上海中考数学压轴题精析

20XX 年上海中考数学压轴题精选精析

（20XX 年上海）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第

（3）小题满分5分）

已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB

=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长；

（2）在图8中，联结AP ．当32AD =

，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ

PBC S y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关

于x 的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．

（20XX 年上海25题解析）解：（1）AD=2，且Q 点与B 点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA ，

因为∠A=90。 PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC 为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,

（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H ，h ，

则：S1=（2-x ）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2 S2=3*h/2 因为两S1/S2=y ，消去H,h,得：

Y=-(1/4)*x+(1/2),

定义域：当点P 运动到与D 点重合时，X 的取值就是最大值，当PC 垂直BD 时，这时X=0，连接DC,作QD 垂直DC ，由已知条件得：B 、Q 、D 、C 四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC 相似于三角形ABD

QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t ，由勾股定理得：

直角三角形AQD 中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2

直角三角形QBC 中：3^2+x^2=(5t)^2

整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0

得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:

Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8] A D P C B Q 图8 D A

P

C B （Q ） 图9 图10 C A

D P

B Q 2

(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ 不垂直PC ，则可以作一条直线PQ ′垂直于PC ，与AB 交于Q ′点，

则：B ，Q ′，P ，C 四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：

PQ ′/PC=AD/AB,

又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q ′与点Q 重合，所以角∠QPC=90。

A D

P

C B

Q

图8 D A P C

B （Q ） 图9 图10 C

A D P

B Q