偏微分方程求解 复变函数的积分
复变函数的积分例题及解析
复变函数的积分例题及解析复变函数的积分（IntegrationofComplexFunctions）是数学中比较重要的概念，它是求解复变函数（complex functions）的极限问题，为此，它N也是研究分析数学物理等科学和工程领域中非常重要的内容。
本文将详细讨论复变函数积分的例题及解析，以便帮助读者更好的理解这一概念。
首先，假设，复变函数f(z)的定义域为实数轴上的一段区间，做如下导数：f/x = -Imf(z)f/y = Re f(z)由以上的极限定理可以得出复变函数的切线公式：复变函数f(z)的切线公式是：切线公式： tgθ = Imf(z)/Re f(z)其中θ是切线与x轴正半轴之间的夹角。
此外，复变函数积分还可以通过曲线积分定理求解：曲线积分定理：如果复变函数f(z)在路径L上连续，那么其积分为：∫Lf(z)dz=∫ LxRe f(z)dy -∫ LyImf(z)dx其中Re f(z)表示复变函数f(z)的实部，Imf(z)表示复变函数f(z)的虚部。
最后，例题及解析：例1：求证：若复变函数f(z)在其定义域内连续，则∫f(z)dz = 0解：首先，根据曲线积分定理，可得：∫f(z)dz=∫ LxRe f(z)dy -∫ LyImf(z)dx因为复变函数f(z)在其定义域内连续，所以两个积分项相等，即：∫ LxRe f(z)dy =∫ LyImf(z)dx由此可以推出：∫f(z)dz=∫ LxRe f(z)dy -∫ LyImf(z)dx = 0所以，证明得证。
例2：求复变函数f(z) = z2+i（z为复数）的积分解：首先，根据曲线积分定理，可得：∫f(z)dz=∫ LxRe f(z)dy -∫ LyImf(z)dx其中：Re f(z) = z2Imf(z) = 1因此，∫f(z)dz=∫ Lxz2dy -∫ Ly1dx∫f(z)dz=∫ Lxz2dy -∫ Ly1dx积分结果为：∫f(z)dz = z3/3 + i(z)综上，本文详细阐述了复变函数的积分例题及解析，从而帮助读者更好的理解这一概念。
偏微分方程求解 解析函数
例2.1.4
讨论函数 w = f ( z ) =
| Im z 2 | 在点 z0 = 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足. 根据 有
f ( z ) = | Im z 2 | = 2 | xy | = u ( x, y ) + iv ( x, y )
u ( x, y ) = 2 | xy |
【证明】(1)必要性 由于 函 数 f ( z ) 可 导 ， 则由 式 (2.1.4) 可 知， 对 于充 分 小 的
Δz = Δx + iΔy > 0 ，有 f ( z + Δz ) − f ( z ) = f ′( z )Δz + ρ (Δz )Δz lim ρ (Δz ) = 0 其中 Δz → 0
令 由上式得
f ( z + Δz ) − f ( z ) = Δ u + i Δ v , f ′( z ) = a + i b, ρ (Δz ) = ρ1 + i ρ 2
Δu + i Δv = (a + ib)(Δx + i Δy ) + ( ρ1 + i ρ 2 )(Δx + i Δy ) = (aΔx − bΔy + ρ1Δx − ρ 2 Δy ) + i(bΔx + aΔy + ρ 2 Δx + ρ1Δy )
0
即
f (z +Δz) − f (z0 ) dw |z=z = f ′(z0 ) = lim 0 z→z dz Δz
0 0
导， 则称 f ( z ) 在 D 内可导， f ′( z ) 称为 f ( z ) 在 D 内的导函数，简称为导数.
