数学的中心、重心、垂心、内心、外心重合
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三角形的“四心”之青柳念文创作所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及心坎.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 暗示.性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O为ABC ∆的外心.二、三角形的心坎定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的心坎，即内切圆圆心.ABC ∆的心坎一般用字母I 暗示，它具有如下性质：性 质：1.心坎到三角形三边等距，且顶点与心坎的连线平分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP +=λ，则动点P的轨迹过ABC ∆的心坎.三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 暗示.性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，知足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，知足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心.四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 暗示.性 质：G 的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的间隔等于它与对边中点的间隔的2倍.即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3CB A GC B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ； （2）)(31PC PB PA PG ++=.。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
三角形的外心内心垂心重心讲课教案
二角形的外心内心垂心重心三角形的四心”所谓三角形的四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心•当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心•一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心• ABC的重心一般用字母0表示.【性质】1. 外心到三顶点等距，即OA OB 0C.2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即卩OD BC,OE AC, OF AB.1 1 13. A —B OC, B -AOC, C - AOB.2 2 2二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.ABC的内心一般用字母I表示.【性质】1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2. 三角形的面积二丄三角形的周长内切圆的半径.23. AE AF, BF BD,CD CE ;AE BF CD三角形的周长的一半.1 1 14. BIC 90 — A, CIA 90 — B，AIB 90 — C.2 2 2二、垂心【定义】二角形二条咼的交点叫重心.ABC 的重心一般用字母H 表示. 【性质】1. 顶点与垂心连线必垂直对边, 即 AH BC, BH AC,CH AB . 24 ABH 的垂心为C ，△ BHC 的 垂心为A , △ ACH 的垂心为B . 四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重心 心一般用字母G 表示. 【性质】1.顶点与重心G 的连线必平分对边2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2倍.即 GA 2GD,GB 2GE,GC 2GF 3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值.4•向量性质：(1) GA GB GC 0 ;三角形四心”的向量形式：结论1:若点0为ABC 所在的平面内一点，满足OA OB OB OC OC 0A ,则点O 为ABC 的垂心.ABC 的重即X GX B X Cy y By c3(2) PG1(PA PB PC) , 5. S BGC 3S CGA S AGB-S ABC -B结论2:若点O为4ABC所在的平面内一点，满足——2 2 2 ——2 2 2OA BC OB CA OC AB ,则点0为ABC的垂心.结论3:若点G满足GA GB GC 0，则点G为ABC的重心.1 ---- ----- ------结论4:若点G为ABC所在的平面内一点，满足OG (OA OB 0C),3则点G为ABC的重心.结论5:若点I为ABC所在的平面内一点，并且满足a IA b IB c IC 0 (其中a,b,c为三角形的三边)，则点I ABC的内心.结论6:若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OA OB) BA (OB OC) CB (OC OA) AC，则点O 为ABC 的外心.——AB AC结论7:设0, ，则向量AP (——r 一)，则动点P的轨迹过ABC|AB| |AC|的内心.向量和“心”、重心”的向量风采【命题11已知G是厶ABC所在平面上的一点，若△ ABC的重心.如图⑴.P 满足Op OA (AB AC)，图⑵A B, C是平面上不共线的三个点，动点(0，)，则P的轨迹一定通过△ ABC的重如图⑵.、垂心”的向量风采通过△ ABC 的垂心.