x? E
纸
f ? x ? ? g ? x ? , f ? x ? / g ? x ? （但 inf g ( x ) ? 0 ） f ( x ) 在 E 上都是 L 可积的. ，
4 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 (Lebesgue积分是对Riemann积分的推广) 定理4若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上Riemann可积，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上Lebesgue可积，且
(L)?
[ a ,b ]
f ( x ) dx ? ( R ) ? f ( x ) dx
a
b
证明： f ( x ) 在 [ a , b ] 上Riemann可积， f ( x ) 在 [ a , b ] 上几乎处处连续，故从而 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界可测，并且Lebesgue可积. 其次，对 [ a , b ] 的任一分划 T : a ? x0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? b 性，我们有根据Lesbesgue积分的可加
?
另外
f ( x ) dx ?
[ a ,b ]
??
n ?1
n
f ( x ) dx
[ xi ? 1 , xi ]
m i ( x i ?1 ? x i ) ?
?
[ xi ? 1 , xi ]
f ( x ) dx ? M i ( xi ?1 ? xi )
其中
M i ? sup{ f ( x ) : xi ?1 ? x ? xi }, m i ? inf{ f ( x ) : xi ?1 ? x ? xi }
从而
? m (x
i i ?1
n
i ?1
? xi ) ?
?
f ( x )dx ?
[ a ,b ]
?M
i ?1
n
i
( x i ?1 ? x i )
对上式左、右端关于一切分划各取上、下确界，即得
?
[ a ,b ]
f ( x ) dx ? ?
b a
f ( x ) dx ?
?
b
f ( x ) dx
a
例 Dirichlet函数不Riemann可积.
?1 D ( x) ? ? ?0 x ? [0,1] ? Q x ? [0,1] ? Q
处处不连续
注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系例1 f ( x ) 有无穷积分, 但不Lebesgue可积.
(R)?
?? 0
f ( x ) dx ?
?
2
第
页

备
课
用
纸
例2 f ( x ) 有暇积分但不Lebesgue可积
1 1 ? n ?1 ? x? ? ( ? 1) n f ( x) ? ? n ?1 n, ?0 x ? 0 ?
(R)?
1
f ( x ) dx ? 1 ? ln 2
0
—————————————————————————————— 作业：P142 1, 2 练习题 1 设 f ( x ) 是 E 上的有界可测函数，问是否对 ? ? ? 0, ? ? ? 0, 使分划 D 满足条件
max{mE1 , mE 2 , ? , mE n } ? ?
时，有
?
E
f ( x ) dx ? S ( D , f ) ? ? ？（即问黎曼积分理论中的达布定理现在是否成立？）
§5. 3 Lebesgue 积分的性质
教学目的本节介绍积分的一些基本性质, 包括积分的线性性质, 积分的不等式性质和积分的绝对连续性等. 本节要点学习本节的内容, 除了应了解积分的基本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧. 本节难点无. 授课时数 2学时
——————————————————————————————
测度有限可测集上有界函数的L 积分有如下初等性质：定理1 （1）区间可加性：设 { A, B} 是 E 的一个分划， f ( x ) 定义于 E ，则
f ? L ( E ) ? f ? L ( A ) ? L ( B ) 且 ? f ( x ) dx ?
E
?
A
f ( x ) dx ? ? f ( x ) dx
B
线性：（2）设 f ( x ), g ( x ) ? L ( E ) ，则 f ( x ) ? g ( x ) ? L ( E ) ，且
第页