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结复变函数是研究复平面上的函数的数学分支，复变函数的积分方法是复分析领域中的重要内容。
在复变函数的积分方法总结中，主要包括以下几个方面的内容：1.概念和基本定理复变函数的积分方法的基础是复积分的概念和基本定理。
首先，复数集合C上的曲线C是指满足连续可微的映射γ:[a,b]→C，其中[a,b]是实数区间。
定义复积分为∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt，其中f(z)是连续函数，γ′(t)是γ(t)的导数。
复积分的基本定理包括积分的线性性质、积分之间的关系，以及Cauchy-Goursat定理等。
其中，Cauchy-Goursat定理是指如果f(z)是一个整函数或者在一个简单连通域上解析，那么∫Cf(z)dz=0，其中C是C 上的任意闭曲线。
2.积分路径的选取在计算复积分时，积分路径的选取对结果有影响。
常用的积分路径包括曲线、圆周、分段积分路径等。
对于简单的曲线积分，可以用参数方程表示，然后利用Cauchy-Riemann方程求导，将积分转化为实数函数的定积分。
对于圆周积分，可以利用Cauchy积分定理化简积分表达式。
对于分段积分路径，可以将路径分成若干小段进行计算，然后累加结果。
3.积分的计算复变函数的积分计算可以用多种方法进行。
常用的方法包括换元法、分部积分法、变限积分法和奇偶性等。
对于换元法，可以通过变量替换将复积分转化为常数积分求解。
分部积分法可以通过求导和积分的关系将积分转化为另一种形式。
变限积分法是在计算积分时，将积分限进行变换，然后求导得到关于原积分的方程，从而解得原积分的值。
奇偶性是指其中一函数在定义域上的奇偶函数性质，利用奇偶性可以简化积分计算。
4.应用复变函数的积分方法在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
其中，应用最广泛的是在电动力学中的静电场和静磁场的计算中。
根据Maxwell方程组，可以通过计算积分来求解电场和磁场分布。
同时，在流体力学中，可以利用复变函数的积分方法来求解流体的流速分布和流量等问题。
复变函数积分方法总结定稿版
复变函数积分方法总结 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分∫f (z )dz c=limδ 0∑f (?k )nk −1?z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则∑2= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变 积分变换
d
e
jnt
cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jnt dt
2
(n 0,1,2, )
1-1 傅立叶积分公式
傅里叶积分公式
f (t) 1
(
)e
jt
d
2
1
2
f
( )e j d e jt d
1-1 傅立叶积分公式
[傅里叶积分定理]若 f (t) 在任何有限区间上
满足狄利克雷条件，并且在无限区间 ,
狄利克雷积分:
sin d
0
2
[例1-2]证明
cost d et
0 12
2
(t 0)
1-2 傅立叶变换
傅里叶积分公式：
f (t) 1
2
f
( )e j
d e
jt d
傅里叶变换：
F() f (t)e jt dt F() Fˆ[ f (t)]
傅立叶逆变换：
,
2n (2n 1)
a
a
,
(2n 1) (2n 2)
a
a
n 0,1,2,
第3节 单位脉冲函数
1、物理意义 2、定义 3、性质 4、导数及其性质 5、广义傅立叶变换
第3节 单位脉冲函数
1、单位脉冲函数的物理意义： （1）集中质量的密度； （2）电学中的集中电荷。
第3节 单位脉冲函数
g(x)
1 x2
1-2 傅立叶变换
傅里叶变换的物理意义——频 谱
1 非正弦的周期函数的频谱 2 非周期函数的频谱
1-2 傅立叶变换
1非正弦的周期函数的频谱
fT (t)
a0 2
(an
n1
复变函数的积分及其计算方法
复变函数的积分及其计算方法石睿(北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118)摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。
本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。
关键词：柯西定理；柯西积分公式引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论.复积分的概念：设C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A ，终点为B 。
函数f(z)在C 上有定义。
把曲线C 任意分成n 个小弧段。
设分点为A=z 0,z 1,…,z n-1,z n =B,其中z k =x k +iyl k (k=0,1,2,…,n)，在每个弧段zk-1zk 上任取一点ζk =ξk +i ηk ，做合式k nk k nk k k kn Δz )f(ζ)z (z )f(ζS ∑∑==-⋅=-⋅=111，其中k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1 。
记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk 的选择，也不依赖对C 的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C 自A 到B 的复积分，记作复积分的计算方法：复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算设⎩⎨⎧==,)(,)(:t y y t x x C .βα≤≤t 则⎰⎰⎰'+'+'-'=βαβαtt y t y t x u t x t y t x v i tt y t y t x v t x t y t x u z z f C d )}()](),([)()](),([{d )}()](),([)()](),([{d )(⎰'+'+=βαt t y i t x t y t x iv t y t x u d )}()()]}{(),([)](),([{ .d )()]([⎰'=βαt t z t z f即⎰⎰'=βαt t z t z f z z f Cd )()]([d )(例1求⎰-c n z z dz)(0，C 为以z 0为中心，r 为半径的正向圆周，n 为整数解：积分路径C 的参数方程为 |,|max 1k nk z ∆=≤≤λ.)