南京大学1998年高等数学甲考研试题
南京大学1998年量子力学专业课考研真题试卷
南京大学1998年量子力学专业课考研真题试卷
（一)20分有半壁无限高势垒的一维阱
在的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分一个取向用角坐标和确定的转子，作受碍转动，用下
述哈密顿量描述式中和均为常数，且，是角动量平方算符，试用
一级微扰论计算系统的能级（）的分裂，并标出微扰后的零级近
似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于态时的粒子的动量分布
几率。
（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写
出正确的结果：
（1）？式中和分别是和方向的单位矢量。
（2）？式中，
（3）系统的哈密顿算符为，设是归一化的束缚态波函数，则有？
（五）20分碱金属原子处在方向的外磁场B中，微扰哈密顿为，
其中，当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？。
南京大学1998年综合课(民法.民诉.国际私法)专业课考研真题试卷
南京大学1998年综合课(民法.民诉.国际私法)专业课考研真题试卷
一.名词解释
诉讼时效
不当得利
人格权
遗赠
诉权
财产保全
反证
法律规避
涉外继承的区别制
实际国籍原则
二.简答题
1.简述民事法律关系的概念及特征
2.委托代理的中止原因有哪些
3.什么是所有权,导致所有权丧失的原因有哪些
4.代位继承与转继承有何区别
5.简述有独立请求权的第三人与共同诉讼人的区别
6.什么是反诉.反诉需具备哪些条件
7.民事诉讼中的强制措施予刑事诉讼中的强制措施有何区别
8.何谓结婚的实质条件,各国对解决结婚实质要件的法律冲突,主
要采用哪些法律适用原则
9.简述公共秩序保留的含义,立法方式及我国相应的规定
10.如果瑞士人甲与意大利人乙之间在中国境内发生民事侵权纠纷,日本人丙与丁之间在中国境内也发生了民事侵权行为,他们都诉至中国法院,要求对方做损害赔偿,你认为我国法院对这两案的处理,应分别适用何国法律,为什么
(完)。
考研数学历年真题(1998-2007)年数学二
sin
x
__________.
（12）曲线
x y
cos t cos2 1 sin t
t
上对应于
t
4
的点处的法线斜率为_________.
（13）设函数 y 1 ，则 y(n) (0) ________. 2x 3
（14） 二阶常系数非齐次微分方程 y 4 y 3y 2e2x 的通解为 y ________.
sin x
2
1
（A） dy
f (x, y)dx
0
arcsin y
1
（B） dy
f (x, y)dx
0
arcsin y
1
arcsin y
（C） dy
f (x, y)dx
0
2
1
arcsin y
（D） dy
f (x, y)dx
0
2
（9）设向量组1,2 ,3 线性无关，则下列向量组线性相关的是
dy dx
x0
（6）设矩阵
A
2 1
1 2
，
E
为
2
阶单位矩阵，矩阵
B
满足
BA
B 2E
，则
B
.
二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前 的字母填在题后的括号内.
（7）设函数 y f (x) 具有二阶导数，且 f (x) 0, f (x) 0 ， x 为自变量 x 在点 x0 处的增量， y与dy 分别为
1998年考研数学三真题
) ( 1 全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析一、 填空题（1） 设曲线 f ( x ) = x n 在点(1,1) 处的切线与 x 轴的交点为(ξ,0 , 则 lim f ξ n →∞) = .【答】e -1【详解】 因为df ( x ) = nx n -1, df ( x )dx dxx = 1= n ,故过(1,1) 的切线方程为 y -1 = n ( x -1). 当 y = 0 时，得ξ = x = 1- 1,nn1 n因此lim (ξ ) = lim 1- = e -1.n →∞ nn →∞ n（2）ln x -1x 2dx =【答】【详解】- ln x + C x ln x -1 dx = (ln x -1) d - 1 = - 1(ln x -1) +1 d (ln x -1)⎰ x 2 ⎰x x ⎰ x=- ln x + 1 + x x =- ln x + C .x⎰ x 2dx =- ln x + 1 - 1 + C x x x （3） 差分方程2 y t +1 +10 y t - 5t = 0 的通解为【答】y = C (-5)t+ 5 t - 1 .t12 6【详解】 差分方程可化为标准形式：y t +1+ 5 y t= 5 t , 2其通解为n n ⎰y = C (-5)t+ 5 t - 1 .t 12 6ϒ1 0 0/ （4） 设矩阵 A , B 满足 A *BA = 2BA - 8E ，其中 A = '0 -2 0∞ , E 为单位矩阵，A * 为 A的伴随矩阵，则 B=ϒ2 0 0/ ' ∞ '≤0 0 1∞ƒ 【答】'0 -4 0∞ ' ∞ '≤0 0 2∞ƒ【详解 1】 将已知矩阵方程组两边分别左乘 A ，右乘 A -1得A (A *BA )A -1= A (2BA ) A -1- A (8E ) A -1,化简有A B = 2 AB - 8E.又A = -2,因此( A+ E ) B = 4E.于是ϒ2 2 0/-1B = 4E ( A + E )-1 = 4 '0 -1 0∞ϒ 1 00 /' ∞ '≤0 0 2∞ƒ ' 2 ∞ ϒ2 0 0/ = '∞ ' ∞ 4 ' 0 -1 0 ∞ = '0 -4 0∞. '0 0 1 ∞ '≤0 0 2∞ƒ ' ∞ ≤2 ƒ【详解 2】 对 A *BA = 2BA - 8E 两边分别左乘 A ，分别右乘 A -1，利用 AA *= A E 以及AA -1 = E 得A B = 2 AB - 8E.因此，而B = 8(2 A - A E )-1.≤ ƒ1 2 3 4 ϒ2 (2 A - A E ) = ' -4 / ϒ-2 ∞ - ' -2/ ϒ4 / ∞ = ' -2 ∞ , ' ∞ ' ∞ ' ∞ ≤'ϒ4 /-12∞ƒ '≤ ϒ 1 ' 4 -2∞ƒ '≤ /∞ ϒ2 / 4∞ƒ ' ∞ ' 1 ∞ ' ∞ B = 8 ' -2 ∞= 8 ' - ∞ = ' -4 ∞ . ' 2 ∞ ' 4∞ ' 3∞ ≤ ƒ' 1 ∞ ≤ ƒ ' ∞ '≤ 【详解 2】 由已知矩阵方程得4 ∞ƒ(2E - A *) B A = 8E两边分别左乘(2E - A* )-1，右乘 A -1得B = 8(2E - A* )-1⋅ A -1= 8 ϒ A (2E - A * )/-1= 8(2 A - AA * )-1= 8(2 A - A E )-1= 8(2 A + 2E )-1ϒ2 / = 8 ⋅ 1 ( A + E )-1 = ' -4 ∞ .2' ∞ ≤' 2∞ƒ（ 5 ） 设 X 1, X 2 , X 3, X 4是 来 自 正 态 总 体 N (0, 22)的 简 单 随 机 样 本 ，X = a ( X - 2 X )2 + b (3X - 4 X )2, 则当a =, b =时，统计量 X 服从 χ 2分布，其自由度为.11 【答】220100【详解 1】 即 X 服从 χ 2分布，则n = 2 ，且须a ( X 1 - 2 X 2 ) ~ N (0,1); 于是b (3X 3 - 4 X 4 ) ~ N (0,1).E ( X 1 - 2 X 2 ) = E ( X 1 ) - 2E ( X 2 ) = 0, D ( X 1 - 2 X 2 ) = D ( X 1 ) + 4D ( X 2 ) = 20, E (3X 3 - 4 X 4 ) = 3E ( X 3 ) - 4E ( X 4 ) = 0, D (3X 3 - 4 X 4 ) = 9E ( X 3 ) +16E ( X 4 ) = 100,→ 2 X 1 - 2 X 2~ N (0,1),3X 3 - 4 X 4~ N (0,1),10且相互独立，由 χ 2分布的构成知：X = ( X 1- 2 X 2 ) + (3X 3 - 4 X 4 ) ~ χ 2 (2),20 100 所以当a = 1 , b = 1时， X 服从 χ 2 分布，其自由度为 2. 20 100二、选择题（1） 设周期函数 f ( x ) 在(-∞, +∞) 内可导，周期为 4.又lim x 0f (1) - f (1- x ) 2x= -1, 则曲线y = f ( x ) 在点(5, f (5)) 处的切线斜率为 ( A ) 1. 2( B )0. (C ) -1. ( D ) - 2.