2020-2021学年上海市松江区高一下学期期末考试数学试卷及解析
2020-2021学年上海市静安区高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共3小题，共15.0分）1. 已知复数z 1、z 2，则“z 1z 2=0”是“z 1=0或z 2=0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 若0<α<2π，则使sinα<√32和cosα>12同时成立的α的取值范围是( )A. (−π3,π3) B. (0,π3)C. (5π3,2π)D. (0,π3)∪(5π3,2π)3. 若e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是平面内向量的一组基底，则下面的向量中不能作为一组基底的是( )A. e 1−+e 2−和e 1−−e 2−B. 3e 1−−2e 2−和−6e 1−+4e 2−C. e 1−+3e 2−和3e 1−+e 2−D. e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 和e 2⃗⃗⃗二、单空题（本大题共10小题，共50.0分）4. 函数y =x 2sin(x +π2)的奇偶性是______． 5. 已知tanα=−34，则tan(α+π4)=______．6. 复数z =(1−3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为______ ．7. 已知平面向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,2)，设向量c ⃗ =a ⃗ +(a ⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则c ⃗ = ______ ． 8. 设向量a ⃗ ,b ⃗ 满足a ⃗ =(2,1)，|b ⃗ | =2√5，且b ⃗ 与a ⃗ 的方向相反，则b ⃗ 的坐标为______ ． 9. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(0,−2)，若(2a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数m = ______ ． 10. 函数y =1−cosx sinx的最小正周期是______ ．11. 已知cosx =−35，x ∈[0,π]，则满足条件的x = ______ .(结果用反三角记号表示)12. 若α为第三象限的角，则√1−cos2αsinα−√1+cos2αcosα=______．13. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tanA−tanB tanA+tanB =c−b c，则cosA =______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）14. 设z 是实系数一元二次方程x 2−2x +2=0的根．(1)求出所有z ；(2)选取(1)中求出的一个z 值，计算z 2−z+1z 2+z+1的值．15.用“五点法”作出函数y=1−sinx，x∈[0,2π]的大致图象，并写出使得1≤y≤2的x的取值范围．16.求函数y=2√3cos2x2+2sin x2cos x2−√3的值域与单调增区间．17.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且(2a⃗+b⃗ )⋅(4a⃗−3b⃗ )=−6．(1)求向量a⃗与b⃗ 的夹角大小；(2)求|a⃗−2b⃗ |．18.随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是：将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角．(1)请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；(2)为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设：假设1：家具呈长方体的形状：假设2：转角两侧的过道宽度相同：假设3：墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4：家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直：假设5：过道的转角为直角：假设6：忽略家具转动时家具与墙壁、地面的摩擦影响；等等．根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内答案和解析1.【答案】C【解析】解：①若z1=0或z2=0，则z1z2=0，②若z1z2=0，设z1=a+bi，z2=c+di，(a,b，c，d∈R)，∴z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i=0，∴{ac−bd=0ad+bc=0，∴a2+b2=0或c2+d2=0，∴a=b=0或c=d=0，∴z1=0或z2=0，∴z1z2=0是z1=0或z2=0的充要条件，故选：C．利用复数的运算，结合充要条件的判断方法，即可得到答案．本题考查充要条件的判断，复数的运算法则，属于中档题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数的单调性，属于中档题．根据正弦函数和余弦函数的单调性分别求得在0<α<2π，满足已知条件α的范围，最后取交集即可．【解答】解：∵0<α<2π，sinα<√32，∴0<α<π3或2π3<α<2π，①∵0<α<2π，cosα>12，∴0<α<π3或5π3<α<2π，②由①②得0<α<π3或5π3<α<2π，故选：D．3.【答案】B【解析】解：选项A：不存在实数λ使得e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ =λ(e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )，故可以作为一组基底，故A错误，选项B：因为3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ =−12(−6e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ )，所以向量共线，不能作为一组基底，故B 正确，选项C与选项D，根据向量共线定理可得向量不共线，故可以作为一组基底，故C，D 错误，故选：B．根据向量共线定理对应各个选项逐个判断即可求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量共线定理的应用，属于基础题．4.【答案】偶函数【解析】解：根据题意，设f(x)=x2sin(x+π2)=x2cosx，其定义域为R，f(−x)=(−x)2cos(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，故答案为：偶函数．根据题意，将函数的解析式变形为f(x)=x2cosx，分析函数定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．5.【答案】17【解析】解：由tanα=−34，得tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11−(−34)×1=17．故答案为：17．故答案为：17．直接利用两角和的正切求解．本题考查两角和的正切，是基础的计算题．6.【答案】−6【解析】解：z=(1−3i)2=1−9−6i=−8−6i，则z的虚部为−6，故答案为：−6．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】(−4,16)【解析】解：∵a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,2)，∴c⃗=a⃗+(a⃗⋅b⃗ )b⃗ =(2,4)+(−2+8)(−1,2)= (−4,16)，故答案为：(−4,16)．