(lim d )(10k nk k C z f z z f ∆⋅=∑⎰=→ζλ0(02π),i zz re θθ=+≤≤⎰-Cn z z dz)(0⎰=π20d θθθin n i e r ire ,d π20)1(1⎰---=θθn i n e r i当n=1时⎰-Cn z z dz)(0⎰=π20d θi ;2i π= 当n ≠1时⎰-Cn z z dz )(0⎰---=-π201d ])1sin()1[cos(θθθn i n r i n ;0=⎰=--rz z n z z dz0)(0所以=⎩⎨⎧≠=.1,0,1,2n n i π结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关柯西积分定理：设函数f （z ）在单连通域D 内解析，则f （z ）在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分.0d )(⎰=cz z f 此定理为柯西—古萨基本定理 例1 求d cos 02⎰iz z z π的值解：⎰iz z z π02d cos ⎰=i z z π022d cos 21iz π02sin 21=)sin(212π-=.sin 212π-=.1 ,d 12 22曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分例⎰Γ=Γ--z z z z z解：函数在复平面内有z=0和z=1两个奇点=--⎰Γz z z z d 122⎰⎰--+--21d 12d 1222C C z z z z z z z z ⎰⎰⎰⎰+-++-=2211d 1d 11d 1d 11C C C C z z z z z z z z 0220+++=i i ππ.4i π=柯西积分公式：, )( 内处处解析在区域如果函数D z f D C 为,闭曲线内的任何一条正向简单它的内部全含于D ，, 0内任一点为C z 那么⎰-=C dz z z z f i z f .)(21)(00π例1 ⎰⎰==⎪⎭⎫ ⎝⎛-++44.d 3211)2(;d sin 21(1)z z z z z z z z iπ 解：（1）⎰=4d sin 21z z z ziπ, sin )( 在复平面内解析因为z z f =, 4 0内位于<=z z 由柯西积分公式⎰=4d sin 21z z z ziπ0sin 221=⋅⋅=z z i i ππ=0 （2）dz z z z ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++4||3211⎰⎰==-++=44d 32d 11z z z z z z 2212⋅+⋅=i i ππ.6i π=例2 .d )1(1212⎰=-+i z z z z 计算积分解：⎰=-+212d )1(1i z z z z ⎰=--+=21d )(1i z z iz i z z i z i z z i =+⋅=)(12π2212i i ⋅=π.i π-=例3 ;211 (1): ,d 14sin2=+-⎰z C z z zC其中计算积分π解：⎰=+-2112d 14sin)1(z z z zπ=⎰=++-211d 114sinz z z z zπ114sin 2-=-⋅=z z z i ππ;22i π=;211 (2)=-z解：⎰=--2112d 14sin)2(z z z zπ=⎰=--+211d 114sinz z z z zπ114sin 2=+⋅=z z z i ππ;22i π=.2 (3)=z解：⎰=-22d14 sin)3(zzzzπ=⎰=+-2112d14sinzzzzπ⎰=--+2112d14πsinzzzziiππ2222+=.2iπ=结论:复变函数是一门很基本的课程，通过对复变函数的学习，我已经掌握了复积分的基本知识和解题方法，并感悟到了一些初步应用能力。
复变函数与积分变换知识点
复变函数与积分变换知识点一、复变函数的基本概念与性质：1. 复数及复平面：复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中i为虚数单位。
复平面是将复数与二维平面上的点一一对应的方法表示复数。
2. 复变函数的定义：复变函数是将复数域上的数映射到复数域上的函数。
通常表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别为实部函数和虚部函数。
3. 复变函数的导数与解析函数：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若存在导数f'(z)，则称f(z)在z处可导。
若f'(z)在复平面上处处可导，则称f(z)为解析函数。
4.柯西-黎曼方程：柯西-黎曼方程是解析函数的充分必要条件，即u(x,y)和v(x,y)满足柯西-黎曼方程的偏微分方程组。
5.全纯函数与亚纯函数：全纯函数是指在区域上处处可导的函数，亚纯函数是指在其定义域上除有限个孤立点外处处为全纯函数。
二、积分变换的基本概念与性质：1.积分变换的定义：积分变换是将函数f(t)变换为函数F(s)的方法，表示为F(s)=L[f(t)]，其中L为积分变换算符。
常见的积分变换有拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
2. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将函数f(t)变换为复变函数F(s)的变换方法，定义为F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt。
拉普拉斯变换有一系列性质，如线性性、平移性、尺度变换等。
3. 傅里叶变换：傅里叶变换是将函数f(t)变换为复变函数F(ω)的变换方法，定义为F(ω)=∫(-∞,+∞)e^(-iωt)f(t)dt。
傅里叶变换也具有一系列性质，如线性性、平移性、尺度变换等。
4. 反变换：反变换是将复变函数F(s)逆变换为函数f(t)的方法。
对于拉普拉斯变换，反变换为f(t)=1/2πi∫(σ-i∞,σ+i∞)F(s)e^(st)ds；对于傅里叶变换，反变换为f(t)=1/2π∫(-∞,+∞)F(ω)e^(iωt)dω。
