第2章 连续系统数值积分法的时域数字仿真
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
第二章 连续系统的时域分析IV(3.22)
②方程两边由0-到0+取积分：
0
0
y' ' (t )dt 3 y' (t )dt 2 y(t )dt 2 (t )dt 6 (t )dt
0 0 0 0
0
0
0
0
由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续， 0 0 故 0 y(t )dt 0, 0 (t )dt 0 于是由上式得： [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2 考虑到 y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2
b.求方程特解：
当f(t) = 10cost时，其特解可设为 yp(t) = Pcost+Qsint 将其代入微分方程得 (– P + 5Q + 6P)cost + (– Q – 5P+ 6Q)sint = 10cost 2 cos 解得 P=Q=1, 于是特解为 yp(t) = cost+sint= t
4
c.确定全解：
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e
– 2t +
C2e
– 3t +
2 cos t 4
其中 待定常数C1, C2由初始条件确定 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 + 1= 0 解得 C1 = 2，C2 = – 1 最后得全解 y(t) = 2e – 2t – e – 3t +
第二章-连续时间系统的时域分析PPT课件
iL(t)L 1 tvL()d
iL(t) L
iL(0)iL(0)L 100 vL()d
vL(t)
如果 vL(t)为有限值，
00vL()d 0，此 iL (时 0)iL (0)
冲激电压或阶
跃电流作用于 电感时：
如v果 L(t)为 (t)，
iL(0)iL(0)
L 10 0 v L ()dL 1, 此 iL 0 时 iL 0
系统的完全响应= 零输入响应+ 零状态响应 (线性系统具有叠加性 )
-
13
iC (t) C
vC (t)
电容器的等效电路
vC(0)0,t0
vC(t)C 1 tiC()dC 1 0 iC()dC 10 tiC()d
1t
vC(0)C0iC()d
t0
电路等效为起始状态为零的电容与电压源 vC(0)ut的
10
当系统用微分方程表示时，系统的0状态到0 状态有没有 跳变决定于微分方程右端自由项是否包含 (t) 及其各阶导数。 如果包含有 (t) 及其各阶导数，说明相应的0到0 状态发生了 跳变，即 r(0 ) r(0 ) 或 r(0 ) r(0 ) 等等。这时为确定 r(0 ) 、 r(0 ) 等 0 状态值，可以用冲激函数匹配法。它的原理是根据 t 0时刻微分方程左右两端的 (t) 及其各阶导数应该平衡相等。
dt
设
drtatbtc ut
dt
则
r t a t b u t
代入方程 a t b t c u t 3 a t 3 b u t 3 t
得出
a 3
b
3a
0
c 3 b 0
a 3
即
b
9
c 9
第二章连续时间系统的时域分析
B1 cos(wt) B2 sin(wt)
(B1t p Bpt Bp1)et cos(wt) (D1t p Dpt Dp1)et sin(wt)
•若表中的特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘 表中特解。
例子2-4
给定微分方程式
d2 dt 2
(t )
例2-2
如图所示机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵
引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为
f，外加牵引力为Fs(t)，求外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度
v(t)间的关系。
解：由机械系统元件特性：弹簧在弹性限
Fm k Fk
m
度内，拉力Ｆk与位移x成正比。
t
Fs
x(t) v( )d
３、齐次方程的求解
（1）特征根的求解
齐次方程为：
C0
dn dt n
r(t)
C1
d n1 dt n1
r(t)
Cn1
d dt
r(t)
Cnr(t)
0
齐次方程的解为： r(t) Aet 或Aet 函数的线性组合。
将其解代入齐次方程，并化简：
即特征方程为 C0 n C1 n1 Cn 0 解得此方程的n个根：1,2 ,,n 称为微分方程的特征根。
２、微分方程的经典法全解形式
则由时域经典法求解可得其完全解为
r(t) rh (t) rp (t) 其中齐次解 rh (t) 由方程右端为零构成的齐次方程而定；
即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解。
其中特解 rp (t) 根据方程右端激励构成的“自由项”而定。
注: "自由项"为e(t)代入方程右端化简后的函数式
第二章 连续系统的时域分析法
第二章连续系统的时域分析法时域分析法不通过任何变换，直接求解系统的微分方程。
