动点问题最值

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动点问题最值

最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。

1．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）

A．3

3-2-B．1

3+C．2D．1

提示：点M在以AC为直径的圆上

2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD 于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；

④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．（把你认为正确的说法的序号都填上）

提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：②④

3、如图，正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点A

A

B 旋转，那么C、F两点之间的最小距离为

4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将

△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是

5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB

（2）若∠CPB=135°，求BD；

（3）∠PBC= 时，BD

∠PBC= 时，BD

分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，

且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°

C

A

B

A

A

C

C

BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 在线段AB 上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°

6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1， ，F 为BE 中点. （1）求CF 的长

（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.

提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且22

7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC

提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。△BOP ∽△ AE=在△ACE 中，AE-CE ≤AC ≤AE+CE

8、如图，△ABC 是等边三角形，边长为2，D 是AC 边上一动点，连接BD ，⊙O 为△ABD 外接圆，过点A 作AE ∥BC 交⊙O 于E ，连接DE ，BE.则△ADE

F

D A

B

C

E

H

G

F D

A

B C

E

M

H

G

F

D

A

B

C

E

x

y

M

C

A

P

O B

x

y

M

C

M 1

M 2A

P

O B

9、如图，正方形ABCD ，AB=4，E 为形外一点，且∠AED=900

，连CE ，F 为CE 的中

点，求BF 得最大值。

连AC,取DC 中点G ，取AC 中点H ，则△FGH ∽△EDA,又AD=4 ∴1

22

GH AD =

=，∠GFH=∠DEA=90°， ∴点F 在以GH 为直径的圆上，∴BF 131+

二、定点到动点所在定直线的最小值，动点在一条直线上运动，其实质是点到直线的最小距离。 方法：

1．在平面直角坐标系中，已知A (2，4)、P (1，0)，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，

使点C 在x 轴上，∠BAC ＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为__________

取特殊位置考虑：

当B 在原点时，5OA =OC=10，此时M （5,0） 当C 在原点时，B （0,5），此时M （0，

52），所以点M 在直线15

22

y x =-+上运动 △PM 1M ∽△21M OM ∴PM=

455

∵OM=AM ，∴点M 在OA 的垂直平分线上。

G F A D C G F A

D C B

E G A

D C

E x

y A

O

x

y

E

C

B

A

O

P

2、在平面直角坐标系中，A （-3,0），B （3,0），C （0，-33，E 为y 轴上一动点，以BE 为边向左侧作正△BEF ，则OF 的最小值为

提示：点F 在如图所示的直线AF 上运动。 那两个涂色的三角形始终是全等的 ∠FAO=30°∴332

23

OF =

=

3、如图，点D 在等边△ABC 的边BC 的延长线上，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且AF=BE ，EF ，以EF 为边构造等边△EFG ，连接DG ，若BD=2，则DG 的最小值是 3

考虑特殊位置：

当当E 与B 重合时，F 与A 重合，此时BG ∥AC ，当E 与C 重合时，F 与B 重合，FG ∥AC ，所有点G 在过点B 且与AC 平行的直线上，∴∠DBG=60°，当DG 垂直于过B 与AC 平行的直线垂直时，DG 3

过E 作EH ∥AC ，则有△EFH ≌△EGB ∴∠EBG=∠EHF=60° ∴点G 在平行于AC 的直线GB 上运动。

4、如图，OA=3，∠OAB=60°，P 为射线BO 上一动点，E 为OB 中点，以AP 为边作等边△APC,则点P 运动过程中CE 的最小值为

3

4