【 】【答】应选( D )【详解】 由已知limf (1) - f (1- x ) = 1 lim f (1) - f (1- x ) = 1 f '(1) = -1,x →0 2x 于是2 x →0-x 2 f '(1) = -2.又f ( x + 4) = f ( x ),两边求导得f '( x + 4) = f '( x ),故f (5) = f (1) = -2.即曲线 y = f ( x ) 在点(5, f (5))处的切线斜率 f '(5) = -2. 1+ x（2） 设函数 f ( x ) = limn →∞1+ x2n, 讨论函数 f ( x ) 的间断点，其结论为( A ) 不存在间断点.( B ) 存在间断点x = 1 2♦ ♥' ∞ (C ) 存在间断点x = 0 ( D ) 存在间断点x = -1 .【 】【答】应选( B )【详解】 由于f ( x ) = lim1+ x 2n♣0, = ♠-1,x > 1, x = 0, n →∞ 1+ x♠1+ x , x < 1.可见， x = 1 为 f ( x ) 的间断点.♣λ x + x + λ 2x = 0,♠1 2 3 （3）齐次线性方程组♦x 1 + λ x 2 + x 3 = 0, 的系数矩阵记为 A ，若存在三阶矩阵 B ≠ O ,使得 ♠x + x + λ x = 0♥ AB= O, 则( A ) λ = -2且 B = 0. (C ) λ = 1且 B = 0.1 23( B )λ = -2且 B ≠ 0 . ( D )λ = 1且 B ≠ 0.【 】【答】应选(C )【详解 1】 由题设条件： AB= O, 且 B ≠ O 知方程组 Ax= O,存在非零解，于是 A = 0,即λ 1 λ 21 λ 1 = 0,解得λ = 1 . 于是1 1 λϒ1 1 1/ A = '1 1 1∞.'≤1 1 1∞ƒ由 AB= O, 知道 A T B T= O.故方程组 B T x = 0 存在非零解,于是 B = B T【详解 2】 因为 AB= O, 所以= 0.r ( A ) + r ( B ) ≤ 3.' ∞ ' ∞ 又因为所以A ≠ O,B ≠ O,1 ≤ r ( A ) < 3,1 ≤ r ( B ) < 3.故 B = 0又因为λ = -2 时，-2 1 4A = 1 -2 1 = 9,即此时r ( A ) = 3. 故应选(C )1 1 -2ϒ1 1 1/ 事实上，当λ = 1 时， r ( A ) = r '1 1 1∞ = 1. '≤1 1 1∞ƒϒ1 a a … a / 'a 1 a … a ∞ ' ∞（4）设n (n ≥ 3) 阶矩阵 A = 'a a 1 … a ∞ ，若矩阵 A 的秩为n -1，则a 必为' # # # # ∞ '≤a a a … 1∞ƒ ( A )1. ( B ) 1 . (C ) -1. ( D ) 1 .【答】应选( B )1- n n -1【 】【详解 1】由题设秩r ( A ) = n -1, 必有 A = 0, 又A 1 a a a 1 a = a a 1 # # # … a… a… a#a a a (1)(n -1) a +1 (n -1) a +1 (n -1) a +1 … (n -1) a +1=a a 1 a a 1 … … a a # # ##aaa…11 1 1 ... 1 1 1 (1)a 1 a … a=ϒ≤(n -1)a+1/ƒa a 1 … a =ϒ≤(n -1)a+1ƒ/0 1-a 0# # # ## # #a a a (1)=(1-a)nϒ≤(n-1)a+1/ƒ,10 0 … 1-a可见 A ≠ 0 时，必有a =1或a =1-n .1但a =1 时，显然r (A)=1, 与题设矛盾，故必有a =1-n. .【详解2】因题对n ≥ 3 的一切正整数n 选项恒惟一确定，故对n = 3 时的正确选项即为所求.此时r (A)= 2, 所以a ≠ 1.对A 进行初等变换ϒ1 a a/ϒ1-a 0 a/ϒ1-a0 a /A ='a 1 a∞→' 0 1-a a∞→' 0 1-a a ∞'∞'∞'∞'≤a a1∞ƒ'≤a-1a-11∞ƒ≤'001+2a∞ƒ因而r (A)= 2, 所以1+ 2a = 0.即a =-1=1.故应选(B).2 1- 3（5）设F1(x)与F2 (x)分别为随机变量X1与X 2 的分布函数.为使F (x)=aF1 (x)+bF2 (x)是某以随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取(A)a=3 , b=-2 . (B)a=2 , b=2 .5 5 3 3(C )a=-1 , b=2 . (D)a=1 , b=-3 .2 3 2 2【】【答】应选(A)【详解】根据分布函数的性质：limx→+∞f (x)= 1, 因此有lim F (x)=a lim F1(x)-b lim F2 (x), 即1 =a -b.x→+∞ x→+∞ x→+∞对比四个选项知，只有(A)中的a和b 值满足a -b = 1.( ) ⎰ π⎰ ⎰三、设 z = (x 2 + 2 y 2 )e- arctan yx, 求dz 与∂2 z∂x ∂y .【详解】∂z =- arctan y - +ϒ / - arctan y ' 1 ∞ - y = ( +-arctan y 2xe x (x 2 y 2 )e x ' ∞ 2x y ) e x , ∂x ' y 2 ∞ x 2 '≤1+ x 2 ∞ƒϒ / ∂z- a rctan y - a rctan y ' 1 ∞ 1 - arctan y= 2 ye x - (x 2 + y 2 )e x ' ∞ = (2 y - x ) e x . ∂y ' y 2∞ x所以- arctan y'≤1+ x 2 ∞ƒdz = e xϒ≤(2x + y ) dx + (2 y - x )d y /ƒ , ϒ/∂2 z - arctan y= e x- 2x + y e - a rctan y' x ' 1 ∞ 1 2 ∞ = y 2 - xy - x 2 - arctan ye x. ∂x ∂y' y ∞ x x 2 + y 2'≤1+ x 2 ∞ƒ四、 设 D = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ x }, 求⎰⎰ Dxdxdy .【详解 1】π cos ⎰⎰⎰-π ⎰xdxdy =D2d θ2π1cos θ 3 4 π8= 2 cos 2θ d θ -2r 2 dr = 2 cos 3 θ d θ = .5 0 15【详解 2】所以D = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1, - ≤ y ≤ x - x 2 },1x - x 2 1⎰⎰xdxdy = ⎰0 D1 22xdx ⎰-t 3 x - x 2dy = 2⎰0 x t 5 1 81- xdx4⎰0 t (1- t )dt = 4 - = .3 5 0 15五、设某酒厂有一批新酿的好酒，如果先在（假定t = 0 ）就售出，总收入为 R 0 （元）.如果r cos θ r dr x - x2窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为910 t 3= R e (-12.5r < 0.) 1002 t R = R 0e5假定银行的年利率为r ，并以连续复利计算试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求r = 0.06 时的t 值.【详解】 根据连续复利公式，这批酒再窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为 A (t ) = Re - n , 而2 R = R 0e5t，所以2t -nA (t ) = R 0e 5令则有.dA 2 = R 0e5 dtt -ntϒ ' '≤1 21 /- r - ∞ , t ∞ƒt = t 01125r3 0 1于是， t 0 = 25r 2 是极大值点即最大值点，故窖藏t = 25r 2（年）售出，总收入的现值最大。
考研数学历年真题(1998-2007)年数学一
(D) P( A B) P(B)
(14)设随机变量
X
服从正态分布
N (1, 12 )
,Y
服从正态分布
N
(2
,
2 2
)
,
且 P{| X 1 | 1} P{| Y 2 | 1}, 则必有（ ）
(A)1 2
(B)1 2
(C) 1 2
(D) 1 2
三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 10 分)
一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)
(1) lim x ln(1 x)
.
