复变函数积分方法的思考总结
复变函数的积分总结
复变函数的积分总结引言复变函数积分是复分析的重要内容之一。
与实变函数不同的是，复变函数在积分时需要同时考虑实部和虚部，因此在处理复变函数的积分时需要注意一些特殊的性质和方法。
本文将对复变函数的积分进行总结，包括复积分的定义、性质和常见的积分方法。
复积分的定义复积分是对复变函数沿着曲线或者面积进行积分的操作。
复积分可以分为线积分和面积积分两种形式。
线积分对于复变函数f(z)，其在线段L上的线积分定义为：$$ \\int_L f(z)dz = \\int_a^b f(z(t))z'(t)dt $$其中z(t)是L上参数化曲线的方程，$t \\in [a, b]$。
线积分的结果是一个复数。
面积积分对于复变函数f(z)，其在有界连续曲线围成的区域D上的面积积分定义为：$$ \\int_D f(z)dz = \\iint_D f(z) dxdy $$其中z=x+iy，dxdy是区域D上的面积微元。
复积分的性质复积分具有一些重要的性质，它们在计算复积分时非常有用。
线积分的基本性质•线积分与路径无关：如果L1和L2是起点和终点相同的两条路径，且f(z)在路径间连续，则 $\\int_{L_1} f(z)dz = \\int_{L_2} f(z)dz$。
•线积分的线性性质：对于任意的复数c1和c2，以及复变函数f(z)和g(z)，有 $\\int_L (c_1f(z) + c_2g(z))dz = c_1\\int_L f(z)dz + c_2\\int_L g(z)dz$。
•同路径积分相等：如果L是起点为z1终点为z2的路径，且f(z)在L 上连续且有原函数F(z)，则 $\\int_L f(z)dz = F(z_2) - F(z_1)$。
面积积分的基本性质•面积积分与区域无关：如果D1和D2是相同的区域，且f(z)在区域D上连续，则 $\\int_{D_1} f(z)dz = \\int_{D_2} f(z)dz$。
复变函数积分方法总结()
4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，zn 则f(z)在各奇点的留数总和为零,即
+Res[f(z), ]=0;
4.4.2Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
例题：求下列Res[f(z), ]的值
复变函数积分方法总结
经营教育
乐享
[选取日期]
复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
∑1= (zk-zk-1)
有可设k=zk，则
∑2= (zk-zk-1)
因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)= =b2-a2
∴ =b2-a2
1.2定义衍生1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入 得：
= - vdy + i + udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) ( ≤t≤ )
= +
=
= + + +
=0+2πi+2πi+0
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结复变函数是研究复平面上的函数的数学分支，复变函数的积分方法是复分析领域中的重要内容。
在复变函数的积分方法总结中，主要包括以下几个方面的内容：1.概念和基本定理复变函数的积分方法的基础是复积分的概念和基本定理。
首先，复数集合C上的曲线C是指满足连续可微的映射γ:[a,b]→C，其中[a,b]是实数区间。
定义复积分为∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt，其中f(z)是连续函数，γ′(t)是γ(t)的导数。
复积分的基本定理包括积分的线性性质、积分之间的关系，以及Cauchy-Goursat定理等。
其中，Cauchy-Goursat定理是指如果f(z)是一个整函数或者在一个简单连通域上解析，那么∫Cf(z)dz=0，其中C是C 上的任意闭曲线。
2.积分路径的选取在计算复积分时，积分路径的选取对结果有影响。
常用的积分路径包括曲线、圆周、分段积分路径等。
对于简单的曲线积分，可以用参数方程表示，然后利用Cauchy-Riemann方程求导，将积分转化为实数函数的定积分。
对于圆周积分，可以利用Cauchy积分定理化简积分表达式。
对于分段积分路径，可以将路径分成若干小段进行计算，然后累加结果。
3.积分的计算复变函数的积分计算可以用多种方法进行。
常用的方法包括换元法、分部积分法、变限积分法和奇偶性等。
对于换元法，可以通过变量替换将复积分转化为常数积分求解。
分部积分法可以通过求导和积分的关系将积分转化为另一种形式。
变限积分法是在计算积分时，将积分限进行变换，然后求导得到关于原积分的方程，从而解得原积分的值。
奇偶性是指其中一函数在定义域上的奇偶函数性质，利用奇偶性可以简化积分计算。
4.应用复变函数的积分方法在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
其中，应用最广泛的是在电动力学中的静电场和静磁场的计算中。
根据Maxwell方程组，可以通过计算积分来求解电场和磁场分布。
同时，在流体力学中，可以利用复变函数的积分方法来求解流体的流速分布和流量等问题。
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k −1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f (z )dz c=limδ 0∑f (?k )nk −1?z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则∑2= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数积分方法总结定稿版