求复变函数的积分方法
哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 题目：求复变函数的积分方法院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名闫岩学号09031123指导教师徐亚兰职称副教授2013年6月1日目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (3)第一章复积分的概念及其简单性质 (4)1.1 复变函数积分的定义 (4)1.2 复变函数积分的基本性质 (5)第二章复积分的计算 (7)2.1 函数沿非闭曲线的积分的计算 (7)2.1.1定义法 (7)2.1.2参数方程法 (8)2.2 函数沿闭曲线的积分的计算 (11)2.2.1积分定理 (11)2.2.2挖奇点法 (13)2.2.3柯西积分公式 (15)2.2.4高阶导数公式 (15)第三章用留数定理计算复积分 (17)3.1 留数定理及其应用 (17)3.1.1留数的定义 (17)3.1.2留数定理 (17)3.2 留数定理与其它解法的联系 (18)参考文献 (20)致谢 (21)摘要复积分即指复变函数积分。
在复变函数的分析理论中，复变函数的积分是研究解析函数的重要工具。
复变函数里的积分不仅仅是研究解析函数的重要工具，它也是学习后继课程积分变换的基础,因此就复积分的计算方法进行总结和探讨是十分必要的。
柯西积分公式、高阶导数公式以及留数定理对复积分的计算起到很大的作用。
本文介绍了计算复积分的几种方法，同时讨论了留数定理与复积分之间的内在联系，并且总结出利用柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等来计算复变函数积分的基本方法，通过实例说明每种方法使用的范围，从中揭示出他们的内在联系，本文对复积分的计算方法进行了比较系统的归纳总结，从中概括出解题方法和技巧。
关键词：复变函数的积分；柯西积分定理；高阶导数公式；留数定理AbstractComplex integration refers Complex integration. In the analysis of complex function theory, complex function of integral analytic functions is an important tool for research. Complex functions in the integral study of analytic functions not only an important tool, it is also the successor program to learn the basis of integral transformation, and therefore complex integral calculation method are summarized and discussed is very necessary. Cauchy's integral formula, higher derivative formulas, and the residue theorem for complex integrals play a big role.This article describes several methods for calculating complex integration, also discussed the residue theorem and the intrinsic link between complex integration, and summed up using the Cauchy integral theorem, Cauchy's integral formula, higher derivative formula, residue theorem etc. Complex integration calculation of the basic method, by examples illustrate the scope of use of each method, which reveals their internal relations, the paper complex integral calculation methods were compared systems are summarized, which summarize the problem-solving methods and techniques .Key words: complex variable function integration; Cauchy's integral theorem; higher derivative formula; residue theorem前言复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具。
1-1复数及其表示
e i cos i sin ,
则复数z r (cos i sin )可以表示为：
z re i
27
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i; ( 2) z sin i cos ; 5 5
解
(1) r z 12 4 4, 因 z 在第三象限,
2 2 2 2 2 2 2 2
( z1 z2 )2 ,
两边同时开方得 z1 z2 z1 z2 .
31
例 3 求下列方程所表示的曲线:
(1) z i 2; ( 3) Im(i z ) 4.
( 2) z 2i z 2 ;
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离
复变函数论
•电 学
•热 学
复变函数 在电路原理、自动控制原理以及“信号与 系统”方面有着重要的应用。 3
1）应用于积分的计算。如
0
2
sin x dx 2 x( x 1)
2
u u 2）求解偏微分方程。 如： 2 2 0。 x y
3）应用于计算渗流问题。
例如：大坝、钻井的浸润曲线。
, 证明 : 例 2 设 z1 , z 2 为两个任意复数 (1) z1 z 2 z1 z 2 ; (2) z1 z 2 z1 z 2 .