备
课
用
?
E
纸
?
f ( x )dx ?
E
( f ( x ) ? g ( x ))dx ?
?
g ( x)d x
E
（3）设 f ( x ) ? L ( E ) ， c 为常数，则 cf ( x ) ? L ( E ) 且
?
E
cf ( x )dx ? c ? f ( x )dx
E
（4）单调性：设 f ( x ), g ( x ) ? L ( E ) ，若 f ( x ) ? g ( x )，则 ? f ( x )dx ?
E
?
g ( x )d x
E
特别地，当 b ? f ( x ) ? B ，有 bmE ?
?
f ( x )dx ? BmE
E
（5）绝对可积性：设 f ( x ) ? L ( E ) ，则 f ( x ) ? L ( E ) ，且 | ? f ( x )dx |?
E E
?
| f ( x ) |dx
E
定理2 （1）设 f ( x ) 是 E 上可积分， f ( x ) ? 0 且 ? f ( x )dx ? 0 ，则 f ( x ) a .e. 于 E ；（2）绝对连续性：设 f ( x ) 是 E 上可积分，则 ? ? ? 0, ? ? ? 0, 及任何可测子集 e ? E , 当
me ? ? 时有 |
?
f ( x )dx |?
e
?|
e
f ( x ) |dx ? ?
证明略 —————————————————————————————— 作业：P142 3, 4 练习题
? x 3 , x为无理数 1 设 f ( x) ? ? ，则 f ( x ) 在 ? 0,1? 上是否 R ? 可积.是否勒贝格可积？若可积， ?1, x为有理数
计算积分值. 2 设 P0 为 ? 0,1? 上的康托集，
?1, x ? P0 f ( x) ? ? ? 2, x ? [0,1] ? P0
试计算 ? f ( x ) dx .
0
1
§5.4 一般可积函数
教学目的本节把测度有限的集合上有界函数的积分拓广到非负函数的积分，进而推广到一般函数的积分，并介绍一般函数积分的一些基本性质, 包括积分的线性性质, 积分的不等式性质和积分的绝对连续性等.
第
页

备
课
用
纸
本节要点一般测度空间上的积分,除了具有一些与经典积分类似的性质外,还具有一些新的性质.应注意比较.学习本节的内容, 除了应了解积分的基本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧. 本节难点对非负函数的积分、一般函数的积分概念的理解及相关性质的证明技巧. 授课时数 4学时
——————————————————————————————
我们在数学分析中学过黎曼积分，它是定义在有界区间上的有界函数，然后又学了广义积分：积分区间无限（无穷限积分）和被积函数无界（暇积分）.同样，我们可以采用相似的处理方式把非负函数的积分转化成测度有限集合上有界函数的积分，把一般函数积分转化成非负函数. 一、一般可测集上非负函数的积分
（1）把一般可测集处理成测度有限集合的极限若 mE ? ? ，令 E n ? E ? S n ，其中 S n 为球 S (0, n ) ，所以有 E n 可测且
?
mE n ? ? lim E n ?
n? ?
?E
n ?1
n
? E.
这样就把一般的可测集处理成了单调递增的测度有限的可测集列的极限. （2）把一般的非负函数处理成有界函数的极限. 令 f n ( x ) ? ? f ( x ) ?n ? min{ f ( x ), n} ， ? f ( x ) ? n 称为 f ( x ) 的截断函数列.
? f ( x ) ?n 有如下的性质：
a)
? f ( x ) ?n
n? ?
?n
b)
? f ( x ) ?1 ? ? f ( x ) ?2 ? ? f ( x ) ?3
??
c ) lim ? f ( x ) ? n ? f ( x )
(3) 一般可测集上非负函数的积分定义
第页

