三种宇宙速度的推导

三种宇宙速度及其推导

文 positron

在地面附近水平抛出一个物体，有常识即可得知，施力越大，物体获得的出速度越大，则物体将被抛出的越远。牛顿就曾设想，在高山抛出一个物体，如果速度足够大，物体的飞行距离可以大到等于或大于地球在周长时，物体将不再落回地球表面。

由上，将航天器从地球表面发射，可以绕地球做圆周运动，其半径等于地球半径时所必须具有的最小发射速度定义为第一宇宙速度，也叫“环绕速度”。任何一个具有第一宇宙速度的物体从地面上发射，都不会再落回地面。但此时，航天器仍在地球引力场的束缚之下，要想摆脱地球引力场的束缚，速度必须继续加大。继续定义航天器从地球表面发射，能够摆脱地球引力场，永远离开地球所必须具有的最小发射速度为第二宇宙速度，也叫“脱离速度”或 “逃逸速度”。但此时，航天器仍在太阳引力场的束缚之下，当发射速度继续增大，可以使航天器摆脱太阳的引力束缚，即将从地球表面发射航天器，不仅使航天器摆脱地球的引力场，还要使航天器摆脱太阳的引力场所必须具有的最小发射速度定义为第三宇宙速度。

简单的推导过程：

第一宇宙速度c V ：

现假设航天器的轨道为匀速圆周轨道，则第一宇宙速度由不使航天器落地，由能自由绕地球做匀速圆周运动所需的能量决定。 所以由向心力公式：r V m F 2= 以及万有引力公式：2r

Mm G F =可得：r GM V = 当Ｍ为地球质量kg 24

10965⨯．，r 为地球半径6378.5时，代入即可得第一宇宙速度

s km R GM V c /9.7==⊕

⊕。此为航天器在地球表面时，脱离地球引力需要的最小速度。 第二宇宙速度e V ：

法一：

航天器如果要脱离地球引力，需要克服地球引力场作功，由万有引力公式：2r

Mm G

F =，由零到无穷远积分可得r Mm

G dr r Mm G

=⎰∞02

航天器的初始动能等于克服引力场所作的功，即

⊕⊕⊕

⊕=⇒=R GM V R m M G mV e e 2212，即为第二宇宙速度公式，代入数据即可

得第二宇宙速度s km V e /2.11=。 法二：

航天器如需脱离地球引力的束缚，则至少需要抛物线轨道，此时地球在抛物线的焦点上。当航天器从地球表面发射时，抛物线顶点与地球表面相交，焦点在地球中心。

地球半径为⊕R ，则航天器轨道抛物线方程为：221x R y ⊕

= 由曲率半径公式：232232)41(2|''|)'1(⊕

⊕+=+=R x R y y ρ 在顶点处，0=x ，所以⊕=R 20ρ

则由牛顿第二定律ma F =，自然坐标加速度公式ρ2

v a =，万有引力公式2

r Mm G F =，三式联立得：222

2⊕⊕⊕==R m M G R V m v m e ρ ⇒ ⊕⊕

=R GM V e 2 代入数据即可得第二宇宙速度s km V e /2.11=。

第三宇宙速度：

第三宇宙速度的计算比较复杂，近似计算方法如下，分三部计算： １、地球轨道上太阳的逃逸速度，由上述第二宇宙速度公式r

GM V 22=

，代入Ｍ为太阳质量， r 为地球轨道半径，即可得=2V 42.1km/s ； ２、地球的公转速度为29.8km/s ，如果航天器发射时的速度方向与地球公转速度方向一致，则可以节约大量能源，可以用最小的速度发射，所以有

s km V /3.128.291.42'=-=，

'V 为航天器的剩余速度，为航天器克服地球引力的所需的剩余能量；

３、航天器克服地球引力所消耗的能量加上剩余能量等于航天器的初始动能，即

23222

1'2121mV mV mV e =+ ⇒ s km V V V e /7.16'223=+=

即为第三宇宙速度。

利用行星运动方程的推导： 由牛顿第二定律：2

2dt d ma F ==以及万有引力定律：2r Mm G F =可以得到 r

m M G dt r d 322+= 即为行星运动方程，当然也适用于航天器。对上式积分可得：

2

22r m M G dr vdv dr dr dt dv dt dv dt r d +==== 即dr r m M G vdv 2

+= 积分得：C r m M G v ++-=22

确定积分常数C 可得：

)12)((2a

r m M G v -+= ——活力公式 a 为轨道半长径；

当a r ≈（假设轨道接近正圆），且m<

GM V =2 所以对航天器，M 取地球质量，a 取地球半径，代入上式即可得到第一宇宙速度：

s km R GM V c /9.7==⊕

⊕

要脱离地球的引力，得到“脱离速度”或是“逃逸速度”即第二宇宙速度，则至少要进入抛物线轨道，即∞→a ,由活力公式可得：

s km R GM V e /2.112==⊕⊕。