函数的周期性和对称性

函数的周期性和对称性

温州二十一中学 张心心

随着课程改革的推进，新教材在突出数学知识实际应用能力和知识面的扩大，因此适当地扩充现有知识体系，对于学生能力的培养仍起着一定的推动作用.函数的知识体系，一直是数学基础教育的重点和难点，因为它蕴涵着数学的数形结合思想，化归思想，换元思想等.因此我认为新旧教材适当结合，仍有利于学生充分掌握函数的知识体系.在必修1中，函数的奇偶性重现教材，就是一个很好的例证.必修4中，从三角函数引出函数的周期性，是能让学生充分理解有关知识的优势，仍是教材中必备的亮点.事实上，适当地结合函数的周期性和函数的奇偶性或对称性，更能让学生把握函数中数形结合的魅力.它不仅在高考中起着一定的解题作用，在竞赛中也是常用的手法.

先让我们了解下函数图象的对称性以及周期性的相关定理和推论.

一、函数的轴对称：

定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2

b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.

推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.

二、函数的点对称：

定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.

推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.

推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

三、函数周期性的性质：

定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.

定理4：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其

中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.

定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.

以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.

例1．已知定义为R 的函数()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（ ）.

A ．恒小于0

B ．恒大于0

C ．可能为0

D ．可正可负.

分析：()()4+-=-x f x f 形似周期函数()()4+=x f x f ，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用2-x 代替x ，使()()4+-=-x f x f 变形为()()22+-=-x f x f .它的特征就是推论3.因此图象关于点()0,2对称.()x f 在区间()+∞,2上单调递增，在区间()2,∞-上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图）

1242x x -<< ，且函数在()+∞,2上单调递增，所以

()()124x f x f -<，又由()()4+-=-x f x f ，

有()[]()()1111444)4(x f x f x f x f -=+-=--=-

∴()()<+21x f x f ()()114x f x f -+()()011=-=x f x f .选A.

当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.

练1：（07天津7）在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( )

A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数

D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数

分析：由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，即

推论1的应用.又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得

到()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上

是减函数，可得如右()f x 草图.故选B

练2.（07安徽）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）

A.0

B.1

C.3

D.5

分析：()()0f T f T =-=，()()()()2222T T T T f f f T f -

=-=-+=， ∴()()022

T T f f -==，则n 可能为5，选D. 例2．已知函数()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f 的值.

分析：由推论1可知，()x f 的图象关于直线2=x 对称，即()()x f x f -=+22， 同样，()x f 满足()()x f x f -=+44，现由上述的定理3知()x f 是以4为周期的函数. ()()5.3445.19+⨯=∴f f ()5.3f =()[]()5.05.04-=-+=f f ，同时还知()x f 是偶函数，所以()()5.05.05.0==-f f .

在竞赛题中，我们也常遇到关于函数周期性和对称性的题.

例3．()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-，则()0f ，()1f ，()2f ，…，()999f 中最多有（ ）个不同的值.

A.165

B.177

C.183

D.199