x0 1 cos x
(2)微分方程 y y(1 x) 的通解是
.
x
(3)设 是锥面 z x2 y2 ( 0 z 1)的下侧,则 xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
(14)设曲面 :| x | | y | | z | 1,则 (x | y |)ds =_____________.
0 1 0 0
(15)设矩阵
A
0 0
0 0
1 0
0 1
,则
A3
的秩为________.
0 0 0 0
(16)在区间 (0,1) 中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于 1 的概率为________. 2
(2)曲线 y 1 ln(1 ex ) ,渐近线的条数为（ ） x
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(3)如图,连续函数 y f (x) 在区间 [3, 2],[2, 3] 上的图形分别是直径为 1
的上、下半圆周,在区间[2, 0],[0, 2]的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周,
1998考研数学三真题及答案解析
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设曲线()nf x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ,则lim ()n n f ξ→∞=.(2)2ln 1x dx x -=⎰.(3)差分方程121050t t y y t ++-=的通解为.(4)设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-,其中100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,E 为单位矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,则B =.(5)设1234,,,X X X X 是来自正态总体()20,2N 的简单随机样本,()2122X a X X =-+()23434b X X -.则当a =,b =时,统计量X 服从2χ分布,其自由度为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设周期函数()f x 在(),-∞+∞内可导,周期为4.又()()11lim1,2x f f x x→--=-则曲线()y f x =在点()()5,5f 处的切线的斜率为()(A)12(B)0(C)1-(D)2-(2)设函数()21lim,1nn xf x x →∞+=+讨论函数()f x 的间断点,其结论为()(A)不存在间断点(B)存在间断点1x =(C)存在间断点0x =(D)存在间断点1x =-(3)齐次线性方程组21231231230,0,0x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A .若存在三阶矩阵0B ≠使得0AB =,则()(A)2λ=-且||0B =(B)2λ=-且||0B ≠(C)1λ=且||0B =(D)1λ=且||0B ≠(4)设()3n n ≥阶矩阵1111a a a a a a A aa a aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,若矩阵A 的秩为1n -,则a 必为()(A)1(B)11n -(C)1-(D)11n -(5)设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数.为使()12()()F x aF x bF x =-是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取()(A)32,55a b ==-(B)22,33a b ==(C)13,22a b =-=(D)13,22a b ==-三、(本题满分5分)设arctan22()yxz x y e-=+,求dz 与2zx y∂∂∂.四、(本题满分5分)设(){}22,D x y xy x =+≤,求D.五、(本题满分6分)设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定0t =)就售出,总收入为0()R 元.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为0R R =假定银行的年利率为r ,并以连续复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求0.06r =时的t 值.六、(本题满分6分)设函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0.f x '≠试证存在,(,),a b ξη∈使得().()b a f e e e f b aηξη-'-=⋅'-七、(本题满分6分)设有两条抛物线21y nx n =+和21(1)1y n x n =+++,记它们交点的横坐标的绝对值为.n a (1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n S ；(2)求级数1nn nS a ∞=∑的和.八、(本题满分7分)设函数()f x 在[1,)+∞上连续.若由曲线(),y f x =直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为2()()(1).3V t t f t f π⎡⎤=-⎣⎦试求()y f x =所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件229x y==的解.九、(本题满分9分)设向量1212(,,,),(,,,)TTn n a a a b b b αβ== 都是非零向量,且满足条件0.Tαβ=记n 矩阵.T A αβ=求：(1)2A；(2)矩阵A的特征值和特征向量.十、(本题满分7分)设矩阵101020,101A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦矩阵2(),B kE A=+其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵Λ,使B与Λ相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.十一、(本题满分10分)一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.十二、(本题满分9分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】1e【解析】曲线ny x =在点(1,1)处的切线斜率1x y ='()1nx x ='=11n x n x n -===,根据点斜式,切线方程为：1(1).y n x -=-令0y =,代入1(1)y n x -=-,则11x n =-,即在x 轴上的截距为11n n ξ=-,lim ()n n f ξ→∞lim n n n ξ→∞=1lim(1)n n n →∞=-()()11lim(1)x x x --→∞=-1e =.(2)【答案】ln xC x-+【解析】由分部积分公式,2ln 1x dx x -⎰()1ln 1x dx x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰()1ln 1x d x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰ln 11(ln 1)x d x x x - -+-⎰分部2ln 11x dx x x-=-+⎰ln 11x dx x x '-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰ln 11x C x x -=--+ln x C x =-+.【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或者.udv uv vdu =-⎰⎰(3)【答案】51(5)()126tt y C t =-+-【解析】首先把差分方程改写成标准形式1552t t y y t ++=,其齐次方程对应的特征方程及特征根分别为50,5,r r +==-故齐次方程的通解为(5),tt Y C C =-为常数.将方程右边的52t 改写成512t t ⋅,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为,t y At B *=+从而1(1),t y A t B *+=++代入原方程,得5(1)5(),2A tB At B ++++=56,60,2A A B =+=故55,1272A B ==-.于是通解为51(5)().126t t t t y Y y C t *=+=-+-(4)【答案】200040002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由题设*28A BA BA E =-,由于20A =-≠,所以A 可逆.上式两边左乘A ,右乘1A -,得*11128AA BAA ABAA AA ---=-28A B AB E =-(利用公式：*1,AA A E AA E -==)28A B AB E -=-(移项)()28A E A B E -=-(矩阵乘法的运算法则)将2A =-代入上式,整理得()14E A B E +=.由矩阵可逆的定义,知E A +,B 均可逆,且()114B E A --=+11002002401040100021002-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦200040002⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(5)【答案】11,,220100【解析】由于1234,,,X X X X 相互独立,均服从2(0,2)N ,所以由数学期望和方差的性质,得2221212(2)0,(2)122220E X X D X X -=-=⨯+⨯=,所以12(2)(0,20)X X N - ,同理34(34)(0,100)X X N - .又因为12(2)X X -与34(34)X X -相互独立,且122)(0,1)X X N - 344)(0,1)X X N - ,由2χ分布的定义,当11,20100a b ==时,222123411(2)(34)(2)20100X X X X X χ=-+- .即当11,20100a b ==时,X 服从2χ分布,其自由度为2.严格地说,当10,100a b ==时,2(1)X χ ；当1,020a b ==时,2(1)X χ 也是正确的.