复变函数积分方法总结 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分∫f (z )dz c=limδ 0∑f (?k )nk −1?z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则∑2= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
(完整版)复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
学习复变心得
学习复变函数心得在这一学期，我学了复变函数这门课程，使我受益良多，也有挺多的学习心得感受。
所以，接下来，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。
我认为，在接触一门新的课程时，不妨先了解其发展历史，这样，对以后的深入学习也有一定的帮助，而且，在学了之后，也不至于连这一学科怎么来的，为何会产生都不清楚。
所以，在老师的讲解下及上网看的一些资料后，我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。
复变函数，又称为复分析，是分析学的一个分支。
它产生于十八世纪，其中，欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。
而到了十九世纪，这时，可以说是复变函数这门学科的黄金时期，在这段时期，它得到了全面的发展，是当时公认的最丰饶的一个数学分支，也是当时的一个数学享受。
其中，Riemann,Welerstrass及Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。
到了二十世纪，复变函数继续发展，其研究领域也更加广泛了。
而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。
知道了复变函数这一学科简单的发展历程后，那么接下来，我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。
复变函数课程从拓展数域至复数开始，在介绍复数与四则运算后，利用中学生已有知识引入概念，易于上手。
接着探讨复平面、复数模和辐角，并过渡至复变函数及其极限、连续性定义。
特别指出的是，复变函数既能为单值函数，也可能具有多值特性，这一区别对后续深入研究至关重要。
在学习接下来的第二章，主要讲的是解析函数及初等多值函数。
而在学习解析函数时，我觉得，最主要的就是掌握柯西—黎曼方程，它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用，就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的，所以掌握它还是挺重要的。
接下来就是初等多值函数，这一部分比较难，但也挺有意思的。
在老师讲解下及自己的研究后，对这一部分还是有点收获的。
学习这一部分的内容，首先要理解为什么要对平面进行切割，接着，就是要学会寻找支点及切割方法，还有就是那些辐角的变化也要搞清楚，只要将这几点掌握了，应该就没有大问题了。
[精选]复变函数学习心得体会
![[精选]复变函数学习心得体会](https://img.taocdn.com/s3/m/b97c58c5b9f67c1cfad6195f312b3169a451ea95.png)
[精选]复变函数学习心得体会
学习复变函数的过程也是一个艰辛的过程，我们认真的学习，会有不一样的收获。
作
为一名在复变函数学习中的小白，有一定的收获是必不可少的，下面是我在学习复变函数
时的心得体会。
首先是函数的性质，复变函数有着特殊的性质，它除了常见的奇偶性、有界性、单调
性等外，还有峰值性、周期性等一些特定性质，这些性质影响着复变函数的变化趋势，我
们要想准确的了解复变函数的变化趋势，就要根据这些性质来分析判断，并且这也是我们
在计算复变函数的积分时需要保证的。
其次是函数变换，这是复变函数教学中非常重要的一部分。
函数变换不仅仅可以使复
变函数变得更加清晰，容易理解，而且也是我们在解决复变函数的不同问题时的基础。
在
有限的函数变换操作之下，我们可以轻松的将复变函数的不同问题转化成简单的求解步骤，从而可以实现复变函数的更好的求解结果。
最后，就是要抓住整体的思路，注重细节的层面，针对不同的题目进行复变函数的计算，准确的分析结果，掌握函数变换，坚持推理思维，复变函数的运用范围也更加广泛，
同时准确的理解和把握丰富的知识也是很有必要的。
只有完善的学习方法和正确的理解，
才能达到全面而牢固的学习效果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
设 a 为 f z 的 n 阶极点， f z
z a n
z
，其中 z 在点 a 解析， a 0 ，则
Re s f z
z a
n1 a
n 1!
.
例 4.计算积分
5z 2 dz 2 z 2 z z 1 5z 2 在圆周 z 2 的内部只有一阶极点 z 0 及 z 1 ， 2 z z 1
1 f d z D ，即 f d 2if z . c z c 2i z
例 3. 求积分
c
9 1d ，其中
2
C 为圆周 2 .
9 2 d 解： c i d c 9 2 1
������ +∞ ������ ������ =1 ������ +∞ ������ ������ =1 ������
������ 在C上
������ ������������=
������
������ ������ dz。 将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积
1
分的有关问题。
������ 例8.计算积分 ������ ( ∞ ������ =−1 ������ ������������,C:|z|=2.
c
例 2、求
cos z dz ，其中 C 为圆周 z 3i 1 ， c zi
解：圆周 C 为 z 3z 1 ，被积函数的奇点为 i ，在 C 的外部，
cos z 在以 C 为边界的闭圆 z 3i 1 上解析， zi cos z dz 0 . 故由柯西积分定理的等价形式得 c zi 如果 D 为多连通区域，有如下定理：
此时有 Rcos , sin d
0
z z 1 z z 1 dz R , iz . z 1 2 2 i
例 5.
