等比数列单元测试题(一)百度文库

一、等比数列选择题

1．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（） A ．152 B ．142 C ．132 D ．122 2．若1，a ，4成等比数列，则a =（）

A ．1

B ．2±

C ．2

D ．2-

3．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）

A ．有最大项，有最小项

B ．有最大项，无最小项

C ．无最大项，有最小项

D ．无最大项，无最小项 4．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（）

A ．2±

B ．2

C ．3±

D ．3

5．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（） A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2

13a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则

n a 的表达式为（）

A ．12n

n a ??= ???

B ．1

12n n a +??= ???

C ．23n

n a ??= ???

D ．1

23n n a +??= ???

7．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =

（） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

8．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝1

4，且a n ＝1n n

b b +，则b 2020＝（）

A ．22017

B ．22018

C ．22019

D ．22020

9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记

{}n a 的前n 项积为n

，则下列选项错误的是（） A ．01q <<

B ．61a >

C ．121T >

D ．131T >

10．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（）

A ．3

B ．12

C ．24

D ．48

11．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，

416a =，则6S ＝（）

A ．32

B ．63

C ．123

D ．126

12．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（） A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

13．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58 A ．34

B ．35

C ．36

D ．37

14．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（） A ．

B ．1

C ．

D ．

15．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（） A ．16

B ．32

C ．64

D ．128

16．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为（） A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

17．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则3

S a =（） A ．2

B ．4

C ．

74 D ．

158

18．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（） A ．50

B ．60

C ．70

D ．80

19．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a +++

+=，24242k a a a +++=，

则k =（） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

20．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，66771

a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．681a a >

B ．01q <<

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为7T

二、多选题

21．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（）

A ．数列{}n a 为等比数列

B ．数列{}n S n +为等比数列

C ．数列{}n a 中10511a =

D ．数列{}2n S 的前n 项和为

2224n n n +---

22．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（） A

．

- C

．

+ D

23．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（） A ．数列{}n a 是等差数列

B ．2n

n a =

C ．数列{}2n

a 的前n 项和为2122

n +-

D ．数列11n n b b +??

?????

的前n 项和为n T ，则

1n T <

24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158

S =

C ．当1

p =

时，m n m n a a a +?= D ．3856a a a a +=+

25．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．数列2

{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列

D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1

26．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =

D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥

27．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（） A ．1{

a B ．2

2log ()n a

C ．1{}n n a a ++

D ．12{}n n n a a a ++++

28．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为

n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（）

A ．{}n a 是等比数列

B ．1a ，3a ，??? ，21n a -，???或 2a ，4a ，??? ，2n a ，???是等比数列

C ．1a ，3a ，??? ，21n a -，???和 2a ，4a ，???，2n a ，???均是等比数列

D ．1a ，3a ，??? ，21n a -，???和 2a ，4a ，??? ，2n a ，???均是等比数列，且公比相同 29．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（） A ．数列{}

n a 是等比数列 B ．数列{}1n n a a +是等比数列 C ．数列{

}

lg n a 是等比数列

D ．数列1n a ??

???

是等比数列 30．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．1p =时，415

S =

C ．当12

p =

时，()*

,m n m n a a a m n N +?=∈ D ．3856a a a a +=+ 31．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（）

A ．数列{}n S n +为等比数列

B ．数列{}n a 的通项公式为1

21n n a -=-

C ．数列{}1n a +为等比数列

D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---

32．已知数列{}n a 的首项为4，且满足(

12(1)0n n n a na n N

++-=∈，则（）

A ．n a n ??

???

为等差数列 B ．{}n a 为递增数列

C ．{}n a 的前n 项和1

(1)24n n S n +=-?+

D ．12n n a +??????的前n 项和2

n n n T +=

33．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得

64m n a a =，则（）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．2221

413n n

a a a -++

+= D ．m n +为定值

34．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．954S =

C ．135********a a a a a +++

D ．

222

122019

20202019

a a a a a +++= 35．数列{}n a 为等比数列（）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{

}

1n n a a ++为等比数列

D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．A 【分析】

根据29T T =得到7

61a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

由29T T =得：7

61a =，故61a =，即5

11a q =. 又2

121512a a a q ==，

所以9

512

q =，故12

q =

，所以()()21112

123411...2n n n n n n n T a a a a a a q

--??=== ???

