高中数学竞赛历届IMO竞赛试题届完整中文版
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。
为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。
请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。
墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。
因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。
因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。
当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。
当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。
所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。
求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
全国高中数学奥林匹克竞赛试题
全国高中数学奥林匹克竞赛试题一、设集合A为所有满足条件“能被3整除且末位数字为7”的正整数的集合，集合B为所有满足条件“能被7整除且末位数字为3”的正整数的集合。
则集合A和B的交集：A. 只含有一个元素B. 含有有限个元素C. 含有无限多个元素D. 为空集（答案）C二、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a + 2b = 3c，且sin A : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则cos C的值为：A. 1/5B. -1/5C. 3/5D. -3/5（答案）B三、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图像经过点(0,1)，且在x=1处取得极值，在x=-1处取得最值。
则a+b+c的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）D四、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = -23，且S10 = S14，则S20的值为：A. -110B. -90C. -70D. -50（答案）C五、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)，其左焦点为F，过F作直线l 交椭圆C于A、B两点。
若|AF| = 3|FB|，且cos∠BFA = -5/13，则椭圆C的离心率为：A. √2/2B. √3/2C. 2√2/3D. √5/3（答案）A六、设函数f(x) = ex - ax - 1，若存在唯一的实数x0，使得f(x0) = 0，则实数a的取值范围为：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a > 1D. a = 1（答案）C七、已知向量a = (1,2)，b = (2,m)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是：A. m > -1 且 m ≠ 4B. m > 4C. m ≠ 4D. -1 < m < 4（答案）A八、设函数f(x) = ln(x + 1) - x2/2，若对所有的x ∈ [0, +∞)，都有f(x) ≤ ax + b ≤ x2/2 + ln(x + 1)成立，则a + b的最大值为：A. -1B. 0C. 1/2D. 1（答案）B。
第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答 (1)
。
2
，( 借) <丝掣( 2) ． 舒任意n，6∈I，口<6，当A>0时恒有
剖析：这里( 1) 与( 2) 等价是有条件的，并不 是对任意的函数，( z) 都成立的．如反例：
当J =Q( 有理数) ，A为无理数时，则对于任
意 的 口 ， 6， ∈ Q， 厂 (z)=z2， 有 竿 尝 ∈ Q， 所 以
6．在凸四边形ABcD中，BA≠BC，∞l 和 甜z 分 别足△ABC和△ADC的内 切圆．假 没存 在一个圆 鲫与射线BA相 切( 切点不在 线段BA 上)，与射线BC相切( 切点不在线段BC上) ，且
与直线AD和直线CD都相切．证明：圆叫1和 c【J 2 的两条外公切线的交点在圆cc ，上．( 俄罗斯提供)
作圆的一条平行于ac的切线z靠近边上海中学数学2008年第l324006浙江省衢州高级中学吴光耀严密性是数学的三大特点之一数学计算与教学证明的严密性既是数学科学的特点又可以训练思维使学生细心周密而这些素质又指导学生去思考生活工作中的问题使他们养成周密稳重的习惯有助于提高基本素质
上海中学数学·2008年第l O期
证明：由于n一2Rs i nA，6—2Rs i nB，c一
2Rsi nC只要证：
■ — — i 忑 ■ 一 s i n2A+s i n2B
十
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n2B— si n2C
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AC的那条) ，设 z与圆鲫相切于点丁，下证B，y， T三点共线．
田●
如图4，设z 与射线BA，BC分别交于点A1， C1，则圆御是三角形BAl Cl 的关于顶点B的旁 切圆，T是它与A1Cl 的切点，而圆叫3是三角形 BAC关于点B的旁切圆，圆螂与AC相切于点 V．则由Al Cl ∥AC知，△BAC和△BAl C1以B 为中心位似，而V，T分别是对应旁切圆与对应 边的切 点，因此 y，丁 是这一对位 似形中的 对应 点，而B是位似中心，故B，V，T共线，从巾i 命题 得证．
imo数学竞赛试题及答案
imo数学竞赛试题及答案IMO数学竞赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可以是：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：ABC3. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 236B. 284C. 312D. 376答案：B二、填空题4. 一个数的平方根是3，那么这个数是_________。
答案：95. 一个等差数列的前三项分别是2，4，6，那么它的第10项是_________。
答案：22三、解答题6. 证明：对于任意的正整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 总是能被30整除。
解答：首先，我们可以将 \( n^5 - n \) 分解为 \( n(n^4 - 1) \)。
接下来，我们注意到 \( n^4 - 1 \) 可以表示为 \( (n^2 +1)(n^2 - 1) \)。
而 \( n^2 - 1 \) 可以进一步分解为 \( (n +1)(n - 1) \)。
因此，我们有：\( n^5 - n = n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) \)。
由于 \( n \) 是正整数，\( n - 1 \) 和 \( n + 1 \) 也是整数。
这意味着 \( n^5 - n \) 中至少包含因子2和3（因为 \( n^2 + 1 \) 至少是奇数，从而至少包含一个2的因子）。
因此，\( n^5 - n \)可以被30整除。
7. 一个圆的半径是15厘米，求圆的面积。
解答：圆的面积可以通过公式 \( A = \pi r^2 \) 计算，其中\( A \) 是面积，\( r \) 是半径，\( \pi \) 是圆周率，约等于3.14159。
将给定的半径 \( r = 15 \) 厘米代入公式，我们得到：\( A = \pi \times 15^2 = \pi \times 225 \approx 706.86 \)平方厘米。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.证明：（1）因为
所以，数列 成等比数列 ……5分
于是
即数列 的通项公式 ……10分
（2）法1：因为 对任意的正整数n都成立，故
由（1）知
∴共有C 种比赛方式．
三．(15分)长为 ，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．
解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE= = ．其体积V= ( )2· = π．同样，
