数值积分法在系统仿真中的应用
龙格-库塔方法基本原理3
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令 y(xi1) yi1 对应项的系数相等，得到
c1 c2 1 ,
a2c2
1 2
,
b21c2
1 2
这里有 4 个未知 数，3 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶 龙格 - 库塔格式。
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称为P阶龙格－库塔方法。
其中ai,bij,ci为待定参数，要求上式yi+1在点(xi,yi)处作 Tailor展开，通过相同项的系数确定参数。
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Runge-Kutta方法的推导思想
对于常微分方程的初值问题
y f (x, y) a x b
y(a)
y0
的解y=y(x)，在区间[xi, xi+1]上使用微分中值定理，有
hf (xi 2
,
yi
1 2
K1 )
K3 hf (xi h, yi K1 2K 2 )
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四阶(经典)龙格—库塔法
如果需要再提高精度，用类似上述的处理 方法，只需在区间[xi,xi+1]上用四个点处的斜 率加权平均作为平均斜率K*的近似值，构成一 系列四阶龙格—库塔公式。具有四阶精度，即 局部截断误差是O(h5)。
f x(xi , yi ) f (xi , yi ) f y (xi , yi ) O(h3 )
类似地，若取前P+1项作为y(xi+1)的近似值，便得到
yi1
yi
hyi
h2 2!
yi
hP P!
yi(P)
P阶泰勒方法
其中 yi f , yi f (xi , yi )x f x ff y
数值分析在计算机仿真中的应用
数值分析在计算机仿真中的应用数值分析是一门应用数学的学科，主要研究如何利用计算机进行数值计算和数值解析。
它在计算机仿真中扮演着重要的角色，能够帮助研究人员模拟和预测复杂的实际问题。
本文将介绍数值分析在计算机仿真中的应用。
一、数值方法的基础在进行计算机仿真之前，首先需要建立数学模型来描述实际问题。
然而，大部分实际问题往往是复杂的，难以直接求解。
这就需要运用数值分析的方法，通过近似和数值计算，来求解模型的数值解。
在数值分析中，常用的数值方法包括插值方法、数值积分、微分方程数值解等。
例如，插值方法可以通过已知数据点的函数值，来估计其他位置的函数值。
而数值积分则可以用于计算复杂函数的积分值。
微分方程数值解则可以帮助模拟动力系统、电路等实际问题的行为。
二、计算机仿真的优势计算机仿真是通过使用计算机模型来模拟和预测实际系统的行为。
相比于传统的实验方法，计算机仿真具有以下几个优势。
首先，计算机仿真可以在较短的时间内获得大量的数据。
通过高速计算，可以对不同的参数进行快速的变动，从而观察系统的行为。
这对于需要大量实验数据的问题尤为重要。
其次，计算机仿真可以模拟一些实验难以实现的问题。
例如，对于一些高风险或高成本的实验，计算机仿真可以提供更加安全和经济的解决方案。
最后，计算机仿真可以在设计初期就对系统进行优化。
通过不断调整参数，可以找到最优的系统配置和运行策略。
这在工程设计和产品开发中具有重要意义。
三、数值分析在计算机仿真中的应用数值分析在计算机仿真中有着广泛的应用。
以下将介绍其中几个典型的应用领域。
1. 流体力学仿真流体力学仿真是通过数值方法对流体力学问题进行模拟和分析的过程。
在航空、汽车、能源等领域，流体力学仿真被广泛运用于优化设计和性能评估。
数值方法可以对复杂的流体流动进行模拟，提供流速、温度、压力等关键参数的分布情况，有助于优化设计和改善气动性能。
2. 结构力学仿真结构力学仿真主要研究结构的应力、应变和变形等问题。
仿真学相关术语
仿真学相关术语一、仿真学基础仿真学，也称为系统仿真学，是一门基于数学、计算机技术和相关学科的综合性学科。
它通过建立模型、模拟实验和数据分析，对实际系统的行为进行预测、优化和控制。
仿真学在各个领域都有广泛的应用，如工程、生物、经济、社会等。
