2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)已排版有答案
2017年高考真题文数高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页，满分150分。
考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，学 科&网则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π 45．已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 26．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．38．.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0,2）单调递增B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +211．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
2017高考数学全国1卷文科标准答案 (4)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国III 卷） 理科数学1．解析A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合， 故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2.故选B.2．解析由题意，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则z 故选C. 3．解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误.故选A. 4．解析由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．解析因为双曲线的一条渐近线方程为y，则b a =又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=.故选B. 6．解析函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误.故选D.π7．解析程序运行过程如下表所示：此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值.故选D.8．解析由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r = 则圆柱体体积23ππ4V r h ==.故选B.9．解析因为{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又因为11a =，代入上式可得220d d +=又0d ≠，则2d =-， 所以()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-.故选A. 10．解析因为以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，所以圆心到直线距离d 等于半径，所以d a ==，又因为0,0a b >>，则上式可化简为223a b =因为222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =，所以c e a ==故选A. 11．解析由条件，()2112(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )x x x x f x x x a x x x a ----+---=---++=-+-+++= 2112(e e )x x x x a --+-++.所以()()2f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点，故()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．故选C. 12．解析由题意，画图．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =因为BD 切C 于点E ．所以CE ⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．1222BCD BC CD S EC BDBD ⋅⋅⋅===△C． 因为P 在C 上．所以P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． 因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==+，01y λθ==．两式相加得：()112λμθθθϕ+=+++=+= 2sin()3θϕ++≤， (其中sin ϕ=，cos ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．故选A. 13．解析由题意，画出可行域如图： 目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小． 由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．14．解析因为{}n a 为等比数列，设公比为q ． 121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，所以()3341128a a q ==⨯-=-．15．解析因为()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图像变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图像如下：1-1)41)2-)由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．解析由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故1AC =，AB =边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)=a ，1=a ．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)=b ，1=b ．设B 点在运动过程中的坐标()cos ,sin ,0B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，2AB '=设AB '与a 所成夹角为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos AB θθαθ⎡--⋅==∈⎢'⎣⎦a ．故ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为π[0,]2β∈，(cos ,sin ,1)(1,0,0)cos AB AB AB θθβθ'⋅-⋅===''b b b . 当AB '与a 夹角为60︒时，即π3α=，sin 3πθα=．因为22cos sin 1θθ+=，所以cos θ．所以1cos 2βθ=． 因为π0,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．所以π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒．所以②正确，①错误．故填② ③.17．解析（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=.故4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=.因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =.由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△18．解析（1）易知需求量x 可取200,300,500 ()21612003035P X +===⨯；()3623003035P X ===⨯；()257425003035P X ++===⨯. 则分布列为：（2）①当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到. ②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800555n n n -+=+=， 此时max 520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦320025n -= 此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况. 综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520. 19．解析⑴取AC 中点为O ，联结BO ，DO ；因为ABC △为等边三角形，所以BO AC ⊥，所以AB BC =.AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ABD CBD ≅△△.所以AD CD =，即ACD △为等腰直角三角形， ADC ∠为直角又O 为底边AC 中点，所以DO AC ⊥.令AB a =，则AB AC BC BD a ====，易得：OD =，OB所以222OD OB BD +=，由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=，即OD OB ⊥.OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面，所以OD ⊥平面ABC . 