一次函数之动点问题(含解析)

一次函数之动点问题
一、 框架套路和标准动作
动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：
①把函数信息（坐标或表达式）转化为背景图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：
①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；
②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息．
二、 例题解析
（1）读题标注，整合信息（即研究背景图形）
由直线AB 的表达式y +()(400A B -，
，， 即4OA OB ==，8AB =，∠BAC =60°．又由∠ABC =60°， 可得△ABC 是等边三角形，且AB =BC =AC =8，OA =OC =4． 如图：
（2）分析特征，有序思考，设计方案（分析运动过程）： 分析运动过程，核心是运动过程的四要素：
①起点、终点、速度；②时间范围；③状态转折点；④目标．
具体操作：
①起点、终点、速度；
动点P 从点A 沿AC 向点C 运动，可以确定点P 的起点（点A ）、终点（点C ），速度为1/s ；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，可以确定点Q 的起点（点C ）、终点（点A ），速度为2/s ，图示如下：
A
Q :B
C (2/s)(1/s)A P :
②时间范围
根据路程、时间和速度的公式s =vt ，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间．
例如：动点P 的速度是1/s ，AC =8，故动点P 由A 到C 共经过8s ；动点Q 的速度是2/s ，CB =BA =8，故每段各走4s ，共8s ，综上0≤t ≤8．图示如下：
A
Q :B C
4s
(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）
A P :
③状态转折点
状态转折点即点的运动发生变化的点，常常为动点的运动方向发生改变、或者是动点的速度发生改变．
例如：动点P 从点A 到点C ，速度和方向均未变化，故点P 没有状态转折点；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，在点B 处运动方向发生了变化，故点B 为状态转折点，由状态转折点可对运动过程进行分段．图示如下：
4 < t ≤ 8
0 ≤ t ≤ 4①②Q :C
(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）
A P :
④确定目标
确定目标是正确高效解题的保证，是有序操作的重要一环．本题求S 与t 之间的函数关系式，即用t 来表示△APQ 的面积S ．图示如下：
△APQ S (t )
4 < t ≤ 8
0 ≤ t ≤ 4
①②Q :C
(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）
A P : （3）根据方案作出图形、有序操作（分段作图，求解）
作图需要充分借助动点的运动路线图，利用运动路线图可以确定每段时间范围内点的位置． 例如：
①当04t ≤≤时，点P 在AO 上，点Q 在CB 上，连接AQ ，PQ ；要求△APQ 的面积，先从表达开始，可以表达动点的已走路程，得到AP =t ，CQ =2t 。

如图：
观察图形，AP 为底，需要作出AP 边上的高QM ，借助基本图形的研究，在
Rt△CQM
中表达高QM=即可，如图：
此时2
11
22
S AP QM t
=⋅⋅=⋅=
验证端点，当t=0时，点P与点A重合，△APQ不存在，故
t≠0．即当0
4
t
<≤时，2
11
22
S AP QM t
=⋅⋅=⋅=
②当48
t
<≤时，点P在OC上，点Q在BA上，连接PQ；要表达△APQ的面积，同样先从表达开始，表达点P的已走路程、点Q的未走路程，得AP=t，AQ=16-2t，如图：
类比刚才思路，以AP为底，需要作出AP边上的高QN，借助基本图形的研究，在Rt△AQN表达高)
QN t
=-即可，如图：
此时2
11
)
222
S AP QN t t
=⋅⋅=⋅-=-+
验证端点，当t =8时，点Q 与点A 重合，△APQ 不存在，故t ≠8.
即当48t <<时，2
1133(8)4322S AP QN t t t t =⋅⋅=⋅⋅-=-+
➢ 操作示范
2. 如图，直线343y x =-+与x 轴交于点A ，与直线3
3
y x =
交于点P ．动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 方向向终点A 运动，过
点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段PA 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t
（秒），矩形OEFB 与△OPA 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．
➢
思路分析
（1）读题标注，整合信息（即研究背景图形）： 由直线表达式
y =+y x =
可知两直线垂直且430OA AOP =∠=，，得到602OAP AP OP ∠===，，如图：
+43
（2）分析特征，有序思考，设计方案（分析运动过程）：
①分析运动过程：动点E 的起点，终点，速度，状态转折点，时间范围，所求目标为矩形OEFB 与△OPA 的面积S 与t 之间的函数关系式；根据状态转折点对点P 的运动过程进行分段，确定每段对应的时间范围分别为03t <≤和34t <<； ②分段之后，需要在每段上画出对应符合题意的图形，从动点E 的运动开始表达已知和未知的线段长，研究几何特征，设计解决方案表达面积； 如图：
A ①
②
(1/s)E :O
矩OEFB 、△OPA S (t )
0<t <4
3.根据方案作出图形、有序操作（分段作图，求解）：
①当03t <≤时，点F 在OP 上；重合部分为△OEF ，由点E 的运动可知，OE =t
，
3
EF t =
，利用面积公式表达面积即可； 如图：
2112236
S OE EF t =⋅=⋅⋅=
②当34t <<时，点F 在AP 上；重合部分为梯形OEFG ；由动点E 的运动可知，
OE =t ，AE =4-t
，可得)OB EF t =-，BG =3(4-t )；利用面积公式表达面积即可； 如图：
3(4
211()[3(4)])222
S GF OE EF t t t t =+⋅=⋅--+-=-+-
①操作示范。