【相关知识点】1、对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.2、定理：若2(,)X N μσ ,则(0,1)X N μσ- .3、2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N ,则221~()nii Zn χ=∑.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】根据导数定义：()0()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆0(1)(1)lim 2x f f x x →--01(1)(1)lim 2x f x f x →--=-1(1)2f '=1=-所以0(1)(1)(1)lim 2.x f x f f x→--'==--因为()f x 周期为4,()f x '的周期亦是4,即()(4)f x f x ''=+,所以(5)f '(14)f '=+(1)2f '==-.所以曲线()y f x =在点()5,(5)f 处的切线的斜率为(5)f '(1)2f '==-.选(D).(2)【答案】(B)【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该()f x 的(分段)表达式,然后再讨论()f x 的性质.不能隔着极限号去讨论.【解析】现求()f x 的(分段)表达式：当1x >时,21()lim 1n n x f x x →∞+=+2122lim 1n n n n x x x ---→∞+=+()()2122lim 01lim 1n n n n n x x x --→∞-→∞+==+0=；当1x =时,21()lim1n n x f x x →∞+=+211lim 11n n →∞+=+22=1=；当1x =-时,21()lim1n n x f x x →∞+=+()211lim 11n n →∞-=+-02=0=；当1x <时,21()lim 1n n x f x x →∞+=+()()2lim 1lim 1n n n x x →∞→∞+=+2011n x x →+ 1x =+.由此,0,1,0,1,()1,1,1,1,0,1.x x f x x x x x <-⎧⎪=-⎪⎪=+<⎨⎪=⎪>⎪⎩当当当当当即0,11,()1,1,1, 1.x x f x x x x ≤->⎧⎪=+ <⎨⎪ =⎩当或当当再讨论函数()f x 的性质：在1x =-处,()1lim x f x +→-()1lim 1x x +→-=+11=-0=,()()1lim 10x f x f -→-=-=,所以,()()11lim lim 0x x f x f x +-→-→-==,函数()f x 在1x =-处连续,不是间断点.在1x =处,()1lim x f x +→1lim 0x +→=0=；()1lim x f x -→()1lim 1x x -→=+2=；所以()1lim x f x +→()1lim x f x -→≠,函数()f x 在1x =处不连续,是第一类间断点.故选(B).(3)【答案】(C)【解析】方法1:由0AB =知()()3r A r B +≤,又0,0A B ≠≠,于是1()3,r A ≤<1()3r B ≤<,故0,0A B ==,即2210101011011(1)0111111A λλλλλλλλλλλλ--==--==-=--,得 1.λ=应选(C).方法2:由0AB =知()()3r A r B +≤,又0,0A B ≠≠,于是1()3,r A ≤<1()3r B ≤<,故0B =.显然,1λ=时111111111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有1()3,r A ≤<故应选(C).作为选择题,只需在2λ=-与1λ=中选择一个,因而可以用特殊值代入法.评注：对于条件0AB =应当有两个思路：一是B 的列向量是齐次方程组0Ax =的解；二是秩的信息,即()()r A r B n +≤,要有这两种思考问题的意识.(4)【答案】(B)【解析】1111100(1)1101011001aa a aa a a a a a a A aa a a a aa aa a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦1(1)0100(2)00100001n aa a a a a a +-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中(1)变换：将1行乘以(-1)再分别加到其余各行；(2)变换：将其余各列分别加到第1列.由阶梯形矩阵知,当1(1)0n a +-=,即11a n=-时,有()1r A n =-,故应选(B).(5)【答案】(A)【解析】根据分布函数的性质lim ()1x F x →+∞=,即121lim ()()()()x F x F aF bF a b →+∞==+∞=+∞-+∞=-.在所给的四个选项中只有(A)满足1a b -=,故应选(A).【相关知识点】分布函数()F x 的性质：(1)()F x 单调不减；(2)lim ()()0,lim ()()1;x x F x F F x F →-∞→+∞=-∞==+∞=(3)()F x 是右连续的.三、(本题满分5分)【解析】arctanarctan2222()()()y y xxdz ed x y x y d e--=+++yxO []arctan22arctan222arctan22arctan22()(arctan )122()()1()22(2)(2)y xyxy xy xy exdx ydy x y d x y exdx ydy x y d y x x xdy ydx e xdx ydy x x ex y dx y x dy ----⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+-+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦-⎡⎤=+-⋅⎢⎥⎣⎦=++-由全微分与偏微分的关系可知,其中dx 的系数就是z x∂∂,即arctan (2)yxz x y ex -∂=+∂.再对y 求偏导数,得222arctanarctanarctan 222211(2).1yyyxxxzy xy x e x y ee y x yx x y x ---⎛⎫⎪∂--=-+= ⎪∂∂+ ⎪+⎪⎝⎭四、(本题满分5分)【解析】22{(,)}D x y x y x =+≤表示圆心为1,02⎛⎫⎪⎝⎭,半径为12的圆及其内部,画出区域D ,如右图.方法1:{(,)|01,D x y x y =≤≤ -≤所以,1102Dx ===⎰⎰⎰,t =,则21x t =-,2dx tdt =-,:10t →所以上式1350122210082(1)(2)4(1)43515t t t t t dt t t dt ⎛⎫=-⋅-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰.方法2:引入极坐标系cos ,sin x r y r θθ= =,于是(,)|,0cos 22D r r ππθθθ⎧⎫=-≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭,3cos cos22200223248cos.515Dd r drdππθπππθθθθ--====⎰⎰⎰⎰⎰其中倒数第二步用了华里士公式：21342cos1253nn ndn nπθθ--=⋅⋅⋅⋅⋅-⎰ ,其中n为大于1的正奇数.五、(本题满分6分)【分析】根据连续复利公式,在年利率为r的情况下,现时的A(元)在t时的总收入为()e rtR t A=,反之,t时总收入为()R t的现值为()()e rtA t R t-=,将0R R=代入即得到总收入的现值与窖藏时间t之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.【解析】由连续复利公式知,这批酒在窖藏t年末售出总收入R的现值为()e rtA t R-=,而由题设,t年末的总收入R R=据此可列出()A t：()e rtrtA t R R-==,令dAdt0rtd Rdt⎛⎫= ⎪⎝⎭rtR r⎫==⎪⎭,得惟一驻点02125t tr==.22d Adtd dAdt dt⎛⎫= ⎪⎝⎭0rtd R rdt⎛⎫⎫= ⎪⎪⎭⎝⎭00rt rtd dR r R rdt dt⎛⎫⎫⎛⎫=⋅+⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭200rt rtR r R⎛⎫⎫=+-⎪⎭⎝2rtR r⎡⎤⎫=-⎢⎪⎭⎢⎣123252(12.5)0rt td A Re rdt==-<.根据极值的第二充分条件,知：0t t =是()A t 的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值点.故窖藏2125t r=年出售,总收入的现值最大.当0.06r =时,()21250.06t =⋅100119=≈(年).【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值；当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.六、(本题满分6分)【分析】本题要证的结论中出现两个中值点ξ和η,这种问题一般应将含有ξ和η的项分别移到等式两边后再用微分中值定理,为此本题只要证()()()()b a f b a e e f e ηξη-''-=-.【解析】方法1:函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,对函数()f x 在[],a b 上用拉格朗日中值定理,有()()()(),.f b f a f b a a b ξξ'-=-<<又函数()f x 与xe 满足柯西中值定理的条件,将函数()f x 与xe 在[],a b 上用柯西中值定理,有()()(),b a f b f a f a b e e e ηηη'-=<<-,即()()()b a f f b f a e e eηη'-=-（）.从而有()()()baf f b a e e e ηηξ''-=-（）,即(),,(,)()b a f e e e a b f b aηξξηη-'-=⋅∈'-.方法2：题中没有限制ξη≠,因此取ξη=,即成为要去证存在(,)a b η∈使.b ae e e b aη-=-在[],a b 上对函数xe 用拉格朗日中值定理,存在(,)a b η∈使, 1.b a b a e e e e e e b a b aηη---=⋅=--即再取ξη=,则()1()b a f e e e f b aηξη-'-==⋅'-,原题得证.【相关知识点】1.拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.2.