由平面向量a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,2)代入c⃗=a⃗+(a⃗⋅b⃗ )b⃗ 计算即可．本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．8.【答案】(−4,−2)⃗⃗⃗⃗⃗ =√22+12=√5【解析】解：∵a⃗=(2,1)，∴|a|⃗⃗⃗⃗⃗ ，且b⃗ 与a⃗的方向相反，又∵|b⃗ | =2√5=2|a|∴b⃗ =−2a⃗=−2(2,1)=(−4,−2)故答案为：(−4,−2)⃗⃗⃗⃗⃗ =√5，再根据b⃗ 与a⃗的方向相反且b⃗ 模是与a⃗模的2倍，所以由向量模的公式，计算出|a|b⃗ =−2a⃗，可得b⃗ 的坐标．本题给出向量a⃗的坐标，b⃗ 与a⃗的方向相反且长度是a⃗的2倍，求向量b⃗ 的坐标，着重考查了平面向量的模的公式和坐标的线性运算的知识，属于基础题．9.【答案】−1【解析】解：∵向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(0,−2)，(2a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=2×(0−2m)−4=0，求得m=−1，故答案为：−1．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．10.【答案】2π【解析】解：y =1−cosx sinx=2sin 2x 22sin x 2cosx 2=tan x2∵此函数的最小正周期为π12=2π 故答案为2π先利用二倍角公式将已知函数化简为y =Atanωx 型函数，再利用y =Atanωx 型函数周期计算公式即可得函数的最小正周期本题主要考查了三角变换公式在三角化简和求值中的应用，y =Atanωx 型函数的图象和性质，属基础题11.【答案】π−arccos 35【解析】解：∵cosx =−35,x ∈[0,π]， 满足条件的x 为钝角，∴x =arccos(−35)=π−arccos 35， 故答案为：π−arccos 35．由题意利用反余弦函数的定义性质，得出结论． 本题主要考查反余弦函数的定义性质，属于基础题．12.【答案】0【解析】解：由二倍角公式可得，1+cos2α=2cos 2α，1−cos2α=2sin 2α， ∵α为第三象限的角， ∴√1−cos2αsinα−√1+cos2αcosα=−√2sinαsinα−(−√2cosα)cosα=0．故答案为：0．根据已知条件，结合二倍角公式，即可求解．本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键，属于基础题．13.【答案】12【解析】解：因为tanA−tanBtanA+tanB =c−bc，所以可得2tanBtanA+tanB =bc，由正弦定理可得2tanBtanA+tanB=sinBsinC，则2sinBcosB ⋅sinC=(sinAcosA+sinBcosB)⋅sinB，又sinB≠0，整理可得2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB，即2sinCcosA=sin(A+B)=sinC，因为sinC≠0，所以可得cosA=12．故答案为：12．利用三角函数恒等变换以及正弦定理化简已知等式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．14.【答案】解：(1)x2−2x+2=0，可得(x−1)2=−1，解得z=1+i；z=1−i，(2)z=1+i时，原式z2−z+1z2+z+1=2i−1−i+12i+1+i+1=i(2−3i)(2+3i)(2−3i)=313+213i；z=1−i时，z2−z+1z2+z+1=−2i−1+i+1−2i+1−i+1=−i2−3i=−i(2+3i)(2−3i)(2+3i)=313−213i．【解析】(1)利用实系数方程求解复数根即可．(2)代入复数，化简求解即可．本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，是基础题．15.【答案】解：用“五点法”作出函数y=1−2sinx，x∈[0,2π]的简图如下：列表为：描点连线，可得函数图象如下：观察函数图像，可得使得1≤y≤2的x的取值范围为：{0}∪[π,2π]．【解析】用五点作图法画出函数图象，观察图象，即可写出满足条件的x的区间．本题考查了正弦函数的图象，考查了五点作图法，数形结合思想是高中重要的一种思想，应熟练灵活掌握，属于基础题．16.【答案】解：函数y=2√3cos2x2+2sin x2cos x2−√3=√3(1+cosx)+sinx−√3=2sin(x+π3)，因为sin(x+π3)∈[−1,1]，所以y∈[−2,2]，故函数的值域为[−2,2]，令−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπk∈Z，故函数的增区间为[−5π6+2kπ,π6+2kπ]，k∈Z．【解析】先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，然后由正弦函数的有界性以及单调性求解即可．本题考查了三角函数的图象和性质，二倍角公式以及辅助角公式，三角函数有界性以及单调性，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且(2a⃗+b⃗ )⋅(4a⃗−3b⃗ )=−6．可得8a⃗2−2a⃗⋅b⃗ −3b⃗ 2=−6，8−2×1×2×cos<a⃗⋅b⃗ >−12=−6，即cos<a⃗,b⃗ >=12，所以向量a⃗与b⃗ 的夹角大小为：π3；(2)|a⃗−2b⃗ |=√a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√1−4×1×2×12+4×4=√13．【解析】(1)利用已知条件，结合向量的数量积，转化求解向量的夹角即可．(2)利用向量的模的运算法则，转化求解即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的夹角以及向量的模的求法，是基础题．18.【答案】解：(1)提出的问题为：如下图，在不同的角度θ(∠DON)下，求l的最小值，这就是能通过的家具长的最大值，请你求矩形的长l与角度θ的函数关系式l=f(θ)，并对d=2，ℎ=1时，求这个函数l=f(θ)的最小值．(2)画出搬运家具时一个转角过道的示意图，如图所示：右图可知，lcosθ+ℎsinθ=d+d−ℎcosθtanθ(0<θ<π2)，所以l=d−ℎsinθcosθ+d−ℎcosθsinθ(0<θ<π2)，故矩形的长l与角度θ的函数关系式为l=d−ℎsinθcosθ+d−ℎcosθsinθ(0<θ<π2)，当d=2，ℎ=1时，l=2−sinθcosθ+2−1cosθsinθ(0<θ<π2)，所以l′=−cosθcosθ−(−sinθ)(2−sinθ)cos2θ+sin2θ−cosθ(2−cosθ)sin2θ=2sinθ−1cos2θ+1−2cosθsin2θ=(2sinθ−1)sin2θ+(1−2cosθ)cos2θcos2θsin2θ=2(sin3θ−cos3θ)−(sin2θ−cos2θ)cos2θsin2θ=2(sinθ−cosθ)(1+sinθcosθ)−(sinθ−cosθ)(sinθ+cosθ)cos2θsin2θ=(sinθ−cosθ)(2sin2θ+2sinθcosθ+2cos2θ−sinθ−cosθ)cos2θsin2θ=(sinθ−cosθ)(2+2sinθcosθ−sinθ−cosθ)cos2θsin2θ，因为0<θ<π2，则0<sinθ<1，0<cosθ<1，所以2−sinθ−cosθ>0，sinθcosθ>0，故2+2sinθcosθ−sinθ−cosθcos2θsin2θ>0，由l′>0，即sinθ−cosθ>0，解得π4<θ<π2，由l′<0，即sinθ−cosθ<0，解得0<θ<π4，所以l在(0,π4)上单调递减，在(π4,π2)上单调递增，故当θ=π4时，l取得最小值为2−sinπ4cosπ4+2−cosπ4sinπ4=(2−√22)×√2(2−√22)√2=4√2−2，所以当d=2，ℎ=1时，函数ℎ=f(θ)的最小值为4√2−2．【解析】(1)作出图形，提出问题即可；(2)利用三角函数的知识结合题中的等量关系，求出矩形的长l与角度θ的函数关系式l= f(θ)，然后由导数求解函数的最值即可．本题考查了函数模型的旋转应用，开放性问题对学生的能力要求较高，涉及了三角函数的化简，三角恒等变换的应用，利用导数研究函数的单调性与最值问题，综合性强，考查了逻辑推理能力、化简运算能力，属于难题．第11页，共11页。