【解析】由题意 A P (A B A C )，当(0,)时，由于BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心,【解析】由题意AP,由于【命题3】P 是△ ABC 所在平面上一点, 若 PA PB PB PC PC PA ，则P 是△ ABC 的垂心. 【解析】由PA PB PBPC , 得 PB (PA PC) PB 丄cA .同理可证PC 丄AB , PA 丄BC .C_____ ->P图⑶【命题4】 已知0是平面上一定点，A B, 定点 (0,)，则动点P 的轨迹一定0 ,即 0 ,所以B••• P 是厶ABC 的垂心.如图⑶.P 满足Op OAACI AC cosCA P 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心，如图 ⑷.二、内心”的向量风米 【命题5】 已知I ABC 所在平面上的一点，且 AB••• bAB cACA C AB A B AC TC I IA B向上的单位向量,••• Al 「与/ BAC 平分线共线，即AI 平分 BAC .同理可证：BI 平分 ABC ，Cl 平分 ACB .从而I 是厶ABC 的内心，如图（5）.B AB.cosB<BC0,即竽匹AB cosBcosC0所以c ， ACBC a .若 al0,则I 是厶ABC 的内心.则由题意得(a b c)iA bAB cAC 0，图⑹二Al分别为A B 和AC 方【命题6】已知0是平面上一定点,'定点A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足oP 0A（0，），则动点P的轨迹一定通过△ ABC的内心.【解析】由题意得AP，•••当（0, ）时，AP 表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ ABC的内心，如图⑹.四、外心”的向量风采【命题7】已知0是△ ABC所在平面上一点，若OA2 0^ 00^，则0 是△ ABC的外心.【解析】若徉0B2 0C2，则0A； l0Bl则0是厶ABC的外心，如图（7）.【命题7】已知0是平面上的一定点, A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足0p严轨迹一定通过△ ABC的外心.AB cosB一，（0，），则动点P的AC cosC练习:【解析】 由于2过BC 的中点,(0,)时,表示垂直于 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上,定通过△ ABC 的外心，如图⑻.1.外心B .内心C . 重心D .垂心O 是平面上^定八、、,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点, ------ 2 ------ 2 ------2OA BCOB—2------ --2------ 2CA OCAB , 则0是 ABC 的（） \.外心B .内心C . 重心D .垂心) A 若 5. A1.已知 ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点 P ，满足PA PB PC 0，若实 数满足：AB AC AP ,则的值为（ A . 2 B. - C . 32D . 62•若 ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为1, OA OB OC 0,贝 UOA OB ()1A . 1B . 0C . 12D .3. 点O 在 ABC 内部且满足OA 2OB 2OC则ABC 面积与凹四边形ABOC 面积之比是（）3A . 0B . —C .2D .4. ABC 的外接圆的圆心为 O , 若 OH OAOB OC ，贝U H 是ABC 的精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢116. ABC 的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,0H m(0A OB OC),则实数m =则厶ABC 为（）A .三边均不相等的三角形 B.直角三角形C .等腰非等边三角形 D.等边三角形——28 .已知 ABC 三个顶点 A 、B 、C ，若 AB AB AC AB CB BC CA ，则ABC 为（）A .等腰三角形 B.等腰直角三角形C .直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C7. （06陕西）已知非零向量AB 与AC 满足（ AB 十 AC |AB| |AC| )BC=0 且 AB • |ABI |AC|。
中考数学三角形中心、外心、内心、重心、旁心知识
三角形五心定理目录三角形五心定理一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
〔重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名〕重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ︰ 1 。
2、重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3 ，〔 Y1+Y2+Y3)/3 。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、假设 O 是△ ABC 的外心，那么∠BOC=2∠ A〔∠ A 为锐角或直角〕或∠ BOC=360°-2∠ A〔∠ A 为钝角〕。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算以下临时变量：d1， d2 ， d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3 ， c2=d1d3 ， c3=d1d2 ； c=c1+c2+c3 。
重心坐标： ( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高〔所在直线〕交于一点，该点叫做三角形的垂心。
三角形,内心、外心、重心、垂心的定义