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)
解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．
2020年IMO高中数学竞赛真题
星期一,21.九月2020第1题.考虑凸四边形ABCD.设P是ABCD内部一点.且以下比例等式成立:∠P AD:∠P BA:∠DP A=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BP C.证明:∠ADP的内角平分线、∠P CB的内角平分线和线段AB的垂直平分线三线共点.第2题.设实数a,b,c,d满足a≥b≥c≥d>0,且a+b+c+d=1.证明:(a+2b+3c+4d)a a b b c c d d<1.第3题.有4n枚小石子,重量分别为1,2,3,...,4n.每一枚小石子都染了n种颜色之一,使得每种颜色的小石子恰有四枚.证明:我们可以把这些小石子分成两堆,同时满足以下两个条件:•两堆小石子有相同的总重量;•每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.星期二,22.九月2020第4题.给定整数n>1.在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站.有两家缆车公司A和B,各运营k辆缆车;每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站).A公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同,并且起点较高的缆车，它的终点也较高.B公司的缆车也满足相同的条件.我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动).确定最小的正整数k,使得一定有两个车站被两个公司同时连接.第5题.有一叠n>1张卡片.在每张卡片上写有一个正整数.这叠卡片具有如下性质：其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n,使得可以推出这叠卡片上的数均相等?第6题.证明:存在正常数c具有如下性质:对任意整数n>1,以及平面上n个点的集合S,若S中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条分离S的直线ℓ,使得S中的每个点到直线ℓ的距离不小于cn−1/3.(我们称直线ℓ分离点集S,如果某条以S中两点为端点的线段与ℓ相交.)注.如果证明了比cn−1/3弱的估计cn−α，会根据α>1/3的值，适当给分.。
(完整版)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第38届)
国际数学奥林匹克（IMO ）竞赛试题（第38届） 1. 在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点．这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像棋盘一样）．对于任意一对正整数m 和n ，考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m 和n ，且其两腰都在这些正方格的边上． 设S 1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，S 2则为所有白色部分的总面积． 令f(m ，n)=|S 1-S 2|，o a. 当m ，n 同为正偶数或者同为正奇数时，计算f(m ，n)；o b. 求证f(m ，n)≤max(m ，n)/2对所有m ，n 都成立；o c. 求证不存在常量C 使得f(m ，n)．2. 设∠A 是△ABC 中最小的內角．B 和C 将此三角形的外接圆分成两个弧．U 为落在不含A 点的弧上且异于B ，C 的一点．线段AB ，AC 的垂直平分线分别交AU 于V ，W ． 直线BV ， CW 相交于T ，求证：AU ＝TB ＋TC ．3. x 1，x 2，...，x n 是正实数满足|x 1+x 2+...x n |=1 且对所有i 有|x i |≤(n+1)/2． 试证明存在x 1，x 2，...，x n 的一个 排列y 1，y 2，...，y n 满足|y 1+2y 2+...+ny n |≤(n+1)/2．4. 一个n×n 的矩阵称为一个n 阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合S={1，2，...，2n-1}且对于每一个i=1，2，...，n ，它的第i 列与第i 行中的所有元素合起来恰好是S 中的所有元素．求证：o a. 不存在n=1997阶的银矩阵；b. 有无限多个n ，存在n 阶银矩阵．5. 试找出所有的正整数对(a ，b)满足6. 对每个正整数n ，将n 表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n 的上述不同表示法的个数．如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的．例如，f(4)=4，因为4恰有下列四种不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1．求证：对于任意整数n ≥3， 22/4/22(2)2nn n f <<。
(完整word)重点高中数学竞赛历届IMO竞赛试题(1-46届完整中文版)
第1届IMO1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程试用 cos x 和5.（6.上。
试1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。
a.求XY中点的轨迹；b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。
6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。
令V1为圆锥的体7.BXC、AXD3.解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。
4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。
5.作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = α,其中M是线断BC的中点。
求证这个三角形存在的充要条件是b tan(α/2) <=c < b.又问上式何时等号成立。
6.三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。
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第1届I M O1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)求证AF、BC相交于N点；（b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；(c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。
第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1-√(1+2x))2<2x+93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan=4nh/(an2-a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。
a.求XY中点的轨迹；b.求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。
6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。
令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。
(a).求证：V1不等于V2；(b).求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
7.等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。
令AB=a,CD=c，梯形的高为h。
X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。
试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。