又因为OD ⊂平面ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面ABC . ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --=，即B ，D 到平面ACE 的距离相等，即E 为BD 中点. 以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭BEC DAO易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ， 则110AE AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，解得1=n ，220AE OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，解得(20,1,=n .若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则1212cos θ⋅==⋅n n n n .20．解析（1）显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意． 设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OBx x y y ⋅=+12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2(2)40m m m -+++=， 所以OA OB ⊥，即O 在圆M 上． （2）若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=，1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=解得12m =-或1.①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ = 则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ， 12012y y y +==，0023x y =+=，半径r OQ =22:(3)(1)10M x y -+-=. 21．解析（1）()1ln f x x a x =--，0x >，则()1a x a f x x x-'=-=，且(1)0f =， 当0a 时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调递增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增所以当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾； ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减所以当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾；③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增所以()(1)0f x f =满足题意. 综上所述1a =．（2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->， 令112n x =+得，11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 从而221111111ln 1ln 1...ln 1...112222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故211111...1e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以所以m 的最小值为3． 22．解析⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……① ()21:2l y x k=+ ……② ⨯①②消k 可得：224x y -=，即P 的轨迹方程为224x y -=，()0y ≠；⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得ρM．23．解析（1）()12f x x x =+--可等价为()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩.由()1f x 可得：①当1x -时显然不满足题意； ②当12x -<<时，211x -，解得1x ；③当2x 时，()31f x =恒成立.综上，()1f x 的解集为{}1x x .⑵不等式()2f x x x m -+等价为()2f x x x m -+，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m 解集非空只需要()max g x m ⎡⎤⎣⎦.而()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩.①当1x -时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x 时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m .。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(含答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )A.A∩B={x|x<32}B.A∩B=⌀C.A∪B={x|x<32}D.A∪B=R2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π45.已知F是双曲线C:x2-y 23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A.13B.12C.23D.326.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )7.设x,y满足约束条件{x+3y≤3,x-y≥1,y≥0,则z=x+y的最大值为( )A.0B.1C.2D.38.函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为( )9.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+211.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( )A.π12B.π6C.π4D.π312.设A,B是椭圆C:x 23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .14.曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.15.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos(α-π4)= .16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;,求该四棱锥的侧面积.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为8319.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x =116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i -x )2=√116(∑i=116x i 2-16x 2)≈0.212,√∑i=116(i -8.5)2≈18.439,∑i=116(x i -x )(i-8.5)=-2.78,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x -3s,x +3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在(x -3s,x +3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01) 附:样本(x i ,y i )(i=1,2,…,n)的相关系数r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1n (x i -x )√∑i=1n(y i -y ).√0.008≈0.09.20.(12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM⊥BM,求直线AB 的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t ,y =1-t(t 为参数). (1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A 本题考查集合的运算.由3-2x>0得x<32,则B={x |x <32},所以A∩B={x |x <32},故选A.2.B 本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.3.C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i×2i=-2; B.i 2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C. 4.B 本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8,故选B.5.D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F(2,0),不妨取P 点在x 轴上方,如图.∵PF⊥x 轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), ∴|AP|=1,AP⊥PF, ∴S △APF =12×3×1=32.