动点问题最值

GFDAB CE动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。

1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ）A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是ABC5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD；（3）∠PBC= 时，BD∠PBC= 时，BD分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，，F为BE中点.（1）求CF的长（2）将△ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长；（3）△ADE绕点A旋转一周，求线段CF的范围.提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF∽△BAE,且A BAACCAGDAMGDA7、如图，AB=4，O为AB中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰△PBC（点P，B，C按逆时针方向排列）则线段AC提示：发现定等腰直角△AOC与等腰直角△OBE，从而得到相似。

△BOP∽△AE=在△ACE中，AE-CE≤AC≤AE+CE8、如图，△ABC是等边三角形，边长为2，D是AC边上一动点，连接BD，⊙O为△ABD外接圆，过点A作AE∥BC交⊙O于E，连接DE，BE.则△ADE9、如图，正方形ABCD，AB=4，E为形外一点，且∠AED=900，连CE，F为CE的中点，求BF连AC,取DC中点G，取AC中点H，则△FGH∽△EDA,又AD=4∴122GH AD==，∠GFH=∠DEA=90°，∴点F在以GH为直径的圆上，∴BF1+二、定点到动点所在定直线的最小值，动点在一条直线上运动，其实质是点到直线的最小距离。

方法：xy M C AP O B x y M C M 1M 2AP O BG F D C G FAD C G A D CE 1．在平面直角坐标系中，已知A (2，4)、P (1，0)，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，使点C 在x轴上，∠BAC ＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为__________取特殊位置考虑：当B 在原点时，5OA =OC=10，此时M （5,0） 当C 在原点时，B （0,5），此时M （0，52），所以点M 在直线1522y x =-+上运动 △PM 1M ∽△21M OM ∴PM=455∵OM=AM ，∴点M 在OA 的垂直平分线上。

2、在平面直角坐标系中，A （-3,0），B （3,0），C （0，-33，E 为y 轴上一动点，以BE 为边向左侧作正△BEF ，则OF 的最小值为提示：点F 在如图所示的直线AF 上运动。

那两个涂色的三角形始终是全等的 ∠FAO=30°∴33223OF ==3、如图，点D 在等边△ABC 的边BC 的延长线上，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且AF=BE ，连接EF ，以EF 为边构造等边△EFG ，连接DG ，若BD=2，则DG 的最小值是 3考虑特殊位置：当当E 与B 重合时，F 与A 重合，此时BG ∥AC ，当E 与C 重合时，F 与B 重合，FG ∥AC ，所有点G 在过点B 且与AC 平行的直线上，∴∠DBG=60°，当DG 垂直于过B 与AC 平行的直线垂直时，DG 3BCAEAABAA过E 作EH ∥AC ，则有△EFH ≌△EGB ∴∠EBG=∠EHF=60° ∴点G 在平行于AC 的直线GB 上运动。

4、如图，OA=3，∠OAB=60°，P 为射线BO 上一动点，E 为OB 中点，以AP 为边作等边△APC,则点P 运动过程中CE 的最小值为3AC=BC ， ∴点C 在AB 的垂直平分线上.三、根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，最大值就是让第三边等于其他两边的和，最小值就是第三边等于其他两边之差 1、15、△ACD 中，AD ＝8，CD ＝BC ⊥AC 于C ，AC =2BC ， 则BD 的最大值是提示：过C 作CE ⊥CD 使CE=2CD ，连接AC ，DE ，则有△BCD ∽△ACE ，则有12BD CD AE CE == ∴12BD AE =又AE ≤DE+AD=13 ∴BD= 2、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC AOC AE=在△ACE 中，AE-CE ≤AC ≤AE+CEBEDED5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD；（3）∠PBC= 时，BD∠PBC= 时，BD分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°四、由三角形第三边小于两边之和推广可以得到，最小值问题，就是要两条线段的和或多条线段的和构成一条线段，理由是两点之间线段最短。

