衢州数学全等三角形易错题(Word版 含答案)
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衢州数学全等三角形易错题(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=1
2
BC,则△ABC的顶角的度数为
_____.
【答案】30°或150°或90°
【解析】
试题分析:分两种情况;①BC为腰,②BC为底,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°,然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可.
解:①BC为腰,
∵AD⊥BC于点D,AD=1
2 BC,
∴∠ACD=30°,
如图1,AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°,
如图2,AD在△ABC外部时,顶角∠ACB=180°﹣30°=150°,
②BC为底,如图3,
∵AD⊥BC于点D,AD=1
2 BC,
∴AD=BD=CD,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,
∴∠BAD+∠CAD=1
2
×180°=90°,
∴顶角∠BAC=90°,
综上所述,等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°.
故答案为30°或150°或90°.
点睛:本题考查了含30°交点直角三角形的性质,等腰三角形的性质,分类讨论是解题的关键.
2.如图所示,ABC为等边三角形,P是ABC内任一点,PD AB,PE BC
∥,PF AC
∥,若ABC的周长为12cm,则PD PE PF
++=____cm.
【答案】4
【解析】
【分析】
先说明四边形HBDP是平行四边形,△AHE和△AHE是等边三角形,然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可.
【详解】
解:∵PD AB,PE BC
∥
∴四边形HBDP是平行四边形
∴PD=HB
∵ABC为等边三角形,周长为12cm
∴∠B=∠A=60°,AB=4
∵PE BC
∥
∴∠AHE=∠B=60°
∴∠AHE=∠A=60°
∴△AHE是等边三角形
∴HE=AH
∵∠HFP=∠A=60°
∴∠HFP=∠AHE=60°
∴△AHE是等边三角形,
∴FP=PH
∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm
故答案为4cm.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质,掌握等边三角形的性质是解答本题的关键.
3.如图,已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5,点 P 是 AD 上的一动点,则 PE+PF 的最小值是_____.
【答案】10
【解析】
利用正多边形的性质,可得点B关于AD对称的点为点E,连接BE交AD于P点,那么有PB=PF,PE+PF=BE最小,根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形,因此可知BE 的长为10,即PE+PF的最小值为10.
故答案为10.
4.如图,已知△ABC和△ADE都是正三角形,连接CE、BD、AF,BF=4,CF=7,求AF的长
_________ .
【答案】3
【解析】
【分析】
过点A作AF ⊥CE交于I ,AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD,再证明
CAI≅BAJ,求出°
7830
∠=∠=,然后求出
1
2
IF FJ AF
==,,通过设FJ x
=求出x,即可求出AF的长.
【详解】
解:过点A作AF⊥CE交于I,AG ⊥BD交于J
在CAE和BAD中
AC AB
CAE BAD
AE AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴CAE≅BAD
∴ICA ABJ
∠=∠
∴BFE CAB
∠=∠(8字形)
∴°
120
CFD
∠=
在CAI和BAJ中
°
90
ICA ABJ
CAI BJA
CA BA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠=
⎨
⎪=
⎩
∴CAI≅BAJ
,
AI AJ CI BJ
==
∴°
60
CFA AFJ
∠=∠=
∴°
30
FAI FAE
∠=∠=
在RtAIF和RtAJF中
°
30
FAI FAE
∠=∠=
∴12
IF FJ AF ==
设FJ x = 7,4CF BF ==
则47x x +=-
3
2x ∴=
2AF FJ =
AF ∴=
3
【点睛】
此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等,得出相关的边相等,学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.
5.如图,△ABC 中,AB =AC ,∠A =30°,点D 在边AB 上,∠ACD =15°,则AD BC
=____.
【答案】
22. 【解析】
【分析】
根据题意作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH =DH ,连接DH ,并设AD =2x ,解直角三角形求出BC (用x 表示)即可解决问题.
【详解】
解:作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH=DH ,连接DH .