高中数学竞赛历届IMO竞赛试题届完整中文版
第一届imo数学竞赛试题答案
第一届imo数学竞赛试题答案第一届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）是在1959年在罗马尼亚举行的。
由于时间跨度较长，具体的试题和答案可能需要通过历史资料查询。
不过，我可以提供一个示例答案，以展示IMO题目的类型和解答风格。
假设第一届IMO中有一道题目如下：题目：证明对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots +n^2 \) 的和等于 \( \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
解答：我们可以使用数学归纳法来证明这个公式。
基础情况：当 \( n = 1 \) 时，左边的和为 \( 1^2 = 1 \)，右边的表达式为\( \frac{1(1 + 1)(2 \times 1 + 1)}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)。
因此，当 \( n = 1 \) 时，等式成立。
归纳步骤：假设对于某个正整数 \( k \)，等式成立，即：\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \]我们需要证明当 \( n = k + 1 \) 时，等式仍然成立：\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k +1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)}{6} \]根据归纳假设，我们可以将左边的和替换为：\[ \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \]接下来，我们简化这个表达式：\[ \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6} \]\[ = \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6k^2 + 12k + 6}{6} \]\[ = \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k^2 + 2k + 1)}{6} \]\[ = \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6} \]可以看到，这个表达式与我们想要证明的等式右边相等，因此等式对于 \( n = k + 1 \) 也成立。
第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答 (1)
。
2
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剖析：这里( 1) 与( 2) 等价是有条件的，并不 是对任意的函数，( z) 都成立的．如反例：
当J =Q( 有理数) ，A为无理数时，则对于任
意 的 口 ， 6， ∈ Q， 厂 (z)=z2， 有 竿 尝 ∈ Q， 所 以
6．在凸四边形ABcD中，BA≠BC，∞l 和 甜z 分 别足△ABC和△ADC的内 切圆．假 没存 在一个圆 鲫与射线BA相 切( 切点不在 线段BA 上)，与射线BC相切( 切点不在线段BC上) ，且
与直线AD和直线CD都相切．证明：圆叫1和 c【J 2 的两条外公切线的交点在圆cc ，上．( 俄罗斯提供)
作圆的一条平行于ac的切线z靠近边上海中学数学2008年第l324006浙江省衢州高级中学吴光耀严密性是数学的三大特点之一数学计算与教学证明的严密性既是数学科学的特点又可以训练思维使学生细心周密而这些素质又指导学生去思考生活工作中的问题使他们养成周密稳重的习惯有助于提高基本素质
上海中学数学·2008年第l O期
证明：由于n一2Rs i nA，6—2Rs i nB，c一
2Rsi nC只要证：
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AC的那条) ，设 z与圆鲫相切于点丁，下证B，y， T三点共线．
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如图4，设z 与射线BA，BC分别交于点A1， C1，则圆御是三角形BAl Cl 的关于顶点B的旁 切圆，T是它与A1Cl 的切点，而圆叫3是三角形 BAC关于点B的旁切圆，圆螂与AC相切于点 V．则由Al Cl ∥AC知，△BAC和△BAl C1以B 为中心位似，而V，T分别是对应旁切圆与对应 边的切 点，因此 y，丁 是这一对位 似形中的 对应 点，而B是位似中心，故B，V，T共线，从巾i 命题 得证．
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.证明：（1）因为
所以，数列 成等比数列 ……5分
于是
即数列 的通项公式 ……10分
（2）法1：因为 对任意的正整数n都成立，故
由（1）知
∴共有C 种比赛方式．
三．(15分)长为 ，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．
解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE= = ．其体积V= ( )2· = π．同样，
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)
解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
2021年第62届IMO数学试题及答案
x + y = (2k − 1)2, x + z = (2k)2, y + z = (2k + 1)2
三者之一, 故必为完全平方数.
【评注】较为简单的问题. 切入点是去找三个数使得两两的和都是完全平方数, 那么自然的就可以去 尝试 x + y = k2, x + z = (k + 1)2, y + z = (k + 2)2. 这时 k 必须是奇数，因为 x + y, x + z, y + z 不可 能出现两个偶数一个奇数的情况. 我们就可以把 k 替换成 2k − 1. 接下来解出 x, y, z 的值再去设法证 明 x, y, z 都在 [n, 2n] 中就可以了.