在仿真学中，常用的基本概念和术语包括：1.系统：由相互关联的元素组成的集合，这些元素在相互作用下实现特定的功能或目标。
2.模型：对实际系统的一种抽象表示，可以是数学模型、计算机模型或物理模型等。
3.仿真：根据实际系统的特性，建立模型并进行实验的过程。
4.仿真实验：在建立的仿真模型上进行实验，以观察系统的行为和性能。
5.仿真结果：通过仿真实验得到的数据和信息，用于分析和评估系统的性能。
二、仿真模型仿真模型是仿真的基础，可以根据实际系统的不同特性采用不同的建模方法。
常见的仿真模型包括：1.数学模型：用数学方程、不等式、函数等描述系统内部各元素之间的数学关系。
2.计算机模型：将实际系统转换成计算机程序，通过编程语言实现系统的功能和行为。
3.物理模型：根据实际系统的物理特性，建立相应的物理装置来模拟系统的行为。
根据不同需求，还可以建立其他类型的仿真模型，如社会仿真、环境仿真等。
不同的模型有其适用范围和优缺点，选择合适的建模方法对于仿真的准确性和有效性至关重要。
三、仿真方法与技术在仿真学中，根据不同的应用需求和研究对象，可以采用不同的仿真方法和相关技术。
以下是一些常见的仿真方法和技术：1.离散事件仿真：离散事件仿真是一种基于事件驱动的仿真方法，适用于描述和分析在离散时间点发生的事件的系统行为。
离散事件仿真可以模拟系统的动态过程和随机性，常用于生产制造、物流运输等领域。
2.连续系统仿真：连续系统仿真是一种基于时间连续的仿真方法，适用于描述和分析在时间连续变化下系统行为。
连续系统仿真可以采用数值积分方法求解微分方程或偏微分方程，常用于工程系统、生物系统等领域。
3.基于代理的仿真：基于代理的仿真是一种基于分布式智能体的仿真方法，适用于描述和分析大规模、分布式系统的行为。
哈工大仿真技术及应用实验指导书
仿真技术及应用实验指导书目录前言 (I)目录 (II)实验项目 (2)实验1 利用替换法构建系统仿真模型实验 (2)1.1 实验目的 (2)1.2 实验内容与要求 (2)1.5 实验报告要求 (3)实验2 利用根匹配法构建系统仿真模型实验 (4)2.1 实验目的 (4)2.2实验内容与要求 (4)2.5实验报告要求 (5)实验3 利用数值积分算法的仿真实验 (6)3.1 实验目的 (6)3.2 实验内容与要求 (6)3.5实验报告要求 (7)实验四基于Simulink控制系统仿真与综合设计 (8)4.1实验目的 (8)4.2实验内容与要求 (8)4.5 实验报告要求 (9)实验五基于Simulink三相电路仿真 (10)5.1实验目的 (10)5.2实验内容与要求 (10)5.5 实验报告要求 (12)实验六基于Simulink的直流斩波电路仿真实验 (13)6.1实验目的 (13)6.2实验内容与要求 (14)6.5 实验报告要求 (15)实验七基于Simulink的简单电力系统仿真实验 (16)7.1实验目的 (16)7.2实验内容与要求 (16)7.5 实验报告要求 (17)实验8 基于Simulink的伺服系统仿真 (17)8.1实验目的 (17)8.2实验内容与要求 (18)实验项目实验1 利用替换法构建系统仿真模型实验1.1 实验目的1) 熟悉MATLAB 的工作环境；2) 掌握MATLAB 的 .M 文件编写规则，并在命令窗口调试和运行程序；3) 掌握利用替换法构造系统离散模型的方法,并对仿真结果进行分析。
1.2 实验内容与要求1.2.1 实验内容系统电路如图 1.1所示。
电路元件参数：直流电压源V E 1=，电阻Ω=10R ，电感H L 01.0=，电容F C μ1=。
电路元件初始值：电感电流A i L 0)0(=，电容电压V u c 0)0(=。
系统输出量为电容电压)(t u c 。
系统仿真PDPSPDPS入门到精通详细教程
优化系统设计
仿真技术可以帮助工程师在设计阶段发现潜在的问 题并进行优化，提高设计的可靠性和效率。
加速产品开发周期
通过仿真技术，可以缩短产品开发周期，加 快产品上市时间，提高企业竞争力。
PDPS/PDPS概述
PDPS/PDPS简介
PDPS/PDPS是一款功能强大的系统仿真软件，广泛应用于各个领 域。它具有丰富的功能和工具，支持多种仿真方法和算法。
并行计算与分布式仿真技术
并行计算原理与实现
01
