概率论与数理统计在通信中地应用

1博弈论在通信中的应用

博弈论之所以能在通信中应用是由于无线资源的稀缺性所致。以移动通信中的功率分配为例，接入系统的用户都希望分配到更多的功率，更多的资源意味着更好的服务和更高的通信质量。以每个用户作为博弈的主体，通过每个主体之间的博弈得到一个均衡的局面，让每个用户既能获得较好的服务又不至于因获得资源过多而干扰到其他用户，博弈论的应用显得尤为重要。

在博弈论中，含有占优战略均衡的一个著名例子是由塔克给出的“囚徒困境”（prisoners’ dilemma ）博弈模型。该模型用一种特别的方式讲述了一个警察与小偷的故事。假设有两个小偷A 和B 联合犯事，私入民宅被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果两个犯罪嫌疑人都坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪，各被判刑8 年；如果只有一个犯罪嫌疑人坦白，另一个人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑2 年，而坦白者有功被减刑8 年，立即释放。如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1 年。表2.1 给出了这个博弈的支付矩阵。

表2.1 囚徒困境博弈[Prisoner's dilemma]

2概率论在通信中的应用

信息具有不确定性，载有信息的信号是不可预测的，并且带有某种随机性，在信息的传输过程中，并非所有的信息都是有用的，而无用的那一部分，则被我们称为噪声。噪声更具有不确定性，并且也是不可预测的。在移动通信时，电磁波的传播路径在不断变化，同时，接收信号也是随机变化的。这时，通信中的信号源、噪声，以及信号传输特性都需要使用随机过程来描述。

对于随机过程，我们可以知道它是一个给定的时间函数；同时，在给定的任一时刻t1，全体样本在t1时刻的取值()tξ是一个不含t变化的随机变量。随机过程具有随机变量和时间函数的特点。随机过程的统计特性可以由分布函数和概率密度函数来描述，它可以分为一维、二维、...n维，当n越大时，则对随机过程的描述就越充分。同时我们也可以通过随机过程的数字特征（即均值、方差以及相关函数）更加简单直观的来描述随机过程的统计特性。

随机过程的统计特性：

1）一维分布函数

2）一维概率密度函数

3）二维分布函数和二维概率密度

4）n维分布函数和n维概率密度函数

随机过程的数字特征

1）数学期望（均值或统计平均）

设随机过程()tξ在给定的时刻t1的取值()t1ξ是一个随机变量，

起概率密度函数为

()t x f 1

11

则()t 1

ξ的数学期望为

()[]

()x t x f x t d E 1

1

1

1

1

1,?

∞

∞

-=ξ因为，t 1使任意取得，所以 可以将t 1

直接记

为t ，而x 1可以直接写为x ,这时，上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，所以上式可以写为 ()[]()dx t x x t E f ?∞

∞-=,1ξ 对于均值性质如下： 1）设C 是常数，则有E(C)=C;

2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E(CX)=CE(X)； 3）设X 和Y 是任意两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)； 4）设X 和Y 是任意两个相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X).E(Y)。 本性质可以推广至任意个相互独立的随机变量之积的情况。 2）方差

方差就是均放置与均值平方之差，它表示在随机时刻t 对于均值的偏离程度。 3）相关函数

对于一维的概率密度函数用均值和方差就可以描述，对于二维概率密度函数的描述则仍需要引入概率论与数理统计学中的相关函数和协方差来对随机过程进行描述。 协方差函数

()()()[]()()[]

{}t t t t t t a a E B 221121,--=ξξ

=()[]()[]()dx dx t t x x f t x t x a a 212;12122211;,??∞

∞-∞

∞---式中：t 1、t 2——

为任意两个时刻；

()t a 1、()t a 2——所选取的两个时刻所得到的数学期望；

()t t x x f 2

,

1;2,

12

——二维概率密度函数。

相关函数

()()()[

]

()dx dx t t x x f x x t t t t E R 2

1

2

,

1;2,

12

2

1

212,1?

