二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案

把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。消元的方法有两种：代入消元法

例：解方程组x+y=5①

6x+13y=89②

y=59/7 为方程组的解

我们把这种通过“代入”消去一个未知数，的方法叫做代入消元法，简称代入法。

加减消元法

解：由①得 x=5-y ③

把③带入②，得 6(5-y)+13y=89

y=59/7

把 y=59/7 带入③，

x=-24/7

x=5-59/7

即 x=-24/7

从而求出方程组的解

例 2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4

例：解方程组x+y=9①

x-y=5 ②

解：①+②

2x=14 即x=7 把x=7带入① 得

7+y=9 解得y=-2 二x=7

y=-2为方程组的解

像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。二元一次方程组的解有三种情况：

1.有一组解如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7

y=59/7 为方程组的解

2.有无数组解

如方程组x+y=6① 2x+2y=12②

因

为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组

无解。

注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时 , 应注意用哪种方法简单, 避免计算麻烦或导致计算错误。教科书中没有的几种解法

（一）加减- 代入混合使用的方法 .

例 1, 13x+14y=41 (1)

14x+13y=40 (2)

13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41

把y=2代入⑶得 x=1 所以:x=1, y=2

特点: 两方程相加减 , 单个 x 或单个 y, 这样就适用接下来的代入消

元.

（二）换元法

解:(2)-(1) 得

x-y=-1 x=y-1 (3)

把(3) 代入 (1) 得

27y=54

y=2

1．

令 x+5=m,y-4=n 原方程可写为得 m=6,

n=2 所以 x+5=6,

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的 x+5,y-4 换元后可简化方程也是主要原因。

三）另类换元令 x=t, y=4t 方程 2 可写为：5t+6*4t=29 所以 x=1,y=4

二元一次方程组的解一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

求方程组的解的过程，叫做解方程组。

一般来说，二元一次方程组只有唯一的一个解。注意：

二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

☆内容提要^

a= --Ta+c=b+c 2. a= -->ac=bc （c 工0）解法

一元一次方程的解法：去分母T 去括号T 移项T 合并同类项系数化成

1T 解。

m+n=8 m-n=4

y-4=2

所以 x=1, y=6

之类，例 3， x:y=1:4

5x+6y=29

29t=29

t=1

基本概念组）

2． 1．方程、方程的解（根）、方程组的解、分

类：

解方程的依据

等式性质

1．

2.元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

四、 ⑴直接开平方法（注意特征）公式） ⑶公式法：

的判别式： 4.根与系数顶的关系：

根的一元二次方程是：。

5.常用等式：

五、可化为一元二次方程的方程

1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法

（如，）⑷验根及方法

2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技

巧！！）②换元法⑷验根及方法

3．简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次

方程组成的二元二次方程组都可用代

六、列方程（组）解应用题

一概述列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设元（未知数）。①直

接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易

列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应

②加减法 1 ．定义及一般形式：

2．解法：

⑵配方法（注意步骤一推倒求根 ⑷因式分解

法（特征：左边=0）

根

元二次方程

用题的关键。

2.配料问题：溶质=溶液X 浓度长

率问题：

溶液二溶质+溶剂

3.增

4.工程问题：基本关系：工作量二工作效率X 工作时间作量看着单位“ 1”）。

（常把工 5.几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式, 形及

有关比例性质等。三注意语言与解析式的互化

相似

二元一次方程组练习题、选择题:

1.下列方程中，是二元一次方程的是（

）

A . 3x — 2y=4z

B . 6xy+9=0

C . - +4y=6

D . 4x=^^ x

2.下列方程组中，是二元一次方程组的是( . 「X + y =4 「2a-3b = 11 A . < y B.{

2x+3y=7

I 5b -4c = 6

3.二元一次方程 5a — 11b=21 无数解 C .无解 D

)

x + y =8

X —y =4

厂衣2=9

C 3

D X

J=2x

（）A .有且只有一解 B

.有且只有两解

4.方程y=1 — X 与3x+2y=5的公共解是（）

「X = -3

「X = 3

B.?

C.?

y=4

l y = -2

=0,贝曲勺值是（） lx=3 l y =2

5.若 I X — 2 I +

」X "3

.y = -2

A . - 1

B 6

?方

.-2 C . - 3

的解与x 与y 的值相等，则k 等于（）

二常用的相等关系

1.行程问题（匀速运动）题（同时出发）： + =;

⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t 小时后，乙才出发，而后在B 处追上甲，则

⑶水中航行:

基本关系：s=vt

⑴相遇问

7.下列各式，属于二元一次方程的个数有（

）

③丄+y=5; ④x=y ; ⑤x 2

二、填空题

9 .已知方程2x+3y — 4=0,用含x 的代数式表示y 为：y= 用含y 的代数式表

示x 为：x= _________________________ .

在二元一次方程一一x+3y=2中，当x=4时，y=

时，x= ___ . 2

当 y= — 3 时，二元一次方程

3x+5y= — 3 和 3y — 2ax 二a+2（关于 x , 18.如果（a — 2） x+

（ b+1） y=13是关于x , y 的二元一次方程，则a , b 满足什么条件？

19.二元一次方程组严讪=7的解X , y 的值相等，求k . ,収 + （k 一1）y = 3 20 .已知X , y 是有理数，且（值是多少？

② 4x+1二X — y ;

① xy+2x —

y=7;

⑥ 6x — 2y

B. 2 C . 3

⑦x+y+z=1 D . 4

⑧ y (y — 1) =2y 2 — y 2

+x A . 1

246人，其中男生人数y 8.某年级学生共有 2人，？则下面所列的方程组中符合题意的有（ fx

+ y = 246

『X + y = 246 A. I y

[2y=x-2 Mx = y+2

C 」x+

=216

[y = 2x + 2

比女生人数x 的2倍少 )

fx + y = 246 D.?

Zy=x+2

10. —1 11. 12. 13.

若 x 3m —3

—2y n —1

=5 是二元一次方程，则 m= ________ , n

二

已知厂一2,

是方程x — ky=1的解，那么k= l y =3

已知I x —1

+ (2y+1) =0,且 2x — ky=4，则 k= 14. 15. 16.

二元一次方程x+y=5的正整数解有以为解的一个二元一次方程是

*7 已知J $ = -1

解答题

是方程组[mx —y = 3的解，则m=

j X - ny =6

17.

y 的方程）？有相同的解，求a 的值.

—1) 2+ (2y+1) 2=0,则 X — y 的