介绍并行计算的基本原理和实现方法，包括任务并行
和数据并行两种方式。
分布式仿真技术
02 详细讲解分布式仿真的原理和实现方法，包括基于消
息传递的分布式仿真和基于共享内存的分布式仿真。
PDPS中的并行计算与分布式仿真支持
03
探讨PDPS如何支持并行计算和分布式仿真，包括提
数值积分方法
03
离散事件仿真方法
利用数值积分算法对连续系统进 行仿真，如欧拉法、龙格-库塔 法等。
通过模拟离散事件的发生和处理 过程来仿真系统，适用于排队系 统、生产流程等。
系统仿真软件介绍
MATLAB/Simulink
功能强大的数学计算和仿真软件，提供丰富的工具箱和模型库，适用 于多种领域的系统仿真。
供的并行计算库、分布式仿真框架等工具和技术。
07
总结与展望
回顾本次课程重点内容
系统仿真基本概念和原理
介绍了系统仿真的定义、分类、应用 领域以及基本原理，包括建模、仿真 实验设计和结果分析等。
系统建模与仿真实验设计
深入阐述了系统建模的方法和步骤， 包括模型构建、参数设置、仿真实验 设计等，以及如何通过仿真实验验证 模型的正确性和有效性。
基于MATLAB控制系统仿真实验报告
tf 4
y0
0 1
6、求出 G1(s)
2 (s2 2s 1) 与 G2 (s)
1 (2s3
3s2
1)
的单位阶跃响应，并分别
求出状态空间模型。
解：（1） G1(s) 2 (s2 2s 1) 的状态空间模型求解如下：
function shiyan2 b1=[2];
D(z)
0.62(1 0.136z 1)(1 0.183z (1 0.045z 1)(1 0.53z 1)
1 )
分别用仿真算法得到系统在单位阶跃输入作用下的响应，系统在单位速度输
入是的输出响应。
解：（1）首先将 W1(s)转换为 W1(z)，采样周期 T=0.2s，程序清单如下： function shiyan42 num=[10];den=[0.005 0.15 1 0]; ts=0.2;[nc,dc]=c2dm(num,den,ts)
INTRO（注意：intro 为一个用 MATLAB 语言编写的幻灯片程序，主要演示
常用的 MATLAB 语句运行结果。）
然后，根据现实出来的幻灯片右面按钮进行操作，可按 START——NEXT—
—NEXT 按钮一步步运行，观察。
3、自编程序并完成上机编辑，调试，运行，存盘：
（1）用 MATLAB 命令完成矩阵的各种运算，例如：
5、利用 ode23 或 ode45 求解线性时不变系统微分方程 y(t) Ay(t) ，并绘制出 y(t)
曲线，式中
A
0.5
1
1 0.5
t t0 t 如下： function xdot=fun21(t,x) A=[-0.5 1;-1 -0.5]; xdot=A*x; function fzsy22 t0=0;tf=4;tol=1e-6; x0=[0;1];trace=1; [t,x]=ode23('fun21',t0,tf,x0,tol,trace); plot(t,x) 得到的实验结果如下图所示：
控制系统仿真及MATLAB语言--第四章 连续系统的离散化方法
t2 0.2, y2 y1 1 0.1y1 0.9 0.91 0.819 t10 1.0, y10 y9 1 0.1y9 0.4628
t3 0.3, y3 y2 1 0.1y2 0.8191 0.1 0.819 0.7519
状态方程的四阶龙格-库塔公式如下：
h xk +1 xk (K 1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 K 1 Axk Bu (tk ) K 2 A(xk h K 1 ) Bu (tk h ) 2 2 K A (x h K ) Bu (t h ) k 2 k 3 2 2 K A(x hK ) Bu (t h) k 3 k 4 y k +1 Cxk +1
41常微分方程的数值解法数值求解的基本概念设微分方程为则求解方程中函数xt问题的常微分方程初值问题所谓数值求解就是要在时间区间ab中取若干离散点求出微分方程在这些时刻的近似值这种方法的几何意义就是把ftx在区间tk1内的曲边面积用矩形面积近似代替
第四章 连续系统的离散化方法
4.1
常微分方程的数值解法
h xk 1 xk h f k ( ftk ' f xk ' f k ) 2!