所以n T 的最大值为15

652T T ==.

故选：A. 2．B 【分析】

根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】

由等比中项性质可得：

2144a =?=，

所以2a =±，故选：B 3．B 【分析】

首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】

设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比41

4141328a q

a -=

==，所以12

q =，则其通项公式为：1

16113222n n n n a a q ---??=?=?= ?

，

所以()

()

561154

62222

n n +n n n n n T a a

a ---==?==，

令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 4．D 【分析】

根据等比数列定义知3813q =，解得答案. 【详解】

4个数成等比数列，则3

813q =，故3q =.

故选：D. 5．A 【分析】

根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2

326a a a =，

即2

(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)

661(2)2422

S a d ?-?-=+=?+?-=-. 故选：A 6．D 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，111133(3)n S a na a n a -=-=-，该式可以为0，不是等比数列，当1q ≠时，11113311n n a a

S a q a q q

-=-

?+---，若是等比数列,则11301a a q -=-，可得2

q =，利用213a a =，可以求得1a 的值，进而可得n a 的表达式【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q

当1q =时，1n S na =，所以111133(3)n S a na a n a -=-=-，当3n =时，上式为0，所以{}13n S a -不是等比数列. 当1q ≠时，(

)1111111n n

n a q a a

q S q

q q

-==-

?+---，所以11113311n n a a

S a q a q q

-=-

?+---，要使数列{}13n S a -为等比数列，则需

11301a a q -=-，解得2

q =. 21

3a a =，2

123a ??

∴= ???

，

故2

1222333n n n n a a q -+-??????=?=?= ? ? ???

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n 项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311n n a a S a q a q q -=-?+---是等比数列，则11301a

a q

-=-，即可求得q 的值，通项即可求出. 7．C 【分析】

根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ．【详解】

设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，

因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42

340q q --=，

解得24q =或2

1q =-（舍），所以2q

，

又等比数列{}n a 的前4项和为30，

所以23

111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2

318a a q ==．

故选：C . 8．A 【分析】

根据已知条件计算12320182019a a a a a ????的结果为2020

b b ，再根据等比数列下标和性质求

解出2020b 的结果. 【详解】因为1

n n n

b a b +=

，所以3201920202020

12320182019123

201820191

b b b b b b a a a a a b b b b b b ????=

????

?=，因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =，所以()()

()123

201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ???=??????

22019

201910101010

1010101010102a a a a a =???==

所以

20192020

12b b =，又114

b =，所以201720202b =，故选：A. 【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(

2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，

（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；

（2）当{}n a 为等比数列，则有2

m n p q t a a a a a ?=?=.

9．D 【分析】

等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论．【详解】解：

等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，

67(1)(1)0a a ∴--<，

11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合

由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，

6121231267()1T a a a a a a =?=>，故C 正确，

1371T a =<，故D 错误，

∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．

故选：D ． 10．C 【分析】

题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项．【详解】

根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为

1a ，则有()717

12381

a S ?-=

=-，解得13a =，中间层灯盏数3

4124a a q ==，故选：C. 11．D 【分析】

根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2

260q q --=，∴2q 或3

q =-（舍去），

∵416a =，∴4

2a a q =

=，

∴6616(1)2(12)

126112

a q S q --=

==--，故选：D. 12．C 【分析】

根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项

公式可得1

21n n a -=+，即求.

【详解】

因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即

n n a a +-=-，所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.

则112n n a --=，即1

21n n a -=+.

因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 13．D 【分析】

假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】

设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000n

n a =>，解得 3.8333

log 1000 5.17lg3.8lg3810.58

n >=

=≈≈-，而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19?=．故选：D . 【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 14．D 【分析】

根据241a a =，由2

243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.

【详解】

因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，

由于2

243a a a =，

所以2

31a =，31a =，211a q =.

因为313S =，

所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q

=++-

得2

131q q q =++，即2

1210q q --=，解得13q =，或1

q =-（舍去）. 故选：D 15．A 【分析】

由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3

q ，再由()3

7s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.

【详解】

1234a a a ++=，4568a a a ++=.

∴3

2q =，

∴()3

78945616a a a a a a q ++=++=.