证 (1) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
19
（3）复数的向量表示法
复数z x iy也可用复平面上的向量 OP 表示
向量具有两个重要的属 性：长度、方向 .
复积分的各种计算方法与应用
第1章 引言曹1.1研究背景及研究内容复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，是研究解析函数的重要工具之一.但对于如何计算复变函数积分以及如何处理有关复变函数积分的问题，往往很难迅速找到解决问题的方法.因此，理解复变函数积分，并能够灵活运用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要.复积分中的Cauchy 积分定理在理论上处于关键地位，由它派生出的Cauchy 积分公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题.解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要Laurent 展式.因而把积分与级数结合起来的留数定理使复积分理论甚至是复变函数理论达到高潮，且其用途十分广泛.因此，研究复变函数积分计算的各种方法有着非常重要的意义，本文以所列参考文献[3]中的复积分计算方法为基础，并通过查阅相关资料，借鉴了文献[4]-[7]的结果，总结复积分计算的各种方法，并通过应用[1],[2],[8],[9]中的相关知识和方法，对所列出的每种方法作典型例证和分析.1.2预备知识定义1.1[3] 复积分 设有向曲线C ：()()βα≤≤=t t z z ,，以()αz a =为起点，()βz b =为终点，()z f 沿C 有定义.顺着C 从a 到b 的方向在C 上依次取分点：011,,,,n n a z z z z b -==.把曲线C 分成若干个弧段.在从1-k z 到k z ()n k ,..,2,1=的每一弧段上任取一点k ζ.作成和数()1nn k k k S f z ζ==∆∑，其中1k k k z z z -∆=-.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数n S 的极限存在且等于J ，则称()z f 沿C (从a 到b ）可积，而称J 为()z f 沿C (从a 到b ）的积分，并记以()cf z dz ⎰.C 称为积分路径. ()cf z dz ⎰表示沿C 的正方向的积分，()c f z dz -⎰表示沿C 的负方向的积分.定义1.2[3] 解析函数 如果函数()z f 在0z 点及()z f 的某个邻域内处处可导，那么称 ()z f 在0z 点解析，如果()z f 在区域D 内解析就称()z f 是D 内的一个解析函数.定义1.3[3] 孤立奇点 若函数()z f 在点的0z 邻域内除去点0z 外处处是解析的，即在去心圆域{}00()N z z z z δδ=-<内处处解析，则称点0z 是()z f 的一个孤立奇点.定义 1.4[3] 留数 函数()z f 在孤立奇点0z 的留数定义为()12c f z dz iπ⎰，记作()0Re ,s f z z ⎡⎤⎣⎦.第2章 复积分的各种计算方法2.1复积分计算的常见方法（1）参数方程法定理[3] 设光滑曲线:()()()()C z z t x t iy t t αβ==+≤≤，(()z t '在[,]αβ上连续，且()0z t '≠)，又设()f z 沿C 连续，则()d [()]()d Cf z z f z t z t t βα'=⎰⎰.(α、β分别与起、终点对应)1.若曲线C 为直线段，先求出C 的参数方程C 为过12,z z 两点的直线段，1211:(),[0,1],C z z z z t t z =+-∈为始点，2z 为终点.例1 计算积分1Re d iz z -⎰，路径为直线段.解 设1(1)(1),[0,1]z i t t it t =-++=-+∈，则112101Re d (1)d 22iiz z t i t t t i -⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰2.若曲线C 为圆周的一部分，例如C 是以a 为圆心，R 为半径的圆. 设:C z a R -=，即Re ,[0,2]i z a θθπ=+∈，（曲线的正方向为逆时针）. 例2 计算积分d ,Cz z C ⎰为从1-到1的下半单位圆周.解 设,d d ,[,0]i i z e z ie θθθθπ==∈-，d (cos sin )d 2Cz z i i πθθθ-=+=⎰⎰.用Green 公式法也可计算复积分, Green 公式法是参数方程法的一种具体计算方法.例3 设C 为可求长的简单闭曲线，A 是C 所围区域的面积，求证：2czdz iA =⎰.证明 设z x iy =+，则ccczdz xdx ydy i xdy ydx =++-⎰⎰⎰由Green 公式，有：0cxdx ydy +=⎰2cxdy ydx A -=⎰得证.本题目用Green 公式解决了与区域面积有关的复积分问题. （2）用Newton-Leibnize 公式计算复积分在积分与路径无关的条件下（即被积函数()f z 在单连通区域内处处解析）也可直接按类似于实积分中的Newton-Leibnize 公式计算.例4 计算222(2)d i z z -+-+⎰.