f 'tk f 'xk 等各阶导数不易计算，用下式中 ki的线性组合代替
xk 1 xk h ai ki
i 1
r
线性组合
r为精度阶次，ai为待定系数，由精度确定；ki用下 式表示 i 1
ki f (tk b1h, xk hb2 k j ) , i 2,3
将 f tk b1h,xk hb2k1 在点 tk , xk 展成Taylor级数
modelica的simple算法
一、简介Modelica是一种面向物理建模和工程仿真的开放式建模语言，它的简单算法（simple algorithm）是其中的一种常用算法。
本文将介绍simple算法的基本原理、应用场景和优缺点。
二、简单算法的基本原理简单算法是一种基本的隐式数值积分方法，它通过迭代求解微分方程的数值解。
简单算法的基本原理如下：1. 对微分方程进行离散化处理，将微分方程转化为差分方程；2. 利用初始条件，采用迭代方法求解差分方程的数值解；3. 判断数值解的精度是否满足要求，如果不满足则继续迭代，直到满足要求为止。
简单算法的求解过程相对直观，易于理解和实现，因此在一些工程仿真软件中被广泛应用。
三、简单算法的应用场景简单算法适用于一些简单的动态系统仿真，特别是对于非刚性系统和非线性系统的仿真。
由于简单算法的迭代过程较为稳定，因此对于一些求解较为复杂的微分方程而言，简单算法可以提供较为可靠的数值解。
简单算法在电力系统、控制系统和热力系统等领域有着广泛的应用。
在这些系统中，通常涉及到复杂的微分方程，而简单算法可以提供较为准确的数值解，为工程设计和分析提供重要的支持。
四、简单算法的优缺点简单算法作为一种常用的数值积分方法，具有以下优缺点：1. 优点：（1）易于实现：简单算法的迭代过程相对简单，易于理解和实现；（2）稳定性较好：简单算法的迭代过程相对稳定，适用于一些复杂的微分方程的求解。
2. 缺点：（1）收敛速度较慢：简单算法的迭代过程需要较多的迭代次数，收敛速度较慢；（2）对刚性系统和高阶系统的适应性较差：简单算法在处理一些刚性系统和高阶系统时，可能会出现数值不稳定的情况。
简单算法作为一种常用的数值积分方法，适用于一些简单的动态系统仿真，具有易于实现、稳定性较好的特点，但在收敛速度和对复杂系统的适应性上存在一定的局限性。
五、结语简单算法作为Modelica建模语言的一种常用算法，在工程仿真和系统分析中有着重要的应用价值。
通过深入理解简单算法的基本原理和应用场景，可以更好地利用该算法进行系统建模和仿真，为工程设计和分析提供可靠的数值支持。
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4阶龙格-库塔法式使用较多的一种方法，其公式如下
y n 1 y n h ( k1 2 k 2 2 k 3 k 4 ) 6
k1 f ( y n , t n )
k2 f ( yn h h k1 , t n ) 2 2
（3-11）
k3 f ( yn
h h k2 , tn ) 2 2
当k 3时， (3 28)式的系数vi 为
1 1 v2 s(s 1)ds 5 2! 0 12
（3-29）
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
故可得三阶亚当斯公式
y(tn1 ) y(tn ) hfn 1 hf n 5 h2 f n 2 12
本章小结……………………………………………….