故选：A 16．B 【分析】

设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得

515(12)

512a S -==-，解得1531

a =

，由此能求出该女子所需的天数至少为7天．【详解】

设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，

由题意得515(12)

512a S -==-，解得1531a =

， 5

(12)

3120

n n S -∴=-，解得2125n ．因为6264=，72128=

∴该女子所需的天数至少为7天．

故选：B 17．C 【分析】

利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案【详解】

解：因为等比数列的公比为2，

所以313

12311(12)

7712244

a S a a a a --===?，故选：C 18．B 【分析】

由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】解：

数列{}n a 是等比数列，

3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，

即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列，易知公比2q

，

9616S S ∴-=，12932S S -=，

121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.

故选：B. 19．B 【分析】

本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++=得出()2284k q a a ++=，再

然后根据24242k a a a +++=求出2q

，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结

果. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，

即()2285184k q a a +

+=-=，

因为24242k a a a +++=，所以2q

，

则()21123

221112854212712

k k k a a a a a ++?-+++++=+==

-，

即211282k +=，解得3k =，故选：B. 【点睛】

关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 20．B 【分析】

根据11a >，66771

1,01

a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】

若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ?<与671a a ?>矛盾，

若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与671

a a -<-矛盾，所以01q <<，故B 正确；

因为

671

a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误；因为0n a >，01q <<，所以1

11n n a q a S q q

---单调递增，故C 错误；因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误；故选：B 【点睛】

关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.

二、多选题

21．BCD 【分析】由已知可得

11222n n n n S n S n

S n S n

++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得

2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公

式，可判断C ；

由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D . 【详解】

因为121n n S S n +=+-，所以

11222n n n n S n S n

S n S n

++++==++．

又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；

所以2n n S n +=，则2n

n S n =-．

当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11

121a -≠-，故A 错误；

由当2n ≥时，1

1n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；

因为1

222n n S n +=-，所以2

1222...2221222...22n n S S S n ++++=-?+-?++-

()()()23122412122...2212 (22412)

2n n n n n n n n n ++--?

?=+++-+++=

-+=---??-?

所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】

关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由

121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到

11222n n n n S n S n

S n S n

++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，

考查了推理运算能力，属于中档题, 22．AB 【分析】

因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案【详解】

解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+，整理得()()()2

111q

q q q -=-+，

因为1q ≠，所以21q q =+，因为0q >

，所以解得q =

， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即3

21q q =+，

整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=，因为0q >

，所以解得q =，

综上12q +=

或12

q -+=，故选：AB 23．BD 【分析】

根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1

,2n n

S n a S n =?=?≥?，求得通项n a ，然

后再根据选项求解逐项验证. 【详解】

当1n =时，12a =，

当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-，两式相减得：12n n a a -=，

又212a a =，

所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以2n n a =，24n

n a =，数列{}2n

的前n 项和为()14144414

n n n

S +--'=

-，则22log log 2n

n n b a n ===，

所以()11111

n n b b n n n n +==-??++，

所以 1111111

(11123411)

n T n n n =-+-++-=-<++，故选：BD 【点睛】

方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()

11122

n n n a a n n S na d +-=

=+②等比数列的前n 项和公式()

11,1

1,11n

n na q S a q q q =??=-?≠?

；

(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.

(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 24．ABC 【分析】

由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确．【详解】

由122(2)n n S S p n --=≥，得22

a =

. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，

又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1

的等比数列，故A 正确；由A 可得1p =时，441

11521812

S -

=-，故B 正确；由A 可得m n m n a a a +?=等价为212

1122

m n m n p p ++?=?，可得12p =，故C 正确；

3827

33||||22

128a a p p ??+=+=? ???，56451112||||22128a a p p ??+=+=? ???

，则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：ABC. 【点睛】方法点睛：

由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能

力. 25．AC 【分析】

根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】

设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠

则2

221

12(

)n n n n

a a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确；因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；

若123,a a a <<则12

11101a a a q a q q >?<<∴?>?或1001a q

，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；

若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211

323(1),3

a a q r r a a =

==∴=+=-，即D 错误故选：AC 【点睛】

等比数列的判定方法

(1)定义法：若1

(n n

a q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且2

12n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,n

n a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比

数列；

(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,n

n S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则

{}n a 是等比数列.