解 因为2()(2)f z z =+在复平面上处处解析，所以积分与路径无关.22222322221(2)d (44)d 2433ii i iz z z z z z z z -+-+-+---+=++=++=-⎰⎰.（3)用Cauchy 定理及其推论计算复积分Cauchy 积分定理[3] 设函数()f z 在复平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则()d 0Cf z z =⎰.Cauchy 积分定理的等价定理[3]设函数()f z 在以周线C 为边界的闭域D D C =+上解析, 则()d 0Cf z z =⎰例5 计算2d ,22C zC z z ++⎰为单位圆周1z =.解 1z =是21()22f z z z =++的解析区域内的一闭曲线，由Cauchy 积分定理有2d 022C zz z =++⎰.注1 利用Cauchy 积分定理也有一定的局限性，主要是要求被积函数的解析区域是单连通的，计算起来较为方便.注2 此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用Cauchy 积分定理很简单. 另外，Cauchy 积分定理可推广到复周线的情形.定理[3] 设D 是由复周线012nC C C C C ---=++++ 所围成的有界1n +连通 区域，函数()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰，或写成 ()()()010nC C C f z dz f z dz f z dz --++=⎰⎰⎰，或写成 ()()()010nC C C f z dz f z dz f z dz --++=⎰⎰⎰.这也是计算复积分的一个有力工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和.适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形.例6计算22d C zz z z -⎰的值，C 为包含圆周1z =的任何正向简单闭曲线.解 2211d d 1C C z z z z z z z ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰⎰，分别以0,1z z ==为心做两个完全含于C 且互不相交的圆周12,C C ，则有12221111d d d 11CC C z z z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 11221111d d d d 11C C C C z z z z z z z z =+++--⎰⎰⎰⎰ 20024i i i πππ=+++=.（4）用Cauchy 积分公式计算复积分Cauchy 积分公式[3] 设区域D 的边界是周线（或复周线）,()C f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，则有1()()d ()2C f f z z D i zζζπζ=∈-⎰.Cauchy 积分公式可以解决积分曲线内有被积函数的奇点的积分问题.例7 计算2d 1zCe z z +⎰，其中C 为圆周2z =. 解 因被积函数的两个奇点是,i i -，分别以这两点为心做两个完全含于C 且互不相交的圆周12,C C .则有1212222d d d d d 111z z z z zCC C C C e e e e e z i z i z z z z z z z z z iz i +-=+=++++-+⎰⎰⎰⎰⎰22()zzi i z iz ie e iie e z iz i πππ-==-=+=-+-.此题是Cauchy 积分公式与Cauchy 积分定理复周线情形的结合. （5）用解析函数的高阶导数公式计算复积分 Cauchy 积分公式解决的是形如()d ,()C f z D zζζζ∈-⎰的积分，那么形如()d ,()()n C f z D z ζζζ∈-⎰的积分怎样计算呢？利用解析函数的高阶导数公式()1!()()d ,()(1,2,)2()n n C n f f z z D n i z ζζπζ+=∈=-⎰可解决此问题.例8 计算22d ,(1)zC e z C z +⎰为2z =. 解 因被积函数的两个奇点是,i i -，分别以这两点为心做两个完全含于C 而且互不相交的圆周12,C C .12222222d (1)d d (1)(1)zC zzC C e z z e ez z z z +=+++⎰⎰⎰1222222222()()d d ()()22()()(1)()2z zC C z z z iz ii i e e z i z i z z z i z i e e i i z i z i i e ie πππ==--+-=+-+''⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦=--⎰⎰注 Cauchy 积分公式与解析函数的高阶导数公式在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数是否为一次因式，二者在计算时都常与Cauchy 积分定理复周线情形相结合.