?∞

∞-∞

∞

-==ξξ

式中：t 1、t 2——任取的两个时刻；

()t t x x f 2

,

1;2,

12

——二维概率密度函数

通过这些就可以对随机过程进行描述。通过对随机信号的描述我们可以正确的对信号做出判断和处理。

3.概率论在在信号的统计检测与估计中的应用

在对随机信号进行处理的过程中，我们难以避免的会遇到噪声和干扰，噪声和干扰会使我们在接收信号时，无法确定我们所收到的信号是否正确，更加的在增加了接收信号的不确定性，从而使信号的传输和接收产生误差。为了解决这个问题，在有限的条件下判断出信号的正确性，就需要通过统计推断中的假设检验理论来解决这个问题。 在统计学中，经过人们的长期实践，使得假设检验的一般过程比较明确。由于要检验的假设涉及总体均值μ，所以我们首先可以想到的是是否可以借助样本的均值x 这一统计量来进行判断。我们知道X 是μ的无偏估计，X 的观察值x 的大小在一定程度上，反映了μ的大小，所以，如果假设H 0为真，则一次实验的观察值x ，满足不等式

z a n

x 20

≥-σμ

几乎是不会发生的。现在，在一次实验中出现了满足z a n

x 20

≥-σμ

的x ，则我们可以怀疑原来假设的H 0的正确性而拒绝

H 0，

若出现的观测值x 满足z a n

x 20

<-σμ

，

此时没有理由拒绝假设H 0，因此，只能接受H 0.

在信号的统计检测与估计中，对于假设检验的定义是认为一个被观测的物理系统可能出于M 个状态之一。我们就称“系统处于状态

j (j =1,2,...,M)为假设H j ”。

由于 对系统一般只能进行有限的检测，假定观测数据矢量为

[]v v v N v

T

~,...,~,~21~=，?

∈N

v ~，并令，()v P j ~为H j 为真时的观测数据为

v

~的条件概率密度；()M j j

,...,2,1=ζ为系统出于H

j

时的先检概率，显

然有

()1~0≤≤v

P j 及 ()??N

v d v P j

~

~=1

10≤≤ζj

及

11

=∑=M

j j

ζ

()v

P j

~又称为转移概率，它一般只决定于干扰与噪声。因为我们只能根据数据观测量来判断系统处于何种状态，但因为v

~是随机矢量，N 有限，所以要检测结果完全正确也是不可能的。

要判别在实际过程中，随机信号和有用信号存在的检测问题归结为:判别为在H H H M 1,1,0...-等M 个假设中的哪一个假设为真的问题。

经过进行统计判决的经验积累，在假设检验对信号进行统计判决时，一般遵循以下步骤：首先要对信号做出原假设；其次，选择出判决所要遵循的最佳准则；然后，进行试验，来获得进行信号统计所需要的资料；最后，根据数据和给定的最佳观测来进行统计判决。

这样，我们就可以根据判决结果来判断出信号的有无，从而使信号的接收和传输简便，避免了在接收信号时遇到的噪声和干扰，不易出现误差。

4概率论在网络编码感知的路由判据中的应用

Katti等提出的基于机会的网络编码方法(COPE)首次研究了网络编码在无线环境中的协议层面上具体实现的问题。在COPE 中, 每个节点编码组合数据后, 进行基于机会的路由。COPE的主要思想是节点首先对传输信道进行侦听,获取其邻居的相关信息，决定进行编码的机会，并在本地的先入先出FIFO(First Input First Output)缓存结构内进行编码，然后进行基于机会的路由。COPE协议要求每个节点利用本地信息各自决定哪些数据包需要进行编码以及如何进行编码。若节点Vi的发送队列中的k个数据分组p1,p2,…,pk能一起编码，构造一个能被下一跳节点正确解码的数据分组，则必须满足以下解码条件：每个参与编码的数据分组pj的下一跳节点Vj都获得除pj之外的其他参与编码的数据分组。

覃团发等由此提出了一种基于网络编码的无线Mesh路由协议，应用马尔科夫链模型，定义了网络编码感知的路由判据。代替了传统的期望传输次数(ETX)、期望传输时间(ETT)等判据，引入了COPE 中的期望资源消耗(ERC)判据，每个节点都维护着一个链路缓存用来存储链路的ERC信息。一旦链路的ERC信息发生变化，节点重新计算到达其他节点的最优路径。网络中的节点根据这一判据作出路由选择，能增加网络编码机会，降低网络资源消耗，最大化网络编码效率。

5.模糊理论在通信中的应用

模糊理论是指用到了模糊集合的基本概念或连续隶属度函数的理论。它可分类为模糊数学，模糊系统，不确定性和信息，模糊决策这五个分支，它并不是完全独立的，它们之间有紧密的联系。

模糊理论最近在通信中的应用越来越多，特别是用于智能识别、判断中。