柯西中值定理：如果函数()f x 及()F x 满足(1)在闭区间[,]a b 上连续；(2)在开区间(,)a b 内可导；(3)对任一(,)x a b ∈,()0F x '≠,那么在(,)a b 内至少有一点ξ,使等式()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-成立.七、(本题满分6分)【解析】(1)由21y nx n =+与21(1)1y n x n =+++得n a =因图形关于y 轴对称,所以,所求图形的面积为220320112(1)121422(1)(1)33n na n a n n S nx n x dx n n a a x dx n n n n ⎡⎤=+-+-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=-+=-=⋅⎢⎥++⎣⎦⎰⎰(2)由(1)的结果知41411()3(1)31n n S a n n n n ==-++,根据级数和的定义,111411414lim lim lim 1.31313n nn k n n n n k k n k S S a a k k n ∞→∞→∞→∞===⎛⎫⎡⎤==-=-= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∑∑∑八、(本题满分7分)【分析】本题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线()y f x =等围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积()V t 与包含函数f 的一个恒等式,这正是列方程的依据.【解析】由绕x 轴旋转的旋转体体积公式得21()()tV t f x dx π=⎰,于是,依题意得221()()(1)3tf x dx t f t f ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰,即2213()()(1)t f x dx t f t f =-⎰.两边对t 求导,化成微分方程223()2()()f t tf t t f t '=+,其中()f t 为未知函数.按通常以x 表示自变量,y 表示未知函数()f t ,于是上述方程可写为2232,x y y xy '=-即23()2().dy y ydx x x=-这是一阶齐次微分方程.令y ux =,有dy du u x dx dx=+⋅,则上式化为2()32,duu x u u dx+=-即3(1).duxu u dx=-(*)若0u =,则0,y ux ==不满足初始条件229x y==,舍弃；若1u =,则,y ux x ==也不满足初始条件229x y ==,舍弃；所以,0u ≠,且1u ≠.由(*)式分离变量得3,(1)du dxu u x=-两边积分得31u Cx u -=.从而方程(*)的通解为3,y x Cx y C -=为任意常数.再代入初值,由229x y==,得1C =-,从而所求的解为33,,(1).1xy x x y y x x-=-=≥+或【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.九、(本题满分9分)【解析】(1)对等式0Tαβ=两边取转置,有()0TTT αββα==,即0T βα=.利用0Tβα=及矩阵乘法的运算法则,有()22TT T A αβαβαβ==()00T T T T αβαβαβαβ===0=,即2A 是n 阶零矩阵.(2)设λ是A 的任一特征值,(0)ξξ≠是A 属于特征值λ的特征向量,即A ξλξ=.对上式两边左乘A 得2A ξ()()A A λξλξλλξ===2λξ=,由(1)的结果20A =,得220A λξξ==,因0ξ≠,故0λ=(n 重根),即矩阵的全部特征值为零.下面求A 的特征向量：先将A 写成矩阵形式[]1111212212221212,,,n n Tn n n n n n a a b a b a b a a b a b a b A b b b a a b a b a b αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .不妨设110,0a b ≠≠,则有111211221222212221121212(0)1()01(2,,)n n n n n n n n n n n n n i a b a b a b b b b a b a b a b a b a b a b E A a a b a b a b a b a b a b b b b a i i n ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥-=÷-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⨯= 行行加到行00000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是得方程组(0)0E A x -=同解方程组11220n n b x b x b x +++= ,这样基础解系所含向量个数为(0)1n r E A n --=-.选2,,n x x 为自由未知量,将它们的组值111(,0,,0),(0,,,0),(0,0,,)b b b 代入,可解得基础解系为12123111(,,0,,0),(,0,,,0),,(,0,0,,)n n b b b b b b ξξξ-=-=-=- 则A 的属于0λ=的全部特征向量为112211n n k k k ξξξ--+++ ,其中121,,,n k k k - 为不全为零的任意常数.十、(本题满分7分)【分析】由于B 是实对称矩阵,B 必可相似对角化,而对角矩阵Λ即B 的特征值,只要求出B 的特征值即知Λ,又因正定的充分必要条件是特征值全大于零,k 的取值亦可求出.【解析】方法1：由21011102(2)(2)1111E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-----,可得A 的特征值是1232,0.λλλ===那么,kE A +的特征值是2,2,k k k ++,而2()B kE A =+的特征值是222(2),(2),.k k k ++又由题设知A 是实对称矩阵,则,TA A =故222()()()TTT B kE A kE A kE A B ⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎣⎦⎣⎦,即B 也是实对称矩阵,故B 必可相似对角化,且222(2)000(2)000k B k k ⎡⎤+⎢⎥Λ=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.当20k k ≠-≠且时,B 的全部特征值大于零,这时B 为正定矩阵.方法2：由O 1020xy 2D 1D 102021011102(2)(2)1111E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-----,可得A 的特征值是1232,0.λλλ===因为A 是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P 使1220P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,即1A P P -=Λ.那么221121()()()B kE A kPP P P P kE P ---⎡⎤=+=+Λ=+Λ⎣⎦1121()()().P kE P P kE P P kE P ---=+Λ+Λ=+Λ即12()P BP kE -=+Λ.故222(2)000(2)000k B k k ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.当20k k ≠-≠且时,B 的全部特征值大于零,这时B 为正定矩阵.【相关知识点】1.特征值的性质：若A 有特征值λ,则A 的特征多项式()f A 有特征值()f λ.2.矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.十一、(本题满分10分)【解析】设Z 表示商店每周所得的利润,当Y X ≤时,卖得利润为1000Z Y =(元)；当Y X >时,调剂了Y X -,总共得到利润1000500()500()Z X Y X X Y =+-=+(元).所以,1000, ,500(), .Y Y X Z X Y Y X ≤⎧=⎨+>⎩由题设X 与Y 都服从区间[10,20]上的均匀分布,联合概率密度为1, 1020,1020,(,)1000, x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.由二维连续型随机变量的数学期望定义得1212202020101010202021010()1000(,)500()(,)111000500()100100105()310(20)5(1050)2200005150014166.67().3D D D D yyE Z y f x y dxdy x y f x y dxdyy dxdy x y dxdy dy ydx dy x y dx y y dy y y dy=⋅++⋅=⋅++⋅=++=-+--=+⨯≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰元十二、(本题满分9分)【解析】记事件j B =“第j 次抽到的报名表是女生表”(1,2)j =,i A =“报名表是第i 个地区的”(1,2,3)i =.易见,123,,A A A 构成一个完备事件组,且1112131{}(1,2,3),3375{},{},{}.101525i P A i P B A P B A P B A =====(1)应用全概率公式,知3111137529{}{}{}()310152590i i i p P B P A P B A ===⋅=++=∑.(2)12{}q P B B =.需先计算概率12{}P B B 与2{}P B .对事件12B B 再次用全概率公式：3121211377852020{}{}{})31091514252490i i i P B B P A P B B A ==⋅=+⋅⋅=∑,由“抽签原理”可知2161()()90P B P B ==,12122()209020{}906161()P B B q P B B P B ===⋅=.【相关知识点】1.全概率公式：如果事件1,,n A A 构成一个完备事件组,即它们是两两互不相容,其和为Ω(总体的样本空间)；并且()0,1,2,,i P A i n >= ,则对任一事件B 有()1()(|)ni i i P B P A P B A ==∑.。
1998数三真题标准答案及解析
( ) 三、设 z =
x2 + 2y2
− arctan y
e x , 求 dz 与
∂2z
.