（6）用留数定理计算复积分留数定理[3] 设函数()z f 在以C 为边界的区域D 内除12,,,n a a a 外解析，且连续到C ，则()()12Re k nCz a k f z dz i s f z π===∑⎰.例9 计算2252d (1)z z z z z =--⎰.解 252()(1)z f z z z -=-在圆周2z =内有一阶极点0z =，二阶极点1z =.20052Re ()2(1)z z z s f z z ==-==--，1152Re ()2z z z s f z z =='-⎛⎫== ⎪⎝⎭，由留数定理()221052d 2Re ()Re ()2(22)0(1)z z z z z i sf z s f z i z z ππ===-=+=-=-⎰. 留数计算方法的改进留数是复变函数中的一个重要的概念，一般的复变函数专著对函数在极点处的留数通常采用下面三个引理中叙述的计算方法进行计算，即引理1[3] 若a 为()f z 的m 阶极点，即()()()mz f z z a ϕ=-,其中()z ϕ在a 解析,且()0a ϕ≠,则()()1Re ()(1)!m z aa s f z m ϕ-==-.引理2[3]若()()()z f z z ϕψ=,其中(),()z z ϕψ在a 解析，()0a ϕ≠，()0,()0a a ψψ'=≠，则()Re ()()z aa s f z a ϕψ=='. 引理3[3] 设()f z 在扩充复平面上除12,,,,n a a a ∞外解析,，则()f z 在各点的留数总和为零，即1Re ()Re ()0k nz z a k s f z s f z =∞==+=∑.在实际运用中，发现以上三个引理所给公式应用范围有限，对有些留数的计算效果不佳.为了使计算简化、公式更为通用，下面通过三个定理给出三个改进的留数计算公式，并相应的给出算例.定理1[6] 设a 是()h z 的m 阶零点，也是()g z 的m 阶零点，则()()()g z f z h z =在a点的留数为111d Re ()lim ()()(1)!d m mm z a z a s f z z a f z m z --→=⎡⎤=-⎣⎦-. 证明 因为a 为()f z 的m n -阶极点，则()f z 在点a 的邻域内可展开为()1()1()1()101()()()()()m n m n m n m n f z C z a C z a C z a C C z a ----------=-+-++-++-+.则11()1()10()()()()()()m n n m m m n m n z a f z C z a C z a C z a C z a +-------=-+-++-+-+.两端求1m -阶导数，令z a →，则1111d lim ()()(1)!d m mm z a C z a f z m z---→⎡⎤=-⎣⎦-. 运用定理1只需判断()f z 分母零点的阶数，不必判断分子的零点阶数及()f z 极点的阶数，它简化了一些分式函数留数的计算.推论1[6] 设()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，则(1)1Re ()()(1)!n z as f z a n ϕ-==-. 例10 求225(1)()z e f z z -=在孤立奇点处的留数.解 因为0z =是5()h z z =的5阶零点，据推论1[6]，有44522440001d 1d 28Re ()lim (())lim (1)4!d 4!d 3z z z z s f z z f z e z z →→==⋅=-=. 定理2[6] 设a 为()()()z f z z ϕψ=的一阶极点，且(),()z z ϕψ在a 解析，z a =为()z ϕ的m 阶零点，为()z ψ的1m +阶零点，则()(1)(1)()Re ()()m m z a m a s f z a ϕψ+=+=. 证明 由假设可得112112()()(),()()()m m m m m m m m z a z a a z a z b z a b z a ϕψ++++++=-+-+=-+-+.又a 为()f z 的一阶极点，则1101()()()f z C z a C C z a --=-++-+，即1101()()()()z z C z a C C z a ϕψ--⎡⎤=-++-+⎣⎦.比较系数得11mm a C b -+=，而()(1)1()(),!(1)!m m m m a a a b m m ϕϕ++==+，由此解得()1(1)(1)()()m m m a C a ϕψ-++=.例11 计算积分31sin d (1)z z z zz e =-⎰.解 被积函数在单位圆内只有0z =一个奇点，且0z =是3()(1)z z e ψ=-的三阶零点，是()sin z z z ϕ=的二阶零点，又23()2cos sin ,()32427z z z z z z z z e e e ϕψ'''''=-=-+-. 由定理2[6]，得(2)(3)0(21)(0)Re ()1(0)z s f z ϕψ=+==-. 另外，对于多个奇点留数的和利用定理1、定理2相当麻烦，于是通过对引理3进行改进得到如下一种更简便的方法.