故选D.6.A 本题考查线面平行的判定.B 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;C 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;D 选项中,AB ∥NQ,且AB ⊄平面MNQ,NQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ.故选A.7.D 本题考查简单的线性规划问题. 作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y 在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.8.C 本题考查函数图象的识辨.易知y=sin2x1-cosx 为奇函数,图象关于原点对称,故排除B 选项;sin 2≈sin 120°=√32,cos 1≈cos 60°=12,则f(1)=sin21-cos1=√3,故排除A 选项; f(π)=sin2π1-cos π=0,故排除D 选项,故选C.9.C 本题考查函数的图象与性质.函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x ∈(0,1)时, f(x)单调递增,x ∈(1,2)时, f(x)单调递减,则A 、B 选项错误;t(x)的图象关于直线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C 选项正确,D 选项错误.故选C. 10.D 本题考查程序框图问题.本题求解的是满足3n-2n>1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件应输出结果,所以判断语句应为A≤1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为n=n+2,故选D.11.B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC 中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34π. 由a sinA =c sinC 得√22=√2sinC ,∴sin C=12,又0<C<π4,∴C=π6,故选B.12.A 本题考查圆锥曲线的几何性质.当0<m<3时,椭圆C 的长轴在x 轴上,如图(1),A(-√3,0),B(√3,0),M(0,1).图(1)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0<m≤1; 当m>3时,椭圆C 的长轴在y 轴上,如图(2),A(0,√m ),B(0,-√m ),M(√3,0)图(2)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即√m ≥3,即m≥9.综上,m ∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.二、填空题 13.答案 7解析 本题考查向量数量积的坐标运算. ∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m -1,3),又(a+b)⊥a, ∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 14.答案 x-y+1=0解析 本题考查导数的几何意义.∵y=x 2+1x,∴y'=2x -1x2,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15.答案3√1010解析 因为α∈(0,π2),且tan α=sinαcosα=2,所以sin α=2cos α,又sin 2α+cos 2α=1,所以sin α=2√55,cos α=√55,则cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.16.答案 36π解析 由题意作出图形,如图.设球O 的半径为R,由题意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=√2R.连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以OA⊥平面SCB,所以OA⊥OB,则AB=√2R,所以△ABC 是边长为√2R 的等边三角形,设△ABC 的中心为O 1,连接OO 1,CO 1. 则OO 1⊥平面ABC,CO 1=23×√32×√2R=√63R,则OO 1=√R 2-(√63R)2=√33R,则V S-ABC =2V O-ABC =2×13×√34(√2R)2×√33R=13R 3=9, 所以R=3.所以球O 的表面积S=4πR 2=36π.三、解答题17.解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q )=2,a 1(1+q +q 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n . (2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q=-23+(-1)n·2n+13.由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n·2n+13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.18.解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算. (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°, 得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD, 从而AB⊥平面PAD. 又AB ⊂平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD 内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD, 故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD. 设AB=x,则由已知可得AD=√2x,PE=√22x. 故四棱锥P-ABCD 的体积V P-ABCD =13AB·AD·PE=13x 3.由题设得13x 3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2√2,PB=PC=2√2.可得四棱锥P-ABCD 的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC 2sin 60°=6+2√3.19.解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差. (1)由样本数据得(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=∑i=116(x i -x )(i -8.5)√∑i=1(x i -x )2√∑i=1(i -8.5)2=0.212×√16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于x =9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x -3s,x +3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09.20.解析 本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y2x 1-x 2=x 1+x 24=1.(2)由y=x 24,得y'=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x 24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2√m+1.从而|AB|=√2|x1-x2|=4√2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.21.解析本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值.(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln(-a2).当x∈(-∞,ln(-a2))时,f '(x)<0;当x∈(ln(-a2),+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln(-a2))单调递减,在(ln(-a2),+∞)单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a 2ln a≥0,即a≤1时, f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln (-a 2)时, f(x)取得最小值,最小值为f (ln (-a2))=a 2[34-ln (-a2)].从而当且仅当a 2[34-ln (-a2)]≥0, 即a≥-2e 34时, f(x)≥0. 综上,a 的取值范围是[-2e 34,1].22.解析 本题考查极坐标与参数方程的应用. (1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d=√17.当a≥-4时,d 的最大值为√17,由题设得√17=√17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为√17,由题设得17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.23.解析 本题考查含绝对值不等式的求解问题.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√17.2所以f(x)≥g(x)的解集为}.{x|-1≤x≤-1+√172(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].。