上海市松江区2020-2021学年高一上学期期末质量监控数学试题
上海市松江区【最新】高一上学期期末质量监控数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知全集={13579}U ，，，， ，集合A={579}，，，则A=U C ____________ 2．函数y =_____________ ．3．函数2(0)y x x =≥的反函数是____________4．不等式11x≥的解集为____________ 5．用“二分法”求函数3()25f x x x =--在区间(2,3)内的零点时，取(2,3)的中点1 2.5x =，则()f x 的下一个有零点的区间是____________6．命题“若a b >，则22a b >”，能说明该命题为假命题的一组,a b 的值依次为________ 7．已知3log 2m =，则32log 18=____________（用m 表示）8．函数19()(19)f x log x =-的值域为____________9．已知函数()()f x x R ∈，若函数(+2)f x 过点12-（，），那么函数|()|y f x =一定经过点____________10．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则((3))f g -=____________11．已知34,1()3,1x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩,若a b <，()()f a f b =，则3a b +的取值范围是_________12．函数())329lg 3081x x x x f x ++=+的最大值与最小值之和为________.二、单选题13．若函数()y f x =的图像位于第一、二象限，则它的反函数1()y f x -=的图像位于（ ）A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第二、三象限D ．第一、四象限A ．1y x =B ．1ln 1x y x -=+C ．||y x x =-D ．3x y -=15．已知m n R ∈、，原命题是“若0>+n m ，则mn 、中至少有一个不小于0”，那么原命题与其逆命题依次是（ ）A ．真命题、假命题B ．假命题、真命题C ．真命题、真命题D ．假命题、假命题16．已知a >0,b >0，则“2018a +2019b +12018a +12019b=4”是“(2018a +2019b)(12018a +12019b )=4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件三、解答题 17．已知函数()|1|f x x =-，x ∈R ，A={|?()1>0}x f x -，3B={|?<0}+2x x x -. （1）求集合A B（2）若0a ≠，比较2[(21)]f a +与2[(1)]f a -的大小18．已知1a >，函数：11()x x f x a a +-=-（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）判断函数()f x 的单调性，并证明.19．把一段底面直径为40厘米的圆柱形木料据成横截面为矩形的木料，该矩形的一条边长是x 厘米，另一条边长是y 厘米.（1）试用解析式将y 表示成x 的函数，并写出函数的定义域；（2）若该圆柱形木料长为100厘米，则怎样据才能使矩形木料的体积最大？并求出体积的最大值.20．已知函数()1f x a x x =++. x ∈R（1）若()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，作出函数()f x 的图像，并解不等式：2(1)(1)f x f x ->+；（3）若函数()g x 与()f x 的图像关于(0,0)对称，且任意12x x R ∈、，都有1122[()()][()()]0f x g x f x g x -->，求实数a 的取值范围.21．已知函数f(x)=2x+a x+2. a 为实数，且x n+1=f(x n )(x n ≠−2,n ∈N ∗)，记由所有x n 组（1）已知x1=1,x3=3，求x2；（2）对任意的x∈[16,1]，f(x)<1x恒成立，求a的取值范围；（3）若x1=1，a>1，判断数集E中是否存在最大的项？若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由.参考答案1．{}1,3【分析】由A,B 结合补集的定义,求解即可.【详解】结合集合补集计算方法,得到{}1,3U C A =【点睛】本道题考查了补集计算方法,难度较容易.2．{x ∣x≤-1或x≥1}【解析】试题分析：由210x -≥解得x≤-1或x≥1，所以函数y {x ∣x≤-1或x≥1} ． 考点：本题主要考查函数定义域求法．点评：小综合题，求函数的定义域，往往要建立不等式组，依据是“分母不为0，偶次根号下式子不小于0，对数的真数大于0”等等．3．)0y x =≥ 【分析】反函数，即利用y 表示x ，即可．【详解】由2y x =,解得x =x,y 得到反函数()0y x =≥【点睛】本道题考查了反函数的计算方法，抓住用y 表示x ，即可，属于较容易题．4．(]0,1【分析】结合不等式的性质，移项，计算x 的范围，即可．【详解】结合不等式，可知0x >，对不等式移项，得到1x ≤，所以x 的范围为(]0,1【点睛】本道题考查了分式不等式计算方法，属于较容易的题．5．()2,2.5【解析】【分析】如果()()0f a f b <则说明零点在(),a b 之间，即可。
上海市松江区2020-2021学年数学高考二模卷详解版
松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）2021.4考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知集合{11},{1,2,3},A x x B =-<=‖∣则A B = ．2.若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（i 为虚数单位),则z =．3.已知向量(4,2),(,2)a b k =-= ，若a b ⊥ ，则实数k =．4.在6(2)x +的二项展开式中，3x 项的系数为．（结果用数值表示）5.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111A C B D F = ，若1AF xAB y AD z AA =++ ，则x y z ++=．6.若函数()f x x a =-的反函数的图像经过点(2,1)，则a =．7.已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为．8.因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为．9.已知函数tan 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且||1,ω≤则实数ω的值为．10.如图，已知AB 是边长为1的正六边形的一条边，点P 在正六边形内(含边界),则AP BP ⋅ 的取值范围是．11.已知曲线C :2(12)xy x =≤≤,若对于曲线C 上的任意一点(,),P x y 都有()()120,x y c x y c ++++≤则12c c -的最小值为．12.在数列{}n a 中，111233,1,n n a a a a a a +==+⋅⋅ 记n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则lim n n T →∞=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.经过点()1,1，且方向向量为()1,2的直线方程是（）A.210x y --=B.230x y +-=C.210x y -+=D.230x y +-=14.