∂x∂y
【详解】
⎡
⎤
( ) ( ) ∂z
=
− arctan y
2xe x
−
∂x
x2 + y2
− arctan y
e
x
⎢1
⎢ ⎢⎢⎣1 +
y2 x2
⎥ ⎥ ⎥
⎛ ⎝⎜
−
⎥⎦
y x2
⎞ ⎠⎟
=
2x + y
− arctan y
a ( X1 − 2X 2 ) ~ N (0,1); b (3X3 − 4X 4 ) ~ N (0,1).
于是
E ( X1 − 2X 2 ) = E ( X1 ) − 2E ( X 2 ) = 0,
D ( X1 − 2X 2 ) = D ( X1 ) + 4D ( X 2 ) = 20,
E (3X3 − 4X 4 ) = 3E ( X3 ) − 4E ( X 4 ) = 0,
所以
1
x−x2
1
∫∫ ∫ ∫ ∫ xdxdy = xdx
dy = 2 x 1− xdx
0
− x−x2
0
D
∫ ( ) 4 1t2 0
1−t2
dt
但 a = 1 时，显然 r ( A) = 1, 与题设矛盾，故必有 a = 1 . .
1− n 【详解 2】 因题对 n ≥ 3 的一切正整数 n 选项恒惟一确定，故对 n = 3 时的正确选项即
为所求.
此时 r ( A) = 2, 所以 a ≠ 1.对 A 进行初等变换
1998考研数学三真题及答案解析
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设曲线()nf x x 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n,则lim ()nnf .(2)2ln 1x dx x.(3)差分方程121050tt y y t 的通解为.(4)设矩阵,A B 满足*28A BABA E ,其中10002001A,E 为单位矩阵,*A 为A的伴随矩阵,则B .(5)设1234,,,X X X X 是来自正态总体20,2N 的简单随机样本,2122X a X X 23434b X X .则当a,b 时,统计量X 服从2分布,其自由度为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设周期函数f x 在,内可导,周期为 4.又011lim1,2xf f x x则曲线yf x在点5,5f 处的切线的斜率为()(A)12(B)(C)1(D)2(2)设函数21lim ,1nnx f xx讨论函数f x 的间断点,其结论为()(A)不存在间断点(B)存在间断点1x (C)存在间断点x (D)存在间断点1x(3)齐次线性方程组21231231230,0,0x x x x x x x x x 的系数矩阵记为A .若存在三阶矩阵0B 使得0AB,则()(A)2且||0B (B)2且||0B (C)1且||0B (D)1且||0B (4)设3n n阶矩阵1111a a a a a a Aa a a aaa,若矩阵A 的秩为1n ,则a 必为()(A)1(B)11n(C)1(D)11n (5)设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数.为使12()()F x aF x bF x 是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取()(A)32,55a b (B)22,33a b (C)13,22ab(D)13,22ab三、(本题满分5分)设arctan 22()yxz xy e,求dz 与2z x y.四、(本题满分5分)设22,Dx y xyx ,求Dxdxdy .五、(本题满分6分)设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定0t)就售出,总收入为0()R 元.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t 年末总收入为250.tR R e假定银行的年利率为r ,并以连续复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求0.06r 时的t 值.六、(本题满分6分)设函数()f x 在,a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0.f x 试证存在,(,),a b 使得().()baf eee f b a七、(本题满分6分)设有两条抛物线21y nxn和21(1)1yn xn ,记它们交点的横坐标的绝对值为.n a (1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n S ；(2)求级数1n n nS a 的和.八、(本题满分7分)设函数()f x 在[1,)上连续.若由曲线(),y f x 直线1,(1)x x t t与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为2()()(1).3V t t f t f 试求()yf x 所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件229x y的解.九、(本题满分9分)设向量1212(,,,),(,,,)TT n n a a a b b b 都是非零向量,且满足条件0.T记n 矩阵.TA求：(1)2A；(2)矩阵A的特征值和特征向量.十、(本题满分7分)设矩阵101020,101A矩阵2(),B kE A其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵,使B与相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.十一、(本题满分10分)一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.十二、(本题满分9分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】1e【解析】曲线ny x 在点(1,1)处的切线斜率1x y1nx x11n x n xn ,根据点斜式,切线方程为：1(1).y n x 令0y,代入1(1)y n x ,则11x n ,即在x 轴上的截距为11nn,lim ()nnf lim nnn1lim(1)nn n 11lim(1)xxx1e.(2)【答案】ln x Cx【解析】由分部积分公式,2ln 1x dx x1ln 1x dx x1ln 1x dxln 11(ln 1)x d x xx分部2ln 11x dxx x ln 11x dxxx ln 11x Cxxln x C x.【相关知识点】分部积分公式：假定()uu x 与()v v x 均具有连续的导函数,则,uv dxuvu vdx 或者.udvuvvdu (3)【答案】51(5)()126tty C t【解析】首先把差分方程改写成标准形式1552tty y t ,其齐次方程对应的特征方程及特征根分别为50,5,r r 故齐次方程的通解为(5),ttY C C 为常数.将方程右边的52t 改写成512tt ,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为,ty AtB 从而1(1),ty A t B 代入原方程,得5(1)5(),2A tB AtB t 56,60,2AA B 故55,1272A B .于是通解为51(5)().126tttty Y y C t(4)【答案】20004002【解析】由题设*28A BABA E ,由于20A,所以A 可逆.上式两边左乘A ,右乘1A ,得*11128AA BAA ABAAAA28A B AB E (利用公式：*1,AA A E AAE )28A B AB E (移项)28A EA BE (矩阵乘法的运算法则)将2A 代入上式,整理得14EA BE .由矩阵可逆的定义,知EA ,B 均可逆,且114BE A11002002401040100210220004002.(5)【答案】11,,220100【解析】由于1234,,,X X X X 相互独立,均服从2(0,2)N ,所以由数学期望和方差的性质,得2221212(2)0,(2)122220E X X D X X ,所以12(2)(0,20)X X N ,同理34(34)(0,100)X X N .又因为12(2)X X 与34(34)X X 相互独立,且121(2)(0,1)20X X N ；341(34)(0,1)100X X N ,由2分布的定义,当11,20100ab时,222123411(2)(34)(2)20100XX X X X .即当11,20100ab 时,X 服从2分布,其自由度为2.严格地说,当10,100ab时,2(1)X ；当1,020ab 时,2(1)X也是正确的.【相关知识点】1、对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ,22()()()D aXbYc a D X b D Y ,其中,,a b c 为常数.2、定理：若2(,)X N ,则(0,1)XN .3、2分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N ,则221~()nii Z n .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】根据导数定义：0()()lim x f x x f x f x x(1)(1)lim 2x f f x x 01(1)(1)lim 2x f x f x 1(1)2f 1所以(1)(1)(1)lim 2.x f x f f x因为()f x 周期为4,()f x 的周期亦是4,即()(4)f x f x,所以(5)f (14)f (1)2f .