2017全国卷1文科数学试卷及问题详解(新颖完整版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π 45．已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 26．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．38．.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0,2）单调递增B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，学|科网那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +211．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
2017年普通高等学校招生全国统一考试(答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A 本题考查集合的运算.由3-2x>0得x<32,则B= x x<32,所以A∩B= x x<32,故选A.2.B 本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.3.C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义.A.i(1+i)2=i³2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C.4.B 本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8,故选B.5.D 本题考查双曲线的几何性质.易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.∵PF⊥x轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),∴|AP|=1,AP⊥PF,∴S△APF=12³3³1=32.故选D.6.A 本题考查线面平行的判定.B选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;C选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;D选项中,AB∥NQ,且AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ.故选A.7.D 本题考查简单的线性规划问题.作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.8.C 本题考查函数图象的识辨.易知y=sin2x1-cos x 为奇函数,图象关于原点对称,故排除B选项;sin 2≈sin 120°=32,cos 1≈cos60°=12,则f(1)=sin21-cos1=3,故排除A选项; f(π)=sin2π1-cosπ=0,故排除D选项,故选C.9.C 本题考查函数的图象与性质.函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x∈(0,1)时, f(x)单调递增,x∈(1,2)时, f(x)单调递减,则A、B选项错误;t(x)的图象关于直线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C选项正确,D选项错误.故选C.10.D 本题考查程序框图问题.本题求解的是满足3n-2n>1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件应输出结果,所以判断语句应为A≤1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为n=n+2,故选D.11.B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34π.由asin A =csin C得2=2sin C,∴sin C=12,又0<C<π4,∴C=π6,故选B.12.A 本题考查圆锥曲线的几何性质.当0<m<3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(-3,0),B(3,0),M(0,1).图(1)当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0<m≤1;当m>3时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,m),B(0,-m),M(3,0)图(2)当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即m≥3,即m≥9.综上,m∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.二、填空题13.答案7解析本题考查向量数量积的坐标运算.∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a,∴(a+b)²a=-(m-1)+6=0,解得m=7.14.答案x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.∵y=x2+1x ,∴y'=2x-1x2,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15.答案31010解析因为α∈0,π2,且tan α=sinαcosα=2,所以sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1,所以sin α=255,cos α=55,则cos α-π4=cos αcos π4+sin αsin π4=55³22+255³22=31010.16.答案36π解析由题意作出图形,如图.设球O的半径为R,由题意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=2R.连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以OA⊥平面SCB,所以OA⊥OB,则AB=R,所以△ABC是边长为R的等边三角形,设△ABC的中心为O1,连接OO1,CO1.则OO1⊥平面ABC,CO1=23³32³2R=63R,则OO1=R2-63R2=33R,则V S-ABC=2V O-ABC=2³13³34(R)2³33R=13R3=9,所以R=3.所以球O的表面积S=4πR2=36π.三、解答题17.解析本题考查等差、等比数列.(1)设{a n}的公比为q,由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故{a n}的通项公式为a n=(-2)n.(2)由(1)可得S n=a1(1-q n)1-q =-23+(-1)n²2n+13.由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n²2n+3-2n+23=2-23+(-1)n²2n+13=2S n,故S n+1,S n,S n+2成等差数列.18.解析本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算.(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥P-ABCD的体积V P-ABCD=13AB²AD²PE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PA²PD+12PA²AB+12PD²DC+12BC2sin 60°=6+23.19.解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差. (1)由样本数据得(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=∑i =116(x i -x )(i -8.5)∑i =1(x i -x )2 ∑i =1(i -8.5)2=0.212× 16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于x =9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x -3s,x +3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115³(16³9.97-9.22)=10.02, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i =116x i 2=16³0.2122+16³9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115³(1 591.134-9.222-15³10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为20.解析 本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=1.(2)由y=x 24,得y'=x2, 设M(x 3,y 3),由题设知x32=1, 解得x 3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x 24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2m+1.