最新工程数学试卷及答案

河北科技大学成人高等教育2016年第1学期

《工程数学》考试试卷

教学单位 云南函授站 班级 姓名 学号

一、选择题（每小题3分，共15分）

1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。

A. 全部击中.

B. 至少有一发击中.

C. 必然击中

D. 击中3发

2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

A. X 和Y 独立。

B. X 和Y 不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)

D. D(XY)=D(X)D(Y)

3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。

A ． 其它1||0|)|1(2)(≤?

??-=x x x f 。 B. 其它2

||05.0)(≤???=x x f

C. 0

021)(2

2

2)(<≥???

?

???=--x x e x f x σμπ

σ D. 其它0

0)(>???=-x e x f x ，

4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,

}5{2+≥=μY P P , 则有（

）

A. 对于任意的μ, P 1=P 2

B. 对于任意的μ, P 1 < P 2

C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2

D. 对于任意的μ, P 1 > P 2

设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）

．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. 6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。

7．设A= ???

?

? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。

8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概

率为 。

9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A

x x x f <

??=002)(，则概率

=≥)2

1

(X P 。

10．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为

其它当0

,00),()43(>>???=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。

二、填空题（每空3分，共15分）

11．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：

t

e d t ββπωωβω-+∞

=+?2cos 0

22

12．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求

（1）收报台收到信号“1”的概率；

（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。

13．设二维随机变量),(Y X 的联合概率函数是

其它0

,00),()42(>>?

?

?=+-y x ce y x f y x 求：（1）常数c ；（2）概率P (X ≥Y )；（3）X 与Y 相互独立吗？请说出理由。

14．将n 个球随机的放入N 个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X 的数学期望。

三、计算题（每小题10分，共50分）

15．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求

(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX

12n )

T，a

1

≠0,其长度为║a║，又A=aa T,

(1)证明A2=║a║2A；

(2)证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；

(3)A能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。

四、证明题（共10分）

五、应用题（共10分）

《工程数学》参考答案及评分标准

二、选择题（每小题3分，共15分）

1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 三、填空题（每小题3分，共15分）

6. 9

7. 1

8. 1–(1–P)3

9. 3/4 10. 12 三、计算题（每题10分，共50分） 11.解答：函数f(t)的付氏变换为：

F (w )=dt e

dt e

dt e

e

e

t

j t

j t

j t t ???+∞

--+∞

+--+∞

∞

---+==?0

)(0

)(|||

|][?β?β?ββ （3分）

=2

2211?ββ

?β?β+=-++j j (2分)

由付氏积分公式有

f(t)=[1

-?F(w )]=

??π

?d e

F t

j ?+∞

∞

-)(21 (2分)

=

????

ββ

π

d t j t ?+∞∞-++)sin (cos 22122 ==

??β?πβ

???ββπ

d t

d t ??+∞

+∞∞

-+=+0

2222cos 2cos 221

（2分） 所以 t

e d t ββπωωβω-+∞

=+?2cos 0

2

2 （1分）

12.解答:

设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1” （2分） (1)由全概率公式 （1分） 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分） =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分） (2)由贝叶斯公式 （1分） 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分） =0.8x0.6/0.52=12/13 （1分）

13.解答:

(1) 由联合概率密度的性质有

??+∞

∞

-+∞

∞

-=1),(dy y x f dx

即

??+∞

+-+∞

=0)

42(0

1dy ce

dx y x （2分）

从而 c =8 （2分）

(2)??

≥=

=

≥y

x dxdy y x f Y X P ),()(??=+-+∞

x

y x dy e dx 0

)

42(0

3

2

8 （2分） (3) 当x >0时， ??∞

∞

-∞

-+-===

2)

42(28),()(x y x X e dy e

dy y x f x f （2分）

当x <=0时, 0)(=x f X

同理有 其它0

4)(4>???=-y e y f y Y （1分）

因 y x y f x f y x f Y X ,)

()(),(?=

故X 与Y 相互独立 （1分）

14.解答：

设 否则

个盒子有球

第i X i ??