设,αβ表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且,l α⊂则//l β是//αβ的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知实数a 、b 满足(2)(1)8a b ++=,有结论:①存在0,0a b >>，使得ab 取到最小值；②存在0,0a b <<，使得a b +取到最小值.正确的判断是（)A.①成立，②成立B.①不成立，②不成立C.①成立，②不成立D.①不成立，②成立16.已知函数1()|2|.f x x a x=+-若存在相异的实数12,(,0),x x ∈-∞使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围为（)A.2,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭B.(,-∞C.2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.)+∞三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图,S 是圆雉的顶点,O 是底面圆的圆心,,AB CD 是底面圆的两条直径，且AB CD ⊥,4,2,SO OB P ==为SB 的中点.（1）求异面直线SA 与PD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示);（2）求点S 到平面PCD 的距离.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()22(x x f x a a -=+⋅为常数，)a R ∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性;（2）当()f x 为偶函数时，若方程(2)()3f x k f x -⋅=在[0,1]x ∈上有实根，求实数k 的取值范围。
期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)
高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>5．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，6．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．59．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________ 14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______. 18．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.19．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域;(2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值2，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？ 25．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅-- 26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞； 对于D ：0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．D解析：D试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.6．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A8．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
上海市松江区新桥中学2020-2021学年高二数学文下学期期末试题含解析
上海市松江区新桥中学2020-2021学年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数则等于（）A．2009 B．2010 C．2011D．2012参考答案：C略2. 直线的倾斜角是（）．A．B．C．D．参考答案：B解：直线为，倾斜角，，故选．3. 梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直视图，若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则原图ABCD的面积是（）A．10 B．5C． D．参考答案：B4. 在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：C5. 已知，且，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：C6. 函数的图象大致为A B C D参考答案：C7. 设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0D．若方程x2=m没有实根，则m＜0参考答案：D【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m＜0”，故选：D【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．8. 等比数列中，，，则等于（ )A. B. C. D.参考答案：A略9. 已知椭圆C1：（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P 所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出简图，则＞，则e=．【解答】解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选A．【点评】本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．10. 已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程必过点A．(2,2) B．(1,2) C．(1.5,0) D．(1.5,5)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若变量x，y满足约束条件的最大值= ．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z 经过点A （2，﹣1）时，直线的截距最大， 此时z 最大， 此时z=3， 故答案为：3；12. 两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________.参考答案：【分析】设两球的半径分别为，根据列出关于，的方程组，解出方程组，根据球的体积公式可得结果.【详解】设两球的半径分别为， ∵两个球的半径相差1，表面积之差为， ∴，，解得，，∴它们的体积和为，故答案为.【点睛】本题主要考查了球的体积公式的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题. 13. 已知直线，则两平行直线间的距离为.参考答案：14. 用秦九韶算法计算多项式f （x ）=12+35x ﹣8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6在x=﹣4时的值时，V 3的值为 ．参考答案：﹣57【考点】秦九韶算法．【分析】首先把一个n 次多项式f （x ）写成（…（（a[n]x+a[n ﹣1]）x+a[n ﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n 次多项式f （x ）的值就转化为求n 个一次多项式的值，求出V 3的值． 