2
0
d a 1 a cos 1 dz z z 1 ， d ， iz 2
解：令 z ei ，则 cos
7.拉普拉斯变换法
计算复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则（线性关系、相似定 理、位移定理、像函数微分法、本函数微分法、本函数积分法、延迟定理、卷积 定理等)，将该类复积分化为 F(s)的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的 复积分结果。 总之， 复变函数的积分理论是实变量函数积分理论的推广，但比实积分理论 的内容要丰富和复杂得多。 因而在学习时应着重理解复变函数积分理论与高等数 学中积分理论的联系， 同时又要注意到二者的不同，这对学生掌握复变函数整个 课程内容大有裨益。 [参考文献] [1] 黄隽：复变函数积分计算方法的探讨. 常州工学院学报,2008 年 8 月第 21 卷第 4 期 [2]王绵森.复变函数学习辅导与习题选解［M］ 。北京:高等教育出版社，2003。 [3]王燕.复变函数积分的解法分析［J］ 。数学学习与研究，2009，12:90-91。
Px dx 型积分 Q x
例 7.计算
2 3x
x 4 dx
2 4
.
解：函数 f z
2 3z
z4
2 4
在上半平面内只有 z
2 i 一个四阶极点， 3
令
2 i a ， z a t 3
则 f z
z4 24 z a z a
4 t a 4 4 4 3 t t 2a
1 a 4 4a 3t 6a 2t 2 4at3 t 3 4 4 3 t 16a 4 32a 3 24a 2t 2 8at3 t 4
1 1 t t2 4 4 2 3 t 16 8a 32a
直接令 e 2i ai z ，则 dz e2i ai 2id ，
于是 tan ia 解： I
1 z 1 . i z 1
1 z 1 1 1 z 1 dz dz c i z 1 2iz 2 c z z 1
应用留数定理，当 a 0 时， I i 当 a 0 时， I i . 5.2 计算
I
2 dz ，其中 a a2 1 ， a a2 1 ， z 1 z z i
1, 1, 1，
应用留数定理得 I
2 a2 1
.
若 Rcos , sin 为 的偶函数，则 Rcos , sin d 之值亦可用上述方法求之，
于是，
设 D 是由复周线 C C0 C1 C2 所构成的有界多连通区域， f z 在 D 内 Cn
解析，在 D D C 上连续，则 f z dz 0 .
c
3.利用柯西积分公式求积分 设区域 D 的边界是周线或复周线 C ，函数 f z 在 D 内解析，在 D D C 上 连续，则有 f z
c
解： y x0 x 1 为从点 0 到点 1 i 的直线方程，于是
x y ix dz x y ix d x iy
2
1i
2
c
0
x x ix 2 d x ix
1 0
1 i i x 2 dx
5.用留数定理计算实积分 某些实的定积分可应用留数定理进行计算， 尤其是对原函数不易直接求得的 定积分和反常积分， 常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线 积分. 5.1 计算 Rcos , sin d 型积分
0 2
令 z ei ，则 cos
2
z z 1 z z 1 dz ， sin ， d ， iz 2 2i
1 0
1 i . 3 2.利用柯西积分定理求积分
柯西积分定理：设 f z 在单连通区域 D 内解析， C 为 D 内任一条周线，则
f z dz 0 .
c
柯西积分定理的等价形式：设 C 是一条周线， D 为 C 之内部， f z 在闭域
D D C 上解析，则 f z dz 0 .
复变函数积分方法的思考总结
钱学森 11 陈海琪 2110405004
摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要 总结归纳求积分的各种方法。其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式 和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍。 关键词：积分，解析，函数，曲线 1.利用定义求积分 例 1、计算积分 x y ix 2 dz ，积分路径 C 是连接由 0 到 1 i 的直线段.
0
因为此时 Rcos , sin d
0
1 Rcos , sin d ，仍然令 z ei . 2
例 6.计算 tan ia d （ a 为实数且 a 0 ）
0
1 e 2i ai 1 分析：因为 tan ia 2i ai ， ie 1
解：被积函数 f z
Re s f z
z 0
5z 2 | 2 z 22 z 0
2 5z 2 Re s f z | z 1 2 | z 1 2 z 1 z z
因此，由留数定理可得
z 2
5z 2 dz 2i 2 2 0 . 2 z z 1
5
另外,若 a 为周线 C 内部一点，则
dz 2i c z a
z a
c
dz
n
0 （ n 1 ，且 n 为整数）.
4.应用留数定理求复积分
f z 在复周线或周线 C 所围的区域 D 内，除 a1 , a2 , an 外解析，在闭域
D D C 上除 a1 , a2 ,an 外连续，则 f z dz 2i Re s f z .
Re s f z
z a
即 Re s f z
z 2 i 3
1 3 32 a 3 1
4
2 3432 3i
2i
3
i 576 6
故
2 3x
x 4 dx
2 4
i . 576 6 288 6
6.级数法计算积分 连续性逐项积分定理:设������ ������ ������ 在曲线C上连续(n=1,2,3…)， 一致收敛于 f z ,则 f z 在曲线C上连续，并且沿C可逐项积分：
解：在|z|< 内，
2 ∞ ������ 1 ������ =−1 ������ =������
1
+
1 1−z 1 ������ 1 1−z
所以
������
(
∞ ������ ������ =−1 ������
������������=
������
（ +
）dz=2π������ +0=2π������