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法
1. 数值积分法
如果已知某一系统的一阶向量微分方程为
f ( y, t ), y(t0 ) y0 y
对式子(3.1),数值积分可写成统一的公式
（3-1）
yn1 ai yni h i f ni
i 0 i 1
m
m
（3-2）
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
几种常用的积分法
欧拉法
欧拉法的几何意义 改进的欧拉法
龙格-库塔法 亚当斯法(显式) 亚当斯法(隐式)
第三章 数值积分法在系统仿算精度较低，实际中很少采用，
f (t )
误差
但器推倒简单，能说明旧够数值解法一般计算公 式的基本思想。
t0
t1 t 2
t
称为欧拉折线法。 条折线，
图3.2 欧拉折线
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
改进的欧拉法
在推导时用图中的阴影面积来近似
f (t )
式(3.3)时，由于梯形公式中隐含有待求 量，通常可用欧拉法启动初值，算出近 似值，然后带如微分方程，最后利用梯 形公式求出修正。为提高精度，简化计 算，只迭代一次。这样可得改进的欧拉 公式：
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
龙格-库塔法
将式(3.3)在tn点展开 泰勒级数
h2 (t n ) (t n ) o(h 3 ) y (t n h) y (t n ) hy y 2
龙格-库塔（RK）法的一般形式为
r
（3-9）
yn1 yn h wi ki
对式(3.1)两端由to到t1进行积分 , 得到
y(t1 ) y0 f ( y, t )dt
t1
0
t0
t1
t0
（3-3）
t
图3.1 矩形近似及其误差
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
欧拉法的几何意义
欧拉法的几何意义 十分清楚。
y
y0
y1
y2
图3.2通过 ( t 0 , y 0 )点作为积分曲线的切线 ，其 斜率为f ( y 0 , t 0 )，此切线与 t1处平行于y轴直 线的交点即为 y1，再过 ( t1 , y1 )点作积分曲线 的切线, 它与过t 2平行于y轴直线的交点为 y 2。 这样过 ( t 0 , y 0 )， ( t1 , y1 )， ( t 2 , y 2 )， ，得到一
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
第三章 数值积分法在系统仿真中的应 用
3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法……………. 3.2 刚性系统的特点及算法…………………………. 3.3 实时仿真法………………………………………. 3.4 分布参数系统的数字仿真……………………….
3.5 面向微分方程的仿真程序设计………………….
f n f n f n 1 2 f n ( f n 2 f n 1 ) f n 2 k f n k 1 f n k 1 f n 1 0 fn fn
（3-26）
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
k 4 f ( yn hk3 , t n h)
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
亚当斯法(显式)
在解决积分问题时，采用亚当斯-贝喜霍斯显示多步法，简称亚当斯法。 根据牛顿后插公式
Pi , j (t ) fn
(t t n )( t t n 1 ) (t t n 1 k ) k （3-25） (t tn) fn fn k h h k!
0
（k=1时可得欧拉公式）
1
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
当k=2时，得到亚当斯多步法的计算公式，(3-28)式各系数为
v0 1
v1 f n ds 1 0 2
1
将v0 , v1代入(3 27)式得
y(tn1 ) y(tn ) 1 h(3 f n f n1 ) 2
亚当斯多步法的计算公式是
y(tn1 ) y(tn ) h vi i f n
i 0
k 1
（3-27）
其中
v0 1
1 1 v1 s ( s 1) ( s i 1)ds i 1 it 0
（3-28）
y(tn1 ) y(tn ) h f n ds y(tn ) hfn
i 1
（3-10）
式中
k1 f ( y n , t n )
k i f ( y n h ij k j , t n i h)
j 1 i 1
(i 2, 3, r )
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
而
i ij
j 1
i 1
ai , ij , wi为待定系数, r为使用k的个数(即阶数)。在给定r值后，通 过把式(3.10)展开成h的幂级数，然后和台劳 展开式的系数进行对比 ， 以确定 ij , wi的值。
p yn 1 yn h f ( yn , t n ) （3-8） p p h y y [ f ( y , t ) f ( y n n n 1 , t n 1 )] n 1 n 2
0
t0
t1
t
第一式称为预估公式， 第二式称为校正公式。
图3.3 梯形近似及其误差