系统的分析计算全部在时间变量领域内进行。
这种方法直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。
本章将在用经典法求解微分方程的基础上，讨论零输入响应，特别是零状态响应的求解。
在引入系统的冲激响应之后，零状态响应等于冲激响应与激励的卷积积分，最后介绍卷积积分的性质。
主要内容§2.1 LTI连续系统的响应§2.2 冲激响应和阶跃响应§2.3 卷积积分§2.4 卷积积分的性质§2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+初始值三、零输入响应四、零状态响应五、全响应一、微分方程的经典解：一般而言，如果单输入—单输出系统的激励为f (t )，响应为y (t )，则描述LTI 连续系统激励与响应之间关系的数学模型是n 阶常系数线性微分方程，它可写为：∑∑==−−−−=++++=++++n i m j j j i i m m m m n n n t f b t y a t f b t f b t f b t f b t y a t y a t y a t y 00)()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)()()( )()()()( )()()()(L L 即：其中，均为常数，且),,1,0(),,,1,0( m j b n i a j i L L ==1=n a该方程的全解由齐次解和特解组成，即)(t y h )(t y p )()()(t y t y t y p h +=齐次解：齐次解是齐次微分方程0)()()()(0)1(1)1(1)(=++++−−t y a t y a t y a t y n n n L 的解，它是形式为的一些函数的线性组合。
λ为特征方程的根----特征根。
t Ce λ特征根：特征方程00111=++++−−a a a n n n λλλL ),,2,1(n i i L =λ的n 个根称为微分方程的特征根。
连续系统数字仿真数值积分法
main() { float x11,x21,x31,x10,x20,x30,R; int i; x10=0;x20=0;x30=0;outputy[0][0]=0; ST=10;DT=0.005; LP=ST/DT;VN=1;R=20; for (i=1;i<=LP;i++) { x11=x10-DT*x30+DT*R; x21=DT/0.5*x10+(1-DT/0.5)*x20; x31=DT/0.1*x20+(1-DT/0.1)*x30; outputy[0][i]=x31; x10=x11;x20=x21;x30=x31; } dispcurve(); } 程序为llx56.c
4．2 梯形法 为了提高仿真精度，离散-再现环节采取图4．3 的形式。 (4-11)
X (k 1) X (k )
T [e(k ) e(k 1)] 2
(4-12)
式(4-12)称为梯形公式，其几何解释如图4．4所示。
[例4．1] 已知一多变量系统的结构框图如图4．5所示，请 用梯形公式对此系统进行仿真，并输出y1、y2的仿真结果。
假设线性系统的状态空间描述为
AX BU X Y CX DU
式中：X为n×1维状态向量；U为r×l维输入 向量；A为n×n维系统矩阵；B为n×r维输入 矩阵；Y为m×1维输出向量；C为m×n维输出 矩阵；D为m×r维传递矩阵。
(4-3) (4-4) (4-5) (4-6)
4.3 龙格-库塔(Runge-Kutta)法
在非实时仿真中，有时需要更高的精度。 4．3节和4．4节中将再介绍两种更精确的方 法及其离散-再现环节。
第二部分连续系统的时域分析
t 0
t
dt
响应为 lim s(t) s(t t) ds(t) h(t)
t 0
t
dt
h(t) ds(t)
dt
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26
如 +
vs (t) -
iL (t)
R
L
iL (0 )
iL (0 )
0,iL ()
1 R
s(t)
1
t
(1 e
) (t),
1 c
1t
e Rc (t)
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二先计算系统的阶跃响应s(t) ，然后利用冲激 响应h(t)与阶跃响应 s(t)的关系求冲激响应
h(t)与s(t)的关系（线性时不变系统）
(t) s(t) (t t) s(t t)
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激励为 lim (t) (t t) d (t) (t)
an
y (n)
(t)
a y (n1) n1
(t)
a1 y'(t)
a0
y(t)
x(t)
则有
x(t) (t), y(t) h0 (t)
an
h0 ( n)
(t)
Байду номын сангаас
a h (n1) n1 0
(t)
a1h0
'
(t)
a0 h0
(t)
(t)
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30
t 0 当
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连续系统仿真的方法.