?=0

1

i =1,2,…,N (2分)

则 ∑==

N

i i

X

X 1

(1分)

因 n

n

i N

N X P )1()0(-== (2分) n

n

i i N

N X P X P )1(1)0(1)1(--==-== (2分)

因而 n

n

i i i N

N X P X P EX )1(1)1(1)0(0--==?+=?= (2分) 所以 ))11(1(1

n

N

i i N

N EX EX -

-==

∑= (2分) 15.解答：

（1）随机变量X 的取值为1，2，3。 （1分）

依题意有：6

2)3(;63}2{;61}1{======X P X P X P （3分） X 的分布函数}{)(x X P x F ≤= （1分） 由条件知：当1

当21<≤x 时，;6

1

)1((===X P x F ） （1分）

当32<≤x 时，;3

2

)2()1((==+==X P X P x F ） （1分）

当3≥x 时，;1(=）x F （1分）

（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）

四、证明题（共10分）

(1) A 2=aa T ·aa T =a T a ·aa T =║a ║2

A （2分）

(2)因 Aa= aa T ·a=a T a ·a= ║a ║2

a （2分）

故a 是A 的一个特征向量。

又A 对称，故A 必相似于对角阵 （1分） 设A ∽ diag(λ1,λ2,…,λn )=B, 其中λ1,λ2,…,λn 是A 的特征值 (1分) 因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分) 从而λ1,λ2,…,λn 中必有n-1个为0, 即0是A 的n-1重特征值 （1分） (3) A 对称，故A 必相似于对角阵Λ，

Λ=diag(║a ║2

, 0,…,0) (2分)

五、应用题（共10分） 解答:

设y 为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z 表示国家的收益（万元）, （1分）

则有 y

X y X X y X y X g Z <≥??

?

--==)

(33)( （4分）

因 X 服从R(2000,4000), 故有

其它

4000

20000

2000

/1)(<

?=x x f X (1分)

所以

dx y

dx x y x dx x f x g EZ y

y

X ?

??+

--==∞

∞-4000

2000

2000

32000)

(3)()( =–( y 2

–7000y + 4?106

) /1000 (3分) 求极值得 y=3500 (吨) (1分)

一、活动目的：

本次诚信教育活动的开展，旨在弘扬诚实守信这一中华民族的传统美德，培养广大干部职工“诚信”的优良品质，要求干部职工从自我做起，从现在做起，从身边的每件小事做起，在家做一个诚信的好成员，在单位做一个诚信的好职工，在社会做一个诚信的好公民，促进良好行风的形成。通过本次活动的开展，也使中葛根水库建管处德育建设有突破性进展，让道德环境有全面性发展。 二、活动主题：

做诚信职工，建诚信科室，创诚信单位。 三、参加对象： 全体干部职工。 四、领导小组 组 长：鲁新平 副组长：张德兵 芦志强

组员：赵勇侯彦姣唐鲜鲜

五、诚信教育的主要内容：

1.在诚实教育方面：培养职工诚实待人，以真诚的言行对待他人、关心他人，对他人富有同

情心，乐于助人。严格要求自己，言行一致。

2.在守信教育方面：培养职工守时、守信、有责任心，承诺的事情一定要做到，言必信、行

必果。遇到失误，勇于承担应有的责任，知错就改。

3.在诚实守信教育的同时，还要加强遵守法律法规、单位纪律和社会公德的教育，培养职工

的法律意识和规则意识，具备良好的道德品质。

六、活动时间：4月1日—5月31日

第一阶段：4月1日—4月15日启动宣传阶段

第二阶段：4月16日—5月26日活动开展阶段

第三阶段：5月27日—5月31日活动总结阶段

七、具体活动安排：

（一）启动宣传阶段

1．利用例会举行“诚信教育活动”启动仪式。

2．通过宣传栏、黑板报等形式宣传诚信思想，营造诚信氛围。

4.召开全体干部职工的动员会。

5.各科室在日常工作中加入诚信内容，渗透诚信思想。（二）活动开展阶段

1.在诚信教育活动期间，组织开展诚信教育“六个一”活动：（1）举行一次以“诚信教育”为主题的宣传活动。（4月15日前）（2）出版一期以“诚信”为主题的黑板报。（4月15日前）