复变函数与积分变换重点公式归纳解析
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数与积分变换重要知识点归纳一、复变函数的基础知识1.复数与复平面：复数由实部和虚部构成，可以用复平面表示，实部表示横轴，虚部表示纵轴。
2.复变函数的定义：复变函数是将复数集映射到复数集的函数。
3.极坐标形式和指数形式：复数可以表示为极坐标形式和指数形式，这两种形式有助于分析复数运算和求解复变函数。
二、复变函数的性质与分析1.连续性与可导性：复变函数在复平面上的连续性与可导性是复变函数分析中重要的性质。
2.柯西-黎曼方程：一个函数在一些区域上可导，当且仅当其满足柯西-黎曼方程。
3.偏导数和全微分：复变函数的偏导数与全微分的概念与实变函数的类似，但存在一些差异。
三、积分变换的基础知识1.定积分：定积分是积分变换的基本操作，用于求解区间上的面积和曲线下的面积等问题。
2.不定积分：不定积分是对函数求原函数的逆过程，通过不定积分可以求出函数的原函数。
四、复积分与柯西公式1.复积分：复积分是对复变函数在一些区域上的积分，可以理解为沿着复平面上的曲线进行的积分运算。
2.柯西公式：柯西公式是复积分的重要定理，它将复变函数与曲线围城的区域之间的关系建立了起来。
3.洛朗级数展开：洛朗级数展开是复积分应用中的重要工具，可以将复变函数展开为无穷级数。
五、拉普拉斯变换与傅立叶变换1.拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是线性时不变系统中信号处理的重要工具，可以将时域函数转换为频域函数。
2.拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有一系列的性质，例如位移定理、尺度定理和频率域乘法等。
3.傅立叶变换：傅立叶变换是将时域函数转换为频域函数的一种积分变换，广泛应用于信号分析和图像处理中。
以上是复变函数与积分变换的重要知识点的归纳总结。
这些知识点在数学及其应用中起到了重要的作用，对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
复变函数与积分变换
C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k
n
3.积分的性质
g 设 f ( z ) ， ( z ) 在曲线 C 上可积，则 C 1) C f ( z )dz C f ( z )dz ， 与 C 反向； 2) C Kf ( z )dz K C f ( z )dz，K 为常数；
习题：
1.设C是正向圆周z 1, 计算下列各积分的值。 dz dz dz 1 ） ; 2) ; 3) ; i z2 cos z c c c ( z )( z 2) 2 解：
dz 1) 0; z2 c dz 2) 0; cos z c 4i 3) 2i ; i i c ( z )( z 2) 2 i4 2 2 dz 1
z re i
z x iy
(5)代数表示:
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z z r r [cos( ) i sin( )]
1 2 1 2 1 2 1 2
5)
z1 r 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2 r i (1 2 ) 1e ． r2
2i
3.沿指定曲线计算下列各积分.
ez 1 ） z 2 dz, C : z 2 1; c ez 3) C ( z 1)( z 2) dz, C : z 3; eiz 3 2) 2 dz, C : z 2i ; z 1 2 c ez 4) 3 dz, C : z 2; C z
2 2
在区域x 0内连续，且 u v v u , 在区域x 0上成立时， 1, 2a x y x y 1 即，当a 时，函数f ( z )在区域x 0内是解析的。 2
复变函数与积分变换公式笔记
复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数1. 任何一个复数 z ≠0 有无穷多个辐角，如θ1是辐角，则有Arg z = 1+2kπ (k =0,±1,±2,…)表示 z 的全部辐角，其中满足-π＜ 0≤π的辐角 0称为辐角 Argz 的主值， 记为 0=arg z . 2. 棣莫弗公式：（cosθ + sinθ) =cosnθ + sin θ1. 柯西–黎曼方程：第二章 解析函数∂= ∂，∂= −∂ ∂∂∂∂2. 如果二元实函数 ( , )在区域 D 内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程：∂2 ∂2∂ 2 + ∂ 2 = 0则称 ( , )为区域 D 内的调和函数。
3. 共轭调和函数公式：( , )( , ) = ∫ − ( 0, 0) ∂ ∂d + ∂ ∂d + C其中( 0, 0)为 D 内一个定点，( , )为 D 内任一点，C 为任意常数。
该积分与路径无关。
4. 指数函数的定义5. 指数函数的性质 = + = (cos + sin )2 = 16.ln ,称为 Ln z 的主值，于是有ln = ln | | + arg而其他各支可由下式表达：Ln = ln + 2 ( = ±1, ±2, … )7.余弦函数与正弦函数：cos =sin =8.双曲正弦函数和双曲余弦函数： sh =chz =+ −2 − −2− −2 + −2C C 01. 复积分的计算第三章 复变函数的积分∫ ( )d = ∫ [ ( )] ′( )dC2. 计算：C 为单位圆周| | = 1的上半部分从 1 = 1到 2 = −1的弧。