第3章 连续系统仿真的方法3.1 数值积分法连续系统数值积分法，就是利用数值积分方法对广微分方程建立离散化形式的数学模型——差分方程，并求其数值解。
可以想象在数学计算机上构造若干个数字积分器，利用这些数字积分器进行积分运算。
在数字计算机上构造数字积分器的方法就是数值积分法，因而数字机的硬件特点决定了这种积分运算必须是离散和串行的。
把被仿真系统表示成一阶微分方程组或状态方程的形式。
一阶向量微分方程及初值为()(),00t Y Y t Y ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭Y =F =（3-1）其中，Y 为n 维状态向量，F （t ，Y ）为n 维向量函数。
设方程（3-1）在011,,,,n n t t t t t +=…处的形式上的连续解为()()()()n+1n+1t t n+10t t t =Y t +,(),n Y F t Y dt Y t F t Y dt=+⎰⎰（3-2）设 n =()n Y Y t ，令1n n n Y Y Q +=+（3-3）则有：()1n+1t n Y Y +=也就是说，1(,)n nt n t Q F t Y dt +≈⎰（3-4）如果n Y 准确解()n Y t 为近似值，n Q 是准确积分值的近似值，则式（3-4）就是式（3-2）的近似公式。
换句话说，连续系统的数值解就转化为相邻两个时间点上的数值积分问题。
因此，所谓数值解法，就是寻求初值问题（3-1）的真解在一系列离散点12n t t t <…<…上的近似解12,,,n Y Y Y ……，相邻两个时间离散点的间隔1n n n t t +=-h ，称为计算步距或步长，通常取n =h h 为定值。
可见，数值积分法的主要问题归结为对函数(,)F t y 的数值积分问题，即如何求出该函数定积分的近似解。
为此，首先要把连续变量问题用数值积分方法转化成离散的差分方程的初值问题，然后根据已知的初值条件0y ，逐步地递推计算后续时刻的数值解(1,2,)i y i =…。
信号与线性系统分析+课件(第四版)吴大正第二章_连续系统的时域分析
• • • • •
将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 注：上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0， 因而也不能区分自由响应和强迫响应。
• 解: (1) 特征方程为λ 2 + 5λ + 6 = 0 其特征根λ 1= – 2， • λ 2= – 3。齐次解为 • yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t ？？ • 因为f(t) = 2e – t，故其特解可设为 • yp(t) = Pe – t • 将其代入微分方程得 • Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得P=1 • 于是特解为yp(t) = e – t
三、零输入响应
• • • • y(t) = yzs(t) + yzi(t) 。 零输入响应，对应的输入为零，所以方程为 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t)＝0 若其特征根都为单根，则零输入响应为：
y zi (t ) C zij e
• 自由响应 强迫响应
注意：自由响应的系数Cj由系统的初始状态和激 励信号共同来确定
2第二章、连续时间系统的时域分析
1 4p
2
H2(
p)
2
p3
1 3p2
4
p
2
H1(
p)
2
2 p2 p3 3p2
p
1 4p
2
H2(
p)
2 p3
1 3p2
4
p
2
讨论：
1、在电路中有三个独立的储能元件，为一个三阶系 统，特征方程应为三次方程，即H(p)的分母多项式 的最高次数应为三次。
2、所以这类题目也可直接求解，最后通过核对电路 的阶数来确定是否能消去分子分母中的公共因子。
1 C1 r(0)
n
C2
r(0)
n2 C3 r(0)
nn1 Cn r(n1) (0)
C1 1
C2
1
C3 12
Cn 1n1
1
2 2 2
n1 2
1
3 32
n1 3
1
1
r(0)
n
r(0)
n2 r(0)
nn1 r(n1) (0)
一、特征根为异（实）根 算子方程写为： ( p 1)( p 2 ) ( p n )r 0
由前面的讨论可写出解的一般形式：
r(t) C1e1t C2e2t Cnent
若给定系统的n个初始条件：r(0), r(0), r(n1) (0)
我们就可以确定其中的待定常数C1，C2，…Cn。
)i1
1 p
i2
e
1 p
i1
(2 p
1
1 p
)i2
0
( p2
p
1)
1 p
i1
1 p
i2
e
1 p
i1