定理3[6] 设()()()P z f z Q z =，其中110()(0)n n n n n P z a z a z a a --=+++≠，110()(0)m m m m m Q z b z b z b b --=+++≠，则有以下结论：(1)当2m n -≥时，Re ()0z s f z =∞=； (2)当1m n -=时，Re ()nz ma s f zb =∞=-； (3)当0m n -≤时，设()()()()P z R z Q z r z =+，其中(),()R z r z 为z 的多项式，且()r z 的次数小于m ，则()Re ()Re ()z z r z s f z sQ z =∞=∞=，化为1）或2）. 此定理的结论是求有理函数()f z 在∞点留数的一个好方法，使用起来很方便.当分子次数比分母高时，可用综合除法转化为1）或2）的情形.例12 计算积分152244d (1)(2)z z I z z z ==++⎰. 解 被积函数在4z =内部有6个奇点，计算它们十分麻烦，利用留数定理[3] 及引理3[3]有2Re ()z I i s f z π=∞=-.再利用定理3[6]，1,1m m a b ==，则Re ()1mz ma s f zb =∞=-=-，故2I i π=. 例13 求221d ()1n n n z z z I z n N z =-+=∈+⎰. 解 设被积函数()f z 的n 个极点为(1,2,)k z k n =，并且()f z 在2z =外部无极点，利用留数定理及引理3[3]，12Re ()2Re ()k nz z z k I i s f z i s f z ππ==∞===-∑，而213()211n n nn n z z f z z z z -+==-+++，利用定理3[6]0,1;32Re 6,1.1nz n I i si n z ππ=∞>⎧=-=⎨=+⎩ 注 运用定理3[6]求有理函数()f z 在∞点的留数特别简洁，并且利用它求()f z 在孤立奇点的留数可以达到事半功倍的效果.（7）用级数法计算复积分连续性逐项积分定理[3]设()n f z 在曲线C 上连续(1,2,3,n =…)，()1n n f z +∞=∑在C上一致收敛于()f z ，则()f z 在曲线C 上连续，并且沿C 可逐项积分：()()1n ccn f z dz f z dz +∞==∑⎰⎰.将函数展成Taylor 级数或Laurent 级数就解决了该类复积分的有关问题.例14 计算积分11,:2n c n z dz C z ∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰.解 在12z <内，有：1111n n z z z ∞=-=+-∑所以 1112021n c c n z dz dz i i z z ππ∞=-⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑⎰⎰. 例15 设()f z 在圆环0z a R <-<内解析，且()()lim 0z az a f z →-=，证明：在圆环0z a R <-<内，有()()12a r f f z dz i zηηπη-==-⎰ ()0r R <<. 证明 因为()f z 在圆环0z a R <-<内解析，故有()()nn f z C z a =-∑0z a R <-<，于是()()()()()()21320112n nn nC C C z a fC z a C z a C z a C z a z a z a +-----=-+-++-+++++++---由()()lim 0z az a f z →-=，得120n C C C --====，则()0n n n f z C Z ∞==∑在z a R -<内解析，根据Cauchy 积分定理可得：()()12a r f f z dz i zηηπη-==-⎰ ()0r R <<. （8）用Laplace 变换法计算复积分定义[4] 设()f t 是定义在[)0,+∞上的实函数或复函数，如果含复变量p is σ=+（,s σ为实数）的积分()0pt f t e dt +∞-⎰在p 的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数()()0pt F p f t e dt +∞-=⎰称为函数()f t 的Laplace 变换，简记为()()F p L f t =⎡⎤⎣⎦.计算该类复积分时，可先运用Laplace 变换的基本运算法则（线性关系、相似定理、位移定理、象函数微分法、本函数微分法、本函数积分法、延迟定理、卷积定理等），将该类复积分化为()F p 的形式，再参照Laplace 变换表，得出相应的复积分结果.例16 计算积分012pz e dz az ∞-⎰. 解 令 ()12f az az = 则 ()012pz L f az e dz az ∞-=⎡⎤⎣⎦⎰ 由相似定理有 ()1p L f az F a a ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭由Laplace 变换表得p F a ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以 0112pz p e dz F az a a ∞-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰.2.2各种方法的选择原则及其联系上一节给出了复积分的各种计算方法.那么,碰到有关复积分计算的题目时,我们到底应该如何选择具体的计算方法,简便而快捷地进行计算呢.这是本节所要探讨的主要问题.我们知道,复积分是由三部分构成的,即积分路径、被积函数以及积分微元。