绝对值三角不等式
绝对值三角不等式
联系绝对值的几何意义，从“运算”的 角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系
用恰当的方法在数轴上把|a|,|b|,|a+b| 表示出来，同学们观察能发现它们之间 有什么关系？
新课知识：
定理1: 如果a,b是实数,则 |a+b||a|+|b|
当且仅当ab0时,等号成立
(你能从“数”方面加以证明吗？)
例题分析： 例1.已知>0,|x-a|<,|y-b|<, 求证: |2x+3y-2a-3b|<5
例2、 已 知| x a | ,0 | y b | ,
2M
2|a|
y (0, M). 求 证:| xy ab | .
评注意"配凑"的方法,以及利用绝对
值三角不等式进行放缩的思想。
能应用定理解决一些证明和求最值问题
绝对值三角不等式
复习回顾： 绝对值的几何意义
a, a 0 |a|=0, a 0
a, a 0
|a| A
O
a
x
几何意义:
表示数轴上坐标为a的点A到
b
b a, a b
A |a-b| B
a
b
x
表示数轴上实数a,b对应的点A， 几何意义：B之间的距离，即线段AB的长度
60
40
20
0 10 20 30
课堂练习：
1.若不等式x 4 x 3 a的解集为非空集合,
则实数a的取值范围是( C )
A.a 7
B.1 a 7 C.a 1 D.a 1
2.关于x的不等式 x 2 x 1 a的解集为,
则a的取值范围是 __a___3____
3.设f ( x) ax2 bx c,当| x | 1时，总 有| f ( x) | 1，求证：| f (2) | 8
绝对值三角不等式的变形和推广
绝对值三角不等式的变形和推广绝对值三角不等式是一类常见的数学不等式，其形式通常为|f(x)| ≤ g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 是定义在某个区间上的实值函数。
在解决不等式问题时，我们经常需要对绝对值三角不等式进行变形和推广，以便更方便地求解和应用。
一种常见的变形是绝对值三角不等式的加减法变形。
具体来说，若知道|f(x)| ≤ a 和|g(x)| ≤ b，其中 a 和 b 是非负数，我们可以通过将这两个不等式相加或相减得到新的不等式，即|f(x) ± g(x)| ≤ a ± b。
这种变形使得我们在解决实际问题时更加灵活和方便。
另一种常见的变形是绝对值三角不等式的乘法变形。
假设我们已知|f(x)| ≤ a 和|g(x)| ≤ b，其中 a 和 b 是非负数。
如果我们想要知道两个函数的乘积是否满足某个限制，我们可以将以上两个不等式相乘，得到|f(x)g(x)| ≤ ab。
这个乘法变形可以帮助我们简化复杂的表达式，从而更容易确定函数乘积的范围。
除了变形，我们还可以推广绝对值三角不等式的应用。
一个常见的推广是将不等式从实数区间推广到复数区域。
具体来说，我们可以将 |f(x)| ≤ a 推广为|f(z)| ≤ a，其中 z 是复数。
这个推广帮助我们处理包含复数的数学问题，拓宽了不等式的应用范围。
在解决实际问题时，我们可以根据具体情况灵活运用绝对值三角不等式的变形和推广。
通过适当的变形和推广，我们可以更加简化和直观地解决不等式问题，提高问题的求解效率。
综上所述，绝对值三角不等式的变形和推广是解决不等式问题的常见策略。
我们可以通过加减法变形、乘法变形以及推广到复数区域等方式，灵活应用绝对值三角不等式，提高问题解决的效率和准确性。
(字数：226)。
1.1.2绝对值三角不等式
当且仅当ab ≥0时, 等号成立.