【解答】解：∵f（x ）=12+35x ﹣8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6 =（（3x+5）x+6）x+79）x ﹣8）x+35）x+12， ∴v 0=a 6=3，v 1=v 0x+a 5=3×（﹣4）+5=﹣7， v 2=v 1x+a 4=﹣7×（﹣4）+6=34， v 3=v 2x+a 3=34×（﹣4）+79=﹣57， ∴V 3的值为﹣57；故答案为：﹣57．15. 如图所示，输出的值为 ．参考答案：16. 如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=﹣x+8，则f （5）+f ′（5）= ．参考答案：2参考答案：【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1，S=1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=，n=2；当n=2，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=，n=3；当n=3，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=，n=4；当n=4，S=时，满足退出循环的条件，故输出的S的值为：，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
专题07 (基本立体图形)(解析版)-2020-2021学年高一数学下学期期末考试考前必刷题
2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 07（基本立体图形）试卷满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．（2021·全国高一课时练习）下面四个几何体中，是棱台的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，观察可得答案.【详解】A 项中的几何体是棱柱．B 项中的几何体是棱锥；D 项中的几何体的棱AA ′，BB ′，CC ′，DD ′没有交于一点，则D 项中的几何体不是棱台； C 项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．故选：C2．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高一月考）如图，已知等腰三角形O A B '''△，OA AB ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ．【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以O A A B ''''==，所以原平面图形为：且2OB O B ''==，OA OB ⊥，2OA O A ''==所以原平面图形的面积是122⨯⨯=， 故选：D3．（2020·陕西西安市第三中学高一月考）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】由圆锥侧面展开所得扇形的弧长与底面周长相等可得圆锥母线与底面半径的数量关系，即可求轴截面底角的大小.【详解】若圆锥如下图所示，则侧面展开图半圆的半径R PA PB ==，底面半径r OA OB ==，由题意知：1222R r ππ⨯=，即2R r =， ∴轴截面对应等腰三角形的底角1cos 2OB r PBA PB R ∠===， ∴60PBA ∠=︒，故选：C4．（2020·四川省广元市八二一中学高一月考）某数学小组进行“数学建模”社会实践调查.他们在调查过程中将一实际问题建立起数学模型，现展示如下：四个形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口容器，如图所示.盛满液体后倒出一半，设剩余液体的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h .则它们的大小关系正确的是（ ）A ．214h h h >>B ．123h h h >>C ．324h h h >>D ．241h h h >>【答案】A【分析】可根据几何体的图形特征，结合题目，选择答案.【详解】观察图形可知体积减少一半后剩余就的高度最高为2h ，最低为4h .故选：A【点睛】本题考查旋转体的结构特征，属于基础题.5．（2020·山东德州市·高一期末）一个正三棱锥的底面边长是6（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】D【分析】画出正三棱锥A BCD -的图像，得到底面正三角形的中心O 到正三角形的CD 的距离，再利用勾股定理求斜高即可.【详解】正三棱锥A BCD -的底面边长6BC CD DB ===,高AO =所以底面正三角形的中心O 到正三角形的CD 的距离为1623OH =⨯=故正三棱锥的斜高3AH ==；故选：D.6．（2020·全国高一单元测试）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的侧棱最长的是（ ）A ．2B C D ．【答案】C【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解棱锥最长的棱长即可．【详解】由三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，取AB 的中点O ，则OC AB ⊥，易知2AB OC ==，1PC =，又PC ⊥底面ABC ，所以PC BC ⊥，从而最长棱为PA 和PB ，=．故选：C ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的几何量，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．关键在于根据三视图还原出几何体的形状，画出直观图，并分析几何体的结构特征.7．（2020·南阳市第四中学高一月考）给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】利用底面为菱形的直四棱柱可判断①的正误；利用底面为等腰梯形的直四棱柱可判断②的正误；利用正六棱锥的几何特征可判断③的正误；取长、宽、高都不相等的长方体可判断④的正误.【详解】对于①，底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱满足条件，但它不是正棱柱，①错误； 对于②，底面为等腰梯形的直四棱柱的对角面全等，但它不是长方体，②错误； 对于③，如下图所示：在正六棱锥P ABCDEF -中，六边形ABCDEF 为正六边形，设O 为正六边形的中心，则PO ⊥平面ABCDEF ，OA ⊂平面ABCDEF ，则PO OA ⊥，由正六边形的几何性质可知，OAB 为等边三角形，则AB OA =，PA OA ∴>，③错误；对于④，在长方体1111ABCD A BC D -中，若AB 、AD 、1AA 的长两两不相等， 则长方体1111ABCD A BC D -不是正四棱柱，④错误.故选：A.8．（2020·武汉市钢城第四中学高一月考）小蚂蚁的家住在长方体1111ABCD A BC D -的A 处，小蚂蚁的奶奶家住在1C 处，三条棱长分别是12AA =，3AB =，4=AD ，小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家1C 的最短距离是（ ）A B ． C D 【答案】D【分析】根据题意知蚂蚁所走的路线有三种情况，利用勾股定理能求出小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家1C 的最短距离．【详解】解：根据题意知：蚂蚁所走的路线有三种情况，如下图所示①②③，由勾股定理得：图①中，1AC =图②中，1AC ==图③中，1AC故小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家1C 故选：D ．【点睛】本题考查最短距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．（2020·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高一月考）已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是A ．