备
课
用
?
纸
f ( x ) dx ? lim
E
设 f ( x ) 是 E ? R q 上的非负函数，定义
n? ?
? ? f ( x)?
En
n
dx
称为 f ( x ) 在 E 上的 L 积分. 二、一般可测集上一般函数的积分
设 f ( x ) 在 E 上的实函数，令 f ? ( x ) ? max{ f ( x ), 0}, f ? ( x ) ? max{ ? f ( x ), 0} ，则
f ( x) ? f ( x) ? f ( x)
? ?
定义：设 f ( x ) 是 E ? R q 上的可测函数.如果 ? f ? ( x )dx 与 ? f ? ( x )dx 不同时为 ?? ，则称
E E
f ( x ) 在 E 上积分确定，并定义 ? f ( x ) dx ?
E
?
f ( x ) dx ?
E
?
?
E
f ( x ) dx 为 f ( x ) 在 E 上的 L 积
?
分，当积分有限时，称 f ( x ) 在 E 上 L 积分.简记为 f ( x ) ? L ( E ) . 显然
f ( x ) ? L ( E ) ? f ( x ), f ( x ) ? L ( E )
? ?
下面我们来研究推广后的 L 积分的初等性质，以下所涉及的集当无特别声明时，都是指
R 中的集合.
q
定理 1 (1) 零集上的任何函数的积分为 0 (2) 若 f ( x ) 可积，则 f ( x ) 几乎处处有限. 证明：令 E n ? E[| f |? n ] ，则
E1 ? E 2 ? E 3 ? ?
且
E[| f | ? ?? ] ? ? E n ? lim E n
n ?1 n? ? ?
对每个 n ，有
n ? mE n ?
?
| f ( x ) |dx ?
En
?
| f ( x ) |dx ? ??
E
所以
lim mE n ? 0
n? ?
从而
第页

备
课
用
纸
? n ?1 n? ? n? ?
mE[| f | ? ?? ] ? m ( ? E n ) ? m (lim E n ) ? lim mE n ? 0
（3）区域可加性：设 f ( x ) 在 E 上积分确定，则 f ( x ) 在 E 上任一可测子集 A 上也积分确定.又如 E ? A ? B ， A 与 B 皆可测且 A ? B ? ? ，则
?
f ( x ) dx ?
E
?
A
f ( x ) dx ? ? f ( x ) dx
B
（4）设 f ( x ) 在 E 上积分确定，且 f ( x ) ? g ( x ) a .e. 于 E ，则 g ( x ) 在 E 上也积分确定且
?
f ( x ) dx ?
E
?
g ( x ) dx
E
由（3）可知，如果一个积分确定的函数在一个零测度集上随意改变函数值，并不影响它的积分值.因此，即使一个函数在 E 的一个零测度子集 E 0 上没有意义，只要
?
E ? E0
f ( x ) dx 有意义，我们仍可以认为
?
E
f ( x ) dx 有意义，而且约定
?
f ( x ) dx ?
E
?
E ? E0
f ( x ) dx
（5）线性:设 f ( x ), g ( x ) 在 E 上非负可测，则
? ?
( f ( x ) ? g ( x ))dx ?
E E E
?
f ( x )dx ?
E
?
g ( x)d x
E
? f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx
(6) 单调性:设 f ( x ), g ( x ) 在 E 上积分确定且 f ( x ) ? g ( x )，，则
?
f ( x )dx ?
E
?
g ( x )d x
E
(7) 绝对可积性：设 f ( x ) ? L ( E ) ，则 f ( x ) ? L ( E ) ，且
| ? f ( x )dx |?
E
?
| f ( x ) |dx
E
(8) 绝对连续性：设 f ( x ) 是 E 上可积分，则 ? ? ? 0, ? ? ? 0, 及任何可测子集 e ? E , 当
me ? ? 时有 |
?
f ( x )dx |?
e
?|
e
f ( x ) |dx ? ?
注：由于 L 可积函数具有绝对可积性，所以 L 积分是一种绝对收敛积分.而 R 反常积分不必为绝对收敛.因此 L 积分虽是 R 积分的推广，却非 R 反常积分的推广.
—————————————————————————————— 作业：P142 6， 7， 8
第
页