所以曲线()yf x 在点5,(5)f 处的切线的斜率为(5)f (1)2f .选(D).(2)【答案】(B)【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该()f x 的(分段)表达式,然后再讨论()f x 的性质.不能隔着极限号去讨论.【解析】现求()f x 的(分段)表达式：当1x时,21()lim1nnx f x x2122lim1nnnnxxx 2122lim 01lim 1n nnnnx xx0；当1x 时,21()lim 1nnx f x x211lim 11nn221；当1x 时,21()lim1nnx f x x211lim11nn020；当1x 时,21()lim 1nnx f x x2lim 1lim 1n nnx x2011nxx1x .由此,0,1,0,1,()1,1,1,1,0,1.x xf x x xx x当当当当当即0,11,()1,1,1,1.x x f x x xx当或当当再讨论函数()f x 的性质：在1x处,1lim xf x1lim 1xx110,1lim 10xf xf ,所以,11lim lim 0xxfxf x,函数()f x 在1x 处连续,不是间断点.在1x 处,1lim x f x1lim 0x 0；1lim xf x1lim 1xx 2；所以1lim xfx1lim x f x ,函数()f x 在1x处不连续,是第一类间断点.故选(B).(3)【答案】(C)【解析】方法1:由0AB知()()3r A r B ,又0,0A B ,于是1()3,r A 1()3r B ,故0,0A B ,即221010111011(1)0111111A,得1.应选(C).方法2:由0AB知()()3r A r B ,又0,0AB,于是1()3,r A 1()3r B ,故0B .显然,1时111111111A,有1()3,r A 故应选(C).作为选择题,只需在2与1中选择一个,因而可以用特殊值代入法.评注：对于条件0AB 应当有两个思路：一是B 的列向量是齐次方程组0Ax的解；二是秩的信息,即()()r A r B n ,要有这两种思考问题的意识.(4)【答案】(B)【解析】1111100(1)110101101a a a a a a a a aa aAa a a a aaaaa a1(1)0100(2)001001n aaa a a a a其中(1)变换：将1行乘以(-1)再分别加到其余各行；(2)变换：将其余各列分别加到第1列.由阶梯形矩阵知,当1(1)0n a ,即11an时,有()1r A n ,故应选(B).(5)【答案】(A)【解析】根据分布函数的性质lim ()1xF x ,即121lim ()()()()xF x F aF bF ab .在所给的四个选项中只有(A)满足1a b ,故应选(A).【相关知识点】分布函数F x 的性质：(1)F x 单调不减；(2)lim ()()0,lim ()()1;xxF x F F x F (3)F x 是右连续的.三、(本题满分5分)【解析】arctanarctan2222()()()y y xxdz e d x y x y d eyxO arctan22arctan222arctan22arctan22()(arctan )122()()1()22(2)(2)y xy xy xy xye xdx ydy xy d x ye xdx ydy xy d y x xxdyydxe xdx ydy x x exy dxyx dy由全微分与偏微分的关系可知,其中dx 的系数就是z x ,即arctan(2)y xz x y ex.再对y 求偏导数,得222arctanarctanarctan222211(2).1y y y xxxzyxy x e x y ee y x yx xyx四、(本题满分5分)【解析】22{(,)}D x y xyx 表示圆心为1,02,半径为12的圆及其内部,画出区域D ,如右图.方法1:22(,)|01,D x y x x xy xx所以,2211120221x xx xDxdxdyxdxdyx x x dxx xdx ,令1x t ,则21xt ,2dxtdt ,:10t 所以上式1351222182(1)(2)4(1)43515ttt t t dtt t dt.方法2:引入极坐标系cos ,sin x r y r ,于是(,)|,0cos22D r r ,3cos cos 222022320cos cos 48cos.515Dxdxdydr rdr dr drd其中倒数第二步用了华里士公式：201342cos1253nn n dn n,其中n 为大于1的正奇数.五、(本题满分6分)【分析】根据连续复利公式,在年利率为r 的情况下,现时的A (元)在t 时的总收入为()e rtR t A ,反之,t 时总收入为()R t 的现值为()()ertA t R t ,将250tRR e代入即得到总收入的现值与窖藏时间t 之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.【解析】由连续复利公式知,这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为()ertA t R ,而由题设,t 年末的总收入250tR R e,据此可列出()A t ：250()e et rtrtA t R R ,令dA dt 250e t rtd R dt2501e05t rtR rt,得惟一驻点02125tt r.22d A dt d dA dt dt 2501e 5t rtdR rdtt22550011e e55trtt rtdd R rR rdtdt tt 2225500311510t rt t rtR erR ett2250311510t rtR ertt1232502(12.5)0rt t d A R er dt.根据极值的第二充分条件,知：0t t 是()A t 的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值点.故窖藏2125tr年出售,总收入的现值最大.当0.06r 时,21250.06t100119(年).【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x ,0()0f x ,当0()0f x 时,函数()f x 在0x 处取得极大值；当0()0f x 时,函数()f x 在0x 处取得极小值.六、(本题满分6分)【分析】本题要证的结论中出现两个中值点和,这种问题一般应将含有和的项分别移到等式两边后再用微分中值定理,为此本题只要证()()()()baf b a e e f e.【解析】方法1:函数()f x 在,a b 上连续,在(,)a b 内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,对函数()f x 在,a b 上用拉格朗日中值定理,有()()()(),.f b f a f b a a b 又函数()f x 与xe 满足柯西中值定理的条件,将函数()f x 与xe 在,a b 上用柯西中值定理,有()()(),baf b f a f ab eee,即()()()baf f b f a ee e（）.从而有()()()baf f b a ee e（）,即(),,(,)()baf eee a bf b a.方法2：题中没有限制,因此取,即成为要去证存在(,)a b 使.bae ee b a在,a b 上对函数xe 用拉格朗日中值定理,存在(,)a b 使, 1.babaee ee e ebab a即再取,则()1()baf ee ef ba,原题得证.【相关知识点】 1.拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间,a b 内可导,那么在,a b 内至少有一点()a b ,使等式()()()()f b f a f ba 成立.2.柯西中值定理：如果函数()f x 及()F x 满足(1)在闭区间[,]a b 上连续；(2)在开区间(,)a b 内可导；(3)对任一(,)xa b ,()0F x ,那么在(,)a b 内至少有一点,使等式()()()()()()f b f a f F b F a F 成立.七、(本题满分6分)【解析】(1)由21y nxn与21(1)1y n xn 得1.(1)na n n 因图形关于y 轴对称,所以,所求图形的面积为22032112(1)1214122.(1)(1)33(1)(1)n n a n a nnS nxn x dxnna axdxn n n n n n n n (2)由(1)的结果知41411()3(1)31n nS a n n nn ,根据级数和的定义,111411414lim lim lim 1.31313nnnk nnnn k k nkS S a a kkn八、(本题满分7分)【分析】本题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线()y f x 等围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积()V t 与包含函数f 的一个恒等式,这正是列方程的依据.【解析】由绕x 轴旋转的旋转体体积公式得21()()tV t f x dx ,于是,依题意得221()()(1)3t f x dxt f t f ,即2213()()(1)t f x dxt f t f .两边对t 求导,化成微分方程223()2()()f t tf t t f t ,其中()f t 为未知函数.