新阈值函数

设有一观测信号：
)()()(tntstx
（3-1）
其中x(t)为含噪信号，s(t)为原始信号，n(t)为加入的噪声。
对x(t)作离散小波变换，可得：

Njkjkjkjnsx,,2,1,0),,(),(),(

（3-2）
其中ωx(j,k)，ωs(j,k)，ωn(j,k)分别是含噪信号、原始信号和噪声信号在第j层上的
小波系数，分别记作ωj,k，μj,k，vj,k；j为小波变换的最大分解层数；N为信号的
长度。如果可以准确估计出原始信号的小波系数μj,k，则可以通过小波重构就可
以获得准确的原始信号，因此小波去噪问题就化为了原始信号的小波分解系数
μ
j,k
的估计问题。

小波阀值去噪方法的基本思想是：当ωj,k小于某一阀值时，ωj,k主要由噪声
引起，可认为ωj,k≈vj,k，并将其舍去；当ωj,k大于某一阀值时，小波系数主要有信
号引起，可认为ωj,k≈μj,k。
小波阀值去噪方法的关键步骤是阀值处理，这部分发至的估计和阀值函数的
选取。D.L Donoho提出的软、硬阈值函数分别如式(3-3),(3-4)。









kjkjkjkjkj,,,,,,0
),)(sgn(

（3-3）








kjkjkjkj,,,,,0
,

（3-4）
其中sgn()为符号函数，阀值λ为Nlog2，σ为噪声的标准差，可通过最

小尺度上的小波系数来估计，其估计值6745.0)(*2,1kmedian，其中median(|ω1,k|)
表示取第一层小波变换系数ω1,k幅值的中间值，N为信号长度。
软、硬阈值方法虽然在实际中的得到了广泛的应用，也去得了较好的效果，
但他们本身存在着较多的缺点：
（1）软阈值法 该阈值方法函数在小波域内对于大于阈值的小波系数采
取恒定值压缩，这与噪声分量随着小波系数增大而逐渐减小的趋势不相符。
（2）硬阈值法 该阈值函数在整个小波域内只对小于阈值的小波系数进
行处理，对大于阈值的小波系数不加处理，与实际情况下大于阈值的小波系数也
存在噪声信号的干扰不相符，势必影响信号重构的精度。
针对软、硬阈值法的缺陷，提出了一种新的改进阈值函数：









kjkjkjkjkj,,,,,,0
),)(sgn(

（3-5）
它是介于软、硬阈值发之间的一个灵活选择。其中ɑ∈[0，1] 为一调整参数，
特别地，如果ɑ=0，则上式为硬阈值方法，ɑ=1时为软阈值方法。但其中的待定
参数ɑ需要根据信号的实际情况通过反复试验来确定合适的值。这给其实际应用
增加了困难，针对这个情况，本文从信号熵的关系出发，给出了小波熵最大条件
下的最优软阈值去噪方法。

以上是前提
接下来是算法步骤：
寻找最佳待定参数的算法如下：
（1）计算被噪声污染的信号的小波变换；选择合适的小波和小波分解层数，
得到相应的小波分解系数ωj,k；
（2）对分解得到的小波系数ωj,k运行新阈值函数式









kjkjkjkjkj,,,,,,0
),)(sgn(

进行阈值处理，分别通过式

kjkjkjkjkj,,,,,,0),)(sgn(和式







kjkjkjkjv,,,,,
,0

得到有用信号的小

波系数估计值μj,k和滤掉的噪声小波系数估计值vj,k；
（3）根据离散随机变量的最大熵原理，对于不同的参数α ，分别由式




iimiiiiiijmjiimiiiiiijssjmjssjsEEEEW222212,1222212,1ˆˆˆˆlogˆˆˆˆlog






和式






mjmjiimiiiiiijiimiiiiiijnnjnnjnvvvvvvvvEEEEW11
222212,2222
1

2
,

ˆˆˆˆlogˆˆˆ

ˆ

log


计算有用信号的小波熵Ws和滤掉的噪声的小波熵Wn，再根据W=Ws+Wn求出
信号的小波熵之和。当小波熵之和最大时，得到α为最佳参数值，此时的式









kjkjkjkjkj,,,,,,0
),)(sgn(

即为最优阈值函数。