高中数学必修一高一数学第一章(第课时)四种命题(二)公开课教案课件课时训练练习教案课件

课题：1.7 四种命题（2）

教学目的：

1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假

2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题；

3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想

教学重点：理解四种命题的关系

教学难点：逆否命题的等价性

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．

（初中数学中有关反证法的内容，要求比较低，并且基本没有涉及代数命题到高中数学学习的需要，结合四种命题及其关系进行讲授学习反证法，一是要注意加强对有关代数命题的训练，二是教学要求要适当，对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高教科书中反证法涉及代数命题的例、习题，是属于初中范围的，比较简单．因此，这些题目都可以用直接的方法进行证明，不一定用反证法，选取这些题，主要是为了让学生熟悉反证法）反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法

教学过程：

一、复习引入：

四种命题及其形式

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆

否互原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；

否命题：若−p 则−q ； 逆否命题：若−q 则−p.

二、讲解新课：

1．四种命题的相互关系

互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：

2．四种命题的真假关系

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下

三条关系： ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真 3．反证法：

要证明某一结论A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明A 的反面（非

A ）是错误的，从而断定A 是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法

4．反证法的步骤：

(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立

(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

注意：可能出现矛盾四种情况： ①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论

三、范例

例1．判断以下四种命题的真假

原命题：若四边形ABCD 为平行四边形，则对角线互相平分 真

逆命题：若四边形ABCD 对角线互相平分，则它为平行四边形； 真 否命题：若四边形ABCD 不是为平行四边形，则对角线不平分； 真 逆否命题：若四边形ABCD 对角线不平分，则它不是平行四边形； 真 归纳小结：（学生回答，教师整理补充）

(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真；

(2)原命题为真，它的否命题不一定为真；

(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真

结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等），这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题⇔逆否命题例2．（课本第32页例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.

分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.

解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；

否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；

逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.

练习：课本第32页练习：1，2.

答案：1.(1)正确；(2)正确.

2.(1)逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；

否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；

逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.

(2) 逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.

否命题：若a≤b,则a+c≤b+c.否命题为真.

逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.逆否命题为真.

a>.

例3．（课本第32页例3）用反证法证明：如果a>b>0，那么b

证明：假设a不大于b，则或者a

∵a>0，b>0，

∴a

⇒ab

a<，b

ab<⇒a

a>.

a=b⇒a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾，∴b

证法二（直接证法）()()b a b a b a -+=

-， ∵a>b>0,∴a - b>0即

()()0>-+b a b a ,∴0>-b a ∴b a >

例4（课本第33页例4）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于P ，且

AB 、CD 不是直径.

求证：弦AB 、CD 不被P 平分.

分析：假设弦AB 、CD 被P 平分，连结OP 后，可

推出AB 、CD 都与OP 垂直，则出现矛盾.

证明：假设弦AB 、CD 被P 平分，由于P 点一定不是圆心O ，连结OP ，根据垂径定理的推论，

有OP ⊥AB ，OP ⊥CD ，即过点P 有两条直线与OP 都垂直，

这与垂线性质矛盾.

∴弦AB 、CD 不被P 平分.

四、小结：四种命题之间的相互关系和真假关系

反证法的基本原理及其四个步骤

五、练习：课本第33页 练习：1，2.

提示：1.设b2-4ac ≤0，则方程没有实数根，或方程有两个相等的实数根，得出矛盾.

2.设∠B ≥900，则∠C+∠B ≥1800，得出矛盾.

补充题：

1．命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假

解：逆命题：若 |x| = |y| 则 x = y （假，如 x = 1, y = -1）

否命题：若 x ≠ y 则 |x| ≠|y| （假，如 x = 1, y = -1）

逆否命题：若 |x| ≠|y| 则 x ≠ y （真）

2．写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假