第3届IMO1.设a、b是常数，解方程组x+y+z=a;x2+y2+z2=b2;xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件2.设a、b、c是某三角形的边，A是其面积，求证：a2+b2+c2>=4√3A.并求出等号何时成立。
3.解方程cos n x-sin n x=1,其中n是一个自然数。
4.P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,BP/PE,CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。
5.作三角形ABC使得AC=b,AB=c，锐角AMB=,其中M是线断BC的中点。
求证这个三角形存在的充要条件是btan(/2)<=c<b.又问上式何时等号成立。
6.三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。
在p上任意取三个点A',B',C'，A'',B'',C''设分别是边AA',BB',CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。
问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么第4届IMO1.找出具有下列各性质的最小正整数n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。
2.试找出满足下列不等式的所有实数x：√(3-x)-√(x+1)>1/2.3.正方体ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。
一点x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。
点X、Y 在同一时刻分别从点A、B'开始运动。
求线断XY的中点的轨迹。
4.解方程cos2x+cos22x+cos23x=1。
5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。
试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。
6.一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。
7.求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。
第5届IMO1.找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：√(x2-p)+2√(x2-1)=x.2.给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。
3.在一个n边形中，所有内角都相等，边长依次是a1>=a2>=...>=a n，求证：所有边长都相等。
4.设y是一个参数，试找出方程组x i+x i+2=yx i+1(i=1,...,5)的所有解x1, (x5)5.求证cospi/7-cos2pi/7+cos3pi/7=1/2.6.五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。
但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。
还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。
实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。
试讨论最后的名次如何第6届IMO1.(a)求所有正整数n使得2n-1能被7整除；(b)求证不存在正整数n使得2n+1能被7整除。
2.假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)<=3abc.3.三角形ABC的三边长为别为a、b、c。
分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a,b,c表示）。
4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。
在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。
5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。
6.四面体ABCD的中心是D0，分别过A、B、C作DD0的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点A0、B0、C0，求证：ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一；再问如果D0为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立第7届IMO1.试找出所有位于区间[0,2pi]的x使其满足2cosx≤|√(1+sin2x)-√(1-sin2x)|≤√2.2.如下方程组的系数a ij，a11x1+a12x2+a13x3=0a21x1+a22x2+a23x3=0a31x1+a32x2+a33x3=0满足：a.a11、a22、a33是正数，其余是负数；b.每个方程中的系数之和是正的。
求证：该方程组的有唯一的解x1=x2=x3=0。
3.四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的k倍。
试求出这两部分的体积比。
4.四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个数的所有可能值。
5.三角形OAB中的角O是锐角，M是边AB上任意一点，从M向OA、OB边引垂线，垂足分别为P、Q。
设三角形OPQ的垂心为，求出当M在AB边上移动时点H的轨迹；若M在三角形OAB内部移动是H的轨迹又是什么6.平面上给定了n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条。
第8届IMO1.在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。
在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。
又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。
请问有多少学生只答对B2.三角形ABC，如果，BC+AC=tanC/2(BCtanA+ACtanB).则该三角形为等腰三角形。
3.求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。
4.对任何自然数n以及满足sin2n x不为0的实数x，求证：1/sin2x+1/sin4x+...+1/sin2n x=cotx-cot2n x.5.a i（i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4）|a i-a1|x1+|a i-a2|x2+|a i-a3|x3+|a i-a4|x4=1。
6.在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M，求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。
第9届IMO1.平行四边形ABCD，边长AB=a,AD=1,角BAD=A,已知三角形ABD是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D 为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是a≤cosA+√3sinA.2.若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积≤1/8.3.k,m,n是自然数且m+k+1是一个大于n+1的素数，令c s=s(s+1)，求证(c m+1-c k)(c m+2-c k)...(c m+n-c k)可被乘积c1c2..整除。
4.任意两个锐角三角形A0B0C0和A1B1C1。
考虑所有与三角形A1B1C1相似且外接于三角形A0B0C0的所有三角形ABC（即BC边包含A0，CA边包含B0，AB边包含C0），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。
5.a1,...,a8是不全为0的实数，令c n=a1n+a2n+...+a8n(n=1,2,3,...)，如果数列{c n}中有无穷多项等于0，试求出所有使c n＝0的自然数n。