26．ACD 【分析】

根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】

因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ?=??=?=，因此选项A 正确；

因为131(31)132n n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132

n n S -==-，因为+1+11

1(3+3)+22

2=1+1+21+3(3+3)2

n n

n n n S S -=≠常数，所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确；因为5

51(31)=1212

S =

-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=?=>，

因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++?=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 27．AD 【分析】

主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定．【详解】

1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，

由等比数列的定义知1

{}n

a 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列．故选AD ．【点睛】

本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项

为0，则数列不可能是等比数列． 28．AD 【分析】

根据{}n S 为等比数列等价于2

n n

a a +为常数，从而可得正确的选项. 【详解】

{}n S 为等比数列等价于1n n S S +为常数，也就是等价于12

+1n n n n a a a a ++即2n n

a a +为常数.

对于A ，因为{}n a 是等比数列，故

n n

a q a +=（q 为{}n a 的公比）为常数，故A 满足；对于B ，取21221,2n

n n a n a -=-=，此时满足2a ，4a ，??? ，2n a ，???是等比数列，

1a ，3a ，??? ，21n a -，???不是等比数列，

n n a a +-不是常数，故B 错. 对于C ，取2123,2n n

n n a a -==，此时满足2a ，4a ，??? ，2n a ，???是等比数列，

1a ，3a ，??? ，21n a -，???是等比数列，21213n n a a +-=，2222n n

a +=，两者不相等，故C 错. 对于D ，根据条件可得2

n n

a a +为常数.

故选：AD. 【点睛】

本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基础题. 29．ABD 【分析】

分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】

根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1

n n

a q a +=，对于A ，对于数列{}

n a ，则有1

||n n

a q a ，{}n a 为等比数列，A 正确；对于B ，对于数列{}1n n a a +，有

1n n n n

a a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确；对于C ，对于数列{}

2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}

lg n a 不是等比数

列，C 错误；

对于D ，对于数列1n a ??????

，有11

11n n n n a a a q a --==，1n a ??

????为等比数列，D 正确.

故选：ABD . 【点睛】

本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 30．AC 【分析】

由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确．【详解】

由122(2)n n S S p n --=≥，得22

p a =

. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，

又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1

的等比数列，故A 正确；由A 可得1p =时，441

11521812

S -

=-，故B 错误；由A 可得m n m n a a a +?=等价为212

1122

m n m n p p ++?=?，可得12p =，故C 正确；

3827

33||||22

128a a p p ??+=+=? ???，56451112||||22128a a p p ??+=+=? ???

，则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：AC. 【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题． 31．AD 【分析】

由已知可得

11222n n n n S n S n S n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断A ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断B ；由

1231,1,3a a a ===可判断C ；

由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】

因为121n n S S n +=+-，所以

11222n n n n S n S n

S n S n

++++==++．

又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确；

所以2n n S n +=，则2n

n S n =-．

当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11

121a -≠-，故B 错误；

由1231,1,3a a a ===可得12312,12,14a a a +=+=+=，即

322111

a a a a ++≠++，故C 错；因为1

222n n S n +=-，所以2

1222...2221222 (2)

2n n S S S n ++++=-?+-?++-

()()()231

22412122 (2)

212 (22412)

2n n n n n n n n n ++--?

?=+++-+++=

-+=---??-?

? 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确．故选:AD ．【点睛】

本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前

n 项和，考查了分组求和．

32．BD 【分析】

由12(1)0n n n a na ++-=得

121n n a a n n +=?+，所以可知数列n a n ??

????

是等比数列，从而可求出12n n a n +=?，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于

222

n n n n a n n +++?==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +??????的前n 项和. 【详解】

由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=?+，所以n a n ??

????是以1141a a ==为首项，2为公比的

等比数列，故A 错误；因为11422n n n

a n

-+=?=，所以12n n a n +=?，显然递增，故B 正确；

因为23

112222n n S n +=?+?+

+?，342212222n n S n +=?+?++?，所以 2

1222

n n n S n ++-=?++

+-?(

)222122

n n +-=

-?-，故

2(1)24n n S n +=-?+，

故C 错误；因为1

222n n n n a n n +++?==，所以12n n a +??????的前n 项和2

(1)22n

n n n n T ++==，故D 正确. 故选：BD 【点晴】

本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.