圆锥的高为1B ．三角形PAB 为等边三角形C ．三角形PABD ．直线PA 与圆锥底面所成角的大小为π6 【答案】AD【分析】根据圆锥的性质判断各选项．【详解】由题意圆锥的高为1h ===，A 正确；PAB △中PA PB =是母线长，AB 是底面圆的一条弦，与PA 不一定相等，B 错；当PAB △是轴截面时，cos PAB ∠=，30PAB ∠=︒，则120APB ∠=︒，当,A B 在底面圆上运动时，21sin 2sin 22PAB S PA APB APB =∠=∠≤△，当且仅当90PB ∠=︒时取等号．即PAB △面积最大值为2．C 错；设底面圆圆心为O ，则PAO ∠为PA 与底面所成的角，易知cos 26PAO PAO π∠=∠=，D 正确． 故选：AD ．本题考查圆锥的性质，圆锥的轴截面是等腰三角形，腰即为圆锥的母线，底为底面直径，轴截面的高即为圆锥的高.10．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）下列命题中正确的有A ．空间内三点确定一个平面B ．棱柱的侧面一定是平行四边形C ．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D ．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内【答案】BC【分析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，要强调该三点不在同一直线上，故A 错误；对于B 选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B 正确；对于C 选项，可用反证法证明，故C 正确；对于D 选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D 错误.故选：BC.【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，考查棱柱的定义，属于基础题.11．（2020·全国高一课时练习）长方体1111ABCD A BC D 的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ）A ．长方体的表面积为20B ．长方体的体积为6C ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为D ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为【答案】BC【分析】由题意，可利用柱体体积公式和多面体表面积公式进行计算，沿表面最短距离可将临近两个面侧面展开图去计算，即可求解正确答案.长方体的表面积为2(323121)22⨯⨯+⨯+⨯=，A 错误.长方体的体积为3216⨯⨯=，B 正确.如图（1）所示，长方体1111ABCD A BC D -中，3AB =，2BC =，11BB =.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面11ABB A 和侧面11BCC B 展开，则有1AC ==，即经过侧面11ABB A 和侧面11BCC B如图（3）所示，将侧面11ABB A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==过侧面11ABB A 和底面1111D C B A 时的最短距离是4）所示，将侧面11ADD A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==11ADD A 和底面1111D C B A 时的最短距离是因为<，所以沿长方体表面由A 到1C 的最短距离是C 正确，D 不正确.故选：BC .【点睛】本题考查长方体体积公式、表面积公式和沿表面的最短距离，考查空间想象能力，属于基础题.12．（2020·瓦房店市高级中学高一期末）如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A BC D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值【答案】AD【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB 始终在桌面上），可得结论．【详解】由于AB 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正确；图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错；图（3）中11AC 与水面就不平行，C 错；图（3）中，水体积不变，因此AEH △面积不变，从而AE AH ⋅为定值，D 正确． 故选：AD ．【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（2020·浙江高一期末）如果用半径为R =个圆锥筒的高是___________.【答案】3【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高.【详解】半径为R =，圆锥的底面圆的周长为，3=，故答案为：3.14．（2020·河南）若正三棱锥A BCD -的侧棱长为8，底面边长为4，E ，F 分别为AC ，AD 上的动点（如图），则截面BEF 的周长最小值为______．【答案】11【分析】将正三棱锥A BCD -的侧面沿AB 剪开，然后展开'BB 即为所求，然后利用相似，分别求得BE ，EF ，'FB 即可.【详解】正三棱锥A BCD -的侧面展开图如图，由平面几何知识可得//BB CD '，所以BEC ECD ACB ∠=∠=∠，所以BE =BC =4，BCE ABC ∽， 所以CE BC BC AB =．即448CE =， 所以2CE =，所以6AE =， 又34EF AE CD AC ==， 解得3EF =．所以截面BEF 的周长最小值为：''BB BE EF FB =++=43411++=．故答案为：1115．（2020·浙江杭州市·高一期末）正方体1111ABCD A BC D -中，棱长为2，E 是线段1CD 上的动点，则||||AE DE +的最小值是_______．【分析】在正方体中，由图形可知||||,||||AE AP DE DP ≥≥，且当,E P 重合时，等号同时成立，即可求解.【详解】如图，取1CD 的中点为P ,连接AP ，DP则由1AC AD =，1DC DD =知，1AP CD ⊥, 1DP CD ⊥,所以||||,||||AE AP DE DP ≥≥，所以||||||||AE DE AP DP +≥+，在正方体中，棱长为2，所以2AP ==, 122DP ==故当E 在线段1CD 上运动，E 与P 重合时，||||AE DE +【点睛】关键点点睛：根据图象可知，当E 在线段1CD 上运动时，垂线段最短，可得||||AE AP ≥，同理，当E 在线段1CD 上运动时，||||DE DP ≥，且当E 与P 重合时等号同时成立. 16．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是______．【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A 到C 的直线距离，根据已知条件、余弦定理可求出最短距离.【详解】圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧AB 长为122ππ⨯=，∴3AVB π∠=，则3AVC π∠=， 由余弦定理可知22212cos 9123172AC VA VC VA VC AVC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，AC =四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．（2020·全国高一单元测试）画出图中水平放置的四边形ABCD 的直观图.【答案】图见解析.【分析】在四边形ABCD 中，过A 作出x 轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.