1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连AM、CM、EN.（1）求证：△ABM≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小？②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？并说明理由.（3）当AM+BM+CM的值最小值为132．（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A ，B ，D 均在格点上，点E 、F 分别为线段BC 、DB 上的动点，且BE =DF ． （Ⅰ）如图①，当BE =时，计算AE +AF 的值等于（Ⅱ）当AE +AF 取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE ，AF ，并简要说明点E 和点F 的位置如何找到的（不要求证明） 取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求． ．3、已知抛物线n n nx x y +-+-=222的顶点为P ，直线3494+=x y 分别交x ，y 轴于点M ，N ．（1）若点P 在直线MN 上，求n 的值；（2）是否存在过（0，－2）的直线与抛物线交于A ，B 两点（A 点在B 点的下方），使AB 为定长，若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，当四边形MABN 的周长最小时，求n 的值．【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力． 【考点】抛物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等,坐标系中定值和最值问题．yxROBAH MG N第24题图2yxOBA第24题【解析】(1)配方P （n ，n ）代入3494+=x y ， 得n =512． (2)如图1，设过（0，－2）的直线为2-=kx y ，设A (11,y x )，B (22,y x )联立⎩⎨⎧+--=-=n n x y kx y 2)(,2， 消元得02)2(22=--+-+n n x n k x ∴2,222121--=-=+n n x x k n x x ,∴n k k x x x x x x )44(84)()(221221221-++=-+=- ∴)1(22k AB +=[n k k )44(82-++]∵要使AB 为定长，则2AB 的值与n 的取值无关，∴4－4k =0．∴k =1 ∴存在直线y =x －2，使AB 为定长，且AB =23． (3)如图2，易求M (－3，0)，N (0，34)，平移AB ，使A 点于M 点重合，则B 的对应点G 刚好落在y 轴上，因为AB =23，所以G （0，3）．作点G 关于直线y =x －2的对称点H (5，－2)．过G 作GF ⊥y 轴，交直线AB 于F ，连FH ，所以FH=FG=5，又∠FGA=∠AFH=45°,连接NH 交直线y =x －2为点R （2，0）．可证明当点B 与R 重合时，四边形MABN 的周长最小． 将 R （2，0）代入n n x y +--=2)(中， 得1214n n ==，（舍去）． ∴n =1．五、利用对称求最值1．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________2、已知抛物线n n nx x y +-+-=222的顶点为P ，直线3494+=x y 分别交x ，y 轴于点M ，N ．（1）若点P 在直线MN 上，求n 的值；（2）是否存在过（0，－2）的直线与抛物线交于A ，B 两点（A 点在B 点的下方），使AB 为定长，若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，当四边形MABN 的周长最小时，求n 的值．【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力． 【考点】抛物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等,坐标系中定值和最值问题． 【解析】(1)配方P （n ，n ）代入3494+=x y ， 得n =512(2)如图1，设过（0，－2）的直线为2-=kx y ，设A (11,y x )，B (22,y x )联立⎩⎨⎧+--=-=nn x y kx y 2)(,2， 消元得02)2(22=--+-+n n x n k x ∴2,222121--=-=+n n x x k n x x ,∴n k k x x x x x x )44(84)()(221221221-++=-+=- ∴)1(22k AB +=[n k k )44(82-++]∵要使AB 为定长，则2AB 的值与n 的取值无关，∴4－4k =0．∴k =1 ∴存在直线y =x －2，使AB 为定长，且AB =23． (3)如图2，易求M (－3，0)，N (0，34)，平移AB ，使A 点于M 点重合，则B 的对应点G 刚好落在y 轴上，因为AB =23，所以G （0，3）．作点G 关于直线y =x －2的对称点H (5，－2)．过G 作GF ⊥y 轴，交直线AB 于F ，连FH ，所以FH=FG=5，又∠FGA=∠AFH=45°,连接NH 交直线y =x －2为点R （2，0）．DF O BC E DF O B C ECAOBPCAOBP PED B CHPEyxROBAH MG N第24题图2可证明当点B 与R 重合时，四边形MABN 的周长最小． 将 R （2，0）代入n n x y +--=2)(中， 得1214n n ==，（舍去）． ∴n =1．六、其他类最值1、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE ⊥AD 交AD 的延长线于E ．若 AC ＝6，BC ＝8，则ADDE的最大值为( B ) A ．21B ．31C ．43D ．22提示：比值构造相似三角形，于是过E 作EF ⊥BC 于F ，则有△ACD ∽△EFD ∴DE EFAD AC=，而AC=6，所以只要EF 最大就比值最大，当E 在以AB 为直径的半圆弧中点时，EF 最大是22．如图，在⊙O 中，BC 是弦，AD 过圆心O ，AD ⊥BC ．E 是⊙O 上一点．F 是AE 延长线上一点，EF =AE ．若AD =9，BC =6．设线段CF 长度的最小值和最大值分别为m ，n ，则mn =( )A ．100B ．90C ．80D ．703．如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ B ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+4、△ABC 中BC=36，∠BAC=600，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，延长CE 交AB 于P,则PBDS ∆的最大值为过D作DH∥CP交AB于H，则有BH=HP=AP∴23BPAB=，当BC边上的高最大时，此时在优弧BC中点，其值为9，P到BD的高也最大，此时为6，故S⊿PBD最大值为3963321=••反比例函数问题：1、如图，矩形OABC的边OA在x轴上，双曲线kyx=与BC交于点D，与AB交于点E，12DE OB=，矩形OABC的面积为4，则k的值为提示：连接AC，设坐标证明DE∥AC，又12DE OB=从而得到D、E为中点，所有k=12二次函数问题：如图，抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A（-1,0）、B（3,0），与y轴交于点C（0，32-）（1）求抛物线的解析式；（2）点T为y轴正半轴上一点，直线AT与抛物线的另一个交点为点D，点P为直线AT下方的抛物线上一动点.①若AD=5AT，求点T的坐标；②当△ATP的面积的最大值为94，求点T的坐标.提示：方法一：S∆方法二：以AT为底的△ATP的面积当过点P的直线PF与AD平行，且直线PF与抛物线相切时△ATP面积最大。