最新高中数学竞赛知识点
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数学
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均值不等式
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被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均3
数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调4
几算方”。
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其中：，被称为调和平均数。
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，被称为几何平均数。
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，被称为算术平均数。
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，被称为平方平均数。
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一般形式
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设函数（当r不等于0时）；（当11
r=0时），有时，。
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可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即
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。
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特例
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⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅
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当a=-b时取“=”号）
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⑵对非负实数a,b，有，即
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⑶对非负实数a,b，有
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⑷对实数a,b，有
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⑸对非负实数a,b，有
⑹对实数a,b，有
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⑺对实数a,b,c，有
⑻对非负数a,b，有
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⑼对非负数a,b,c，有
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在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：
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当n=2时，上式即：
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当且仅当时，等号成立。
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根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。
排序不等式
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基本形式：
排序不等式的证明
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要证
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只需证
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根据基本不等式
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只需证
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∴原结论正确
棣莫弗定理
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设两个复数（用三角形式表示），则：
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复数乘方公式：.
圆排列
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定义
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从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同
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元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相48
同。
计算公式
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n个不同元素的m-圆排列个数N为：
特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。
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费马小定理
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费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且
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(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只55
有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
组合恒等式
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组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。
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基本的组合恒等式
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nC(k,n)=kC(k-1,n-1)
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C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)
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∑C(i,n)=2^n
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∑[(-1)^i]*C(i,n)=0
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C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）
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C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)
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C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n)
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韦达定理
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逆定理
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如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程
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的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5]
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推广定理
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韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程
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根与系数的关系。
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定理：
设（i=1、2、3、……n）是方程：
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的n个根，记k为整数），则有：。[ 实系数方程虚根成对定理：
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实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也80
是一个根。
无穷递降法
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无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：
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假设方程有解，并设X为最小的解。
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从X推出一个更小的解Y。
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从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。
孙子定理
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又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：
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有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
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中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，91
方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设
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是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数：方程组的通解
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形式：
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在模的意义下，方程组只有一个解：
同余
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同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表
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示:
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1)a≡a(mod d)
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2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
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3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)
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如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
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4)a+b≡x+m （mod d）
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其中a≡x (mod d)，b≡m(mod d)
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5)a-b≡x-m (mod d)
其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)
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6)a*b≡x*m (mod d )
其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)
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7）a≡b（mod d）则a-b整除d
欧拉函数
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