从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.21.解析本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值.(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln-a2.当x∈-∞,ln-a2时,f '(x)<0;当x∈ln-a2,+∞时, f '(x)>0.故f(x)在-∞,ln-a2单调递减,在ln-a2,+∞单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时, f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln-a2时, f(x)取得最小值,最小值为f ln-a2=a234-ln-a2.从而当且仅当a234-ln-a2≥0,即a≥-2e 3时, f(x)≥0.综上,a的取值范围是[-2e 3,1].22.解析本题考查极坐标与参数方程的应用.(1)曲线C的普通方程为x 29+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由x+4y-3=0, x29+y2=1解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425.从而C与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=17.当a≥-4时,d的最大值为17,由题设得17=,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为17,由题设得17=17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.23.解析本题考查含绝对值不等式的求解问题.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,.从而1<x≤-1+172所以f(x)≥g(x)的解集为.x-1≤x≤-1+172(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].。
2017年高考文科数学全国卷1
数学试卷 第1页（共8页） 数学试卷 第2页（共8页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟考生注意：1．答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =<，{}|320B x x =->，则（ ） A .3|2A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭B .A B =∅C .3|2AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D .AB =R2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为1x ，2x ，……，n x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A .1x ，2x ，……，n x 的平均数B .1x ，2x ，……，n x 的标准差C .1x ，2x ，……，n x 的最大值D .1x ，2x ，……，n x 的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A .2(1)i i +B .2(1)i i -C .2(1)i +D .(1)i i +4.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B .π8C .12D .π 45.已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，△APF 的面积为（ ）A .13B .1 2C .23D .3 26.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A .B .C .D .7.设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值为（ ）A .0B .1C .2D .3-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_________________________________________________________________数学试卷 第3页（共8页）数学试卷 第4页（共8页）8.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）A .B .C .D .9.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（ ） A .()f x 在(0,2)单调递增B .()f x 在(0,2)单调递减C .()y f x =的图像关于直线1x =对称D .()y f x =的图像关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足321000nn->的最小偶数n ，框中，可以分别填入（ ）A .1000A ＞和1n n =+ B .1000A ＞和2n n =+ C .1000A ≤和1n n =+D .1000A ≤和2n n =+11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2a =，c =C =（ ）A .π12B .π6 C .π4 D .π3 12.设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m 的取值范围是（ ） A .(0,1][9,)+∞B .[9,)+∞C .(0,1][4,)+∞D .[4,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量)2(–1,=a ，)1(,m =b .若向量+a b 与a 垂直，则m =________.14.曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为______________. 15.已知π(0)2α∈，，tan 2α=，则πcos ()4α-=__________.16.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=o .数学试卷 第5页（共8页）数学试卷 第6页（共8页）（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=o ，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积.19.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min ，从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅.（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）.（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑，0.09≈.20.（12分）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB的方程. 21.（12分）已知函数2()()x x e e f x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a . 23.[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2()4f x x ax =-++，g()|1||1|x x x =++-.毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________ ____________________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共8页）数学试卷 第8页（共8页）（1）当1a =时，求不等式()g()f x x ≥的解集；（2）若不等式()g()f x x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围.。
2017年高考全国卷I-数学试题(含答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