备
课
用
纸
练习题
mE 1 设 f ( x ), g ( x ) 都是 E 上的可测函数， ? ? ，g ( x ) 可积， f ( x ) ? g ( x ) a .e. 于 E ， f ( x ) 且问
是否可积？
? 1 , x为无理数 1 ? 2 设 f ( x) ? ? x ，试计算 ? f ( x ) dx . 0 ? x 3 , x为有理数 ?
? 1 , x ?(0,1] ? ? x 3 设 f ( x) ? ? ，求 ? f ( x ) dx 1 ( 0 , ?? ) ? , x ?(1,+ ? ) ? x2 ?
4 设 f ( x ) 在 E 上可积，令
E n ? E [ x | f ( x ) ? n ],
则
lim mE n ? 0 .
n? ?
5 设 mE ? ? ， f ( x ) 为 E 上的可积函数，{ E n } 为单调递增的可测集列，且 lim E n ? E ，证
n? ?
明
lim
n? ?
?
f ( x ) dx ?
En
?
f ( x ) dx
E
§5 积分的极限定理教学目的本节讨论关于积分号下取极限的性质,即取极限和求积分交换顺序的定理. 内容包括三个重要的定理以及一些推论. 本节要点一般积分的极限定理有三个重要定理,即控制收敛定理, 列维引理和Fatou引理, 它们分别适用于不同的情况. 学习本节的内容应注意分清各个定理的条件和结论. 本节难点控制收敛定理, 列维引理和Fatou引理的应用授课时数 4学时
——————————————————————————————
本节主要讨论积分与极限的交换问题，我们将看到这个问题在 L 积分范围内得到比在 R
第
页

备
课
用
纸
积分范围内远为完满的解决.这正是 L 积分的最大成功之处. 如所周知，函数序列的积分之极限与该函数序列的极限之积分是否相等是微积分中的重要问题，也是困难的问题，同时，它又是应用十分广泛的问题。有时，为了讨论这类问题，人们常常要进行十分复杂的推导与演算. 1 勒贝格控制收敛定理
引理：若 f n ( x ) ? g ( x ) ， f n ( x ) 为 E 上可测函数列， g ( x ) 为 E 上的可积函数则 f ( x ) 在 E 上可积. 推论：若 f ( x ) 在 E 上可测，则 f ( x ) 在 E 上可积 ? f ( x ) 在 E 上可积. 定理 1：设 (1) f n ( x ) 为 E 上可测函数列 (2) 存在非负可积函数 F ( x ) ，使得 f n ( x ) ? F ( x ) a .e. 于 E ， n ? 1, 2 ? , (3) f n ( x ) ? f ( x ) 则 f ( x ) 在 E 上可积,且
lim
n??
?
E
f n ( x ) dx ?
?
E n? ?
lim f n ( x ) dx
推论 1：将（3）改为 lim f n ( x ) ? f ( x ) a .e. 于 E ,定理结论仍然成立.
n? ?
推论 2：设 mE ? ? ，将条件（2）改为 f n ( x ) ? K （常数） n ? 1, 2 ? , 如果，
lim f n ( x ) ? f ( x ) a .e. 于 E 或 f n ( x ) ? f ( x ) ，则定理结论还成立.
n? ?
2 列维引理定理 2：（列维引理）若 f n ( x ) 为 E 上非负可测函数列，
f1 ( x ) ? f 2 ( x ) ? f 3 ( x ) ? ? ? f n ( x ) ? ? , 且 lim f n ( x ) ? f ( x ) ，则
n? ?
lim
n??
?
E
f n ( x ) dx ?
?
E n? ?
lim f n ( x ) dx
3.Lebesgue 逐项积分定理（级数形式）定理 3：若 f n ( x ) 为 E 上非负可测函数列，则 ?
E
?
?
f n ( x ) dx ?
n ?1
??
n ?1
?
E
f n ( x ) dx
第
页