将定理中的实数a、b换成向 量(或复数)仍成立
课堂练习： 1.(课本 P15 例 1)已知 ε 0, x a ε , y b ε ， 求证： 2 x 3 y 2a 3b 5ε . 2.(课本 P20 习题 1.2 第 1 题)求证: ⑴ a b a b ≥ 2 a ;⑵ a b a b ≤ 2 b 3. (课本 P20 习题 1.2 第 3 题)求证: ⑴ xa xb ≥ ab ; ⑵ xa xb ≤ ab
ab a
b
a
ab
b
推论 1 a1 a2 an ≤ a1 a2 an
定理2 如果a、b、c是实数, -------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
定理3 如果a、b是实数, -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. -
绝对值三角不等式
y
ab
O
a
b
x
复习：
1.绝对值的定义: 2.几何意义:
一个数的绝对值表示这个数对应的点到 原点的距离.
x2
B O
|x|=
x 0 -x
X>0 X=0 X<0
x1
A
X
|x1| =|OA|
|x2| =|OB|
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何 意义是什么？
A a
|a-b| b
B x
|a+b| 的几何意义又是什么？
问题
我们已学过绝对值的一些性质，
1.2.1 绝对值三角不等式 课件(人教A选修4-5)
②点B不在A，C上时，|a－c| < |a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．
[例 1]
s s s 已知|A－a|< ，|B－b|< ，|C－c|< . 3 3 3
求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.
[思路点拨] ―→ 得出结论
变形 重新 定理 转化为|A－a|＋ 原式 ――→ ――→ 分组 |B－b|＋|C－c|
③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|
≤|a|＋|b|.
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b
－c|.
当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立． 几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A， B，C， 当点B在点A，C之间时，|a－c| ＝ |a－b|＋|b－c|. 当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c| ＝ |a－b|＋|b－c|；
[证明] (C－c)|
|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋
≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|. s s s 因为|A－a|< ，|B－b|< ，|C－c|< ， 3 3 3 s s s 所以|A－a|＋|B－b|＋|C－c|< ＋ ＋ ＝s. 3 3 3
(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝 对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题
的关键．
3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________， 最小值是________． 解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5. 答案：5 1
绝对值三角不等式的变形和推广
绝对值三角不等式的变形和推广
绝对值三角不等式是解决数学问题中经常用到的一种不等式形式。
它的一般形式如下：
$$
|a + b| \leq |a| + |b|
$$
其中，a和b是实数。
绝对值三角不等式有许多重要的性质和
应用，可以通过变形和推广得到更多有用的结果。
变形
通过变形，可以得到绝对值三角不等式的其他等价形式，例如：
1. $|a - b| \leq |a| + |b|$：通过将b改为-b，得到绝对值的差形式。
2. $||a| - |b|| \leq |a - b|$：通过将a和b的绝对值分别改为其差的
绝对值和绝对值的差的绝对值，得到绝对值的绝对值形式。
这些变形形式可以根据具体问题的需要灵活运用，帮助解决各种实际问题。
推广
除了变形，绝对值三角不等式还可以推广到更多元素和更复杂的情况。
例如：
1. 绝对值三角不等式在多个变量之间的应用：当不等式中涉及多个变量时，可以利用绝对值三角不等式的性质进行推导和求解。
2. 绝对值三角不等式在向量和矩阵中的应用：绝对值三角不等式可以推广到向量和矩阵中，帮助解决各种线性代数问题。
3. 绝对值三角不等式在概率和统计中的应用：绝对值三角不等式可以应用于概率和统计领域，帮助分析和推导随机变量的性质和概率分布。
通过推广绝对值三角不等式，我们可以扩展其适用范围，从而更好地解决各种数学和实际问题。
综上所述，绝对值三角不等式的变形和推广可以帮助我们更好地应用绝对值三角不等式解决各种数学问题。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选用适合的变形形式或推广方法，提高问题的求解效率和准确性。
绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项
绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项