C 的参数方程为 = (0 ≤ ≤ )，d = d .3. 柯西积分公式：1( 0) = 2 ∮( ) − 0d4. 高阶导数公式:( )∮ C − 0 d = 2 ∙ ( 0)( )(0 !) =2 ( )∮ ( − ) +1d ( = 1,2, ⋯ ).( )∮ d = 2 ( )( ) ( = 1,2, ⋯ ). 0 C( − 0) +1 !1. 幂级数收敛半径公式为第四章级数∞∑=0R = lim ||.2. 幂级数基本展开公式：→∞ +111 −= 1 + + 2 + ⋯ + + ⋯ ，| | < 1； ∞11 += ∑(−1) ，| | < 1； =0 ∞= ∑ =0∞!，| | < +∞；2 +1 sin = ∑(−1) ，| | < +∞；(2 + 1)!=0∞cos = ∑ =0(−1) 2(2 )!，| | < +∞；3. 函数展开结果中可能不含 z 的负幂项，原因在于 ( )在 C 内是解析的。
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数复变函数是将复数域上的变量映射到复数域上的函数。
形式上，复变函数可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是自变量，u(x,y)和v(x,y)是实部和虚部函数。
复变函数的性质包括解析性、全纯性、调和以及实部虚部的关系等。
1.解析函数性质解析函数是复变函数的重要性质之一，它表示函数在其定义域内处处可导，并且其导数连续。
如果f(z)是定义在区域D上的函数，满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)是该区域上的解析函数。
Cauchy-Riemann条件可以表示为：∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x2.全纯函数性质全纯函数是解析函数的特殊情形，它在整个复平面上都有定义，并且是解析的。
全纯函数还有许多重要的性质，如Liouville定理、最大模原理等。
3.调和函数性质调和函数是复平面上的实函数，满足拉普拉斯方程(△u=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0)。
调和函数在物理学中有广泛的应用，例如描述电势、热力学等现象。
4.实部虚部关系对于任意一个复变函数f(z)，其实部u(x,y)和虚部v(x,y)之间有一些重要的关系。
例如，如果f(z)是一个解析函数，则它的实部和虚部函数满足调和方程，并且u(x,y)和v(x,y)是共轭调和函数。
二、积分变换公式积分变换是对函数进行积分操作的数学工具，常用于求解微分方程、信号处理等问题。
常见的积分变换公式包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种广泛应用于信号分析和控制系统的积分变换方法。
定义域为半无穷区间的函数f(t)在复平面上进行拉普拉斯变换后得到一个复变函数F(s)，满足积分方程：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt2.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、位移性质、尺度变换、微分性质等。
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数的基本概念和性质1. 复数集的定义：复数集是由实数和虚数构成的集合，形式为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i² = -12. 复变函数的定义：设有一个定义在平面上的函数f(z)，其中z = x + yi是平面上的点，x和y是实数。
如果对任意给定的z都有唯一确定的复数w与之对应，那么称函数f(z)是复数域上的一个函数。
3.复变函数的连续性：如果在z0处存在一个复数A，使得当z趋于z0时，函数f(z)趋于复数A，则称函数f(z)在点z0处连续。
4.复变函数的可导性：如果函数f(z)在z0处连续，并且当z趋于z0时，函数f(z)的导数存在有一个有限的极限L，则称函数f(z)在z0处可导，并记为f'(z0)=L。
二、复变函数的常用公式1. 欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + isinθ2. 增补公式：sinh(x + iy) = sinh(x)cos(y) + isin(y)cosh(x)3.多项式的根公式：设P(z)=aₙzⁿ+aₙ₋₁zⁿ⁻¹+…+a₀是一个非常数多项式，aₙ≠0，则P(z)=0在复数域存在n个根。
4.共轭根公式：如果z是复数P(z)=0的根，则z^*也是复数P(z)=0的根。
5. 辐角公式：对于复数z = x + yi，其中x和y是实数，辐角θ = arctan(y/x)，其中-π < θ ≤ π。
6. 复数的模公式：对于复数z = x + yi，其中x和y是实数，模，z，= √(x² + y²)。
7. 三角和指数函数的关系：sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)，cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/28. 三角函数和指数函数的关系：sin(ix) = i sinh(x)，cos(ix) = cosh(x)。