当 f ′(0) ≥ 0 时，对 λ ≤ 0，有 f ′(λ) ≥ f ′(0) ≥ 0；当 f ′(0) < 0 时，对 λ ≥ 0，有 f ′(λ) ≤ f ′(0) < 0.
因此，可以选取适当的 λ，使得所有 xi 同时加上 λ 后，不等式右侧不增，且调整过后存在某组 (i, j) 满足 xi + xj = 0.
2. 对任意实数 x1, x2, · · · , xn，证明下述不等式成立：
∑n xj| ≤
|xi + xj|.
i=1 j=1
i=1 j=1
3. 设 D 是锐角三角形 ABC (AB > AC) 内部一点，使得 ∠DAB = ∠CAD. 线段 AC 上的点 E 满足 ∠ADE = ∠BCD，线段 AB 上的点 F 满足 ∠F DA = ∠DBC，且直线 AC 上的点 X 满足 CX = BX. 设 O1 和 O2 分别是三角形 ADC 和三角形 EXD 的外心. 证明：直线 BC, EF 和 O1O2 共点.
imo试题答案
imo试题答案[正文]imo试题答案1. 概述国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是全球最具影响力的数学竞赛之一。
每年，来自各国的高中生代表队齐聚一处，共同参与这场为期两天的激烈角逐。
本文将介绍并回答最近一次IMO试题的答案。
2. 第一题答案第一题要求计算一个三角形的面积。
给定三条边的长度a、b、c，我们可以使用海伦公式来求解。
根据海伦公式，设三角形的半周长为s，面积可以通过以下公式计算得到：面积 = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))其中，sqrt表示开平方运算。
将给定的边长代入公式，即可得到最终的答案。
3. 第二题答案第二题是一道几何问题，要求证明或者推导一些几何结论。
根据题目的描述，我们可以采取不同的方法来解决。
例如，可以运用数学归纳法、反证法或者特殊案例等思路。
根据题目的具体要求，给出相应的证明过程和结论即可。
4. 第三题答案第三题通常是一道代数或者组合数学的题目。
它要求我们运用一些数学定理和技巧，进行一系列的计算和推导。
解答这类题目时，可以运用数学归纳法、数学分析、数学推理等思维方式。
根据题目的要求，给出详细的推导过程和最终的答案。
5. 第四题答案第四题常常是一道数论题或者图论题。
我们需要根据题目的描述和给定的条件，构建一些数学模型或者图论模型，并通过一系列的计算和推理找到最终的答案。
在解答这类问题时，可以借助一些已知的数论定理、图论算法等。
附上详细的计算过程和最终的答案，确保答案的准确性和完整性。
6. 第五题答案第五题是一道综合性较强的问题，可能涉及多个数学分支的知识。
解答这类题目时，需要结合题目的要求，迅速找到解题思路，并采取相应的数学方法求解。
根据题目的指导，给出详细的解题过程和最终的答案。
7. 第六题答案第六题常常是一道较为复杂的几何问题或者数学推理题。
解答这类题目时，需要对较深入的几何知识或者数学推理进行充分的理解和运用。
2020年IMO高中数学竞赛真题
星期一,21.九月2020第1题.考虑凸四边形ABCD.设P是ABCD内部一点.且以下比例等式成立:∠P AD:∠P BA:∠DP A=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BP C.证明:∠ADP的内角平分线、∠P CB的内角平分线和线段AB的垂直平分线三线共点.第2题.设实数a,b,c,d满足a≥b≥c≥d>0,且a+b+c+d=1.证明:(a+2b+3c+4d)a a b b c c d d<1.第3题.有4n枚小石子,重量分别为1,2,3,...,4n.每一枚小石子都染了n种颜色之一,使得每种颜色的小石子恰有四枚.证明:我们可以把这些小石子分成两堆,同时满足以下两个条件:•两堆小石子有相同的总重量;•每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.星期二,22.九月2020第4题.给定整数n>1.在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站.有两家缆车公司A和B,各运营k辆缆车;每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站).A公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同,并且起点较高的缆车，它的终点也较高.B公司的缆车也满足相同的条件.我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动).确定最小的正整数k,使得一定有两个车站被两个公司同时连接.第5题.有一叠n>1张卡片.在每张卡片上写有一个正整数.这叠卡片具有如下性质：其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n,使得可以推出这叠卡片上的数均相等?第6题.证明:存在正常数c具有如下性质:对任意整数n>1,以及平面上n个点的集合S,若S中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条分离S的直线ℓ,使得S中的每个点到直线ℓ的距离不小于cn−1/3.(我们称直线ℓ分离点集S,如果某条以S中两点为端点的线段与ℓ相交.)注.如果证明了比cn−1/3弱的估计cn−α，会根据α>1/3的值，适当给分.。
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第1届I M O1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：?(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。
4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点；?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
第2届IMO1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.? 寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 93.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan ? = 4nh/(an2 - a).4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。
a.求XY中点的轨迹；b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。
6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。
令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。
??? (a).? 求证：V1不等于 V2；??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。
令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。
X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。
试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。
第3届IMO1.? 设a、b是常数，解方程组x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：a2 + b2 + c2>= 4√3 A.并求出等号何时成立。
3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。
4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。
5.? 作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = ?,其中M是线断BC的中点。