绝对值三角不等式是高中数学中常见的一类不等式，它的解法技巧和注意事项如下。
解法技巧：
1. 分析绝对值的取值范围：对于绝对值不等式|f(x)| < a，首先需要确定f(x)的取值范围。
根据绝对值的定义，当f(x)的取值在-a 和a之间时，不等式成立。
2. 分类讨论：根据f(x)的取值范围进行分类讨论，将不等式分为多个情况进行分析。
例如，当f(x) > 0时，|f(x)| = f(x)；当f(x) < 0时，|f(x)| = -f(x)。
根据不同情况，构建等式或不等式进行求解。
3. 利用绝对值性质简化不等式：绝对值有一些基本的性质，如|a+b| ≤ |a| + |b|和|a-b| ≥ ||a| - |b||。
在解决绝对值三角不等式时，可以通过利用这些性质将复杂的不等式简化为更简单的形式。
注意事项：
1. 确定变量的定义域：在解决绝对值三角不等式时，需要考虑变量的取值范围，即定义域。
根据函数的定义域，确定绝对值的取值范围，从而确定不等式的解集。
2. 注意绝对值的符号：绝对值的结果总是非负数，即|a| ≥ 0。
在解决绝对值三角不等式时，需要根据不等式的符号确定绝对值的符号，避免出现不符合实际情况的解。
3. 将不等式化为关于绝对值的形式：有时候，需要将不等式转化为关于绝对值的形式，例如将|x+a| -b。
通过求解这两个不等式得到更精确的解集。
绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项上述所述，可以帮助我们更好地理解和解决这类不等式问题。
绝对值三角不等式推导 -回复
绝对值三角不等式推导 -回复绝对值三角不等式推导如下：对于任意实数a和b，我们有以下推导：首先我们知道绝对值的定义为|a| = a (当a≥0时)，|a| = -a (当a<0时)。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下性质：1. |a+b| = a+b 当且仅当a和b都非负，即a≥0且b≥0；2. |a-b| = a-b 当且仅当a≥b，即a大于等于b；3. |-a| = a，即绝对值的绝对值等于其本身；基于以上性质，我们可以推导出绝对值三角不等式：对于任意实数a、b和c，我们有以下不等式：1. |a+b| ≤ |a| + |b|2. |a-b| ≥ |a| - |b|首先，我们证明第一个不等式：当a和b都非负时，显然|a+b| = a+b，而|a| + |b| = a + b。
因此，不等式成立。
当a和b中有一个为负数时，不妨设a < 0。
则有|a| = -a。
此时我们可以将|a+b|分解为|a+b| = |(-a) + b|，根据性质2，我们可以得到|a+b| ≥ |-a| - |b| = a - |b|。
又因为a < 0，所以a -|b| < a + b，即有|a+b| ≥ a - |b| < a + b。
同时，我们知道|a| + |b| = -a + b = b - a。
而a + b = b - a，因此不等式成立。
综上所述，对于任意实数a和b，不等式|a+b| ≤ |a| + |b| 成立。
同理，我们可以推导出第二个不等式：对于任意实数a、b和c，有以下不等式：|a-b| = |a+(-b)| ≤ |a| + |-b| = |a| + |b|综上所述，绝对值三角不等式推导完毕。
第4课时 绝对值三角不等式(上课)
∴－4≤y≤4，
－4，x＞3.
∴ymax＝4，ymin＝－4.
解答
(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求参数a的取 值范围. 解 只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值， 则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集， 而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1， 当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立. ∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1. ∴a的取值范围为(－∞，1].
A.|x－y|＜2h
√C.|x－y|＜h＋k
B.|x－y|＜2k D.|x－y|＜|h－k|
解析 |x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜h＋k.
12345
解析 答案
3.已知|a|≠|b|，m＝|a|a|－－|bb||，n＝|a|a|＋＋|bb||，则 m，n 之间的大小关系是
类型一 含绝对值不等式的证明 例1 设函数f(x)＝x2－2x，实数|x－a|＜1.求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.
证明
反思与感悟
两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化 为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、 拆项证明. 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般 情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布 等方法来证明.
解答
反思与感悟
(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行 转化，构造绝对值不等式的形式. (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.