备
课
用
纸
?
对比:积分的线性(有限个函数作和)。证明：令 g n ( x ) ? 例试求 ? ( R ) ?
n ?1 ? 1 ?1
?
i ?1
n
f i ( x ) ，则为非负可测函数递增列，且 ? f n ( x ) ? lim g n ( x ) .
n ?1 n? ?
x
2 2 n
(1 ? x ) x
2 2 n
dx
解：令 f n ( x ) ? 从而 ? ( R ) ?
n ?1 ? 1 ?1
(1 ? x ) x
2 2
, x ? [ ? 1,1] ，则 f n ( x ) 为非负连续函数，当然为非负可测函数，
? 2 2 n
(1 ? x )
dx ? n
? (L)?
n ?1
x
[ ? 1,1]
(1 ? x ) x
2
dx
? (L)?
[ ? 1,1]
? (1 ? x
n ?1
?
2
)
n
dx ? ( L ) ?
?x
2 n ?1
[ ? 1,1]
1dx ? 2
例 2、试从
1 1? x
? (1 ? x ) ? ( x ? x ) ? ? ? ( x
2 3
2n?2
) ??,0 ? x ? 1
证明 ln 2 ? 1 ?
1 2
?
1 3
?
1 4
?? ?
( ? 1) n
n ?1
??
解：令 f n ( x ) ? x 2 n ? 2 ? x 2 n ?1 , x ? (0,1), n ? 1, 2, 3, ? 则 f n ( x ) 为非负连续函数，当然为可测函数，从而由 Lebesgue 逐项积分定理知：
(L)?
?
1 1? x ?x
( 0 ,1)
dx ? ( L ) ?
?
( 0 ,1)
?
1
?
f n ( x )dx ?
n ?1
? (L)?
n ?1
?
( 0 ,1)
f n ( x )dx ?
? (R)?
n ?1
?
1
0
f n ( x )dx
?
? (R)?
n ?1
1
(x
2n?2
2 n ?1
) dx ?
0
? ( 2n ? 1 ? 2n )
n ?1
1
? 1?
1 2
?
1 3
?
1 4
?? ?
( ? 1) n
n ?1
??
1
另外 ( L ) ?
1 1? x
( 0 ,1)
dx ? ( R ) ?
1 1? x
0
dx ? ln 2 ，从而结论成立
4 积分的可数可加性定理 4 若 f ( x ) 在 E ? ? E n （ E n 可测且两两不交）上非负可测或可积，则
n ?1 ?
?
n ?1
? En
?
f ( x ) dx ?
??
n ?1
?
f ( x ) dx
En
注：Lebesgue 逐项积分定理是关于被积函数，积分的可数可加性是关于积分区域.
第
页

备
En
课
?
E
用
纸
?
? n ?1
证明：由 ? f ( x ) dx ? 分定理即可.
及 f ( x ) ? E n ( x ) dx， f ( x ) ?
f ( x ) ? E n ( x ) ,然后利用 Lebesgue 逐项积
推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可积性且积分值不变.
5.Fatou 引理定理 5 若 f n ( x ) 为 E 上非负可测函数列，则 ? lim f n ( x ) dx ? lim ?
E n? ? n? ? E
f n ( x ) dx
证明:令 g n ( x ) ? inf{ f n ( x ), f n ?1 ( x ), ?}， { g n ( x )} 为非负可测函数递增列，且则
lim f n ( x ) ? lim g n ( x ) 然后利用 Levi 逐项积分定理即可.
n?? n??
注：严格不等号可能成立. 如
?1 ? fn ( x) ? ? n ?0 ? x ? [0, n ] x ? ( n , ?? )
有
?
例试求
E n? ?
lim f n ( x ) dx ? 0 ? 1 ? lim
n? ?
?
E
f n ( x ) dx
lim ( R ) ?
n? ?
1
nx 1? n x
2 2
sin nxdx 1 2
0
证明:令 f n ( x ) ?
nx 1? n x
2 2
sin nx ，则 f n ( x ) 为可测函数且 | f n ( x ) |? F ( x ) ?
从而 Lebesgue 控制收敛定理知：
lim ( R ) ?
n? ? 1
nx 1? n x
2 2
0
sin nxdx ? lim ( L ) ?
n? ?
nx 1? n x
2 [ 0 ,1] 2
sin nxdx
[ 0 ,1]
? (L)?
[ 0 ,1] n ? ?
lim
nx 1? n x
2 2
sin nxdx ? ( L ) ?
0 dx ? 0
—————————————————————————————— 作业：P142 12， 15，16，17 练习题
第
页