按通常以x 表示自变量,y 表示未知函数()f t ,于是上述方程可写为2232,x yy xy 即23()2().dy yydxx x 这是一阶齐次微分方程.令yux ,有dy du u xdxdx,则上式化为2()32,du ux u u dx即3(1).du xu u dx(*)若0u ,则0,y ux 不满足初始条件229x y,舍弃；若1u ,则,y ux x 也不满足初始条件229x y,舍弃；所以,0u,且1u.由(*)式分离变量得3,(1)du dx u u x两边积分得31u Cx u.从而方程(*)的通解为3,y x Cx y C 为任意常数.再代入初值,由229x y,得1C,从而所求的解为33,,(1).1x y xx y yx x或【相关知识点】 1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx ,()t ,()t 均一阶可导,则()()()()()F t t f t t f t .九、(本题满分9分)【解析】(1)对等式0T两边取转置,有0TTT,即0T.利用0T及矩阵乘法的运算法则,有22TTTAT TTT0,即2A 是n 阶零矩阵.(2)设是A 的任一特征值,(0)是A 属于特征值的特征向量,即A.对上式两边左乘A 得2A()()AA 2,由(1)的结果20A,得220A,因0,故0(n 重根),即矩阵的全部特征值为零.下面求A 的特征向量：先将A 写成矩阵形式1111212212221212,,,n n Tnnn n n na ab a b a b a a b a b a b Ab b b a a b a b a b .不妨设110,0a b ,则有111211221222212221121212(0)1()01(2,,)n n n n n n n n n n n nn i a b a b a b b b b a b a b a b a b a b a b E A a a b a b a b a b a b a b b b b a i in 行行加到行000于是得方程组(0)0E A x 同解方程组11220n n b x b x b x ,这样基础解系所含向量个数为(0)1nr E A n .选2,,n x x 为自由未知量,将它们的组值111(,0,,0),(0,,,0),(0,0,,)b b b 代入,可解得基础解系为12123111(,,0,,0),(,0,,,0),,(,0,0,,)n n b b b b b b 则A 的属于0的全部特征向量为112211nn k k k ,其中121,,,n k k k 为不全为零的任意常数.十、(本题满分7分)【分析】由于B 是实对称矩阵,B 必可相似对角化,而对角矩阵即B 的特征值,只要求出B 的特征值即知,又因正定的充分必要条件是特征值全大于零,k 的取值亦可求出.【解析】方法1：由210111020(2)(2)1111EA,可得A 的特征值是1232,0.那么,kEA 的特征值是2,2,k kk ,而2()BkE A 的特征值是222(2),(2),.kkk 又由题设知A 是实对称矩阵,则,TAA 故222()()()TTTBkE A kEA kE AB ,即B 也是实对称矩阵,故B 必可相似对角化,且222(2)000(2)000kBk k.当20kk 且时,B 的全部特征值大于零,这时B 为正定矩阵.方法2：由O 1020xy 2D 1D 1020210111020(2)(2)1111EA,可得A 的特征值是1232,0.因为A 是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P 使122P AP,即1AP P.那么221121()()()B kE A kPPP P P kE P 1121()()().P kEP P kEPP kEP 即12()P BPkE.故222(2)000(2)000kBk k.当20k k 且时,B 的全部特征值大于零,这时B 为正定矩阵.【相关知识点】1.特征值的性质：若A 有特征值,则A 的特征多项式()f A 有特征值()f .2.矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.十一、(本题满分10分)【解析】设Z 表示商店每周所得的利润,当Y X 时,卖得利润为1000Z Y (元)；当YX 时,调剂了Y X ,总共得到利润1000500()500()ZXY X X Y (元).所以,1000,,500(),.Y Y X ZXY YX 由题设X 与Y 都服从区间[10,20]上的均匀分布,联合概率密度为1, 1020,1020,(,)1000,xyf x y 其他．由二维连续型随机变量的数学期望定义得1212202020101010202021010()1000(,)500()(,)111000500()100100105()310(20)5(1050)2200005150014166.67().3D D D D yyE Z y f x y dxdyx y f x y dxdy ydxdyxy dxdydyydx dyx y dx y y dyyy dy元十二、(本题满分9分)【解析】记事件j B “第j 次抽到的报名表是女生表”(1,2)j ,iA “报名表是第i 个地区的”(1,2,3)i.易见,123,,A A A 构成一个完备事件组,且1112131{}(1,2,3),3375{},{},{}.101525i P A i P B A P B A P B A (1)应用全概率公式,知3111137529{}{}{}()310152590i i i pP B P A P B A .(2)12{}q P B B .需先计算概率12{}P B B 与2{}P B .对事件12B B 再次用全概率公式：3121211377852020{}{}{}()31091514252490i i i P B B P A P B B A ,由“抽签原理”可知2161()()90P B P B ,12122()209020{}906161()P B B qP B B P B .【相关知识点】 1.全概率公式：如果事件1,,nA A构成一个完备事件组,即它们是两两互不相容,其和为(总体的样本空间)；并且0,1,2,,iP A i n,则对任一事件B有1()(|)ni iiP B P A P B A.。
1998年考研数学2
1998年考研数学2【最新版】目录1.1998 年考研数学 2 的背景和重要性2.1998 年考研数学 2 的主要内容和难点3.考生如何准备 1998 年考研数学 24.1998 年考研数学 2 对当时和现在的影响正文1.1998 年考研数学 2 的背景和重要性1998 年考研数学 2 是中国研究生入学考试中的一门重要科目，它对于考生的录取结果具有决定性的影响。
这一年的数学 2 考试不仅考察了考生的数学基础知识，还测试了他们的解题能力和应试技巧。
因此，1998 年考研数学 2 在当时吸引了大量的考生努力备考，也引起了社会广泛的关注。
2.1998 年考研数学 2 的主要内容和难点1998 年考研数学 2 主要包括了微积分、线性代数、概率论等数学基础知识，以及一些难题和综合性较强的题目。
这些题目要求考生具有扎实的数学基础，熟练掌握各种解题方法，并能在有限的时间内快速准确地解题。
3.考生如何准备 1998 年考研数学 2对于考生来说，准备 1998 年考研数学 2 需要从以下几个方面入手：首先，考生需要系统地复习数学基础知识，加强对微积分、线性代数、概率论等知识点的理解和掌握。
其次，考生需要多做题，通过大量的练习提高解题能力和应试技巧。
同时，考生也要关注历年真题和模拟题，了解考试的题型和难度，有针对性地进行训练。
最后，考生还需要注重培养自己的应试心理素质，学会在压力下保持冷静，发挥出自己的最佳水平。
4.1998 年考研数学 2 对当时和现在的影响1998 年考研数学 2 不仅对当时的考生产生了重要影响，也为后来的考研数学考试提供了重要的参考。
对于当时的考生来说，1998 年考研数学 2 的成绩直接关系到他们的录取结果，因此，这次考试对于他们来说意义重大。
而对于后来的考生，1998 年考研数学 2 的真题和模拟题成为了他们备考的重要参考资料，可以帮助他们更好地了解考试的难度和题型，提高备考效率。
南京大学高等数学甲GIS真题
说明
真题从00年到11年，总计12套，真题答案从01年到10年，总计10套。
答案基本在试卷上都已给出，其中重难点题目的答案写在了笔记本上，十分详细。
答案是由我和本班考南大的同学一起整理的，核对过好几篇，应该可以作为标准答案。
建议：高数甲是决定总分高分的一个极其重要的科目，每题的分值都很大，请大家一定要好好复习，认真备战。
由于南大的数学是自主命题，市面上没有现成的书籍，所以真题一定要认真、反复研究，争取做到举一反三。
再者，计算一定要细心，做完试卷后需要检验。
高数甲复习参考流程：
（1）同济版高数教材。
这是复习的第一轮，一定要认真对待，切切实实打好基础。
（2）李永乐的复习全书。
只做高数部分，这是拔高阶段，而且里面有很多经典的题目，需要花大量的时间研究。
（3）真题。
最好先把其当做你今年考试的真题对待，严格按照时间测试，整完一套后，再对照答案找出自己错误以及不会的地方，同时再找几个同类型的题目训练。
注意：一定要以真题为核心，任何参考书都比不上真题，因此，我们反复研究。
（4）错题笔记和预测题。
市面上基本没有对应的预测题，个人认为我的七套预测题质量还不错，如果你没有，可以自己参考南大的真题整理（提示：把题目罗列在一起，接着标出每题答案的页码），然后按照正规的流程测试，找出知识点的漏洞及考试感觉。
以往的错
题也要认真研究，这也很关键。
祝你顺利考上南大！加油！！！
需要详细资料者请联系我（xiaoxiongzb#扣扣点com，#改为@）。