2017高考数学全国1卷文科标准答案 (3)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学1.解析由题意{1,2,3,4}AB =.故选A.2.解析由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+.故选B. 3.解析由题意22T π==π.故选C. 4.解析由||||+=-a b a b 平方得()()()()222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b .故选A.5.解析由题意222222111c a e a a a +===+，因为1a >，所以21112a<+<，则1e <<故选C. 6.解析由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱， 故其体积为2213634632V =⋅π⋅⋅+π⋅⋅=π.故选B. 7.解析绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值12315z =--=-.故选A.8.解析函数有意义，则：2280x x -->，解得：2x <-或4x >，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞.故选D.9.解析由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.故选D. 10.解析阅读流程图，初始化数值1,1,0a k s =-==. 循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =-=-==；第二次：121,1,3S a k =-+==-=； 第三次：132,1,4S a k =-=-==；第四次：242,1,5S a k =-+==-=； 第五次：253,1,6S a k =-=-==；第六次：363,1,7S a k =-+==-=.结束循环，输出3S =.故选B.11.解析如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为2255=.故选D. 12.解析由题知:1)MF y x =-，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121,33x x ==所以(3,M ，因为MN l ⊥，所以(1,N -，因为(1,0)F ，所以:1)NF y x =- 所以M 到NF =故选C.13.解析2()21f x +=14.解析(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=.15.解析球的直径是长方体的体对角线，所以2R ==24π14πS R ==.16.解析由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=⇒1πcos 23B B =⇒=. 17.解析(1)设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由等差数列、等比数列的通项公式可得212125d q d q -++=⎧⎨-++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩，故{}n b 的通项公式为12n n b -=.(2)由(1)及已知得2122121d q q q -++=⎧⎨++=⎩，解得41q d =⎧⎨=-⎩或58q d =-⎧⎨=⎩.所以313236S a d⨯=+=-或3132321S a d ⨯=+=. 18.解析（1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠=，所以//BC AD . 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故//BC 平面PAD . （2）取AD 的中点M ，联结PM ，CM ， 由12AB BC AD ==及//BC AD ，90ABC ∠=得ABCM 四边形为正方形，则CM AD ⊥. 因为侧面PAD 是等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PM AD ⊥，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥. 设BC x =，则CM x =，CD =，PM =，2PC PD x ==. 取CD 的中点N ，联结PN ，则PN CD ⊥，所以PN =. 因为PCD △的面积为12=2x =-（舍去），2x =， 于是2AB BC ==，4AD =，PM =.四棱锥P ABCD -的体积()224132V +=⨯⨯=19.解析（1）由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为()0.0120.0140.0240.0340.04050.62++++⨯=，则估计事件A 的概率为()0.62P A =.（2）列联表如下：箱产量50kg所以22200(62663834)15.70510.82810010010496k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的有把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量均值约在4550kg ，新养殖法的箱产量约在5055kg可知新养殖法比旧养殖法的箱产量高.20.解析（1）设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y ， 由2NP NM =知，1y =，即1y =，又M 点在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.（2）设())3,,Q t Pθθ-，则有()()23,t OP PQ θθθθ⋅=-=222cos sin 2sin 1θθθθ---=，即sin 30θθ--=.设椭圆右焦点()1,0F -，又()()23,FP OQ t θθ⋅=+-3sin 0θθ=--+=，所以FP OQ ⊥.所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 21.解析（1）()()()222e 1e 12e x x x f x x x x x '=-+-=--，令()0f x '=得2210x x +-=，解得11x =，21x =，所以()f x 在区间(),1-∞，)1,+∞是减函数，在区间()1是增函数.（2）因为0x 时，()1f x ax +，所以()21e 1x x ax -+. 所以2e e 10x x x ax -++，令()2e e 1x x h x x ax =-++，即[)0,x ∈+∞时，()0h x ，而()00h =，所以()00h '，所以10a -，1a ； 再令()()2e 2e e x x x x h x x x a ϕ'==+-+，()()241e x x x x ϕ'=++， 当0x 时，()0x ϕ'>恒成立. 所以()h x '在[)0,+∞是增函数， 恒有()0h x '，从而()h x 是增函数，()00h =，()0h x ， 在[)0,+∞恒成立，故1a 即为所求.22.解析(1)设点P 的极坐标为(),ρθ，因为16OM OP ⋅=，所以点M 的极坐标为16,θρ⎛⎫⎪⎝⎭. 把点M 的坐标代入1:cos 4C ρθ=中得:16cos 4θρ⋅=，即4cos ρθ=.两边同时乘以ρ，得24cos ρρθ=，化为直角坐标方程为2240.x y x +-= （2）2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以点B 的极会标可设为(4cos ,)θθ，,22θππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ 又A 的极坐标为23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以1||||sin 2OAB S OA OB AOB ∆=⋅⋅⋅∠124cos sin 23θθπ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭134cos sin cos 2θθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 233θπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因为,22θππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以422,333θπππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以当232θππ-=-即2θπ=-时，OAB △的面积取最大值为23+.23．解析（1）由柯西不等式得：()()()()225555334a b a b a a b ba b +++=+=≥⋅⋅当且仅当55ab ba =，即1a b ==时取等号． （2）因为()()()()()33232233333232244a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+，所以()38a b +，所以2a b +．。
2017高考数学全国1卷文科标准答案 (6)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）理科数学1. 解析由240x -得22x -，由10x ->得1x <， 故{}{}{}=|22|1|21AB x x x x x x -<=-<.故选D.2. 解析由z a =，4z z ⋅=得234a +=，所以1a =±.故选A. 3. 解析由011x x >⇒+>，所以ln(1)0x +>恒成立，故p 为真命题； 令1a =，2b =-，验证可知，命题q 为假.故选A.4. 解析由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=.故选C. 5. 解析22.5x =，160y =，所以160422.570a =-⨯=，42470166y =⨯+=.故选C. 6. 解析第一次7x =，227<，3b =，237>，1a =； 第二次9x =，229<，3b =，239=，0a =，故选D. 7. 解析1a >，01b <<，所以12ab<，()22log log 1a b +>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+.故选B. 8. 解析12542C C 5989=⨯.故选C. 9. 解析sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=.故选A.y=-3x-5x 210. 解析若m=，则)[]21,0,1y x=-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x=∈的值域为，所以两个函数的图象无交点，故排除C、D；若3m=，则()1,4是两个函数的公共点.故选B.11. 解析()1C3C3rr r r rr n nT x x+==⋅⋅，令2r=得：22C354n⋅=，解得4n=．12.