三、复变函数的常用积分变换公式1.度量积分变换：对于复变函数f(z)，定义如下的度量积分变换公式：∫(f(z)dz) = ∫(f(z₁)dz₁ + f(z₂)dz₂ + … + f(zₙ)dzₙ)，(z₁,z₂,…,zₙ)为路径连续的点。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数和积分变换重要知识点归纳
.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
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复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+==二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00z f z f z z =→ 第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂= 1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zz e e =)'(（3）以i π2为周期3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln i z Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
6、一般幂函数：])arg 2([ln i z k z s sLnz s e e z ++==π （k =0、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1) 调和函数:0),(2=∇y x u2) 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程c ）不定积分法第三章 解析函数的积分一、复变函数的积分 ()⎰⎰⎰++-=ll l udy vdx i vdy udx f dz z 存在的条件。
二、复变函数积分的计算方法1、沿路径积分：()⎰cdz z f 利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。
2、闭路积分： a) ()⎰cdz z f 利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
b) dz y x iv y x u c )],(),([+⎰利用参数积分方法 三、柯西积分定理：()0=⎰cdz z f 推论1：积分与路径无关()dz z f dz z f z z c ⎰⎰=21)(推论2：利用原函数计算积分)()()(1221z F z F dz z f z z -=⎰推论3：二连通区域上的柯西定理()()⎰⎰=21c c dz z f dz z f 推论4：复连通区域上的柯西定理()()⎰∑⎰==k c nk c dz z f dz z f 1四、柯西积分公式： ()ξξξπd z f i z f c ⎰-=21)( ()()002c f z dz if z z z π=-⎰五、高阶导数公式：()ξξξπd z f i n z f c n n ⎰+-=1)()(2!)( 解析函数的两个重要性质：● 解析函数()z f 在任一点z 的值可以通过函数沿包围点z 的任一简单闭合回路的积分表示。
● 解析函数有任意阶导数。
本章重点：掌握复变函数积分的计算方法沿路径积分()⎰c dz z f 1）利用参数法积分 2）利用原函数计算积分。
闭路积分()⎰c dz z f 利用留数定理计算积分。
第四章 解析函数的级数一、幂级数及收敛半径： ∑∞=-0)(n n nb z a1、一个收敛半径为R （≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数)(z f 是解析函数，在这个收敛圆内，这个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：()()∑∞=-=1'n nn b z na z f R b z <- ()()10001+∞=∞=∑⎰∑⎰+=-=n n z l n n nn zz n a dz b z a dz z f R b z <- 2、收敛半径的计算方法1） 比值法：1/lim +∞→=n n n a a R 2） 根值法：n n n a R ∞→=lim /1 二、泰勒（Taylor ）级数1、如函数)(z f 在圆域R b z <-内解析，那么在此圆域内)(z f 可以展开成Taylor 级数)(z f ()()n n n n nn b z n b f b z a -=-=∑∑∞=∞=00!)( 1）展开式是唯一的。
故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是Taylor 级数。
2 ) 收敛半径是展开点到)(z f 的所有奇点的最短距离。
3）展开式的系数可以微分计算： ()!n b f a n n = 4）解析函数可以用Taylor 级数表示。
2、记住一些重要的泰勒级数：1）∑∞==-011n n z z 2）∑∞==0!n n z n z e 3）()∑∞=++-=0)12()!12(1sin n n n zn z 4）()∑∞=-=02)!2(1cos n n n z n z三、罗兰（Laurent ）级数如果函数)(z f 在圆环城21R b z R <-<内解析，则)(z f =∑∞-=-x n n n b z c )( ()()dz b z z f i c l n n ⎰+-=121π （n =0、±1、±2……）1、展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幂级数即为Laurent 级数。