绝对值三角不等式取等条件
绝对值三角不等式取等条件
绝对值三角不等式取等条件：
1）如果$a=b=-c$，即a b c三个实数相等，则绝对值三角不等式成立：$|a|+|b|=|c|$
2）如果$a=-b$ 且$a>c$或$a=-b$ 且$c>a$，则绝对值三角不等式成立：$|a|+|b|=|c|$
3）如果 $|a|+|b|<|c|$，则绝对值三角不等式的等号不能取等，即
$|a|+|b|≠|c|$
4）如果 $|a|+|b|>|c|$，则绝对值三角不等式的等号不能取两边都等，即$|a|+|b|≠|c|$
绝对值三角不等式是一个基本的数学不等式，它是数学中绝对值的一
个典型应用，也是教科书中常考查的题型。
绝对值三角不等式取等条
件共有四种：
1）如果a b c三个实数相等，即$a=b=-c$，则绝对值三角不等式会成立；2）如果$a=-b$，且$a$或$c$大于另一数则$|a|+|b|=|c|$；
3）如果$|a|+|b|<|c|$，则等号不能取等；
4）如果$|a|+|b|>|c|$，则等号不能取两边都等。
绝对值三角不等式是绝对值典型应用中的一个重要定理，它反映了绝对值的性质，如大小关系、计算等，也是数学知识应用中很实用的一种不等式，在学习数学时要把握其取等条件，从而掌握绝对值三角不等式的概念，把它运用到实际中。
绝对值三角不等式.ppt
当我们把 a b 看作一个整体时， 上式逆
a a x a可得什么结论？ 用 x
a bab .
定理探索
能用已学过得的 a bab
b吗？ 证明 aba
可以 a 表示为 a a b b .
即 a ba b . 就是含有绝对值不等式的重要定理， b a b a b 即a .
异号时左边取“=”
推论1： | a a aa || || a | | a | 1 2 3 1 2 3
a a a a a a n N 1 2 n 1 2 nn
推论2： | a | | b | | a b | | a | | b |
3 6
证 明 ： | x 2 y 3 zx | ||| 2 y ||3 z |
9
| x | | 2 | | y | | 3 | | z |
|x | , |y | , |z |
3 6
|x | 2 |y | 3 |z |
9
2 3 |x | 2 |y | 3 |z |
2 2 2 2 只要证 a ， 2 a b b a 2 ab b
. 即证 ab ab
而 ab ab 显然成立．
从而证得 a . b a b a b
定理探索
还有别的证法吗？ 由 a a a与 b b b ， 得 . a b a b a b
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 山 路 勤勤 为 奋，努 径，学 崖 苦成 作 功！ 舟 天 少 成功 小 才 =有 艰苦的劳动 不 在 学 于 习，老 +正确的方法 来海 徒无 力 伤 才 + 少谈空话 悲 能
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(2)因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|a|－ －b|b||≤1， 即 m≤1，又因为|a＋b|≤|a|＋|b|， 所以|a|a|＋＋b|b||≥1，即 n≥1，所以 m≤1≤n. 【答案】 (1)C (2)m≤n
【名师点评】 绝对值不等式性质的重要作 用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子 不变，分母变小，则分数值变大；分子变大， 分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等 号是否还能成立．
绝对值三角不等式
探究新知
1.绝对值的几何意义：
如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
探究新知
绝对值的几何意义：
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离 小于3.
探究新知
同理，与原点距离大于3的点对应的 实数可表示为：
x 3
探究新知
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？
解析：选 A.∵0<a<1， ∴1<1＋a<2,0<1－a<1. ∴log(1＋a)(1－a)<0.① log(1－a)(1＋a)<0.② A 项左边＝－log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a) ＝－log(1＋a)(1－a)－log1＋a11－a. 令 log(1＋a)(1－a)＝t<0， ∴左边＝－t－1t ＝(－t)＋－1 t>2.