解析)()221212112122-⋅+=⋅-⋅-=λλλe e e e e e e e，122-===e，12+===λe e2cos601λ==+，解得：3λ=．13. 解析该几何体的体积为21112211242Vπ=π⨯⨯⨯+⨯⨯=+．14. 解析||||4222A B A Bp p pAF BF y y y y p+=+++=⨯⇒+=.又22222222221202x ya y pb y a ba bx py⎧+=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A Bpby y pa+==a⇒=，所以双曲线的渐近线方程为2y x=±.15. 解析①()ee e22xx x xf x-⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R上单调递增，故()2xf x-=具有M性质；②()ee e33xx x xf x-⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R上单调递减，故()3xf x-=不具有M性质；③()3e ex xf x x=⋅，令()3e xg x x=⋅，则()()322e e3e2x x xg x x x x x'=⋅+⋅=+，所以当2x>-时，()0g x'>，当2x<-时，()0g x'<，所以()3e ex xf x x=⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x=不具有M性质；④()()2e e2x xf x x=+，令()()2e2xg x x=+，则()()()22e2e2e110x x xg x x x x⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2e e2x xf x x=+在R上单调递增，故()22f x x=+具有M性质．16.解析（1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 22f x x x x ωωω=--3cos 22x x ωω=-1sin cos 22x x ωω⎫=-=⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. 17.解析（1）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，ABAP A =，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒（2）以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，G ，(C -，故(2,0,3)AE =-，(1,AG =，(2,0,3)CG =，设111(,,)x y z =m 是平面AEG 的一个法向量.由00AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m可得1111230,0,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取12z =，可得平面AEG的一个法向量(3,2)m . 设222(,,)x y z =n 是平面ACG 的一个法向量.由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得22220,230,x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取22z =-，可得平面ACG的一个法向量(3,2)=-n . 所以1cos ,2m n ⋅==⋅m n m n .因此所求的角为60︒.18.解析（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105().18C P M C ==（2）由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则56510C 1(0)C 42P X ===，4164510C C 5(1)C 21P X ===，3264510C C 10(2)C 21P X ===，2364510C C 5(3)C 21P X ===，1464510C C 1(4)C 42P X ===，因此X 的分布列为X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==5105101234221212142+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.解析（1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >，所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（2）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +，由（1）得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n n T b b b b =++++=10132325272(21)2(21)2n n n n ---⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯①又012212325272(21)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯②-①②得121132(22 (2))(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=20.解析（1）由题意()22f π=π-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x -π-=π-π， 即222y x =π-π-.（2）由题意得2()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+，因为()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x xh x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin x x x a x x ---()()2e sin x a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-，所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0m =，所以当0x >时，()0m x >，当0x <时，()0m x <. （i ）当0a 时，e x a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以当0x =时()h x 取得极小值，极小值是()021h a =--；（ii ）当0a >时，()()()ln 2e esin x ah x x x '=--由()0h x '=得1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，ln e e 0x a -<，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，ln e e 0x a ->，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，ln e e 0x a ->，()0h x '>，()h x 单调递增. 所以当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以当(),0x ∈-∞时，ln e e 0x a -<，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()0,ln x a ∈时，ln e e 0x a -<，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，ln e e 0x a ->，()0h x '>，()h x 单调递增； 所以当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--； 当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a 时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.21.解析（1）由题意知c e a ==，22c =，所以a =1b =， 因此椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得()22114210k x x +--=，由题意知0∆>，且1122121x x k +=+，()12211221x x k =-+，所以121=-=AB x .由题意可知圆M 的半径r为123r AB ==由题设知12k k =，所以21k =因此直线OC的方程为1y x =.联立方程22112x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC == 由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而1OCr == 令2112t k =+，则()11,0,1t t>∈，因此1OC r==， 当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时12k =±，所以1sin22SOT ∠， 因此26SOT ∠π，所以SOT ∠最大值为3π. 综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为1k =.。