【详解】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A 、C 在对应点1(3,1),(0,)2A C ''，而B 、D 对应点,B D ''位置不变，如下图示：18．（2020·福建漳州市·高一期末）已知球O 的半径为5.（1）求球O 的表面积；（2）若球O 有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.【答案】（1）100π；（2）1或7.【分析】（1）利用球的表面积公式计算即可；（2）先求球心到两个截面的距离，再计算即可.【详解】解：（1）因为球O 的半径为5R =，所以球O 的表面积为24100S R ππ==.（2）设两个半径分别为13r =和24r =的平行截面的圆心分别为1O 和2O ，所以14OO ===，所以23OO ===， 所以1212347O OO OO O =+=+=， 或1122431O OO OO O =-=-=，所以两个截面之间的距离为1或7.【点睛】本题考查了球的表面积和截面问题，属于基础题.19．（2020·河北沧州市一中高一月考）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，14AA =，M 为1AA 的中点，P 是BC 上的一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到M 的最.设这条最短路线与1CC 的交点为N ，求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；（2）PC 和NC 的长.【答案】（1（2）PC 的长为2，NC 的长为45. 【分析】（1）由展开图为矩形，用勾股定理求出对角线长；（2）在侧面展开图中三角形MAP 是直角三角形，可以求出线段AP 的长度，进而可以求PC 的长度，再由相似比可以求出CN 的长度.【详解】（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为339⨯=的矩形，=（2）将该三棱柱的侧面沿棱1BB 展开，如图所示.设PC 的长为x ，则222()MP MA AC x =++.因为MP =2MA =，3AC =，所以2x =(负值舍去)，即PC 的长为2.又因为//NC AM ， 所以PC NC PA AM =，即252NC =， 所以45NC =. 【点睛】 本题考查求侧面展开图的对角线长，以及三棱柱中的线段长，熟记三棱柱的结构特征即可，属于常考题型.20．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高一月考）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;（2.求圆柱的表面积.【答案】（1）π （2）(2π+【分析】（1）由圆锥侧面展开图的定义计算；（2）由圆锥截面性质，在轴截面中得到相似三角形，由比例性质可得圆柱的底面半径后可得圆柱表面积．【详解】（1）244r l ππαπ=== （2）如图所示，设圆锥的底面半径为R ,圆柱的底面半径为r ，表面积为S ,则2,4,R OC AC AO =====易知AEB AOC ∆∆AE EBAO OC ∴=,12r r =∴= 222,223S r S r h ππππ====底侧(22S S S ππ∴=+=+=+底侧【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，考查圆柱表面积，考查圆锥的内接圆柱性质．解题关键是掌握圆锥平行于底面的截面的性质．21．（2020·全国高一课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是11A B ，11AC 的中点，连接,,BE EF FC ，试判断几何体1A EF ABC -是什么几何体，并指出它的底面与侧面.【答案】几何体1A EF ABC -是三棱台.面ABC 是下底面，面1A EF 是上底面，面1ABEA ，面BCFE 和面1ACFA 是侧面【分析】根据题意以及三棱台的结构特征，可以猜想几何体1A EF ABC -是三棱台，再根据三棱台的定义证明即可，然后由三棱台定义可指出它的底面与侧面．【详解】,E F 分别是1111,A B AC 的中点，且11A B AB =，11ACAC =，11B C BC =， 1112A E A F EF AB AC BC ∴===.1~A EF ABC ∴，且1,,AA BE CF 延长后交于一点.又面111A B C 与面ABC 平行，∴几何体1A EF ABC -是三棱台.其中面ABC 是下底面，面1A EF 是上底面，面1ABEA ，面BCFE 和面1ACFA是侧面. 【点睛】本题主要考查三棱台的结构特征，以及利用三棱台定义判断几何体的形状，属于基础题． 22．（2020·全国）在正三棱台111ABC A B C -中，已知10AB =，棱台一个侧面梯形的面积，1,O O 分别为上、下底面正三角形的中心，连接11AO ，AO 并延长，分别交11B C ，BC 于点1D ，D ，160D DA ︒∠=，求上底面的边长.【答案】【分析】由题意，可设上底面边长为x ，利用题中所给侧面梯形面积列方程，求x 值即可.【详解】10AB =，2AD AB ∴==133OD AD ==.设上底面的边长为(0)x x >，则116O D x =. 如图所示，连接1O O ，过1D 作1D H AD ⊥于点H ，则四边形11OHD O 为矩形，且116OH O D x ==.36DH OD OH x ∴=-=-，在1Rt D DH 中，12cos 6036DH D D x ︒⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭. 四边形11BC CB 的面积为()11112B C BC D D +⋅，1(10)22x x ⎫=+⨯⎪⎪⎝⎭， 即40(10)(10)x x =+-，x ∴=【点睛】本题考查正棱台几何性质，空间想象能力，计算能力，属于中等题型.。
上海市松江区2020-2021学年数学高考二模卷(解析版2021.04)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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2020-2021学年上海市松江区高一下学期期末考试 数学试卷
★祝考试顺利★ (含答案) 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．计算：i2021＝ i （i为虚数单位）． 解：i2021＝i4×500+1＝i． 故答案为：i． 2．已知向量，，若，则实数x的值是 ﹣ ． 解：∵； ∴﹣3x﹣2＝0； ∴． 故答案为：． 3．复数z＝（m﹣2）+（m+1）i为纯虚数（i为虚数单位），其中m∈R，则|z|＝ 3 ． 解：由z＝（m﹣2）+（m+1）i为纯虚数，m∈R，得，即m＝2， ∴z＝3i，则|z|＝． 故答案为：3． 4．已知tanα＝4，则＝ 6 ． 解：因为tanα＝4， 所以＝＝＝6． 故答案为：6． 5．已知一扇形的弧所对的圆心角为60°，半径r＝20cm，则扇形的周长为 40+π cm． 解：由题意，扇形的弧长为＝πcm， ∴扇形的周长为（40+π）cm． 故答案为：40+π．
6．化简：＝ 1 ． 解：＝•＝1． 故答案为：1． 7．在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状是 等腰 三角形． 解：由正弦定理可得 sin（A+B）＝2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB， ∴sin（A﹣B）＝0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0，故△ABC的形状为等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 8．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，则f（x）＝ 2sin（x） ．
