07数学分析课件完备性

第七章 实数的完备性

目的与要求：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；明确六个基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题．了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系.

重点与难点：重点是实数完备性基本定理的证明，难点是实数完备性基本定理的应用.

第一节 关于实数集完备性的基本定理

一 区间套定理与柯西收敛准则 1 区间套

定义1 区间套: 设[]{}n n b a ,是一闭区间序列. 若满足条件 （1） 对n ∀, 有[][]n n n n b a b a ,,11⊂++, 即n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即

后一个闭区间包含在前一个闭区间中；

（2） 0→-n n a b ()∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.

则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .

区间套还可表达为:

1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ， 0→-n n a b ()∞→n .

我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列{}n a 和{}n b , 其中{}n a 递增, {}n b 递减.

例如⎭⎬⎫⎩⎨

⎧⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-n n 1,1和⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧⎥

⎦⎤⎢⎣⎡n 1,0 都是区间套. 但()⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n n n 21,11、

⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧

]1,0(n 和⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+

-

n n

11,1都不是. 2 区间套定理

定理7.1(区间套定理) 设[]{}n n b a ,是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点ξ, 使对n ∀有[]n n b a ,∈ξ. 简言之, 区间套必有唯一公共点.

证明 （用单调有界定理证明区间套定理）

由假设（1）知，序列{}n a 单调上升，有上界1b ；序列{}n b 单调下降，有下界1a .因而有

1lim c a n n =+∞

→，2lim c b n n =+∞

→. n n b c c a ≤≤≤21.

再由假设（2）知

()0lim 12=-=-+∞

→c c a b n n n ，

记c c c ==12. 从而有

==+∞

→c a n n lim n n b +∞

→lim .

若还有*c 满足n n b c a ≤≤*，令+∞→n ，得c c =*.故c 是一切[]n n b a ,的唯一公共点.证毕.

注： 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：

（1）要求[]n n b a ,是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成

立.如

()⎪⎭⎫

⎝

⎛

=n b a n n 1,0,.

显然有 ⎪⎭⎫

⎝⎛⊂⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 1,011,0 ， 但 ∅=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+∞

= 11,0n n .

如果开区间套是严格包含：n n n n b b a a <<<++11，这时定理的结论还是成立的.

（2） 若[][]

,2,1,,11=⊃++n b a b a n n n n ，但()0lim ≠-∞

→n n n a b ，此时仍有1lim c a n n =+∞

→，

2

lim c b n n =+∞

→，但21c c <，于是对任意的c ，21c c c ≤≤，都有[] +∞

=∈1

,n n n b a c .

全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，该定理刻划实数集是完备的.该定理也给出通过逐步缩小搜索范围，找出所求点的一种方法.

推论 设[]{}n n b a ,为一区间套，[]

,2,1,=∈n b a n n ξ．

则0,0>∃>∀N ε当N n >时，恒有[]()εξ,,U b a n n ⊂．

用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．

3 数列的柯西收敛准则的证明 数列的柯西收敛准则：

数列{}n a 收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，当N n m >,时,有ε<-n m a a ．

（后者又称为柯西（Cauchy ）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）

证明 必要性

设 A a n n =∞

→lim ．由数列极限定义，0>∀ε，0>∃N ，当N n m >,时有

2

ε

<

-A a m ， 2

ε

<

-A a n ，

因而ε

ε

ε

=+<

-+-≤-2

2

A a A a a a n m n m ．

充分性 按假设，0>∀ε，0>∃N ，使得对一切N n ≥有ε≤-n m a a ，

即在区间[]εε+-N N a a ,内含有{}n a 中除有限项外的所有项． 据此，令2

1=

ε，则1N ∃，在区间⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

-

21,2

111

N N a a 内含有{}n a 中除有限项外的所

有项．记这个区间为[]11,βα．

再令2

2

1=ε，则)(12N N >∃，在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+

-

22

21,2

122

N N a a 内含有{}n a 中除有限项外的所有项．记

[]=

22,βα⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+-2221,2122

N N a a []11,βα，它也含有{}n a 中除有限项外的所有项， 且满足 []11,βα⊃[]22,βα及 2

122≤

-αβ．

继续依次令 ,2

1,

,2

12

n

=

ε，照以上方法得一闭区间列[]{}n n βα,，其中每一个区间都含

有{}n a 中除有限项外的所有项，且满足 []n n βα,⊃[]11,++n n βα， ,2,1=n ，