(2) 当 a, b 共线且同向时有
ab a b
探究新知
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
ab b
a
ab
ab
这个不等式俗称“三角不等式”——
三角形中两边绝之对值和三大于第三边，两边 之差小于第三角边不等式
探究新知
定理的证明
求证：|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
探究新知
y x a a y b M a . 2M 2 a
典例讲评
例4.已知 | a | 1, | b | 1, 求证 a b 1
证明：a b
1
(a b)2
1 ab
1
1 ab
(1 ab)2
a2 2ab b2 1 2ab a2b2
1 a2 b2 a2b2 0
·
·
·
10
x
20
典例讲评
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km
处，两施工队每天往返的路程之和为
S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
-2x 30 (x 10) S(x) 10 (10 ≤ x ≤ 20)
2x 30 (x 20)
典例讲评
所以（S x）的最小值是10,
(1 a2 )(1 b2 ) 0
由| a | 1, | b | 1,可知(1 a2 )(1 b2 ) 0成立，
所以 a b 1 1 ab
典例讲评
ab
a
b
例5 求证
1
ab
1
a
1.
b
证明：在 a b 0 时，显然成立.
当 a b 0时，左边
1 1 1
ab
a
1 1 b
当10 ≤ x ≤ 20 时取到. y
60
答: 生活区建于两路 碑间的任意位置都满 40
足条件.
20
0 10 20 30 x
典例讲评
例3 已知 x a ,0 y b , y 0, M ，
2M
2a
求证 xy ab .
证明：xy ab xy ya ya ab yx a ay b
(2)已知|a|≠|b|，m＝|a|a|－ －b|b||，n＝|a|a|＋ ＋b|b||， 则 m，n 之间的大小关系是________． 【思路点拨】 (1)由于xy<0，x，y异号，利 用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定． (2)题易判定m，n与1的大小关系．
【解析】 (1)法一：特殊值法：取x＝1，y ＝－2，则满足xy＝－2<0， 这样有|x＋y|＝|1－2|＝1， |x－y|＝|1－(－2)|＝3， |x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1， ∴选项C成立，A，B，D不成立． 法二：由xy<0得x，y异号， 易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|， |x－y|>||x|－|y||， ∴选项C成立，A、B、D不成立．
变式训练1 0<a<1，下列不等式一定成立的 是( )
A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2 B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)| C ． |log(1 ＋ a)(1 － a) ＋ log(1 － a)(1 ＋ a)|<|log(1 ＋ a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)| D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋ a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|
A
|a-b|
B
a
b
x
探究新知
如果用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出来? 定理1 如果a,b是实数，则|a+b|
≤|a| +|b| ，当且仅当 ab≥0时，等号成立.
探究新知
如果把定理1中的实数a,b分别换 为向量 a, b ，能得出
(1) 当 a, b 不共线时有
ab a b
1 1
a ab
1
b ab
a
1Байду номын сангаасa
b .
1 b
思考感悟 如 何 理 解 |a| － |b|<|a±b|<|a| ＋ |b| 的 几 何 意 义 ？ 提示：三角形任意两边之差小于第三边，三 角形任意两边之和大于第三边．
课堂互动讲练
考点突破
含绝对值不等式的理解
例1 (1)设xy<0，x，y∈R，那么正确的是 () A．|x＋y|>|x－y| B．|x－y|<|x|＋|y| C．|x＋y|<|x－y| D．|x－y|<||x|－|y||
定理2：如果a,b,c是实数，那么
ac ab bc
当且仅当（a b)(b c) 0时，等号成立
典例讲评
例1 已知ε >0,x-a ε , y b ε , 求 2x+3y-2a-3b 5ε
典例讲评
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的 两个地点施工,这两个地点分别位于公路路 碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿 线建两个施工队的共同临时生活区,每个施 工队每天在生活区和施工地点之间往返一 次,要使两个施工队每天往返的路程之和最 小,生活区应该建于何处?
由选择题的唯一性，其余可不判断．