复合函数零点问题
复合函数零点问题
1：设定义域为R 的函数()1
,111,1x x f x x ?≠?
-=??=?
，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由
3个不同的解123,,x x x ，则2
2
2
123x x x ++=______
思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为
()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得：
1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=
2：关于x 的方程()2
22
13120x x ---+=的不相同实根的个数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 8
思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 3：已知函数
11()||||f x x x x x
=+
--，关于x 的方程2
()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是． 思路：所解方程
2()()0f x a f x b ++=可视为
()()2
0f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2
,12,012,102
,1x x x x f x x x x x
?>??
<≤?=?--≤
可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以
()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-
4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22
x x f x f x x -?-<≤?
=?->??，则关于x 的方程
()()2
610f x f x --=????的实数根个数为（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9 思路：已知方程()()2
610f x f x --=????可解，得
()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23
y y ==-
与()y f x =的交点个数即可。由奇函数可先做出
0x >的图像，2x >时，()()1
22
f x f x =
-，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩
为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点
5.已知函数()2
43f x x x =-+，若方程()()2
0f x bf x c ++=????恰有七个不相同的实根，
则实数b 的取值范围是（）
A. ()2,0-
B. ()2,1--
C. ()0,1
D. ()0,2 思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为
()()2
0f x bf x c ++=????最多只能解出2个()f x ，若要出七
个
根
，
则
()()()
121,0,1f x f x =∈，所以
()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈--
例6：已知函数()2
1,0
log ,0ax x f x x x +≤?=?>?，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断
正确的是（）
A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点
B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点
C. 无论a 为何值，均有2个零点
D. 无论a 为何值，均有4个零点
思路：所求函数的零点，即方程()1f f x =-????的解的个数，先作出()f x 的图像，直线
1y ax =+为过定点()0,1的一条直线，但需要对a 的符号进行分类讨论。当0a >时，图
像如图所示，先拆外层可得()()1221
0,2
f x f x a =-
<=，而()1f x 有两个对应的x ，()2f x 也有两个对应的x ，共计4个；当0a <时，()f x 的图像如图所示，先拆外层可得()1
2
f x =
，且()1
2
f x =
只有一个满足的x ，所以共一个零点。结合选项，可判断出A 正确
7.已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =????有且只有6个根 （2）方程()0g f x =????有且只有3个根 （3）方程()0f f x =????有且只有5个根 （4）方程()0g g x =????有且只有4个根
则正确命题的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x 的总数。
（1）中可得()()()()()1232,1,0,1,2g x g x g x ∈--=∈，进而()1g x 有2个对应的x ，()2g x 有3个，()3g x 有2个，总计7个，
（1）错误； （2）中可得()()()()122,1,0,1f x f x ∈--∈，进而()1f x 有1个对应的x ，()2f x 有3个，总计4个，（2）错误；
（3）中可得()()()()()1232,1,0,1,2f x f x f x ∈--=∈，进而()1f x 有1个对应的x ，()2f x 有3个，()3f x 有1个，总计5个，
（3）正确； （4）中可得：()()()()122,1,0,1g x g x ∈--∈，进而()1g x 有2个对应的x ，()2g x 有2个，共计4个，（4）正确 则综上所述，正确的命题共有2个
8.已知定义域为R 的函数2log (1),1,()1,1,2,1,x x f x x x +>-??
==-??<-?若关于x 的方程
2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解
123,,[1,)x x x ∈-+∞，则123()f x x x b c ++++=（ A ）
A. 2log 5
B. 2log 6
C. 3
D. 2 方法解析：利用数形结合思想解决。
分析：2
()()0f x bf x c --=必有两个根，分别为2和1.
9.定义在R 上的函数1
,1()11,1
x f x x x ?≠?=-??=?，若关于x 的方程2
()()10f x bf x +-=有三个不
同的实数解123,,x x x ，则123x x x ++=（ A ）
A 、3
B 、2
C 、1b --
D 、b 10.定义在R 上的函数2log |1|,1()1,1
x x f x x -≠?=?
=?，若关于于x 的方程2
()()0
f x bf x c ++=
恰有三个不同的实数解123,,x x x ，则123()f x x x ++=（ B ） A 、0 B 、1 C 、3lg 2 D 、23log 3
11.已知函数()()222
,12{
log 1,1
x x f x x x +≤=->，则函数()()()322
F x f f x f x =--的零点个数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【解析】解：令t=f （x ），F （x ）=0，则f （t ）﹣2t ﹣
3
2
=0，
12.定义域为R 的函数f (x )＝?
????
lg|x －2|，x ≠2，
1，x ＝2，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0恰有5个
不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝( )
A ．1
B ．3lg 2
C ．2lg 2
D ．0
解析：选B 由函数f (x )的解析式可知，函数f (x )的图象关于x ＝2对称，因为关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0恰有5个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，所以方程一定有一个根为f (x )＝1，而另一个根f (x )≠1.根据f (x )的解析式可知，f (x )＝1有3个解，一个是2，另外两个关于x ＝2对称，其和为4；而另一个根f (x )≠1，它有两个解关于x ＝2对称，则这两个根的和为4，所以这5个根的和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝10，所以f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝f (10)＝lg|10－2|＝3lg 2.
()12
.9
.8
.6
.,
80)(,
0,,
0,2)(.132D C B A D C a x f f x x ax x x a x x f -=???≥-<+=）的值可能是（则实数个不同的实根有的方程若关于已知函数 ()）
的零点个数为（则函数已知函数41)()(,3,1
4,
31,)1(log )(.142-=???
??≥-<<-+=x f f x g x x x x x f ().
)()()2(;)()()(,0)1(.
1)(,24)(.142的取值范围恰有三个零点，求实数若函数（图像法不给分）恰有一个负零点求证：函数若已知函数m x g f x h x g x f x h m e x g m mx x x f x =-==-=-+-= 请说明理由。
取值范围；若不存在，的存在，求出实数上恰有一个实数解？若在的方程，使关于是否存在实数的值的最值及取得最值时求函数设的值求处去的最小值在已知函数k ),0()0,(0
)3122
()12(.2.2,21,)12(.1)
()()2(.
,)1(.0112)(.152+∞?-∞=--+-??
?
???∈-==
=++-=x x x k g x k x x g y x
x f x g b a x b x ax x f