2、展开式的系数是不可以利用积分计算。
利用已知的幂级数，通过代数运算把函数展开成Laurent 级数。
3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。
四、孤立奇点1、定义：若b 是)(z f 的孤立奇点，则)(z f 在δ<-<b z 0内解析。
在此点)(z f 可展开为罗兰级数，)(z f =()()()∑∑∑-∞=∞=∞-∞=-+-=-10n n n n n n n n n b z c b z c b z c2、分类：孤立奇点⎪⎩⎪⎨⎧==-1]),([Re ,::0]),([Re ,:c b z f s b z f s 无穷多负幂项本性奇点有限负幂项极点无负幂项可去奇点把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解C-13、极点留数计算a) 如果b 是)(z f 的一阶极点，则)()(lim ]),([Re z f b z b z f s bz -=→ b) 如果b 是)(z f 的m 阶极点，则()()()][lim !11]),([Re 11z f b z dzd m b z f s m m m b z --=--→ c) 如b 是()()()z Q z P z f =的一阶极点，且P(b)≠0，那么 ()()()()b Q b P b z Q z P s ',Re =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d) ]0,1)1([Re ]),([Re 2z z f s z f s -=∞ e) 若∞=z 是)(z f 的可去奇点，并且0)(lim =∞→z f z ，()z zf C z f s z ∞→--=-=∞lim ]),([Re 1 关系：全平面留数之和为零。
()[]()[]0,Re ,Re 1=∞+∑∑∞=z f s b z f s k k本章重点：函数展开成Taylor 级数，并能写出收敛半径。
函数在解析圆环城内展开成Laurent 级数。
孤立奇点（包含∞=z 点）的判定及其留数的计算。
第五章 留数定理的应用一、()θθθπd R ⎰20cos ,sin条件：（1）R(sin θ，cos θ) 为cos θ与sin θ 的有理函数（2）R (• ) 在[0，2π] 或者 [-π ，π] 上连续。
令θi e z =，则i z z 2sin 1--=θ，2cos 1-+=z z θ，iz dz d =θ。
()()dz z f iz dz z z iz z R d R z z ⎰⎰⎰===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=12212021,21cos ,sin θθθπ()[]∑==n k kz z f s i 1,Re 2π 1<k z注意留数是计算单位圆中的奇点。
二、()⎰∞∞-dx x f条件： （1） ()()()x Q x P x f = ()()x Q x P ,是x 的多项式。
（2） ()0≠x Q（3） 分母阶次比分子阶次至少高二次则 ()()[]∑⎰=∞∞-=n R k b z f s i dx x f 1,Re 2π k b 是)(z f 在上半平面的奇点。
三、()dx e x R x i α⎰∞∞- （0>α）条件：（1）()()()x Q x P x R =，且()x Q 比()x P 至少高一阶，（2）()0≠x Q ，（3）0>α()()[]∑⎰=∞∞-==n k k z i xi b e z R s i dx e x R I 1,Re 2ααπ 0Im >k b ()⎰∞∞-=I xdx x R Re cos α，()⎰∞∞-=I xdx x R Im sin α重点关注第一和第三种类型第七章 Fourier 变换一、傅立叶变换()()dt e x f F t j ωω-∞∞-⎰=()()ωωπωd e F x f t j ⎰∞∞-=21二、δ函数的傅立叶变换 ℱ()[]()1==-∞∞-⎰dx e x x x j ωδδ. ()x d e x j δωπω=⎰∞∞-21三、一些傅立叶变换及逆变换 ℱ()ωπδω+=i x H 1)]([ ℱ21)(]1[1-=-x H i ω 四、性质：ℱ()[]()ωF x f =1、 相似性质ℱ()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛=a F a ax f ω1 2、 ℱ()[]()ωωF ex x f x j 00±=± 延迟性质 ℱ ()[]()00ωωω±=F x f e x j 位移性质 3、微分性质ℱ ()[])('ωωF j x f = ℱ [])(')(ωF x jxf =-ℱ ()()[])()(ωωF j x f n n = ℱ ()[]n n n d F d x f x j ωω)()(=- 4、积分性质ℱ ())(10ωωF j dx x f x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ 由Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用Fourier 变换求解微积分方程。