解：由图象知A＝2，周期T＝8，即 ＝8，得ω＝， 由五点对应法得2×+φ＝，得φ＝0， 则f（x）＝2sin（x）． 故答案为：2sin（x）． 9．已知x∈[0，π]，向量＝（sinx，1），＝（2，cosx），当取到最大值时，x的值是 ﹣arcsin ． 解：＝2sinx+cosx＝sin（x+∅），其中sin∅＝， 可得∅＝arcsin，当x+∅＝时取到最大值， 此时x＝﹣arcsin， 故答案为：﹣arcsin． 10．已知、满足||＝4，在方向上的数量投影为﹣2，则|﹣3|的最小值为 10 ． 解：因为||＝4，在方向上的数量投影为﹣2，所以||cosθ＝﹣2，其中θ为，夹角，
即＝﹣2，∴＝﹣2||＝﹣8，
则|﹣3|＝＝＝＝10． 则|﹣3|的最小值为10，当θ＝0时取等号． 11．如图，O是线段AB外一点，|OA|＝3，|OB|＝2，P是线段AB的垂直平分线l上的动点，则•的值为 ．
解：如图，设l与AB交于C，即C为AB的中点，连接OC， 则•＝（）•＝， ∵l⊥AB，∴， ∴ ＝ ＝． 故答案为：﹣．
12．已知函数f（x）＝4sin（2x﹣），x∈[0，]，若F（x）＝f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝ ． 解：令，可得， ∴函数的对称轴为， 又∵f（x）的周期为， ∴令，解得k＝8， ∴函数在x∈[0，]上有9条对称轴， 由正弦函数的性质可知，，， 将以上各式相加可得，x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝． 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑． 13．若tanα＜0，则（ ） A．sinα＜0 B．cosα＜0 C．sin2α＜0 D．cos2α＜0 解：若tanα＜0，则α为第二或第四象限角， 当α为第二象限角时，sinα＞0，cosα＜0，2α为第三、四象限角，sin2α＜0． 当α为第四象限角时，sinα＜0，cosα＞0，2α为第三，四象限角，sin2α＜0， 故A，B选项错误，C选项正确．不妨设α＝，tanα＝﹣1＜0， cos2α＝cos＝0，故D选项错误． 故选：C． 14．要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需要将函数y＝sin2x的图象（ ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 解：将y＝sin2x向右平移个单位得：y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）， 故选：D． 15．欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位，x∈R，e为自然对数的底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论： ①eiπ+1＝0；②（cos+isin）（cos+isin）....（cos）＝i． 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 解：根据欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位，x∈R，e为自然对数的底数）， 对于①：eiπ+1＝cosπ+isinπ+1＝0，故①正确； 对于②：（cos+isin）（cos+isin）....（cos）＝＝＝． 故选：A． 16．设函数y＝cos2x（x≥0）和函数y＝cos10x（x≥0）的图象公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，若tan（x3﹣α）＝cosx4，则sin2α的值为（ ） A． B． C． D． 解：因为cos2x＝cos10x（x≥0）， 则有10x＝2x+2kπ或10x+2x＝2nπ，k，n∈N， 解得x＝kπ，或x＝，k，n∈N， 又函数y＝cos2x（x≥0）和函数y＝cos10x（x≥0）的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，xn， 所以x＝0，，，，，，…， 故x3＝，x4＝， 所以tan（x3﹣α）＝cosx4，即tan（−α）＝cos， 则＝，解得tanα＝， 故sin2α＝2sinαcosα＝＝＝． 故选：C． 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写岀必要的步骤． 17．（1）已知角α终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，求2sinα+cosα的值；
（2）证明恒等式：＝． 解：（1）∵角α的终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0， ∴x＝3a，y＝4a，r＝5a， 可得sinα＝＝﹣，cosα＝＝， ∴2sinα+cosα＝2×+＝﹣1；
（2）证明：左边＝＝＝＝
＝＝右边，得证． 18．已知复数z1＝a+2+（a2﹣3）i，z2＝2﹣（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）． （1）若复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围； （2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值． 解：（1）∵z2＝2﹣（3a+1）i，∴＝2+（3a+1）i， z1﹣＝a+2+（a2﹣3）i﹣（2+（3a+1）i）＝a+（a2﹣3a﹣4）i，
又∵复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限， ∴a＞0且a2﹣3a﹣4＞0， 解得a＞4，即实数a的取值范围为（4，+∞）， （2）∵虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，∴虚数也是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，
则，解得m＝13． 19．东西向的铁路上有两个道口A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15°，且位于B的南偏东15°方向，D位于A的正北方向，AC＝AD＝2km，C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km/h． （1）判断救护车通过道口A是否会受火车影响，并说明理由； （2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明．
解：（1）依据题意：在△ACE中，正弦定理： ＝，即，解得：AE＝， ∴救护车到达A处需要时间：＝＝2min， 火车到达A处需要时间：＝1.41min，火车影响A道口时间为[，]，2∈[，]， ∴救护车经过A会受影响． （2）若选择A道口： 一共需要花费时间为：tA＝+1+×60＝（3+）＝4.41min 若选择B道口：∵BE＞BC，通过B道口不受火车影响； 一共花费时间为：tB＝，由余弦定理求AB长：AB2＝BC2+AC2﹣2BC•ACcos∠ACB，即AB＝﹣，
∴BD＝＝， tB＝＝×60min＝4.25min＜tA，
∴选择B过道． 20．（16分）已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x+2，x∈[0，]． （1）求函数y＝f（x）的值域； （2）求函数y＝f（x）单调递减区间； （3）若不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围． 解：（1）． 因为，所以， 所以，所以f（x）的值域为； （2）因为，又y＝sinx在上递减， 所以当时，f（x）递减， 所以函数y＝f（x）单调递减区间为； （3）因为f（x）+2＞0，所以不等式等价于； 因为，所以当时，有最大值； 所以实数m的取值范围为； 21．（18分）已知O是线段AB外一点，若＝，＝． （1）设点G是△OAB的重心，证明：＝（+）； （2）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△QA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，