内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心扫三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
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内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
初中数学 什么是三角形的中心
初中数学什么是三角形的中心
三角形的中心是指三角形内部某个特殊点，它与三角形的顶点和边有一定的关系。
常见的三角形中心有重心、垂心、外心和内心。
下面将介绍这些三角形中心的定义和性质。
1. 重心：
三角形的重心是由三条中线的交点确定的，其中中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。
重心被平分为三个部分，每部分长度等于从重心到对边顶点的距离。
重心与三角形的顶点距离的乘积等于三角形的面积。
2. 垂心：
三角形的垂心是由三条高线的交点确定的，其中高线是从三角形的顶点垂直于对边的线段。
垂心与三个顶点之间的连线构成的三角形，叫做垂心三角形。
垂心到三角形的顶点的距离相等，垂心到对边的距离最短。
3. 外心：
三角形的外心是通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点确定的，垂直平分线是从顶点垂直于对边并平分对边的线段。
外心是三角形内切圆的圆心，也是三角形外接圆的圆心。
外心到三角形的顶点的距离相等，外心到对边的距离最大。
4. 内心：
三角形的内心是通过三角形三个内角的角平分线的交点确定的，角平分线是将角分为两个相等角的线段。
内心是三角形内切圆的圆心，内心到三角形的边的距离相等，内心到三角形的顶点的距离最小。
这些三角形中心点都有一些特殊的性质和应用。
了解和研究这些中心点可以帮助我们更好地理解和解决三角形相关的问题。
中考数学--三角形中心、外心、内心、重心、旁心的知识
三角形五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
高中数学中的平面几何中心概念
高中数学中的平面几何中心概念平面几何是数学中的一门重要分支，而其中的中心概念更是数学研究的核心之一。
在高中数学中，平面几何中心概念的理解与运用对于学生的数学素养和解题能力具有重要的意义。
本文将介绍高中数学中的平面几何中心概念，探讨其特点与应用。
一、重心重心是平面图形的一个重要中心概念，它是平面图形对称轴的交点，并且具有坐标中心平均值的性质。
对于三角形而言，重心是三条中线的交点，称为三角形的重心；对于四边形而言，重心是对角线的交点，称为四边形的重心。
计算重心坐标的方法是将图形中所有点的对应坐标相加再取平均值，即重心的横坐标等于所有点的横坐标之和除以点的个数，纵坐标同理。
二、垂心垂心是三角形的一个重要中心概念，它是三角形三条高线的交点，并且具有同时到达三个顶点的特点。
垂心与重心的不同之处在于，垂心的坐标为三个顶点坐标的对应值之和。
在解决与垂心相关的问题时，我们可以利用垂心与顶点构成的垂直关系，来推导解决一些问题。
三、外心外心是三角形的一个重要中心概念，它是三角形三条边的垂直平分线的交点，并且具有同时到达三个顶点的特点。
外心的坐标可以通过求三角形三个顶点的中垂线的交点坐标来得到。
外心是一个圆心，称为三角形的外接圆心，外接圆的半径等于外心到顶点的距离。
四、内心内心是三角形的一个重要中心概念，它是三角形三条角平分线的交点，并且具有到达三个顶点的特点。
与外心不同的是，内心的坐标为角的对应点之和。
内心与角平分线的关系可以帮助我们解决一些与角度相关的问题，如角度的大小比较和证明。
五、三角形的矩心三角形的矩心是三角形三个顶点坐标的算术平均数，即三个顶点各个坐标之和除以3。
这种求矩心坐标的方法比较简单直接，具有直观性和易于计算的特点。
总结起来，高中数学中的平面几何中心概念有重心、垂心、外心、内心和矩心。
这些中心概念在解决与平面几何相关的问题时起到了重要的作用。
对于学生而言，理解这些概念的含义和性质，能够帮助他们更好地理解平面几何知识，提高解题的准确度和效率。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
（2）三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
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三角形的重心：含义：是三角形三条中线的交点。
性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)
在空间直角坐标系中，横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点
三角形的外心：含义：是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
4.OA=OB=OC=R
5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
6.S△ABC=abc/4R
三角形的内心：含义：是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
3.r=2S/(a+b+c)
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
三角形的垂心：含义：是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF
5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC
8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之
和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
10.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
☆：在正三角形中,中心、重心、垂心、内心、外心重合。