备
课
1
用
x
p
纸
1 设 p ? ? 1, 计算 ?
1 1 0
0
1? x
ln
1 x
dx .
2 3 4 5
求 lim ?
n? ?
nx 2 1? n x
2 2
sin nxdx .
3
列维引理中去掉函数列的非负性的条件，结论是否成立？举例说明法都引理中的不等号确实能成立. 用法都引理证明列维引理. §6 L 积分的几何意义，Fubini 定理
教学目的本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理—Fubini 定理. 本节要点乘积测度的构造利用了测度的延拓定理. Fubini 定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用. 本节难点对Fubini定理及累次积分交换积分顺序的定理的理解. 授课时数 2学时
——————————————————————————————
到目前为止，我们所讲的测度与积分，都是就同一个 q 维空间来考虑的.现在我们将考虑不同维空间的可测集的测度，并研究它们之间的关系.这样不仅可以得到 L 积分的几何解释，还可以导出重积分化累次积分的重要公式. 1.截口定理定理 1 设 E ? R p ? q 是可测集，则（1）对 R p 中几乎所有的 x ， E x 是 R q 中的可测集，其中 E x ? { y | ( x , y ) ? E } （2） m ( E x ) 作为 x 的函数，它在 R p 上几乎处处有定义，且是可测函数；
第页

备
（3） m ( E ) ?
课
?
R
p
用
纸
m ( E x ) dx
2.Lebesgue 积分的几何意义定理 2：设 A , B 分别是 R p 和 R q 中的可测集，则 A ? B 是 R p ? q 中的可测集，且
m ( A ? B ) ? mA ? mB
定理 3 设 f ( x ) 为可测集 E ? R n 上的非负函数，则 f ( x ) 是 E 上可测函数当且仅当
G ( E , f ) ? {( x , y ) | x ? E , 0 ? y ? f ( x ) 是 R
n ?1
中的可测集;并且有
?
3.Fubini 定理
f ( x )dx ? mG ( E ; f )
E
(1)设 f ( p ) ? f ( x , y ) 在 A ? B ? R p ? q 上可积，则对几乎所有的 x ? A , f ( x , y ) 作 y 的函数在 B 上可积， ? f ( x , y )dy 作为 x 的函数在 A 上可积,且
B
?
A? B
f ( p )dp ?
? (?
A
f ( x , y )dy ) dx
B
(2)设 f ( x ) 是 B 上的可测函数，? ( ? | f ( x , y ) | dy ) dx 存在（即| f ( x , y ) |作为 y 的函数在 B 上
A B
可积，且 ? | f ( x , y ) | dy 作为 x 的函数在 A 上可积），
B
则 f ( p ) 在 A ? B 可积，且
?
A? B
f ( p )dp ?
? (?
A
f ( x , y )dy ) dx
B
—————————————————————————————— 作业：P142 20， 21 练习题 1 在 R ? {( x , y ) | 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1} 上定义函数
f ( x, y ) ? y ?x
2 2 2 2
(x ? y )
2
证明
?
1
0
dx ? f ( x , y ) dy ?
0
1
?
1
0
dy ? f ( x , y ) dx
0
1
这是否与富比尼定理矛盾？何故？
第
页

备
课
用
纸
2 证明在 S ? {( x , y ) | ?? ? x ? ?? , ?? ? y ? ?? } 上定义的函数
xy ? , ? 2 2 2 f ( x, y ) ? ? ( x ? y ) ?0 ? 当 x ? y ? 0时
2 2
当 x ? y ? 0时
它的两个累次积分都存在且相等，但 f ( x , y ) 不是 S 上的可积函数.
第
页