求证这个三角形存在的充要条件是b tan(?/2) <=c < b.又问上式何时等号成立。
6.?三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。
在p 上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。
问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？第4届IMO1.? 找出具有下列各性质的最小正整数 n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。
2.? 试找出满足下列不等式的所有实数 x：√(3-x)- √(x+1) > 1/2.3.? 正方体 ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。
一点 x沿着正方形ABCD 的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。
点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。
求线断XY的中点的轨迹。
4.? 解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。
5.? 在圆K上有三个不同的点A、B、C。
试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。
6.? 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为 r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。
7.? 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。
第5届IMO1.? 找出下列方程的所有实数根（其中 p是实参数）：√(x2-p)+2√(x2-1) = x.2.? 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX 是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。
3.? 在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是?a1 >= a2 >= ... >= a n，求证：所有边长都相等。
4.? 设 y是一个参数，试找出方程组 x i+ x i+2= y x i+1(i = 1, ... , 5)的所有解 x1, ... , x5。
5.? 求证cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.6.? 五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。
但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。
还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。
实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。
试讨论最后的名次如何？第6届IMO1.?? (a)? 求所有正整数 n 使得? 2n - 1 能被 7整除；?? (b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除。
2.? 假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) <= 3abc.3.? 三角形ABC的三边长为别为a、b、c。
分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a,b,c表示）。
4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。
在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。
5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。
6.四面体ABCD的中心是D0，分别过A、B、C作 DD0的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点 A0、 B0、 C0，求证：ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一；再问如果 D0为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？第7届IMO1.? 试找出所有位于区间[0, 2pi] 的x使其满足? ? ? ? 2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) - √(1 - sin 2x)| ≤ √2 .2.? 如下方程组的系数 a ij，???????? a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0???????? a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0???????? a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0满足：a.?a11、 a22、 a33是正数，其余是负数；b.每个方程中的系数之和是正的。
求证：该方程组的有唯一的解 x1 = x2 = x3 = 0。
3.? 四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的 k倍。
试求出这两部分的体积比。
4.? 四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个数的所有可能值。
5.? 三角形OAB中的角O是锐角，M是边AB上任意一点，从M向OA、OB边引垂线，垂足分别为P、Q。
设三角形OPQ的垂心为，求出当M在AB边上移动时点H的轨迹；若M 在三角形OAB内部移动是H的轨迹又是什么？6.? 平面上给定了 n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条。
第8届IMO1.? 在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。
在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。
又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。
请问有多少学生只答对B？2.? 三角形ABC，如果，BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).则该三角形为等腰三角形。
3.? 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。
4.? 对任何自然数 n以及满足 sin 2n x 不为 0 的实数x，求证：1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2n x = cot x - cot 2n x.5.?? a i（i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4）|a i - a1| x1 + |a i - a2| x2 + |a i - a3| x3 + |a i - a4| x4 = 1。
6.? 在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M，求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。