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2019 年第四次文数练一、选择题：大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A= x|x 2 ，B= x|3 2x 0 ，则A．A B=3x|x B．A B 2C．A B3x|x D．A B= R 22．为评估一种农作物的种植效果，选n 块地作验.这n 块地的亩产量单位：kg）分x1，x2，⋯，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量定度的是A．x1，x2，⋯，x n 的平均数B．x1，x2，⋯，x n 的标准差C．x1，x2，⋯，x n 的最大D．x1，x2，⋯，x n 的中位数3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i)22B．i (1-i) C．(1+i)2D．i(1+i)4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π45．已知 F 是双曲C：x2-2-2y3=1 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3).则△APF 的面为A．13B．12C．23D．326．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直AB 与平面MNQ 不平行的是x 3y 3,x y 1, 则z= x+y 的最大值为7．设x，y 满足约束条件y 0,A．0 B．1 C．2 D．38．.函数ysin2 x1 cosx的部分图像大致为9．已知函数 f (x) lnx ln(2 x) ，则A．f (x) 在（0,2）单调递增B．f (x) 在（0,2）单调递减C．y= f (x) 的图像关于直线x=1 对称D．y= f (x) 的图像关于点（1,0）对称n n10．如图是为了求出满足 3 2 1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ． A>1000 和 n=n+1B ．A>1000 和 n= n +2C ． A ≤ 1000和 n= n +1D ．A ≤ 1000和 n= n +211．△ABC 的内角 A 、B 、C 的对分为 a 、b 、c 。
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2017年全国统一高考数学试卷 （文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=∅ C．A∪B={x|x＜} D．AUB=R
2． 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田，这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
3．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）
4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3）．则△APF的面积为（ ） A． B． C． D．
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B． C． D． 7．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．函数y=的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D． 9．已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ） A．f（x）在（0，2）单调递增 B．f（x）在（0，2）单调递减 C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称 D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
10．如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ） A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）
A． B． C． D．
12．设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0，]∪[9，+∞） C．（0，1]∪[4，+∞） D．（0，]∪[4，+∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= ．
14．曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为 ． 15．已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）= ． 16．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．（一）必考题 17．（12分）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否能成等差数列．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积． 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 =xi=9.97，s===0.212，
≈18.439，（xi﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16． （1）求（xi，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 附：样本（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数r=，≈0.09． 20．（12分）设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4． （1）求直线AB的斜率； （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程． 21．（12分）已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
（t为参数）． （1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l距离的最大值为，求a． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=∅ C．A∪B={x|x＜} D．AUB=R 【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论． 【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜}，
∴A∩B={x|x＜}，故A正确，B错误； A∪B={x||x＜2}，故C，D错误； 故选：A 【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）（2017•新课标Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田，这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解． 【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标， 故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在C中，最大值是一组数据最大的量，故C可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”， 故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度． 故选：B． 【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．
3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i） 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论． 【解答】解：A．i（1+i）2=i•2i=﹣2，是实数． B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数． C．（1+i）2=2i为纯虚数． D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．（5分）（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D． 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S=，
则对应概率P==， 故选：B 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
5．（5分）（2017•新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3）．则△APF的面积为（ ） A． B． C． D． 【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．
【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0）， PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3， 则P（2，3）， ∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，
∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=， 故选D．